2019-2020学年四川省成都市青羊区八年级下学期期末数学试卷 （解析版）

2019-2020学年四川省成都市青羊区八年级下学期期末数学试卷 （解析版）

‎2019-2020学年四川省成都市青羊区八年级第二学期期末数学试卷 一、选择题 ‎1．下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎2．下列多项式分解因式正确的是（　　）‎ A．a2﹣2a﹣3＝a（a﹣2）﹣3 B．3ax2﹣6ax＝3（ax2﹣2ax） ‎ C．m3﹣m＝m（m﹣1）（m+1） D．x2+2xy﹣y2＝（x﹣y）2‎ ‎3．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）向右平移3个单位长度后的坐标为（　　）‎ A．（3，6） B．（1，3） C．（1，6） D．（6，6）‎ ‎4．若关于x的不等式（m﹣1）x＞m﹣1的解集是x＜1，则m的取值范围是（　　）‎ A．m≠1 B．m＞1 ‎ C．m＜1 D．m为任何实数 ‎5．内角和为1800°的多边形是（　　）‎ A．十二边形 B．十边形 C．八边形 D．七边形 ‎6．下列各式从左到右的变形，一定正确的是（　　）‎ A．＝﹣ ‎ B．＝ ‎ C．＝ ‎ D．＝‎ ‎7．若解关于x的分式方程＝1时出现了增根，则m的值为（　　）‎ A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2‎ ‎8．如图，菱形ABCD边长为5cm，P为对角线BD上一点，PH⊥AB于点H，且PH＝2cm，则△PBC的面积为（　　）cm2．‎ A．8 B．7 C．6 D．5‎ ‎9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，CD∥AB交BD于点D，已知∠ACB＝34°，则∠D的度数为（　　）‎ A．30° B．28° C．26° D．34°‎ ‎10．如图，若一次函数y＝﹣2x+b的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（0，4），则不等式﹣2x+b＜0的解集为（　　）‎ A．x＞2 B．x＜2 C．x＜4 D．x＞4‎ 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）‎ ‎11．若x2+mx+＝（x﹣）2，则m＝　 　．‎ ‎12．若分式的值为0，则x＝　 　．‎ ‎13．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC边上任意一点，作BD的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F．连接DE、DF，当BC＝1时，△ADE与△CDF的周长之和为　 　．‎ ‎14．如图，▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，AE⊥BC于E，F为边CD上一动点，连接AF、EF，点G，H分别为AF、EF的中点，则GH的长为　 　．‎ 三、计算下列各题（第15题每小题12分，第16题8分，共20分）‎ ‎15．（1）解不等式组：；‎ ‎（2）解分式方程：＝﹣3．‎ ‎16．先化简，再求值：÷（x﹣1﹣），其中x＝﹣2．‎ 四、解答题（17、18，19每小题8分、20题10分，共34分）‎ ‎17．△ABC在平面直角坐标系中如图：‎ ‎（1）画出将△ABC绕点O逆时针旋转90°所得到的△A1B1C1，并写出A1点的坐标；‎ ‎（2）画出△A1B1C1关于原点成中心对称的△A2B2C2，并直接写出△AA1A2的面积．‎ ‎18．如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE＝CF，DF＝BE ‎，且DF∥BE．‎ ‎（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；‎ ‎（2）若∠CEB＝2∠EBA，BE＝3，EF＝2，求AC的长．‎ ‎19．新冠肺炎疫情期间，成都江安河社区有甲、乙两个医疗用品公司，免费为医院加工同种型号的防护服．甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的1.5倍，两厂各加工600套防护服，甲厂比乙厂要少用4天．