北师大版八年级下册数学-1第一章水平测试卷

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A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 B 2. 关于等腰三角形和等边三角形的区别与联系，下 列说法不正确的是（ ） A. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 B. 等边三角形是等腰三角形的特殊情况 C. 等边三角形的底角与顶角相等 D. 等边三角形包括等腰三角形 D 3. 某城市几条道路的位置关系如图1-1，已知 AB∥CD，AE与AB的夹角为48°，若CF与EF的长度相等， 则∠C的度数为（ ） A. 48° B. 40° C. 30° D. 24° D 4. 如图1-2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB， 点D到AB的距离DE=1 cm，BE= cm，则BC等于（ ） A. 1 cm B. 2 cm C. 3 cm D. （ +1） cm C 5. 如图1-3，在Rt△ABC中，∠ACB=60°，DE是斜边 AC的中垂线，分别交AB，AC于D，E两点.若BD=2，则 AC的长是（ ） A. 4 B. 4 C. 8 D. 8 B 6. 如图1-4，BD，CE分别是△ABC的高线和角平分线， 且相交于点O. 若AB=AC，∠A=40°，则∠BOE的度数 是（ ） A. 60° B. 55° C. 50° D. 40° B 7. 如图1-5，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D， PE⊥OB于点E． 若OD=8，OP=10，则PE的长为（ ） A． 5 B． 6 C． 7 D． 8 B 8. 若等腰三角形的周长为26 cm，一边长为11 cm，则 腰长为（ ） A. 11 cm B. 7.5 cm C. 11 cm或7.5 cm D. 以上都不对 9. 如图1-6，△ABC是等边三角形，AE⊥BC于点E， AD⊥CD于点D，AB∥CD，则图中60°的角有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 C C 10. 如图1-7，P，Q分别是BC，AC上的点，作PR⊥AB 于点R，作PS⊥AC于点S.若AQ=PQ，PR=PS，下面三个结 论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP，正确的是 （ ） A. ①和③ B. ②和③ C. ①和② D. ①，②和③ C 二、填空题(本大题7小题，每小题4分，共28分) 11. 在等腰三角形ABC中，AB=AC=10 cm，BC=12 cm， 则BC边上的高是______cm. 12. △ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=1，以BC为 边的正方形面积为______． 13. 如图1-8，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角 形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，则BD的长 为______. 8 3 14. 如图1-9，将等边三角形ABC的边BC延长至点D， 使得CD=AC.若点E是AD的中点，则∠DCE的度数为____. 15. 如图1-10，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线， AE=4 cm，△ABD的周长为14 cm，则△ABC的周长为 ________. 60° 22 cm 16. 如图1-11，四边形ABCD中，BC=AC=DC，BC⊥CD， 且∠B=60°，则∠BAD的度数是______. 17. 如图1-12，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°， AC的垂直平分线交BC于点F，交AC于点E，交BA的延长 线于点G.若EG=3，则BF的长是______. 135° 4 三、解答题（一）(本大题3小题，每小题6分，共18分) 18. 如图1-13，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直 平分线DE交BC于点E，垂足为点D. 求证：∠CAB=∠AED. 证明：∵DE是AB的垂直平分线， ∴EA=EB. ∴∠EAB=∠B. ∵∠C=90°，∴∠CAB+∠B=90°. 又∵∠AED+∠EAB=90°， ∴∠CAB=∠AED. 19. 如图1-14，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分∠BAC， ∠CAD=26°，∠AED=∠ADE，求∠EDB的度数. 解：∵∠B=∠C,AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC,∠DAC=∠BAD. ∴∠ADB=90°. ∵∠CAD=26°, ∴∠ADE=(180°-26°)÷2=77°. ∴∠EDB=90°-∠ADE=90°-77°=13°. 20. 