江苏省宿迁市2019—2020学年第二学期高一年级期末调研测试数学试题（解析版）

江苏省宿迁市2019—2020学年第二学期高一年级期末调研测试数学试题（解析版）

江苏省宿迁市2019—2020学年第二学期高一年级期末调研测试 数学试题 ‎ ‎ ‎ 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）‎ ‎1．两条直线，之间的距离为 ‎ A． B． C． D．13‎ ‎2．采用简单随机抽样的方法，从含有5个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，某个个体被抽到的概率为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．若直线过两点(﹣1，1)，(2，)，则此直线的倾斜角是 A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎4．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2的值为 ‎ A． B． C． D．16‎ ‎5．设直线过定点P，则点P的坐标为 A．(3，0) B．(0，2) C．(0，3) D．(2，0)‎ ‎6．两圆C1：与C2：的公切线条数为 A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎7．已知正四面体ABCD，则AB与平面BCD所成角的余弦值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知圆C的圆心在直线上，且过两点A(2，0)，B(0，﹣4)，则圆C的方程是 ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）‎ 17‎ ‎9．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若b＝10，A＝45°，则使此三角形有两解的a的值可以是 A．5 B． C．8 D．‎ ‎10．下列说法正确的是 A．某种彩票中奖的概率是，则买10000张彩票一定会中1次奖 B．若甲、乙两位同学5次测试成绩的方差分别为0.3和0.5，则乙同学成绩比较稳定 C．线性回归直线一定经过点(，)‎ D．从装有3只红球、3只白球的袋子中任意取出4只球，则“取出1只红球和3只白球”与“取出3只红球和1只白球”是互斥事件 ‎11．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是棱CC1上 的一个动点，给出以下结论，其中正确的有 A．AD与BD1所成的角为45°‎ B．AD1∥平面BCC1‎ C．平面ACD1⊥平面B1D1D D．对于任意的点E，四棱锥B1—BED1的体积均不变 ‎12．已知△ABC中，AB＝1，AC＝4，BC＝，D在BC上，AD为∠BAC的角平分线， E为AC中点下列结论正确的是 A．BE＝‎ В．△ABC 的面积为 C．AD＝‎ D．P在△ABE的外接圆上，则PB＋2PE的最大值为 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空， 每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）‎ ‎13．用分层抽样的方法从高一、高二、高三3个年级的学生中抽取1个容量为60的样本，其中高一年级抽取15人，高三年级抽取20人，已知高二年级共有学生500人，则3个年级学生总数为 人．‎ ‎14．从{1，2，3，4，5，6}中任取两个不同数，其和能被3整除的概率是 ．‎ ‎15．已知正三棱锥A—BCD的四个顶点在同一个球面上，AB＝AC＝AD＝4，CD＝6，则该三棱锥的外接球的表面积为 ；该三棱锥的顶点B到面ACD的距离为 ．‎ 17‎ ‎（第1空3分，第2空2分）‎ ‎16．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：，线段AB是圆C2：的一条动弦，且AB＝，线段AB的中点为Q，则直线OQ被圆C1截得的弦长取值范围是 ．