求甲、乙两厂每天各加工多少套防护服？‎ ‎20．如图1，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝6cm，BD＝8cm，分别过点B、C作AC与BD的平行线相交于点E．‎ ‎（1）判断四边形BOCE的形状并证明；‎ ‎（2）点G从点A沿射线AC的方向以2cm/s的速度移动了t秒，连接BG，当S△ABG＝2S△OBG时，求t的值．‎ ‎（3）如图2，长度为3cm的线段GH在射线AC上运动，求BG+BH的最小值．‎ 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）‎ ‎21．若x﹣2y＝3，xy＝1，则2x2y﹣4xy2＝　 　．‎ ‎22．若关于x的分式方程＝的解为非负数，则实数a的取值范围是　 　．‎ ‎23．已知关于x的不等式组有且只有2个整数解，且a为整数，则a的值为　 　‎ ‎．‎ ‎24．如图，正方形ABCD边长为2，F为BC上一动点，作DE⊥AF于E，连接CE．当△CDE是以CD为腰的等腰三角形时，DE的长为　 　．‎ ‎25．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，E为BC边上一动点，作EF⊥AE，且EF＝AE．连接DF，AF．当DF⊥EF时，△ADF的面积为　 　．‎ 二、解答题（26题8分，27题10分，28题12分，共30分）‎ ‎26．某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表：‎ A种产品 B种产品 成本（万元/件）‎ ‎2‎ ‎5‎ 利润（万元/件）‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎（1）若工厂计划获利14万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？‎ ‎（2）若工厂计划投入资金不多于35万元，且获利多于14万元，问工厂有哪几种生产方案？‎ ‎（3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润．‎ ‎27．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，以B为顶点的等腰Rt△BEF绕点B旋转，连接AF与CE相交于点G，连接DG．‎ ‎（1）求证：CE⊥AF；‎ ‎（2）求证：AG+CG＝DG；‎ ‎（3）连接CF，当EG：AG：FG＝l：2：5，且S正方形ABCD＝100时，求DG的长和△BCF 的面积．‎ ‎28．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB：y＝﹣x+3与直线CD：y＝kx﹣2相交于点M （4，a），分别交坐标轴于点A、B、C、D，点P是线段CD延长线上的一个点，△PBM的面积为15．‎ ‎（1）求直线CD解析式和点P的坐标；‎ ‎（2）在（1）的条件下，平面直角坐标系内存在点N，使得以点B、N，M、P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标；‎ ‎（3）如图2，当点P为直线CD上的一个动点时，将BP绕点B逆时针旋转90°得到BQ，连接PQ与OQ．点Q随着点P的运动而运动，请求出点Q运动所形成直线的解析式，以及OQ的最小值．‎ 参考答案 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1．下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据中心对称图形和轴对称图形对各选项分析判断即可得解．‎ 解：A、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；‎ B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；‎ C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；‎ D、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意．