新人教版八年级数学上册全册精品教案（共198页）

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第十一章 三角形 ‎11.1 与三角形有关的线段 ‎11.1.1‎‎ 三角形的边 ‎【知识与技能】‎ ‎1.掌握三角形的定义及相关概念.‎ ‎2.掌握等腰三角形、等边三角形、不等边三角形的定义，掌握三角形按边分类的方法.‎ ‎3.掌握三角形三边关系定理.‎ ‎【过程与方法】‎ 通过具体的图形学习三角形、等边三角形、不等边三角形的定义，运用“两点之间，线段最短”推导出三角形三边关系定理.‎ ‎【情感态度】‎ 通过求三角形的边长时必须注意三角形的三边关系，训练学生思维的严密性.‎ ‎【教学重点】‎ 三角形的三边关系.‎ ‎【教学难点】‎ 三角形三边关系的运用.‎ 一、 情境导入，初步认识 问题1 画一个三角形，结合图形探究三角形的定义及相关概念.‎ 问题2 出示等边三角形、等腰三角形、不等边三角形探究等边三角形、等腰三角形、不等边三角形定义及概念.‎ 问题3 如图，利用“两点之间，线段最短”探究AB、AC、BC之间的关系.‎ 197‎ ‎【教学说明】全班同学合作交流，共同完成上面三个问题，教师巡回指导，必要时给予个别指导或集体指导，在全班同学基本完成的情况下，针对问题3进行重点讲解.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.‎ 二、思考探究，获取新知 思考 1.三角形按边怎样分类？‎ ‎2.三角形的三边关系是怎样的.‎ ‎3.已知三条线段，怎样判断它们能否围成三角形？‎ ‎【归纳结论】 1.主要定义：‎ 三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.‎ 等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.‎ 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.‎ 不等边三角形：三边都不相等的三角形叫做不等边三角形.‎ ‎2.三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边.‎ ‎3.已知三条线段，可用如下简易方法判断它们能否围成三角形：若两条较短边的和大于最长边，则能围成三角形，否则不能.‎ ‎4.已知三角形两边长a，b，第三边长为x，则x的取值范围是a-b＜x＜a+b(a≥b).‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.以下列长度的三条线段为边，哪些可以构成一个三角形，哪些不能构成一个三角形？‎ ‎（1）6，8，10；（2）3，8，11；‎ ‎（3）3，4，11；（4）三条线长度之比4：6：7‎ ‎2.等腰△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，连CD，若CD将△ABC周长分成19和8两部分，求△ABC的腰长及底边的长.‎ ‎【教学说明】可由学生抢答完成，再由教师总结归纳.‎ ‎【答案】略.‎ 四、师生互动，课堂小结 请若干同学口头小结，之后将小结放映在屏幕上.‎ ‎1.布置作业：从教材“习题‎11.1”‎中选取.‎ ‎2.完成练习册中本课时的练习.‎ 197‎ 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历观察、实验、归纳、类比、直觉、数据处理等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法，同时升华学生的情感、态度和价值观.‎ ‎11.1.2 三角形的高、中线与角平分线 ‎【知识与技能】‎ ‎1.掌握三角形的高、中线与角平分线定义.‎ ‎2.会画三角形的高、中线与角平分线.‎ ‎3.掌握三角形的三条高线、三条中线与三条角平分线的有关性质.‎ ‎【过程与方法】‎ 对学生进行操作训练，边训练边讲解，然后学以致用.‎ ‎【情感态度】‎ 训练同学们动手操作的能力，提高学习兴趣.‎ ‎【教学重点】‎ 画三角形的高线、中线与角平分线.‎ ‎【教学难点】‎ 画钝角三角形的高线.‎ 一、情境导入，初步认识 问题1 如图，已知△ABC，画它的三条高.‎ 问题2 如图，已知△ABC，画它的三条中线.‎ 197‎ 问题3如图，已知△ABC，画它的三条角平分线.‎ ‎【教学说明】对问题1，对于钝角三角形的作高要给予集体指导、分类指导，甚至要进行个别指导，以便让绝大部分同学过关.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.‎ 二、思考探究，获取新知 思考 1.锐角三角形的三条高、直角三角形的三条高、钝角三角形的三条高的位置有何不同之处？‎ ‎2.三角形的三条高、三条中线、三条角平分线各自有怎样的位置关系？‎ ‎3.三角形的角平分线与角的平分线有什么区别和联系？‎ ‎【归纳结论】1.定义：‎ 三角形的高：从三角形的一个顶点向对边所在的直线作垂线，所得的垂线段叫做三角形的一条高.‎ 三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的一条中线.‎ 三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与对边相交；以这个顶点和交点为端点的线段叫做三角形的角平分线.‎ ‎2.三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点有时在形内，有时在直角顶点上，有时在形外；三角形的三条中线交于一点；三角形的三条角平分线交于一点.‎ ‎3.三角形的角平分线与角的平分线的区别是：三角形的角平分线是线段，而角的平分线是一条射线；它们的联系是都是平分角.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.如图，AD是△ABC的中线；BE是△ABC的角平分线，CF是△ABC的高，填空：‎ ‎（1）BD= = ；‎ 197‎ ‎（2）∠ABE=∠ =∠ ；‎ ‎（3）∠ =∠ =90°.‎ ‎2.如图，△ABC中，∠A是钝角.‎ ‎（1）画出AC、AB上的高BD、CE；‎ ‎（2）画出∠ABC的平分线BF；‎ ‎（3）画出边AB上的中线CG.‎ ‎3.已知，如图，AB⊥BD于B，AC⊥CD于C，且AC与BD交于点E.那么（1）△ADE的边DE上的高为，边AE上的高为 ；（2）若AE=5，DE=2，CD=，则AB= .‎ ‎4.如图所示，等腰△ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长.‎ ‎5.学完“三角形的高、中线与角平分线”后，我们知道“三角形的一条中线将原三角形分成两种相等的两部分”.