‎ 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本题满分10分）‎ 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AC，点D，E分别是BC，B1C1的中点，AA1＝2，BC＝．‎ ‎（1）求证：A1E∥平面ADC1；‎ ‎（2）求二面角C1－AD－C的余弦值．‎ ‎18．（本题满分12分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的顶点B(5，3)和D(3，﹣1)，AB所在直线的方程为x﹣y﹣2＝0，AB⊥AC．‎ ‎（1）求对角线AC所在直线的方程；‎ ‎（2）求BC所在直线的方程．‎ ‎19．（本题满分12分）‎ 某奶茶店为了解冰冻奶茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某5天卖出冰冻奶茶的杯数y与当天气温x的对照表：‎ 温度x/℃‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎35‎ 冰冻奶茶杯数y/十杯 ‎5‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎（1）画出散点图；‎ ‎（2）求出变量x，y之间的线性回归方程，若该奶茶店制定某天的销售目标为110杯，当该天的气温是38℃时，该奶茶店能否完成销售目标？‎ 17‎ 注：线性回归方程的系数计算公式：， ．‎ ‎（参考数据：，）．‎ ‎20．（本题满分12分）‎ 如图，在△ABC中，AC＝，D为AB边上一点，CD＝AD＝2，且cos∠BCD＝．‎ ‎（1）求sin∠B；‎ ‎（2）求△ABC的面积．‎ ‎21．（本题满分12分）‎ 某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组[40，50)，第2组[50，60)，第3组[60，70)，第4组[70，80)，第5组[80，90)，第6组[90，100]，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：‎ ‎（1）求分数在[80，90)内的频率，并补全这个频率分布直方图；‎ ‎（2）从频率分布直方图中，利用组中值估计本次考试成绩的平均数；‎ ‎（3）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少一人成绩优秀的概率．‎ ‎22．（本题满分12分）‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆，圆C： ，点P(﹣3，4)，M，N为圆O上的不同于点P的两点．‎ ‎（1）已知M坐标为(5，0)，若直线PM截圆C所得的弦长为，求圆C的方程；‎ 17‎ ‎（2）若直线MN过(0，4)，求△CMN面积的最大值；‎ ‎（3）若直线PM，PN与圆C都相切，求证：当r变化时，直线MN的斜率为定值．‎ 江苏省宿迁市2019—2020学年第二学期高一年级期末调研测试 数学试题 ‎2020．7‎ 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）‎ ‎1．两条直线，之间的距离为 ‎ A． B． C． D．13‎ 答案：B 考点：两平行直线间的距离 解析：，故选B．‎ ‎2．采用简单随机抽样的方法，从含有5个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，某个个体被抽到的概率为 ‎ A． B． C． D．‎ 答案：D 考点：古典概型 解析：，故选D．‎ ‎3．若直线过两点(﹣1，1)，(2，)，则此直线的倾斜角是 A．30° B．45° C．60° D．90°‎ 答案：A 考点：直线的倾斜角与斜率 解析：，则，故选A．‎ 17‎ ‎4．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2的值为 ‎ A． B． C． D．16‎ 答案：C 考点：平均数与方差 解析：，‎ ‎ ，故选C．‎ ‎5．设直线过定点P，则点P的坐标为 A．(3，0) B．(0，2) C．(0，3) D．(2，0)‎ 答案：B 考点：直线方程过定点问题 解析：，‎ ‎ ，故该直线过点(0，2)，故选B．‎ ‎6．两圆C1：与C2：的公切线条数为 A．1 B．2 C．3 D．