‎ 故选：D．‎ ‎2．下列多项式分解因式正确的是（　　）‎ A．a2﹣2a﹣3＝a（a﹣2）﹣3 B．3ax2﹣6ax＝3（ax2﹣2ax） ‎ C．m3﹣m＝m（m﹣1）（m+1） D．x2+2xy﹣y2＝（x﹣y）2‎ ‎【分析】直接利用十字相乘法以及公式法分别分解因式得出答案．‎ 解：A、a2﹣2a﹣3＝a（a﹣2）﹣3，不符合因式分解的定义，故此选项错误；‎ B、3ax2﹣6ax＝3ax（x﹣2），故此选项错误；‎ C、m3﹣m＝m（m﹣1）（m+1），正确；‎ D、x2+2xy﹣y2，无法运用完全平方公式分解因式，故此选项错误；‎ 故选：C．‎ ‎3．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）向右平移3个单位长度后的坐标为（　　）‎ A．（3，6） B．（1，3） C．（1，6） D．（6，6）‎ ‎【分析】让横坐标加3，纵坐标不变即可得到所求的坐标．‎ 解：平移后的横坐标为﹣2+3＝1，‎ 纵坐标为3，‎ ‎∴点P（﹣2，3）向右平移3个单位长度后的坐标为（1，3），‎ 故选：B．‎ ‎4．若关于x的不等式（m﹣1）x＞m﹣1的解集是x＜1，则m的取值范围是（　　）‎ A．m≠1 B．m＞1 ‎ C．m＜1 D．m为任何实数 ‎【分析】根据不等式的基本性质3，两边都除以m﹣1后得到x＜1，可知m﹣1＜0，解之可得．‎ 解：∵将不等式（m﹣1）x＞m﹣1两边都除以（m﹣1），得x＜1，‎ ‎∴m﹣1＜0，‎ 解得：m＜1，‎ 故选：C．‎ ‎5．内角和为1800°的多边形是（　　）‎ A．十二边形 B．十边形 C．八边形 D．七边形 ‎【分析】首先设这个多边形是n边形，然后根据题意得：（n﹣2）×180＝1800，解此方程即可求得答案．‎ 解：设这个多边形是n边形，‎ 根据题意得：（n﹣2）×180＝1800，‎ 解得：n＝12．‎ 故这个多边形是十二边形．‎ 故选：A．‎ ‎6．下列各式从左到右的变形，一定正确的是（　　）‎ A．＝﹣ ‎ B．＝ ‎ C．＝ ‎ D．＝‎ ‎【分析】根据分式的基本性质对各个选项进行判断．‎ 解：A、，故A错误；‎ B、分子、分母同时扩大10倍，结果不变，则，故B错误；‎ C、a＝1，b＝2时，此时原式不成立，故C错误；‎ D、分子、分母都除以a+3，值不变，故D正确．‎ 故选：D．‎ ‎7．若解关于x的分式方程＝1时出现了增根，则m的值为（　　）‎ A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2‎ ‎【分析】由分式方程的最简公分母为x﹣2，且分式方程有增根知增根为x＝2，将x＝2代入去分母后所得整式方程，解之可得答案．‎ 解：方程两边都乘以x﹣2，得：2x+m＝x﹣2，‎ ‎∵分式方程有增根，‎ ‎∴分式方程的增根为x＝2，‎ 将x＝2代入2x+m＝x﹣2，得：4+m＝0，‎ 解得m＝﹣4，‎ 故选：A．‎ ‎8．如图，菱形ABCD边长为5cm，P为对角线BD上一点，PH⊥AB于点H，且PH＝2cm，则△PBC的面积为（　　）cm2．‎ A．8 B．7 C．6 D．5‎ ‎【分析】利用菱形的对角线平分对角和角平分线的性质得到点P到BC边的距离＝PH，然后由三角形的面积公式解答．‎ 解：如图，过点P作PM⊥BC于点M．‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，BD是对角线，‎ ‎∴直线BD平分∠ABC．‎ 又∵PH⊥AB，‎ ‎∴PH＝PM＝2cm．‎ ‎∴S△PBC＝BC•PH＝×5×2＝5（cm2）．‎ 故选：D．‎ ‎9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，CD∥AB交BD于点D，已知∠ACB＝34°，则∠D的度数为（　　）‎ A．30° B．28° C．26° D．34°‎ ‎【分析】先由三角形内角和定理求得∠ABC，再由角平分线定义求得∠ABD，最后由平行线的性质求得∠D．‎ 解：∵∠BAC＝90°，∠ACB＝34°，‎ ‎∴∠ABC＝180°﹣90°﹣34°＝56°，‎ ‎∵BD平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABD＝∠ABC＝28°，‎ ‎∵CD∥AB，‎ ‎∴∠D＝∠ABD＝28°，‎ 故选：B．