课后余老师给同学们布置了这样一道思考题：有一块三角形的厚薄均匀的蛋糕，要平均分给6个小朋友，要求只切3刀，请你在图中把你的方案画出来，并说明理由.‎ 197‎ ‎【教学说明】题1、2、3可让学生自主完成，题4、5教师可给予相应的指导 当已知三角形两条高求其他边长或已知一高与其他边长求另一高时，常用面积作为中间量.涉及等腰三角形边的问题时，常要分情况讨论，然后看它们是否满足三边关系，不满足的要舍去.‎ ‎【答案】1.（1）DCBC ‎（2）CBE ABC ‎（3）CFA CFB ‎2.图略.‎ ‎3.AB DC 解析：△ADE是钝角三角形，在三角形外部它有两条高：边DE上的高AB，边AE上的高为DC.又S△ADE=DE·AB=AE·DC，即×2×AB=×5×95，AB=.‎ ‎4.解：设AB=AC=2x,则AD=CD=x.‎ ‎(1)当AB+AD=15，BC+CD=6时，有2x+x=15,所以x=5,2x=10,BC=6-5=1.‎ ‎(2)当BC+CD=15，AB+AD=6时，有2x+x=6.所以x=2,2x=4,所以BC=13.‎ 因为4+4＜13，故不能组成三角形.‎ 所以三角形的腰长为10，底边长为1.‎ ‎5.略.‎ 四、师生互动，课堂小结 三角形的高、中线与角平分线的定义与性质.‎ 请若干名学生口述小结，老师再利用电子课件将小结放映在屏幕上.‎ ‎1.布置作业：从教材“习题‎11.1”‎中选取.‎ ‎2.完成练习册中本课时的练习.‎ 本课时教学以“自主探究——合作交流”‎ 197‎ 为主体形式，先给学生独立思考的时间，提供学生创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会，培养学生独立探究，合作学习的能力。‎ ‎11.1.3 三角形的稳定性 ‎【知识与技能】‎ ‎1.通知过观察、实践、想象、推理、交流等活动，让学生了解三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用.‎ ‎2.培养实事求是的学习作风和学习习惯.‎ ‎【过程与方法】‎ ‎1.通过提问、合作讨论以及小组交流方式探究三角形的稳定性.‎ ‎2.实物演示，激发学习兴趣，活跃课堂气氛.‎ ‎3.探究质疑，总结结果.和学生共同探究三角形稳定性的实例，回答课前提出的疑惑.‎ ‎【情感态度】‎ ‎1.引导学生通过实验探究三角形的稳定性，培养其独立思考的学习习惯和动手能力.‎ ‎2.通过合作交流，养成学生互助合作意识，提高数学交流表达能力.‎ ‎【教学重点】‎ 了解三角形稳定性在生产、生活中的实际应用.‎ ‎【教学难点】‎ 准确使用三角形稳定性于生产生活之中.‎ 一、情境导入，初步认识 课前准备：木条（用硬纸条代替）若干、小钉若干、小黑板.‎ 问题1 工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架，钢架桥，其中道理是什么？‎ 问题2 盖房子时,在窗框未安装好之前.木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条,为什么要这样做呢? 活动挂架为什么做成四边形？‎ 197‎ ‎【教学说明】问题设立要让学生体会三角形在生产和生活中的应用，并引导思考为什么要在这些地方用三角形，另一些地方又要用到四边形.注意接纳学生其他不同的思路.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.‎ 二、思考探究，获取新知 老师演示P6探究内容，也可叫学生亲手实验，通过实际操作加深学生印象，完后请学生们交流讨论后回答得出了什么？教师根据学生们的回答进行简要归纳.‎ ‎【归纳结论】三角形木架形状不会改变，四边形木架形状会改变，这就是说，三角形具有稳定性，四边形没有稳定性.‎ 还可以发现，斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变.这是因为斜钉一根木条后，四边形变成了两个三角形，由于三角形有稳定性，窗框在未安装好之前也不会变形.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.如图，一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定，这里所运用的几何原理是 .‎ ‎2.下列图形中哪些具有稳定性?‎ ‎【教学说明】本节课的内容较少，题目比较简单，在学生独立完成后，要求学生说明理由.‎ ‎【答案】1.三角形具有稳定性.‎ ‎2.（1）（4）（6）中的图形具有稳定性.‎ 197‎ 四、师生互动，课堂小结 三角形具有稳定性，四边形没有稳定性.‎ ‎1.布置作业：从教材“习题‎11.1”‎中选取.‎ ‎2.完成练习册中本课时的练习.‎ 本节课学习三角形稳定性，并板书课题.完成的教学目标是通过观察、实践、想象、推理、小组交流合作，使同学们了解三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用，培养同学们实事求是的学习作风和学习习惯，以及自主学习和独立思考的能力.‎ ‎11.2 与三角形有关的角 ‎11.2.1 三角形的内角 ‎【知识与技能】‎ ‎1.掌握三角形的内角和定理.‎ ‎2.能写出已知、求证，并能用作辅助线的方法证明三角形内角和定理.‎ ‎3.能运用三角形内角和定理进行简单的证明或计算.‎ ‎【过程与方法】‎ 先通过实验得出三角形内角之和等于180°的直观结论，再由此得到启发，用过三角形的一个顶点作平行线的方法证明三角形的内角和定理.最后运用三角形的内角和定理进行简单的证明或计算.‎ ‎【情感态度】‎ 本节课使学生经历了“实验——猜想——证明”的过程，使同学们初步体验了自然科学的一般研究方法，提高了学生研究和学习的兴趣.‎ ‎【教学重点】‎ 本节的重点是三角形的内角和定理.‎ ‎【教学难点】‎ 证明三角形的内角和定理.‎ 197‎ 一、情境导入，初步认识 问题1 在纸上画一个三角形，并将它的内角剪两个下来，与第三个角拼在一起，观察三个角的和是多少？‎ 问题2 怎样证明三角形内角的和等于180°？‎ ‎【教学说明】全班学生分组实验，约8分钟交流成果，得出“三角形的内角和等于180°”这个直观结论.‎ 由实验过程中的拼合过程得到启发，引导同学们运用所学的知识证明“三角形内角和等于180°”.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.‎ 二、思考探究，获取新知 思考 1.对一个命题进行证明的一般格式是怎样的？‎ ‎2.除教材以外还有其它方法证明这个结论吗？‎ ‎3.对一个真命题为什么还要证明呢？‎ ‎【归纳结论】1.对一个命题的证明的一般格式是：（1）画出图形，根据图形写出已知和求证.（2）写出证明过程.‎ ‎2.除教材以外，还可以用如下作辅助线的方法证明三角形的内角和定理.‎ ‎（延长BC至D，过C作CE∥AB）‎ ‎3.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.