4‎ 答案：B 考点：两圆的位置关系 解析：求得两圆圆心距，∵，‎ ‎ ∴两圆相交，两圆有两条公切线，故选B．‎ ‎7．已知正四面体ABCD，则AB与平面BCD所成角的余弦值为 ‎ A． B． C． D．‎ 答案：D 考点：线面角的计算 解析：设正四面体的边长为2a，取CD的中点E，连AE、BE，作AF⊥BE于点F，EG⊥AB于点G，‎ ‎ 则∠ABE就是直线AB与平面BCD所成的角，‎ ‎ cos∠ABE＝，故选D．‎ 17‎ ‎8．已知圆C的圆心在直线上，且过两点A(2，0)，B(0，﹣4)，则圆C的方程是 ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ 答案：C 考点：圆的方程 解析：首先求得AB的垂直平分线方程为：，‎ ‎ ，故C(3，﹣3)，‎ ‎ ，故圆C的方程为，故选C．‎ 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）‎ ‎9．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若b＝10，A＝45°，则使此三角形有两解的a的值可以是 A．5 B． C．8 D．‎ 答案：BC 考点：解三角形 解析：当bsinA＜a＜b时，即＜a＜10，三角形有两解，故选BC．‎ ‎10．下列说法正确的是 A．某种彩票中奖的概率是，则买10000张彩票一定会中1次奖 B．若甲、乙两位同学5次测试成绩的方差分别为0.3和0.5，则乙同学成绩比较稳定 C．线性回归直线一定经过点(，)‎ D．从装有3只红球、3只白球的袋子中任意取出4只球，则“取出1只红球和3只白 17‎ 球”与“取出3只红球和1只白球”是互斥事件 答案：CD 考点：统计与概率 解析：选项A，中奖的概率是，则买10000张彩票不一定会中1次奖，故A错误；‎ ‎ 选项B，甲同学成绩比乙同学稳定，故B错误；‎ ‎ 选项C，线性回归方程必定经过样本中心，故C正确；‎ ‎ 选项D，“取出1只红球和3只白球”与“取出3只红球和1只白球”是不可能同时发生的事情，故是互斥事件，故D正确．‎ ‎ 综上所述，故选CD．‎ ‎11．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是棱CC1上 的一个动点，给出以下结论，其中正确的有 A．AD与BD1所成的角为45°‎ B．AD1∥平面BCC1‎ C．平面ACD1⊥平面B1D1D D．对于任意的点E，四棱锥B1—BED1的体积均不变 答案：BCD 考点：立体几何 解析：选项A，因为∠D1BC≠45°，所以AD与BD1所成的角不是45°，故A错误；‎ ‎ 选项B，因为AD1∥BC1，BC1平面BCC1，所以AD1∥平面BCC1，故B正确；‎ ‎ 选项C，因为AC⊥平面B1D1D，所以平面ACD1⊥平面B1D1D，故C正确；‎ ‎ 选项D，，故D正确．‎ ‎ 综上所述，故选BCD．‎ ‎12．已知△ABC中，AB＝1，AC＝4，BC＝，D在BC上，AD为∠BAC的角平分线， E为AC中点下列结论正确的是 A．BE＝‎ В．△ABC 的面积为 C．AD＝‎ D．P在△ABE的外接圆上，则PB＋2PE的最大值为 答案：ACD 考点：解三角形 解析：，故A正确；‎ 17‎ ‎，从而，‎ ‎，故B错误；‎ ‎，，故C正确；‎ 设∠PBE＝，由正弦定理可得PB＝2sin(120°﹣)，PE＝2sin，‎ PB＋2PE＝，故D正确．‎ ‎ 综上所述，故选ACD．‎ 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空， 每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）‎ ‎13．用分层抽样的方法从高一、高二、高三3个年级的学生中抽取1个容量为60的样本，其中高一年级抽取15人，高三年级抽取20人，已知高二年级共有学生500人，则3个年级学生总数为 人．‎ 答案：1200‎ 考点：分层抽样 解析：．‎ ‎14．从{1，2，3，4，5，6}中任取两个不同数，其和能被3整除的概率是 ．‎ 答案：‎ 考点：古典概型 解析：从6个数中取两个数共有15种情况，其中和是3的倍数的情况共有5种，‎ ‎ 故．‎ ‎15．已知正三棱锥A—BCD的四个顶点在同一个球面上，AB＝AC＝AD＝4，CD＝6，则该三棱锥的外接球的表面积为 ；该三棱锥的顶点B到面ACD的距离为 ．