‎ ‎10．如图，若一次函数y＝﹣2x+b的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（0，4），则不等式﹣2x+b＜0的解集为（　　）‎ A．x＞2 B．x＜2 C．x＜4 D．x＞4‎ ‎【分析】首先把A点坐标代入一次函数解析式，算出b的值，进而可求出B点坐标，再结合图象可得不等式﹣2x+b＜0的解集．‎ 解：∵一次函数y＝﹣2x+b的图象过A（0，4），‎ ‎∴b＝4，‎ ‎∴函数解析式为y＝﹣2x+4，‎ 当y＝0时，x＝2，‎ ‎∴B（2，0），‎ ‎∴不等式﹣2x+b＜0的解集为x＞2，‎ 故选：A．‎ 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）‎ ‎11．若x2+mx+＝（x﹣）2，则m＝　﹣3　．‎ ‎【分析】已知等式右边利用完全平方公式化简，再利用多项式相等的条件确定出m的值即可．‎ 解：x2+mx+＝（x﹣）2＝x2﹣3x+，‎ 则m＝﹣3．‎ 故答案为：﹣3．‎ ‎12．若分式的值为0，则x＝　﹣2　．‎ ‎【分析】利用分式值为零的条件进行计算即可．‎ 解：由题意得：x（x+2）＝0且x≠0，‎ 解得：x＝﹣2，‎ 故答案为：﹣2．‎ ‎13．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC边上任意一点，作BD的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F．连接DE、DF，当BC＝1时，△ADE与△CDF 的周长之和为　2+　．‎ ‎【分析】由等腰直角三角形的性质得出AC＝BC＝1，AB＝BC＝，由线段垂直平分线的性质得出BE＝DE，BF＝DF，即可得出△ADE与△CDF的周长之和．‎ 解：∵△ABC是等腰直角三角形，‎ ‎∴AC＝BC＝1，AB＝BC＝，‎ ‎∵EF是BD的垂直平分线，‎ ‎∴BE＝DE，BF＝DF，‎ ‎∵△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+BE+AE＝AD+AB，△CDF的周长＝CD+CF+DF＝CD+CF+BF＝CD+BC，‎ ‎∴△ADE与△CDF的周长之和＝AD+AB+CD+BC＝AC+AB+BC＝2+；‎ 故答案为：2+．‎ ‎14．如图，▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，AE⊥BC于E，F为边CD上一动点，连接AF、EF，点G，H分别为AF、EF的中点，则GH的长为　　．‎ ‎【分析】根据含30°的直角三角形的性质得出AE，进而利用三角形中位线得出GH即可．‎ 解：∵∠B＝60°，AB＝4，AE⊥BC于E，‎ ‎∴AE＝2，‎ ‎∵点G，H分别为AF、EF的中点，‎ ‎∴GH＝，‎ 故答案为：．‎ 三、计算下列各题（第15题每小题12分，第16题8分，共20分）‎ ‎15．（1）解不等式组：；‎ ‎（2）解分式方程：＝﹣3．‎ ‎【分析】（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．‎ ‎（2）关键解分式方程的步骤解答即可．‎ 解：（1），‎ 解不等式①，得x≥﹣1，‎ 解不等式②，得x＜3，‎ 所以原不等式组的解集为﹣1≤x＜3；‎ ‎（2）＝﹣3，‎ 方程两边同乘x﹣2，得：1＝x﹣1﹣3（x﹣2），‎ 解这个方程，得：x＝2，‎ 因为分式的分母x﹣2≠0，‎ 所以x＝2是原分式方程的增根，原分式方程无解．‎ ‎16．先化简，再求值：÷（x﹣1﹣），其中x＝﹣2．‎ ‎【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解，则约分得到原式＝，然后把x的值代入计算即可．‎ 解：原式＝÷‎ ‎＝•‎ ‎＝，‎ 当x＝﹣2时，原式＝＝．‎ 四、解答题（17、18，19每小题8分、20题10分，共34分）‎ ‎17．△ABC在平面直角坐标系中如图：‎ ‎（1）画出将△ABC绕点O逆时针旋转90°所得到的△A1B1C1，并写出A1点的坐标；‎ ‎（2）画出△A1B1C1关于原点成中心对称的△A2B2C2，并直接写出△AA1A2的面积．