‎ ‎4.一个命题是否正确，需要经过理由充足，使人信服的推理才能得出结论，这样的推论过程叫做“证明”.观察、试验等是发现规律的重要途径，而证明则是确认规律的必要步骤.‎ ‎5.辅助线在几何证明中发挥巨大的作用，今后我们会经常遇到这个“朋友”.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.如图，AB∥CD，∠C=80°，∠CAD=60°，则∠BAD的度数等于（ ）‎ A.60°‎ B.50°‎ 197‎ C.45°‎ D.40°‎ ‎2.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5，求∠A，∠B，∠C的度数.‎ ‎3.如图，已知△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BD，CE相交于O，∠A=50°，求∠BOC的度数.‎ ‎4.如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，∠B=75°，∠C=45°，求∠DAE与∠AEC的度数.‎ ‎5.如图，AD、CE是△ABC的角平分线，AD、CE交于点O.求证：∠AOC=90°+12∠B.‎ ‎【教学说明】本环节由学生独立思考、自主完成，再进行交流讨论，最后教师给予指导和总结.初学证明，让学生体会证明的逻辑性和严谨性.‎ ‎【答案】1.D ‎2.解：∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5，设∠A=x,∠B=3x,∠C=5x,由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C=x+3x+5x=180°‎ 解得x=20°,则3x=60°,5x=100°,即∠A=20°,∠B=60°,∠C=100°.‎ ‎3.解：由三角形内角和定理有∠B+∠C=180°-∠A=130°，‎ ‎∠BOC=180°-（∠DBC+∠ECB）=180°-（∠B+∠C）=115°.‎ ‎4.解：∠A=180°-∠B-∠C=60°，∠BAE=∠CAE=∠A=30°.‎ 197‎ ‎∠BAD=180°-∠B-∠ADB=15°，则∠DAE=∠BAE-∠BAD=15°.‎ ‎∠AEC=180°-∠C-∠CAE=105°.‎ ‎5.证明：由三角形内角和定理得 ‎∠B+∠A+∠C=180°即∠A+∠C=180°-∠B，‎ ‎∠AOC+∠DAC+∠ECA=180°即∠DAC+∠ECA=180°-∠AOC，‎ 又∠DAC=∠A，∠ECA=∠C ‎∴180°-∠AOC=（180°-∠B）‎ 即∠AOC=90°+∠B 四、师生互动，课堂小结 ‎1.三角形内角和定理：三角形内角和等于180°.‎ ‎2.证明三角形的内角和定理必须作辅助线，也就说要作出平行线，利用平角来证明，一般来说，共有如下四种方法（如图）：‎ ‎（1）构造平角 ‎①如图（1），过点A作直线MN∥BC，有∠1=∠B，∠2=∠C.‎ 而∠1+∠BAC+∠2=∠MAN=180°，‎ 所以∠BAC+∠B+∠C=180°.‎ ‎②如图（2），过BC上一点D作DF∥AB交AC于F，作DE∥AC交AB于E，‎ 则∠1=∠C，∠2=∠B，∠3=∠4=∠A.‎ 所以∠A+∠B+∠C=∠3+∠2+∠1=180°.‎ ‎（2）构造邻补角 如图（3），延长BC到D，作CE∥AB，则∠1=∠A，∠2=∠B.‎ 所以∠A+∠B+∠ACB=∠1+∠2+∠ACB=180°.‎ ‎（3）构造同旁内角 如图（4），过C点作射线CD∥AB，则∠1=∠A，∠B+∠BCA+∠1=180°，‎ 所以∠B+∠BCA+∠A=180°.‎ 197‎ ‎3.作辅助线是几何证明或计算中经常用到的手段，辅助线在解题中具有举足轻重的作用，今后会经常遇到，望同学们仔细体会，辅助线必须画成虚线.‎ ‎1.布置作业：从教材“习题‎11.2”‎中选取.‎ ‎2.完成练习册中本课时的练习.‎ 本课时教学思路按实验、猜想、证明的学习过程，遵循学生的认知规律，充分体现了数学学习的必然性，教学时要始终围绕问题展开，并给学生留下充分的思考时间与空间，形成解决问题的意识与能力.‎ ‎11.2.2 三角形的外角 ‎【知识与技能】‎ ‎1.掌握三角形的外角的定义.‎ ‎2.掌握三角形的外角的三个重要定理.‎ ‎【过程与方法】‎ 先通过画图学习三角形外角的定义，再用上一节学过的证明技术证明“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，再由上面的结论直接推出：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.通过对教材例2的学习，引导学生得出一个重要定理：三角形外角的和等于360°.‎ ‎【情感态度】‎ 经历由已知定理推出新定理的过程使学生了解“推陈出新”的辩证唯物主义世界观.‎ ‎【教学重点】‎ 197‎ 三角形的外角定义及性质.‎ ‎【教学难点】‎ 利用三角形的外角性质解决有关问题.‎ 一、情境导入，初步认识 问题1 画一个三角形，延长三角形的一边，就得到三角形的一个外角，请根据图形探究三角形的外角的定义.‎ 问题2 任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角有怎样的关系？你能发现并证明吗？‎ 问题3 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？‎ ‎【教学说明】学生分组讨论，然后交流成果，对问题2要求学生写出已知、求证，再写出证明过程.这里要重点指导，必要时板书示范.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.‎ 二、思考探究，获取新知 思考 1.一个三角形有几个外角？‎ ‎2.三角形的外角有哪些性质.‎ ‎【归纳结论】1.定义：‎ 三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角.‎ ‎2.一个三角形的每一个顶点处有两个外角，它们是对顶角.为了方便，在每一个顶点处只取一个外角，所以一个三角形共有三个外角.‎ ‎3.三个重要定理 ‎（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；‎ ‎（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角；‎ ‎（注意：这里的不相邻三个字特别重要，不可缺少）.‎ ‎（3）三角形的外角和等于360°.‎ 三、运用新知，深化理解 197‎ ‎1.下列四个图形中，能判断∠1＞∠2的是（）‎ ‎2.