‎ ‎（第1空3分，第2空2分）‎ 答案：；‎ 考点：求的表面积；空间距离的计算 解析：设OA＝OB＝R，求得BG＝，AG＝2，‎ 17‎ ‎ 根据OB2＝OG2＋BG2，得，解得R＝4（球心O在三棱锥外），‎ ‎ ；‎ 求得，设点B到面ACD的距离为h，‎ ‎，解得h＝．‎ ‎16．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：，线段AB是圆C2：的一条动弦，且AB＝，线段AB的中点为Q，则直线OQ被圆C1截得的弦长取值范围是 ．‎ 答案：[，4]‎ 考点：直线与圆的位置关系 解析：首先判断点Q的轨迹是以C2 (﹣4，﹣2)为圆心，为半径的圆上，‎ ‎ 且C1，C2，O三点共线，当点Q在直线且C1C2上时，直线OQ被圆C1截得的弦长最大，为4；‎ ‎ 当Q为切点时，直线OQ被圆C1截得的弦长最小，‎ ‎ 根据相似求得点C1到直线OQ的距离为，故弦长＝，‎ ‎ 所以直线OQ被圆C1截得的弦长取值范围是[，4]．‎ 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本题满分10分）‎ 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AC，点D，E分别是BC，B1C1的中点，AA1＝2，BC＝．‎ ‎（1）求证：A1E∥平面ADC1；‎ ‎（2）求二面角C1－AD－C的余弦值．‎ 17‎ 解：（1）证明：在直三棱柱ABC—A1B1C1中，侧面ABB1A1，BCC1B1是平行四边形 因为D，E分别是BC，B1C1 中点 所以DE∥BB1且DE＝BB1，‎ 又AA1∥ BB1且AA1＝BB1，‎ 所以AA1∥DE且AA1＝DE，‎ 所以四边形AA1ED是平行四边形 所以A1E∥AD ‎ 又AD平面ADC1，A1E平面ADC1，‎ 所以A1E∥平面ADC1；‎ ‎（2）因为AB＝AC，D为BC中点 所以AD⊥DC 因为三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱 所以CC1⊥平面ABC，又AD平面ABC，‎ 所以CC1⊥AD，‎ 因为AD⊥BC，CC1⊥AD，BCCC1＝C，‎ 所以AD⊥平面BCC1B1，又因为DC1平面BCC1B1‎ 所以AD⊥DC1‎ 所以二面角C1－AD－C的平面角为∠C1DC 因为AA1＝2，BC＝，‎ DC＝，CC1＝AA1＝2，‎ 因为CC1⊥平面ABC，CD平面ABC，‎ CC1⊥CD，所以C1D＝，‎ 所以cos∠C1DC＝，‎ 即二面角C1－AD－C的余弦值为．‎ ‎18．（本题满分12分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的顶点B(5，3)和D(3，﹣1)，AB所在直线的方程为x﹣y﹣2＝0，AB⊥AC．‎ ‎（1）求对角线AC所在直线的方程；‎ ‎（2）求BC所在直线的方程．‎ 17‎ 解：（1）因为B(5，3)，D(3，﹣1)‎ 所以BD中点坐标为(4，1)‎ 因为AC⊥AB，AB斜率为1，所以AC斜率为﹣1‎ 有四边形ABCD是平行四边形，所以AC过点(4，1)‎ 所以AC方程为y﹣1＝﹣(x﹣4)，即y＝﹣x＋5‎ ‎（2）由得A(，)‎ 所以AD斜率为 又因为BC//AD，所以BC斜率为5‎ 所以BC方程为y﹣3＝5(x﹣5)，即y＝5x﹣22．‎ ‎19．（本题满分12分）‎ 某奶茶店为了解冰冻奶茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某5天卖出冰冻奶茶的杯数y与当天气温x的对照表：‎ 温度x/℃‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎35‎ 冰冻奶茶杯数y/十杯 ‎5‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎（1）画出散点图；‎ ‎（2）求出变量x，y之间的线性回归方程，若该奶茶店制定某天的销售目标为110杯，当该天的气温是38℃时，该奶茶店能否完成销售目标？‎ 注：线性回归方程的系数计算公式：， ．‎ ‎（参考数据：，）．‎ 解：（1）散点图如图所示：‎ ‎ ‎ ‎ （2）‎ 17‎ ‎ ，‎ ‎ ，，‎ ‎ 所以 ‎ ，‎ ‎ 故所求线性回归方程为 ‎ 当x＝38时，，‎ ‎ 答：当该天的气温是38℃时，该奶茶店不能完成销售目标．