重庆市巴蜀中学初中部数学教研组整理：八年级数学上（RJ）14

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14.1.4 整式乘法 第十四章 整式的乘法与因式分解 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第 2 课时 多项式与多项式相乘 八年级数学上（RJ） 教学课件 学习目标 1. 理解并掌握 多项式与多项式的乘法运算法则 . （重点） 2. 能够运用 多项式与多项式的乘法运算法则进行 计算 . （难点） 导入新课 复习引入 1. 如何进行单项式与多项式乘法的运算？ ② 再把所得的积相加 . ① 将单项式分别乘以多项式的各项， 2. 进行单项式与多项式乘法运算时，要注意什么 ? ① 不能漏乘 : 即单项式要乘遍多项式的每一项 ② 去括号时注意符号的确定 . 讲授新课 多项式乘多项式 一 互动探究 问题 1 某地区在退耕还林期间，有一块原长 m 米，宽为 a 米的长方形林区增长了 n 米，加宽了 b 米，请你计算这块林区现在的面积 . a m b n ma na mb nb a m b n 你能用不同的形式表示 所拼图的 面积吗？ 这块林区现在长为 （ m+n ） 米，宽为 （ a+b ） 米 ( m+n ) ( a+b ) m ( a+b ) +n ( a+b ) ma+mb+na+nb 方法一： 方法二： 方法三： 由于 ( m+n )( a+b ) 和 ( ma+mb+na+nb ) 表示同一块地的面积，故有： ( m + n )( a + b )= ma + mb + na + nb 如何进行多项式与多项式相乘的运算？ 实际上，把 ( a + b ) 看成一个整体，有： = ma+mb+na+nb ( m+n )( a+b ) = m ( a+b ) +n ( a+b ) ( m+n )X= m X +n X ？ 若 X= a + b ，如何计算？ 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 . 知识要点 多项式乘以多项式 1 2 3 4 ( a + b )( m + n ) = a m 1 2 3 4 + a n + b m + b n 多乘多顺口溜： 多乘多，来计算，多项式各项都见面， 乘后结果要相加，化简、排列才算完 . 典例精析 例 1 计算 : ( 1 )( 3 x +1)( x +2) ； (2)( x -8 y )( x - y ) ； (3) ( x + y )( x 2 - xy + y 2 ). 解： (1) 原式 =3 x·x + 2 ·3 x +1· x +1×2 =3 x 2 +6 x + x +2 (2) 原式 = x · x - xy -8 xy +8 y 2 结果中有同类项的要合并同类项 . =3 x 2 +7 x +2 ； 计算时要注意符号问题 . = x 2 -9 xy +8 y 2 ； (3) 原式 = x · x 2 - x·xy + xy 2 + x 2 y - xy 2 + y · y 2 = x 3 - x 2 y + xy 2 + x 2 y - xy 2 + y 3 = x 3 + y 3 . 需要注意的几个问题 :(1) 漏乘 ; (2) 符号问题 ; (3) 最后结果应 化成最简形式 . 注意 计算时不能漏乘 . 例 2 先化简，再求值： ( a － 2 b )( a 2 ＋ 2 ab ＋ 4 b 2 ) － a ( a － 5 b )( a ＋ 3 b ) ，其中 a ＝－ 1 ， b ＝ 1. 当 a ＝－ 1 ， b ＝ 1 时， 解：原式＝ a 3 － 8 b 3 － ( a 2 － 5 ab )( a ＋ 3 b ) ＝ a 3 － 8 b 3 － a 3 － 3 a 2 b ＋ 5 a 2 b ＋ 15 ab 2 ＝－ 8 b 3 ＋ 2 a 2 b ＋ 15 ab 2 . 原式＝－ 8 ＋ 2 － 15 ＝－ 21. 例 3 已知 ax 2 ＋ bx ＋ 1( a ≠0) 与 3 x － 2 的积不含 x 2 项，也不含 x 项，求系数 a 、 b 的值． 解： ( ax 2 ＋ bx ＋ 1)(3 x － 2) ＝ 3 ax 3 － 2 ax 2 ＋ 3 bx 2 － 2 bx ＋ 3 x － 2 ， ∵ 积不含 x 2 的项，也不含 x 的项， 方法总结： 解决此类问题首先要利用多项式乘法法则计算出展开式，合并同类项后，再根据不含某一项，可得这一项系数等于零，再列出方程解答． 