‎ ‎【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A1、B1、C1即可；‎ ‎（2）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标，然后描点得到△A2B2C2，再利用等腰直角三角形的性质计算△AA1A2的面积．‎ 解：（1）如图，△A1B1C1为所作，A1点的坐标为（﹣3，2）；‎ ‎（2）如图，△A2B2C2为所作；‎ ‎△AA1A2的面积＝×（）2＝13．‎ ‎18．如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE＝CF，DF＝BE，且DF∥BE．‎ ‎（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；‎ ‎（2）若∠CEB＝2∠EBA，BE＝3，EF＝2，求AC的长．‎ ‎【分析】（1）证△ADF≌△CBE（SAS），得到AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，证出AD∥CB，即可得到结论；‎ ‎（2）证∠EAB＝∠EBA，得出AE＝BE＝3，则CF＝AE＝3，即可得出答案．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AE＝CF，‎ ‎∴AE+EF＝CF+EF，‎ 即AF＝CE，‎ ‎∵DF∥BE，‎ ‎∴∠DFA＝∠BEC，‎ 在△ADF和△CBE中，，‎ ‎∴△ADF≌△CBE（SAS），‎ ‎∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，‎ ‎∴AD∥CB，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形；‎ ‎（2）解：∵∠CEB＝∠EBA+∠EAB＝2∠EBA，‎ ‎∴∠EAB＝∠EBA，‎ ‎∴AE＝BE＝3，‎ ‎∴CF＝AE＝3，‎ ‎∴AC＝AE+EF+CF＝3+2+3＝8．‎ ‎19．新冠肺炎疫情期间，成都江安河社区有甲、乙两个医疗用品公司，免费为医院加工同种型号的防护服．甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的1.5倍，两厂各加工600套防护服，甲厂比乙厂要少用4天．求甲、乙两厂每天各加工多少套防护服？‎ ‎【分析】设乙厂每天加工x套防护服，则甲厂每天加工1.5x套防护服，根据“两厂各加工600套防护服，甲厂比乙厂要少用4天”列出方程并解答．‎ 解：设乙厂每天加工x套防护服，则甲厂每天加工1.5x套防护服，‎ 根据题意，得﹣＝4，‎ 解得x＝50，‎ 经检验：x＝50是所列方程的解，‎ 则1.5x＝75．‎ 答：甲厂每天加工75套防护服，乙厂每天加工50套防护服．‎ ‎20．如图1，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝6cm，BD＝8cm，分别过点B、C作AC与BD的平行线相交于点E．‎ ‎（1）判断四边形BOCE的形状并证明；‎ ‎（2）点G从点A沿射线AC的方向以2cm/s的速度移动了t秒，连接BG，当S△ABG＝2S△OBG时，求t的值．‎ ‎（3）如图2，长度为3cm的线段GH在射线AC上运动，求BG+BH的最小值．‎ ‎【分析】（1）结论：四边形BOCE是矩形．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可．‎ ‎（2）分两种情形构建方程求解即可．‎ ‎（3）如图2中，设OG＝x，则BG+BH＝+，欲求BG+BH的最小值，相当于在x轴上找一点P（x，0），使得点P（x，0）到A（0，4和B（3，4）的距离最小，如图3中，利用轴对称解决最值问题即可．‎ 解：（1）结论：四边形BOCE是矩形．‎ 理由：∵BE∥OC，EC∥OB，‎ ‎∴四边形OBEC是平行四边形，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AC⊥BD，‎ ‎∴∠BOC＝90°，‎ ‎∴四边形BOCE是矩形．‎ ‎（2）如图2中，∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴OA＝OC＝3cm，OB＝OD＝4cm，‎ ‎∵S△ABG＝2S△OBG，‎ ‎∴AG＝2OG，‎ ‎∴2t＝2（3﹣2t）或2t＝2（2t﹣3），‎ 解得t＝1或t＝3，‎ ‎∴满足条件的t的值为1或3．