‎ ‎20．（本题满分12分）‎ 如图，在△ABC中，AC＝，D为AB边上一点，CD＝AD＝2，且cos∠BCD＝．‎ ‎（1）求sin∠B；‎ ‎（2）求△ABC的面积．‎ 解：（1）在△ADC中，由余弦定理得 ‎ ‎ ‎ 所以 ‎ 因为，∠BCD是三角形BCD的内角，‎ ‎ 所以 17‎ ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ （2）在△BCD中，由正弦定理得，‎ ‎ ‎ ‎ 所以 ‎21．（本题满分12分）‎ 某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组[40，50)，第2组[50，60)，第3组[60，70)，第4组[70，80)，第5组[80，90)，第6组[90，100]，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：‎ ‎（1）求分数在[80，90)内的频率，并补全这个频率分布直方图；‎ ‎（2）从频率分布直方图中，利用组中值估计本次考试成绩的平均数；‎ ‎（3）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少一人成绩优秀的概率．‎ 解：（1）由图可得分数在[80，90)内的频率为 ‎1﹣10(0.006＋0.010＋0.020＋0.026＋0.030)＝0.080.08＋10＝0.008‎ 所以频率分布直方图如下：‎ 17‎ ‎（2）本次考试成绩的平均数约为 ‎45×0.010×10＋55×0.026×10＋65×0.020×10＋75×0.030×10＋85×0.08＋95×0.006×10＝66.8‎ ‎（3）第5组人数为50×0.08＝4，第6组人数为50×0.06＝3‎ 被抽取的成绩在[80，90)内的4人，分别记为a，b，c，d，成绩在[90，100]内的3人，分别记为A，B，C 则从这7人中随机抽取2人的情况为：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，c)，(b，d)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(c，d)，(c，A)，(c，B)，(c，C)，(d，A)，(d，B)，(d，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共21种；‎ 被抽到2人中至少有1人成绩优秀的情况为：(a，A)， (a，B)， (a，C)， (b，A)，(b，B)，(b，C)，(C，A)，(c，B)，(c，C)，(d，A)，(d，B)，(d，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)共 15 种 故抽到2人中至少有1人成绩优秀的概率为：．‎ ‎22．（本题满分12分）‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆，圆C： ，点P(﹣3，4)，M，N为圆O上的不同于点P的两点．‎ ‎（1）已知M坐标为(5，0)，若直线PM截圆C所得的弦长为，求圆C的方程；‎ ‎（2）若直线MN过(0，4)，求△CMN面积的最大值；‎ ‎（3）若直线PM，PN与圆C都相切，求证：当r变化时，直线MN的斜率为定值．‎ 解：（1）因为P(﹣3，4)，M(5，0)，所以 所以直线PM的方程为：x＋2y﹣10＝0，‎ 17‎ 所以点C到直线PM的距离为 因为直线PM截圆C所得的弦长为 所以 所以圆C的方程为C：x2＋(y﹣1)2＝4；‎ ‎（2）由题知直线的斜率MN存在，故可设直线MN的方程为y＝kx＋4即kx﹣y＋4＝0‎ 所以点C到直线MN的距离 在圆O中由垂径定理得MN＝，‎ 所以 令，则，‎ 当，即时△CMN面积的最大值为；‎ ‎ （3）因为0＜r＜3，所以过点P的圆C的切线斜率存在，设为y﹣4＝k(x＋3)‎ 即kx﹣y＋4＋3k＝0与圆O：x2＋(y﹣1)2＝r2 相切得 化简得 (1)‎ 设直线PM，PN的斜率分别为，则是方程(1) 的两个根 所以 将y﹣4＝k(x＋3)与圆O：x2＋y2＝25 联立解得 同理 ‎ 所以 17‎ 所以当r变化时，直线MN的斜率为定值．‎ 17‎