已知如图1-15，在△ABC中，AB=AC. （1）利用直尺和圆规作∠BAC的平分线和AB的垂直平 分线，交点为P；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接PB，若∠ABC=65°，求∠ABP的度数. 解：（1）如答图1-1，点P即为所作. （2）如答图1-1，连接PB. ∵AD为∠BAC的平分线，AB=AC，∴AD⊥BC. ∵点P在AB的垂直平分线上，∴PA=PB. ∴∠BAP=∠ABP. ∵∠ABD+∠BAD=90°， ∴∠BAD=90°-65°=25°. ∴∠ABP=25°. 四、解答题（二）(本大题3小题，每小题8分，共24分) 21. 如图1-16，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC 的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD交BD的延长线于点E. 求 证：CE= BD. 证明：如答图1-2，延长CE，BA相交于点F. ∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，∴∠EBF=∠ACF. 在Rt△ABD和Rt△ACF中， ∵∠ABD=∠ACF，AB=AC，∠BAD=∠CAF， ∴Rt△ABD≌Rt△ACF（ASA）. ∴BD=CF. 答图1-2在Rt△BCE和Rt△BFE中， ∵∠BEC=∠BEF，BE=BE，∠EBC=∠EBF， ∴Rt△BCE≌Rt△BFE（ASA）. ∴CE=FE. ∴CE= CF= BD. 22. 如图1-17，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD， 垂足为点D，过点D作DE∥AC，交AB于点E. 若AB=5，求 线段DE的长. 解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD. ∵DE∥AC，∴∠CAD=∠ADE. ∴∠BAD=∠ADE. ∴AE=DE. ∵AD⊥DB，∴∠ADB=90°. ∴∠EAD+∠ABD=90°，∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°. ∴∠ABD=∠BDE. ∴DE=BE. ∵AB=5，∴DE=BE=AE= AB=2.5. 23. 如图1-18，等边三角形ABC中，AB=6，D是AC的 中点，E是BC延长线上的一点，CE=CD，DF⊥BE，垂足 为点F. （1）求BD的长； （2）求证：BF=EF. （1）解：∵BD是等边三角形ABC的中线， ∴BD⊥AC，BD平分AC. ∵AB=6，∴AD=3， . （2）证明：∵BD是等边三角形ABC的中线， ∴BD平分∠ABC. ∴∠DBE= ∠ABC=30°. 又∵CE=CD，∴∠E=∠CDE，∠E= ∠ACB=30°. ∴∠DBE=∠E.∴DB=DE. ∵DF⊥BE，∴DF为底边上的中线. ∴BF=EF. 五、解答题（三）(本大题2小题，每小题10分，共20分) 24. 如图1-19，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC于点 G且平分BC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F. （1）求证：BE=CF； （2）如果AB=5，AC=3， 求AE，BE的长. （1）证明：如答图1-3，连接BD，CD. ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°. ∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD. 在Rt△BED与Rt△CFD中， BD=CD, DE=DF， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）. ∴BE=CF. （2）解：在△AED和△AFD中， ∠AED=∠AFD=90°, ∠EAD=∠FAD, AD=AD， ∴△AED≌△AFD（AAS）. ∴AE=AF. 设BE=x，则CF=x.∵AB=5，AC=3，AE=AB-BE， AF=AC+CF, ∴5-x=3+x. 解得x=1. ∴BE=1，AE=AB-BE=5-1=4. 25. 如图1-20，△ABC为等边三角形，CF⊥AB于点F， AH⊥BC于点H，点D在AH的延长线上，连接CD，以CD为 边作等边三角形CDE，连接AE交CF于点G. （1）若AC=4，CE=5，求△ACD的面积； （2）证明：AG=GE. （1）解：∵△ABC，△CDE都是等边三角形， ∴AC=BC=4，CE=CD= . ∵AD⊥BC，∴BH=HC=2，AH= . 在Rt△CDH中，∵∠DHC=90°，CH=2，CD= ， ∴DH= =1，AD=1+2 . ∴S△ACD= AD·CH=1+2 . （2）证明：如答图1-4，作AN∥EC交CF于点N，连接 BN，BD. ∴∠ANC=∠ECN. ∵CF⊥AB， ∴FA=FB，∠BCF= ∠ACB=30°. ∵∠DCE=60°， ∴∠BCD+∠DCE+∠BCF= 90°+∠BCD=∠AFN+∠BAN =90°+∠BAN. ∴∠BAN=∠BCD. ∵NF⊥AB，AF=FB，∴NA=NB.∴∠ABN=∠BAN. 同理可证∠DCB=∠DBC. 又∵AB=BC，∴△BAN≌△BCD（ASA）.∴AN=CD=CE. ∵AN∥EC，∴∠NAG=∠CEG. ∵∠AGN=∠EGC，∴△AGN≌△EGC（AAS）.∴AG=GE.