‎ ‎（3）如图2中，设OG＝x，则BG+BH＝+，‎ 欲求BG+BH的最小值，相当于在x轴上找一点P（x，0），使得点P（x，0）到A（0，4和B（3，4）的距离最小，如图3中，‎ 作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于P，连接BP，此时PA+PB的值最小，‎ ‎∵A（0，4），B′（3，﹣4），‎ ‎∴AP+PB＝AP+PB′＝AB′＝＝，‎ ‎∴BG+BH的最小值为．‎ 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）‎ ‎21．若x﹣2y＝3，xy＝1，则2x2y﹣4xy2＝　6　．‎ ‎【分析】原式提取公因式，把已知等式代入计算即可求出值．‎ 解：∵x﹣2y＝3，xy＝1，‎ ‎∴原式＝2xy（x﹣2y）＝2×1×3＝6．‎ 故答案为：6．‎ ‎22．若关于x的分式方程＝的解为非负数，则实数a的取值范围是　a≥且a≠4　．‎ ‎【分析】表示出分式方程的解，由解为非负数确定出a的范围即可．‎ 解：去分母得：6x﹣3a＝x﹣2，‎ 解得：x＝，‎ 由分式方程的解为非负数，得到≥0，且≠2，‎ 解得：a≥且a≠4．‎ 故答案为：a≥且a≠4．‎ ‎23．已知关于x的不等式组有且只有2个整数解，且a为整数，则a的值为　5　．‎ ‎【分析】解不等式组得出其解集为3≤x＜a，根据不等式组只有2个整数解知4＜a≤5，结合a为整数可得答案．‎ 解：解不等式x﹣a＜0，得：x＜a，‎ 解不等式9﹣2x≤3，得：x≥3，‎ 则不等式组的解集为3≤x＜a，‎ ‎∵不等式组只有2个整数解，‎ ‎∴不等式组的整数解为3和4，‎ 则4＜a≤5，‎ 又a为整数，‎ ‎∴a＝5，‎ 故答案为：5．‎ ‎24．如图，正方形ABCD边长为2，F为BC上一动点，作DE⊥AF于E，连接CE．当△CDE 是以CD为腰的等腰三角形时，DE的长为　　．‎ ‎【分析】作辅助线，构建全等三角形，先确定当△CDE是以CD为腰的等腰三角形时，只存在一种情况：CD＝CE，由等腰三角形三线合一得DG＝EG，证明△AED≌△DGC（AAS），AE＝DG＝DE，设AE＝x，则DE＝2x，在Rt△AED中，由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，列方程可得结论．‎ 解：过C作CG⊥DE于G，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AD＝CD，∠ADC＝90°，‎ ‎∵DE⊥AF，‎ ‎∴∠AED＝90°，‎ ‎∴AD＞DE，‎ ‎∴CD＞DE，‎ 当△CDE是以CD为腰的等腰三角形时，只能CD＝CE，‎ ‎∵CG⊥DE，‎ ‎∴EG＝DG＝DE，‎ ‎∵∠ADE+∠CDG＝∠ADE+∠DAE＝90°，‎ ‎∴∠CDG＝∠DAE，‎ ‎∵∠AED＝∠CGD＝90°，‎ ‎∴△AED≌△DGC（AAS），‎ ‎∴AE＝DG＝DE，‎ 设AE＝x，则DE＝2x，‎ 在Rt△AED中，由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，‎ ‎∵AD＝2，‎ ‎∴x2+（2x）2＝22，‎ 解得：x＝，‎ ‎∵x＞0，‎ ‎∴x＝，‎ ‎∴DE＝2x＝，‎ 故答案为：．‎ ‎25．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，E为BC边上一动点，作EF⊥AE，且EF＝AE．连接DF，AF．当DF⊥EF时，△ADF的面积为　3﹣　．‎ ‎【分析】作辅助线，构建全等三角形和矩形，利用面积法可得AE的长，根据勾股定理可得BE的长，设AE＝x，证明△ABE≌△EQF（AAS），得FQ＝BE＝，最后根据三角形面积公式可得结论．