练一练： 计算 (1)( x +2)( x +3)=__________ ； (2)( x -4)( x +1)=__________ ； (3)( y +4)( y -2)=__________ ； (4)( y -5)( y -3)=__________. x 2 +5 x +6 x 2 -3 x -4 y 2 +2 y -8 y 2 -8 y +15 由上面计算的结果找规律，观察填空： ( x + p )( x + q )=___ 2 +______ x +_______. x ( p + q ) pq 例 4 已知等式 ( x + a )( x + b )= x 2 + mx +28 ，其中 a 、 b 、 m 均为正整数，你认为 m 可取哪些值？它与 a 、 b 的取值有关吗？请你写出所有满足题意的 m 的值 . 解：由题意可得 a + b =m, ab =28. ∵ a , b 均为正整数，故可分以下情况讨论： ① a= 1, b= 28 或 a= 28, b= 1 ，此时 m =29; ② a= 2, b= 14 或 a= 14, b= 2 ，此时 m =16; ③ a= 4, b= 7 或 a= 7, b= 4 ，此时 m =11. 综上所述， m 的取值与 a,b 的取值有关， m 的值为 29 或 16 或 11. 当堂练习 3. 如果 ( x + a )( x + b ) 的结果中不含 x 的一次项，那么 a 、 b 满足（　　） A． a = b B． a =0 C． a =- b D． b =0 C 1. 计算 ( x -1 )( x -2 ) 的结果为（　　） A． x 2 +3 x -2 B． x 2 -3 x -2 C． x 2 +3 x +2 D． x 2 -3 x +2 D 2. 下列多项式相乘，结果为 x 2 -4 x -12的是（　　） A． ( x -4 )( x +3 ) B . ( x -6 )( x +2 ) C． ( x -4 )( x -3 ) D . ( x +6 )( x -2 ) B 4. 判别下列解法是否正确，若错，请说出理由 . 解： 原式 解： 原式 5 . 计算： (1)( x −3 y )( x +7 y ) ； (2)(2 x + 5 y )(3 x −2 y ). 解 : (1) ( x− 3 y )( x+ 7 y ) , + 7 xy − 3 yx − = x 2 + 4 xy- 21 y 2 ； 21 y 2 （ 2 ） (2 x +5 y )(3 x −2 y ) = = x 2 2 x • 3 x −2 x • 2 y +5 y • 3 x − 5 y • 2 y = 6 x 2 − 4 xy + 15 xy − 10 y 2 = 6 x 2 + 11 xy − 10 y 2 . 6. 化简 求值： (4 x +3 y )(4 x -3 y )+(2 x + y )(3 x -5 y ) ， 其中 x =1, y =-2. 解 : 原式 = 当 x =1, y =-2 时， 原式 =22×1-7×1× （ -2 ） -14×(-2) 2 =22+14 -56 =-20. 7. 解方程与不等式： ( 1 )( x -3 )( x -2 ) +18= ( x +9 )( x +1 ) ； ( 2 )( 3 x + 6 )( 3 x - 6 ) ＜9 ( x -2 )( x +3 ) ． 解： ( 1 ) 去括号，得 x 2 -5 x +6+18= x 2 +10 x +9， 移项合并，得15 x =15， 解得 x =1； ( 2 ) 去括号，得9 x 2 - 3 6＜9 x 2 +9 x -54， 移项合并，得9 x ＞ 1 8， 解得 x ＞ 2 ． 8. 小东找来一张挂历画包数学课本．已知课本长 a 厘米，宽 b 厘米，厚 c 厘米，小东想将课本封面与封底的每一边都包进去 m 厘米，问小东应在挂历画上裁下一块多大面积的长方形？ 八年级 ( 上 ) 姓名： ____________ 数学 c b a 拓展提升 a b c m b m 面积： (2 m +2 b + c )(2 m + a ) 解： (2 m+ 2 b+c )(2 m+a ) = 4 m 2 +2 ma +4 bm +2 ab +2 cm + ca . 答：小东应在挂历画上裁下一块 （ 4 m 2 +2 ma +4 bm +2 ab +2 cm + ca ） 平方厘米的长方形 . 课堂小结 多项式 × 单项式 运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 （ a+b )( m+n )= am+an+bm+bn 注意 不要漏乘；正确确定各符号；结果要最简 实质上是转化为单项式 × 多项式的运算 ( x -1) 2 在一般情况下不等于 x 2 - 1 2 .