如图，∠AOB的两边OA，OB均为平面反光镜，∠AOB=35°，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上的点D反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是（ ）‎ A.35° B.70°‎ C.110° D.120°‎ ‎3.如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角，∠1∶∠2∶∠3=2∶3∶4，求∠1，∠2，∠3的度数.‎ ‎4.五角星ABCDE中,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E等于多少度.‎ ‎5.如图,证明∠1＞∠A.‎ ‎6.如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分，当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角.（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）‎ ‎（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD.‎ ‎（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠‎ 197‎ PAC+PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）‎ ‎（3）当动点P在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论.选择其中一种结论加以证明.‎ ‎【教学说明】教师根据实际情况选取讲解.‎ ‎【答案】1~5略.‎ ‎6.解：（1）解法一：如图（甲），延长BP交直线AC于点E.‎ ‎∵AC∥BD，∴∠PEA=∠PBD，‎ ‎∵∠APB=∠PAE+∠PEA，‎ ‎∴∠APB=∠PAC+∠PBD.‎ 解法二：如图（乙），过点P作FP∥AC，‎ ‎∴∠PAC=∠APF.∵AC∥BD，‎ ‎∴FP∥BD.∴∠FPB=∠PBD.‎ ‎∴∠APB=∠APF+∠FPB=∠PAC+∠PBD.‎ 解法三：如图（丙），‎ ‎∵AC∥BD，‎ ‎∴∠CAB+∠ABD=180°.‎ 即∠PAC+∠PAB+∠PBA+∠PBD=180°.‎ 又∠APB+∠PBA+∠PAB=180°，∴∠APB=∠PAC+∠PBD.‎ 197‎ ‎（2）不成立.‎ ‎（3）（a）当动点P在射线BA的右侧时，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB.‎ ‎（b）当动点P在射线BA上时，‎ 结论是∠PBD=∠PAC+∠APB.‎ 或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD（任写一个即可）.‎ ‎（c）当动点P在射线BA的左侧时，结论是∠PAC=∠APB+∠PBD.‎ 选择（a）证明：如图（丁），连接PA，连接PB交于AC于M.∵AC∥BD，∴∠PMC=∠PBD. ‎ 又∵∠PMC=∠PAM+∠APM，∴∠PBD=∠PAC+∠APB.‎ 选择（b）证明：如图（戊），‎ ‎∵点P在射线BA上，‎ ‎∴∠APB=0°.∵AC∥BD，∴∠PBD=∠PAC.∴∠PBD=∠PAC+∠APB 或∠PAC=∠PBD+∠APB 或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD.‎ 选择（c）证明：如图（巳），连接PA，连接PB交AC于F ‎∵AC∥BD，∴∠PFA=∠PBD.‎ ‎∵∠PAC=∠APF+∠PFA，∴∠PAC=∠APB+∠PBD.‎ 四、师生互动，课堂小结 ‎1.三角形的外角等于和它不相邻两内角的和.‎ ‎2.三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角.‎ 197‎ ‎1.布置作业：从教材“习题‎11.2”‎中选取.‎ ‎2.完成练习册中本课时的练习.‎ 本课时教学应突出学生主体性原则，即通过探究学习，指引学生独立思考，自主得到结果，再让学生相互交流，或上台展示自己的发现，或表述个人的体验，从中获取成功的体验后，激发学生探究的激情.‎ ‎11.3 多边形及其内角和 ‎11.3.1‎‎ 多边形 ‎【知识与技能】‎ ‎1.掌握多边形定义及相关概念.‎ ‎2.了解什么是凸多边形，什么是凹多边形.‎ ‎3.掌握正多边形的定义.‎ ‎【过程与方法】‎ 复习三角形的有关知识，用类比的方法引出多边形的定义及多边形的对角线概念.运用四边形、五边形等简单的多边形作为例子学习对角线、凸多边形、凹多边形等概念，最后学习正多边形的概念.‎ ‎【情感态度】‎ 让学生体验“由特殊到一般”的思维方法，从中体验数学的乐趣.‎ ‎【教学重点】‎ 多边形、正多边形的定义及相关概念.‎ ‎【教学难点】‎ ‎1.凸多边形、凹多边形的定义.‎ ‎2.正多边形的定义.‎ 一、情境导入，初步认识 197‎ 问题1回顾三角形的定义及边、角、外角的概念，类似地对四边形、五边形、多边形下定义.‎ 问题2 如图是五边形ABCDE，连AC、AD，从而引出多边形对角线的定义.‎ 问题3 如图，两个四边形ABCD，A1B‎1C1D1是不同类型的两种四边形，前者是凸四边形，后者是凹四边形，请将两个图形的各边都向两边延长，观察它们的区别，从而探究凸多边形与凹多边形的定义.‎ 问题4 画一个正三角形、正方形，从它们的边角特点探究正多边形的定义.‎ ‎【教学说明】全班同学分组讨论，8分钟后交流成果，老师巡回指导，随时了解学习情况.‎ 对问题1要顺便指导学生多边形的命名法及表示法.‎ 对问题2要求画出五边形的全部对角线，并数一数共有多少条.‎ 对问题3要告诉同学们多边形可分为凸多边形和凹多边形两类，今后如果没有特别说明，一般只讨论凸多边形.‎ 对问题4，告诉学生要从边角两个方面考虑.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.‎ 二、思考探究，获取新知 思考为什么正多边形的定义要强调各条边相等，各个角相等？‎ ‎【归纳结论】1.定义：‎ 多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.多边形相邻两边组成的角叫做它的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.‎ 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.‎ 凸多边形与凹多边形：画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，这样的多边形叫凸多边形，如果整个多边形不都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凹多边形.