‎ 解：如图，过D作DH⊥AE于H，过E作EM⊥AD于M，连接DE，‎ ‎∵EF⊥AE，DF⊥EF，‎ ‎∴∠DHE＝∠HEF＝∠DFE＝90°，‎ ‎∴四边形DHEF是矩形，‎ ‎∴DH＝EF＝AE，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠B＝∠BAD＝90°，‎ ‎∵∠AME＝90°，‎ ‎∴四边形ABEM是矩形，‎ ‎∴EM＝AB＝2，‎ 设AE＝x，‎ 则S△ADE＝，‎ ‎∴3×2＝x2，‎ ‎∴x＝±，‎ ‎∵x＞0，‎ ‎∴x＝，‎ 即AE＝，‎ 由勾股定理得：BE＝＝，‎ 过F作PQ∥CD，交AD的延长线于P，交BC的延长线于Q，‎ ‎∴∠Q＝∠ECD＝∠B＝90°，∠P＝∠ADC＝90°，‎ ‎∵∠BAE+∠AEB＝∠AEF＝∠AEB+∠FEQ＝90°，‎ ‎∴∠FEQ＝∠BAE，‎ ‎∵AE＝EF，∠B＝∠Q＝90°，‎ ‎∴△ABE≌△EQF（AAS），‎ ‎∴FQ＝BE＝，‎ ‎∴PF＝2﹣，‎ ‎∴S△ADF＝＝＝3﹣．‎ 二、解答题（26题8分，27题10分，28题12分，共30分）‎ ‎26．某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表：‎ A种产品 B种产品 成本（万元/件）‎ ‎2‎ ‎5‎ 利润（万元/件）‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎（1）若工厂计划获利14万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？‎ ‎（2）若工厂计划投入资金不多于35万元，且获利多于14万元，问工厂有哪几种生产方案？‎ ‎（3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润．‎ ‎【分析】（1）设生产A种产品x件，则生产B种产品有（10﹣x）件，根据计划获利14万元，即两种产品共获利14万元，即可列方程求解；‎ ‎（2）根据计划投入资金不多于35万元，且获利多于14万元，这两个不等关系即可列出不等式组，求得x的范围，再根据x是非负整数，确定x的值，x的值的个数就是方案的个数；‎ ‎（3）得出利润y与A产品数量x的函数关系式，根据增减性可得，B产品生产越多，获利越大，因而B取最大值时，获利最大，据此即可求解．‎ 解：（1）设生产A种产品x件，则生产B种产品（10﹣x）件，‎ 依题意得：x+3（10﹣x）＝14，‎ 解得 x＝8，‎ 则10﹣x＝2，‎ 答：生产A产品8件，生产B产品2件；‎ ‎（2）设生产A产品y件，则生产B产品（10﹣y）件 ‎，‎ 解得：5≤y＜8．‎ 因为x为正整数，故x＝5，6或7；‎ 方案①，A种产品5件，则B种产品5件；‎ 方案②，A种产品6件，则B种产品4件；‎ 方案③，A种产品7件，则B种产品3件，‎ ‎（3）设A种产品x件时，获得的利润为W万元，则 W＝x+3（10﹣x）＝﹣2x+30，‎ 因为﹣2＜0，所以W随x的增大而减小，‎ 所以，当x＝5时，W取得最大值为20，‎ 所以，生产方案①获利最大，最大利润为20万元．‎ ‎27．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，以B为顶点的等腰Rt△BEF绕点B旋转，连接AF与CE相交于点G，连接DG．‎ ‎（1）求证：CE⊥AF；‎ ‎（2）求证：AG+CG＝DG；‎ ‎（3）连接CF，当EG：AG：FG＝l：2：5，且S正方形ABCD＝100时，求DG的长和△BCF的面积．‎ ‎【分析】（1）证明△FBA≌△EBC（SAS）即可解决问题．‎ ‎（2）过点D作DM⊥GA的延长线于M，过点D作DN⊥CG于N．证明△DMA≌△DNC（AAS），推出DM＝DN，AM＝CN，推出四边形DMGN是正方形，可得结论．‎ ‎（3）可以假设EG＝k，AG＝2k，FG＝5k，利用勾股定理求出k，求出CG，EB，过点F作FK⊥CB交CB的延长线于K，过点E作EH⊥CK于H．设EH＝x，BH＝y，利用勾股定理构建方程组求出x，y即可解决问题．‎ ‎【解答】（1）证明：设AF交BE于J．‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴BA＝BC，∠ABC＝90°，‎ ‎∵△EBF是等腰直角三角形，‎ ‎∴BE＝BF，∠EBF＝∠ABC＝90°，‎ ‎∴∠FBA＝∠EBC，‎ ‎∴△FBA≌△EBC（SAS），‎ ‎∴∠AFB＝∠BEC，‎ ‎∵∠FJB＝∠EJG，‎ ‎∴∠EGJ＝∠FBJ＝90°，‎ ‎∴CE⊥AF．