‎ 正多边形：各条边都相等，各角都相等的多边形叫做正多边形.‎ 197‎ ‎2.只有各条边都相等的多边形不一定是正多边形，如菱形的四边都相等，但它不一定是正四边形（即正方形）.只有各角都相等的四边形不一定是正多边形，如长方形的各角都相等，但它不一定是正四边形.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.下列图形中是正多边形的是（ ）‎ A.等边三角形 B.长方形 C.边长相等的四边形 D.每个角都相等的六边形 ‎2.如果把一个三角形剪掉一个角，剩余的图形是几边形？‎ ‎3.画出下列多边形的全部对角线，想一想，n边形共有多少条对角线？‎ ‎（提示：n边形共有条对角线）‎ ‎4.某学校七年级六个班举行篮球比赛，比赛采用单循环积分制（即每两个班都进行一次比赛）.一共需进行 场比赛.‎ ‎5.四边形的一条对角线将四边形分成几个三角形？从五边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？从n边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？它们将n边形分成几个三角形？‎ ‎（提示：从n边形的一个顶点出发，可以画出（n-3）条对角线，它们把n边形分成（n-2）个三角形.本题为下节课作好铺垫）.‎ ‎【教学说明】题1、2、3由学生自主完成，题4、5让同学们分组讨论，互相交流，再由教师给予指导和总结.‎ ‎【答案】1.A 解析：因为三角形具有稳定性，当三角形的各边相等时，各角也相等，而其他多边形不具有稳定性，因此判定正多边形必须同时具备各边都相等，各内角都相等两个条件.‎ 197‎ ‎2.解：把一个三角形剪掉一个角分两种情况：第一种情况如图(1)所示，此时剩余部分为三角形；第二种情况如图(2)所示，此时剩余部分为四边形.‎ ‎3.解：如图 ‎4.15 解析：本题体现数学与体育学科的综合，解题方法可参照多边形对角线条数的求法，总场数即为多边形的对角线条数加边数.如图所示，共需比赛（场）.‎ ‎5.解：四边形可以分成2个三角形；五边形可以画出2条对角线，分成3个三角形；n边形可以画出（n-3）条对角线，分成（n-2）个三角形.‎ 四、师生互动，课堂小结 请学生总结本节学习重点，教师将小结内容出示在屏幕上.‎ ‎1.布置作业：从教材“习题‎11.3”‎中选取.‎ ‎2.完成练习册中本课时的练习.‎ 学习本课时，可让学生先自主探索再合作交流，小组内、小组之间充分交流后概括所得结论，既巩固了三角形的知识，又用类比的方法引出多边形的有关概念，加深对本课时的学习.‎ 197‎ ‎11.3.2 多边形的内角和 ‎【知识与技能】‎ ‎1.掌握多边形的内角和定理、外角和定理.‎ ‎2.运用多边形的内角和、外角和定理进行证明或计算.‎ ‎【过程与方法】‎ 通过证明四边形内角和定理的方法启示，求五边形、六边形的内角和，从而求n边形的内角和，依此推出多边形的外角和定理.最后运用这两个定理进行简单的证明或计算.‎ ‎【情感态度】‎ 通过本节课的学习，使同学们掌握“由特殊到一般”及“化未知为已知”的科学学习方法提高学习的兴趣和效率.‎ ‎【教学重点】‎ 多边形的内角和定理、外角和定理.‎ ‎【教学难点】‎ 探求多边形的内角和定理、外角和定理及这两个定理的灵活运用.‎ 一、情境导入，初步认识 问题1 从五边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，它们将五边形分为 个三角形，五边形的内角和等于180°× .‎ 从六边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，它们将六边形分为 个三角形，六边形的内角和等于180°× .‎ ‎……‎ 从n（n≥3且为整数）边形的一个顶点出发，可以引 条对角线；它们将n边形分为 个三角形，n边形的内角和等于180°× .‎ 问题2 如图，∠1，∠2，∠3，…，∠n是n边形ABCD…的外角，求∠1+∠2+∠3+…∠n.‎ 197‎ ‎【教学说明】对问题1，全班同学独立完成，5分钟后请学生上黑板写出各自的答案，然后引导同学们得出多边形的内角和定理.‎ 对问题2，可作如下提示：∠1+∠1′=？，∠2+∠2′=？，∠3+∠3′=？，……，∠n+∠n′=？，∠1′+∠2′+∠3′+…∠n′=？教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.‎ 二、思考探究，获取新知 思考 n边形的内角和、外角和分别是多少？‎ ‎【归纳结论】n边形的内角和等于（n-2）×180°.‎ 多边形的外角和等于360°.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.一个正多边形，它的每一个外角都等于45°，则该正多边形是（ ）‎ A.正六边形 B.正七边形 C.正八边形 D.正九边形 ‎2.如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进‎10米后左转40°，再沿直线前进‎10米后又左转40°，……照这样走下去，他第一次回到出发点时，一共走了 米.‎ ‎3.已知一个多边形，它的外角和等于内角和的，求这个多边形的边数.‎ ‎4.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数.‎ ‎（提示：连AE，得五边形ABCDE）‎ 197‎ ‎5.一个多边形，除去一个内角α，其余各角之和为2750°，求∠α的度数和这个多边形的边数.‎ ‎6.某同学计算多边形内角和时，得到的答案是5243°，老师指出他把某一个外角也加了进去，他计算的是几边形的内角和？这个多边形一定有一个内角是多少度？‎ ‎7.一个正多边形至多有几个锐角，为什么？‎ ‎【教学说明】本环节可由教师根据实际教学进行选择性讲解.‎ ‎【答案】1.C 解析：设该多边形为正n边形，则有45°×n=360°,解得n=8.‎ ‎2.90 解析：依题意知小明所走的路线是一个正n边形，则每个外角都是40°，则有40°×n=360°，解得n=9,所以小明一共走了10×9=‎90米.‎ ‎3.解：多边形的外角和为360°,所以该多边形的内角和为360°×4=1440°.由多边形内角和定理得（n-2）×180°=1440°解得n=10,即这个多边形的边数为10.‎ ‎4.解：如图，连结AE.‎ 在△AHE中，∠HAE+∠HEA+∠AHE=180°，‎ 在△FGH中，∠G+∠F+∠FHG=180°，‎ 又∠AHE=∠FHG ‎∴∠HAE+∠HEA=∠F+∠G 则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠BAG+∠B+∠C+∠D+∠DEF+∠HAE+∠HEA=∠BAE+∠B+∠C+∠D+∠DEA 即为五边形的内角和 ‎∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（5-2）×180°=540°‎ ‎5.解：设这个多边形边数为n，‎ 因为2750°=15×180°+50°，‎ 所以n-2=16，‎ ‎50°+α=180°‎ ‎∴∠α=130°，n=18.‎ ‎6.解：5243°=29×180°+23°‎ 197‎ 由（n-2）×180°=29×180°得n=31‎ ‎180°-23°=157°‎ 所以他计算的是31边形的内角和，其中一定有一个内角是157°.‎ ‎7.解：一个正多边形至多有3个锐角，理由是因为正多边形的外角和为360°，所以外角中至多3个钝角.‎ 四、师生互动，课堂小结 ‎1.n边形的内角和等于（n-2）×180°.‎ ‎2.多边形的外角和等于360°.‎ ‎3.多边形内角和定理证明的思想方法是将多边形的内角和问题转化为三角形内角和的问题.除教材介绍的方法外，还可以用下面的方法：‎ ‎（1）如图（1），点P在多边形内部，辅助线将n边形分成n个三角形，再减去一个周角，即n×180°-360°=（n-2）×180°.‎ ‎（2）如图（2），点P在多边形边上，辅助线将n边形分成（n-1）个三角形，再减去以P为顶点的一个平角即为多边形的内角和，故多边形内角和为（n-1）×180°-180°=（n-2）×180°.‎ ‎（3）如图（3），点P在n边形的外部，辅助线将n边形分成了（n-1）个三角形，再减去外面那个三角形的内角和即为多边形的内角和，故n边形的内角和为：（n-1）×180°-180°=（n-2）×180°.‎ ‎4.多边形的内角和与边数有关，外角和与边数无关，多边形每增加一边，它的内角和增加180°，而外角和不变.‎ ‎1.布置作业：从教材“习题‎11.3”‎中选取.‎ ‎2.完成练习册中本课时的练习.‎ 197‎ 在学习活动中，要求学生主动参与，认真思考，比较观察、交流和表述，激发学生学习兴趣，强调分组讨论，学生与学生之间很好地交流与合作，利用师生的双边活动，适时调度，查漏补缺，从而顺利达到教学目的.‎ 章末复习 ‎【知识与技能】‎ ‎1.了解与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线）.理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形.会画任意三角形的高、中线、角平分线.了解三角形的稳定性.‎ ‎2.了解与三角形有关的角（内角、外角），会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°，探索并了解三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.‎ ‎3.了解多边形的有关概念（边、内角、对角线、正多边形），探索并了解多边形的内角和与外角和公式.‎ ‎4.通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计.‎ ‎【过程与方法】‎ 结合图形回顾本章知识点，复习几种基本的画图，复习简单的证明技巧，在此基础上，进行典型题、热点题的较大量的训练，旨在提高同学们对三角形有关知识、多边形内角和、外角和知识综合运用能力.‎ ‎【情感态度】‎ 通过初步的几何证明的学习培养学生的推理能力，通过由特殊到一般的探究过程的训练培养学生的探索能力，创新能力，以达到培养学生良好学习习惯的目的.‎ ‎【教学重点】‎ 三角形的三条重要线段、三角形的内角和、外角和、多边形的内角和、外角和等知识的灵活运用.‎ ‎【教学难点】‎ 简单的几何证明及几何知识的简单应用.‎ 一、知识框图，整体把握 197‎ 二、回顾思考，梳理知识 ‎1.本章的主要内容是：三角形的概念，三角形的三边关系定理，三角形的三条重要线段（高线、中线和角平分线）.三角形内角和定理.三角形的外角，多边形的内、外角和定理，简单的平面镶嵌.三角形的稳定性和四边形的不稳定性.‎ ‎2.经历三角形内角和等于180°的验证与证明过程，初步体验对一个规律的发现到确认的艰辛历程.体会证明的重要性，初步接触辅助线在几何研究中不可或缺的作用.‎ ‎3.三角形是我们认识许多其他图形的基础，如研究多边形的内角和时，就是过多边形的某顶点作出它的全部对角线，将多边形的内角和问题转化为三角形的内角和问题.‎ 三、典例精析，复习新知 例1 如图，三角形纸片ABC中，∠A=65°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1=20°，则∠2的度数为 .‎ 分析：由三角形内角和定理得∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°.折叠以后，变成了四边形，因四边形的内角和为360°，故∠AED+∠BDE=360°-∠A-∠B=220°.在△CDE中，∠CDE+∠CED=180°-∠C=180°-40°=140°.所以∠2=220°-140°-∠1=60°.‎ 例2 在绿茵场上，足球队带球进攻，总是向球门AB冲近，说明这是为什么？‎ 197‎ 解：如图，设球员接球时位于点C，他尽力向球门冲近到D，此时不仅距离球门近，射门更有力，而且对球门AB的张角也扩大，球就更容易射中，理由说明如下：‎ 延长CD到E，则∠ADE＞∠ACE，∠BDE＞∠BCE，所以∠ADE+∠BDE＞∠ACE+∠BCE，即∠ADB＞∠ACB.‎ ‎【教学说明】1.本题作了一条辅助线，构造了两个三角形的外角，在说理中发挥了至关重要的作用；2.辅助线要画成虚线.‎ 例3 已知一个等腰三角形的三边长分别为x，2x-1，5x-3，求其周长.‎ 解：本题分类讨论，求出x后再求出三边，一定要检验是否符合三角形三边关系定理，若不符合，必须舍去.‎ ‎（1）若x=2x-1，则x=1，此时三边为1，1，2，因为1+1=2，不符合三角形三边关系，舍去；‎ ‎（2）若x=5x-3，x=.此时三边为，，，符合三角形三边关系，周长为++=2.‎ ‎（3）若2x-1=5x-3，x=.此时三边为，，，因为+=，所以不符合三角形三边关系，舍去.综上，此等腰三角形周长为2.‎ 例4 如图，D、E为△ABC内的两点，试说明AB+AC＞BD+EC+DE的理由.‎ 解：本题显然要运用三角形三边关系定理证明.由于BD、DE、CE不是三角形的边，所以延长BD、CE交于F，再延长BF交AC于P，便可构成所需要的三角形，再运用三角形的三边关系定理经过变换证明结论.在△ABP中，AB+AP＞BP=BF+FP.在△PFC中，FP+PC＞FC=FE+EC.∴AB+AP+FP+PC＞BF+FP+FE+EC.即AB+AC＞BF+FE+EC=BD+DF+FE+EC.在△‎ 197‎ FDE中，DF+FE＞DE，所以BD+DF+FE+EC＞BD+DE+EC.所以AB+AC＞BD+DE+EC.‎ ‎【教学说明】本题在延长BD、CE交于F后，也可以延长CF交AB于G，同样也可证明出结论.