‎ ‎（2）证明：如图，过点D作DM⊥GA的延长线于M，过点D作DN⊥CG于N．‎ ‎∵∠M＝∠MGN＝∠DNG＝90°，‎ ‎∴四边形DMGN是矩形，‎ ‎∴∠DMN＝∠ADC＝90°，‎ ‎∴∠ADM＝∠CDN，‎ ‎∵∠M＝∠DNC＝90°，DA＝DC，‎ ‎∴△DMA≌△DNC（AAS），‎ ‎∴DM＝DN，AM＝CN，‎ ‎∴四边形DMGN是正方形，‎ ‎∴GM＝GN＝DM＝DN，‎ ‎∴AG+CG＝GM﹣AM+GN﹣CN＝2GM，‎ ‎∵DG＝GM，‎ ‎∴AG+CG＝DG．‎ ‎（3）解：∵EG：AG：FG＝l：2：5，‎ ‎∴可以假设EG＝k，AG＝2k，FG＝5k，‎ ‎∵△FBA≌△EBC，‎ ‎∴EC＝AF＝7k，CG＝6k，‎ ‎∵正方形ABCD的面积为100，‎ ‎∴AB＝BC＝10，‎ ‎∵∠ABC＝90°，‎ ‎∴AC＝＝＝10，‎ ‎∵∠AGC＝90°，‎ ‎∴AG2+CG2＝AC2，‎ ‎∴4k2+36k2＝200，‎ ‎∴k＝（负根已经舍弃），‎ ‎∴AG＝2，CG＝6，‎ ‎∵AG+CG＝DG，‎ ‎∴DG＝4，‎ 过点F作FK⊥CB交CB的延长线于K，过点E作EH⊥CK于H．设EH＝x，BH＝y，‎ ‎∵EF＝＝，‎ ‎∴EB＝BF＝EF＝，‎ 由勾股定理可知，解得，‎ ‎∵∠FKB＝∠EHB＝90°，∠FBK＝∠BEH，BE＝BF，‎ ‎∴△FKB≌△BHE（AAS），‎ ‎∴FK＝BH＝4，‎ ‎∴S△BFC＝•BC•FK＝20．‎ ‎28．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB：y＝﹣x+3与直线CD：y＝kx﹣2相交于点M （4，a），分别交坐标轴于点A、B、C、D，点P是线段CD延长线上的一个点，△PBM的面积为15．‎ ‎（1）求直线CD解析式和点P的坐标；‎ ‎（2）在（1）的条件下，平面直角坐标系内存在点N，使得以点B、N，M、P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标；‎ ‎（3）如图2，当点P为直线CD上的一个动点时，将BP绕点B逆时针旋转90°得到BQ ‎，连接PQ与OQ．点Q随着点P的运动而运动，请求出点Q运动所形成直线的解析式，以及OQ的最小值．‎ ‎【分析】（1）PBM的面积＝S△BDM+S△BDP＝×BD×（xM﹣xP）＝×（3+2）（4﹣xP）＝15，即可求解；‎ ‎（2）分PB为边、PB为对角线两种情况，分别求解即可；‎ ‎（3）证明△BGP≌△QHB（AAS），求出点Q（5﹣m，3+m），当OQ⊥SR时，OQ最小，即可求解．‎ 解：（1）将点M的坐标代入y＝﹣x+3并解得：a＝1，故点M（4，1），‎ 将点M的坐标代入y＝kx﹣2并解得：k＝，‎ 故直线CD的表达式为：y＝x﹣2，则点D（0，﹣2），‎ PBM的面积＝S△BDM+S△BDP＝×BD×（xM﹣xP）＝×（3+2）（4﹣xP）＝15，‎ 解得：xP＝﹣2，故点P（﹣2，﹣）；‎ ‎（2）设点N（m，n），而点P、B、M的坐标分别为（﹣2，﹣）、（0，3）、（4，1）；‎ 当PB为边时，‎ 点P向右平移2个单位向上平移个单位得到点B，同样点M（N）向右平移2个单位向上平移个单位得到点N（M），‎ 故4±2＝m，1±＝n，‎ 解得：m＝6或2，n＝或﹣；‎ 故点N的坐标为（6，）或（2，﹣）；‎ 当PB为对角线时，‎ 由中点公式得：﹣2+0＝m+4，﹣+3＝n+1，‎ 解得：m＝﹣6，n＝﹣，故点N（﹣6，﹣1.5）；‎ 综上，点N的坐标为（6，7.5）或（2，﹣5.5）或（﹣6，﹣1.5）；‎ ‎（3）如下图，分别过点P、Q作y轴的垂线，垂足为G、H，‎ 设点P（m，m﹣2），‎ ‎∵∠HQB+∠HBQ＝90°，∠HBQ+∠GBP＝90°，‎ ‎∴∠HQB＝∠GBP，∠QHB＝∠BGP＝90°，‎ BP＝BQ，‎ ‎∴△BGP≌△QHB（AAS），‎ ‎∴HQ＝GB，HB＝GP＝m，‎ 故HQ＝BG＝3﹣（m﹣2）＝5﹣m，OH＝OB+BH＝m+3，‎ 故点Q（5﹣m，3+m），‎ 令x＝5﹣m，y＝3+m，‎ 则y＝﹣x+，设该直线与坐标轴的交点分别为R、S，则R（，0）、S（0，），‎ 即OR＝，OS＝，‎ 当OQ⊥SR时，OQ最小，‎ 则S△ORS＝×OR×OS＝×OQ×SR，‎ 即×＝OQ×，‎ 解得：OQ＝，‎ 即OQ的最小值为．‎