‎ 例5 如图，在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（ ）‎ A.150°‎ B.130°‎ C.120°‎ D.100°‎ 分析：在四边形ADPE中，∠DPE=360°-∠A-∠ADP-∠AEP=360°-50°-90°-90°=130°.选B.‎ 例6 如图所示，BE与CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线.‎ ‎（1）试探求∠F与∠B、∠D间有何种等量关系.‎ ‎（2）EF与FC能垂直吗？说明理由.‎ ‎（3）若∠B∶∠D∶∠F=2∶x∶3，求x的值.‎ 解：（1）∠D+∠B=2∠F.‎ ‎∵EF平分∠BED，CF平分∠BCD，‎ ‎∴∠1=∠BED，∠2=∠BCD.‎ 而∠EMC=∠D+∠BED，∠EMC=∠F+∠BCD，‎ ‎∴∠D+∠BED=∠F+∠BCD，①‎ 同理可得：∠B+∠BCD=∠F+∠BED.②‎ ‎①+②，得∠D+∠B=2∠F.‎ ‎（2）能，若EF与FC垂直，即∠F=90°，‎ 197‎ 则∠B+∠D=180°.‎ 也就是说，如果∠D与∠B互补，则EF⊥FC.‎ ‎（3）∵∠B∶∠D∶∠F=2∶x∶3，‎ ‎∴设∠B=‎2m，∠D=xm，∠F=‎3m.‎ 由（1）得xm+‎2m=2×‎3m，‎ ‎∴x=4.‎ 例7 阅读下面的问题及解答：‎ 如图（1），△ABC中∠ABC、∠ACB的角平分线交于O点，则∠BOC=90°+∠A=×180°+∠A，如图（2），△ABC中∠ABC、∠ACB的三等分线交于O1、O2，则∠BO‎1C=×180°+∠A，∠BO‎2C=×180°+∠A.根据以上信息：‎ ‎（1）你能猜想出它的规律？n等分时［内部有（n-1）个点］，∠BO‎1C=，∠BOn‎-1C=（用含n的代数式表示）.‎ ‎（2）根据你的猜想，当n=4时说明∠BO‎3C的度数成立.‎ 解：（1）当n=2时，∠BOC=×180°+∠A，当n=3时，∠BO‎1C=×180°+∠A，∠BO‎2C=×180°+∠A.‎ 由此可见，系数分母即是n，∠BO‎1C的系数的第一个分子是n-1，第二个分子是1.由此可猜想∠BO‎1C=×180°+∠A.同理：∠BOn‎-1C=×180°+∠A.‎ ‎（2）当n=4时，代入所猜想的公式得∠BO‎3C=×180°+∠A.另外，在△BO‎3C中，由三角形内角和定理得∠BO‎3C=180°-（∠O3BC+∠O3CB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=×180°+∠A.结果与猜想一致.‎ ‎【教学说明】本题是阅读猜想题，是热点题型，能大大激发学生的求知欲，深受师生欢迎.‎ 例8 求证：两条平行线被第三条直线所截得的一组同旁内角的平分线互相垂直.‎ 197‎ ‎（仿照教材证明三角形内角和等于180°的过程进行证明，先画出图形，按图形写出已知和求证，再进行证明.）‎ 解：已知：如图，AB∥CD，EF交AB、CD于E、F，EM平分∠BEF，FN平分∠DFE，EM与FN交于G.‎ 求证：EM⊥FN 证明：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠BEF+∠DFE=180°.‎ ‎∵EM平分∠BEF，FN平分∠DFE，‎ ‎∴∠1=∠BEF，∠2=∠DFE.‎ ‎∴∠1+∠2=（∠BEF+∠DFE）=×180°=90°.∴∠EGF=180°-（∠1+∠2）=90°.‎ ‎∴EM⊥FN.‎ ‎【教学说明】证明过程由“∵、∴”构成，要求每一步都有依据.‎ 例9 一个多边形从某一个顶点出发截取一个角后，所形成的多边形的内角和是2520°，求原多边形的边数.‎ 解：设原多边形是n边形，分两种情况讨论：（1）若截线不经过多边形的另一个顶点，则新多边形仍是n边形（如图（1））.由题设得（n-2）·180°=2520°.解得n=16；（2）若截线经过多边形的顶点，则新多边形（n-1）边形（如图（2）），由题设得（n-1-2）·180°=2520°.解得n=17.综上n=16或17.‎ ‎1.布置练习：从教材“复习题‎11”‎中选取.‎ ‎2.完成练习册中本课时的练习.‎ 197‎ 利用知识回顾与典型剖析，使学生进一步巩固和深化对所学知识的理解，建立起清晰的知识框架，形成严谨的思维习惯.‎ 第十二章 全等三角形 ‎12.1 全等三角形 ‎【知识与技能】‎ ‎1.了解全等形及全等三角形的概念.‎ ‎2.理解全等三角形的性质.‎ ‎【过程与方法】‎ 在图形变换以及操作的过程中发展学生的空间观念,培养学生的几何直觉.‎ ‎【情感态度】‎ 使学生在观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验,在探索和运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣.‎ ‎【教学重点】‎ 探究全等三角形的性质.‎ ‎【教学难点】‎ 掌握两个全等形的对应边,对应角.‎ 一、情境导入,初步认识 问题1 观察下列图形,指出其中形状与大小相同的图形.‎ 197‎ 问题2 从上面的图形中你有什么感受?在实际生活中,你能找到形状、大小相同的图形的应用的例子么?‎ 二、思考探究，获取新知 让学生交流问题1,问题2的答案,并带着问题“这些图形有什么共同特征？”自学课本内容.‎ ‎【教学说明】变化的图形易引起学生的注意,使它们很快地投入到学习的情境中,并通过观察发现其中的共同特点,形成猜想.再结合自学课本,从而认识全等形、全等三角形的定义及记法.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.‎ 思考1 把三角形平移、翻折、旋转后,什么发生了变化,什么没有变?‎ 思考2 全等三角形的对应边、对应角有什么关系?为什么?‎ ‎【教学说明】让两个学生在黑板上引导全体学生操作并画图,从中找到答案.这个过程利用三角形的平移、旋转、翻折的不变性,让学生通过具体操作直观感知全等三角形的概念,然后让学生通过操作和观察,猜测并验证全等三角形的性质.利用基本三角形变换出各种图形,然后观察对应边、角的变化,利于提高学生的识图能力.‎ 思考1 得到的基本图案如图:‎ ‎【归纳结论】‎ ‎1.能够完全重合的两个图形叫做全等形,能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.“全等”用“≌”表示，读作“全等于”.‎ 197‎ 把两个全等的三角形重合在一起,重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫对应角.‎ ‎2.全等三角形的对应边相等,对应角相等.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎【教学说明】出示下列问题,让学生通过交流,思考寻找问题的答案,并共同讨论:全等三角形的对应顶点,对应边之间有什么关联.‎ ‎1.下列每对三角形分别全等,看看它们是怎样变化而成的,并指出对应边、对应角.‎ ‎2.两个全等的三角形按如下位置摆放,指出它们的对应顶点,对应角,对应边.‎ ‎3.如图,将△ABC沿直线BC平移,得到△DEF.‎ ‎(1)线段AB,DE是对应线段,有什么关系?线段AC和DF呢?‎ ‎(2)线段BE和CF有什么关系?为什么?‎ ‎(3)若∠A=70°,∠B=40°,你知道其他各角的度数吗?为什么?‎ ‎4.如图,将△ABC沿直线BC平移,得到△DEF,说出你得到的结论,并说明理由.‎ ‎5.如图,△ABE≌△ACD,AB与AC,AD与AE是对应边,∠A=40°,∠B=30°,求∠ADC的大小.‎ 197‎ ‎【教学说明】题3题4中要通过观察发现,EC是线段BC与EF的公共部分,从而有BC-EC=EF-EC即BE=CF的结论;可以挖掘更深层次的结论,提升分析问题的能力,如AB∥DE,AC∥DF,BE=CF,S四边形ABEG=S四边形FDGC等.‎ 完成上述题目后,引导学生做本课时创优作业“课堂自主演练”中的题.‎ ‎【答案】1.图（1）是△EDC由△ABC绕过C点且垂直于BD的直线翻折而成，AB的对应边ED，AC的对应边EC，BC的对应边DC，∠A的对应角∠E,∠B的对应角∠D,∠ACB的对应角为∠ECD.‎ 图（2）是△ABC延BC边平移BE长的距离得到△DEB，AC的对应边DB，AB的对应边为DE，CB的对应边为BE，∠A的对应角为∠D，∠C的对应角为∠DBE，∠ABC的对应角为∠E.‎ 图（3）是△ABD绕BD的中点旋转180°得△CDB，AB的对应边为CD，BD对应边为DB、AD的对应边为CB，∠A的对应角∠C，∠ABD的对应角为∠CDB，∠ADB的对应角为∠CBD.‎ ‎2.略 ‎4.AB=DE AC=DF BC=E F∠A=∠D ∠B=∠DEF ∠ACB=∠F理由：全等三角形对应边相等，对应角相等.‎ ‎5.∠ADC=110°‎ 四、师生互动，课堂小结 ‎1.引导学生回忆全等三角形定义,记法与性质.‎ ‎2.归纳寻找对应边,对应角的规律:‎ ‎(1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;对应边所对的角是对应角,两条对应边的夹角是对应角.‎ ‎(2)公共边一般是对应边;有对顶角的,对顶角一般是对应角;公共角一般是对应角等.‎ 197‎ ‎1.布置作业：从教材“习题‎12.1”‎中选取.‎ ‎2.完成练习册中本课时的练习.‎ 本课时通过学生在做模型、画图、动手操作等活动中的体验，完成对三角形全等的认识，重点在对“三角形全等”“对应”等含义的理解.‎ 对“全等三角形”的认识，可让学生采用复写纸、手撕、剪纸、扎针眼等方式获取，并鼓励学生间互相交流动手过程中的体验.‎ 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历观察、实验、归纳、类比、直觉、数据处理等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法，同时升华学生的情感、态度和价值观.‎ ‎12.2 三角形全等的判定 第1课时 边边边 ‎【知识与技能】‎ 掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性.‎ ‎【过程与方法】‎ 经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.‎ ‎【情感态度】‎ 通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神.‎ ‎【教学重点】‎ 掌握三角形全等的“边边边”条件.‎ ‎【教学难点】‎ 三角形全等条件的探索过程.‎ 一、情境导入，初步认识 ‎1.复习全等三角形的性质，归纳得出：三条边对应相等，三个角对应相等的两个三角形全等.‎ ‎2.提出问题:两个三角形全等,一定需要六个条 197‎ 件吗?如果只满足其中部分条件的两个三角形,是否也能全等呢?‎ 指导学生探究下列两个问题:‎ 探究1 先任意画出一个△ABC.再画一个△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′满足六个条件中的一个（一边或一角分别相等）或两个（两边、一边一角或两角分别相等）.你画出的△A′B′C′与△ABC一定全等吗？‎ 通过画图可以发现，满足六个条件中的一个或两个，△ABC与△A′B′C′不一定全等.‎ 探究2 先任意画出一个△ABC.再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，B′C′=BC，C′A′=CA.把画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？‎ 在充分的观察、讨论、交流后,引导学生总结出:三边对应相等的两个三角形全等,即“边边边”公理，或写成“SSS”.‎ ‎【教学说明】利用提出的问题激发学生的探究发现兴趣,教师应根据学生观察发现的结论,无论对与错,多给予肯定与鼓励,并引导学生最终得出正确的结果.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.‎ 二、思考探究，获取新知 教师操作演示:‎ 由三根木条钉成的一个三角形的框架,大小和形状固定不变,由此归纳出:(1)三边对应相等的两个三角形全等;(2)三角形具有稳定性.‎ 例1 如图,△ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架,求证:△ABD≌△ACD.（由学生思考后表述思路，教师指导并展示证题过程.）‎ 证明:∵D是BC中点,∴BD=CD.‎ 在△ABD和△ACD中,‎ ‎ ‎ ‎∴△ABD≌△ACD(SSS).‎ 例2如图,已知AC=FE,BC=DE,点A,D,B,F在一条直线上,AD=FB.要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE外，还应有什么条件？怎样才能得到这个条件？‎ 197‎ 答：还需要AB=FD，这个条件可由AD=FB得到.‎ 证明：∵AD=FB,∴AD+BD=BD+FB,‎ 即AB=FD.‎ 在△ABC和△FDE中,‎ ‎∴△ABC≌△FDE(SSS)‎ ‎【教学说明】由以上两例,应让学生掌握:‎ ‎1.证明题的基本格式,做到每一步推理有根有据,并正确用几何语言表述出来.‎ ‎2.积累分析问题的经验,逐步学会怎样探寻未知条件,为证题提供足够的依据.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.如图,E是AC上一点,AB=AD,BE=DE,可应用“SSS”证明三角形全等的是（ ）‎ A.△ABC≌△ADC B.△ABE≌△ADE C.△CBE≌△CDE D.以上选项都对 ‎2.如图，△ABC中，AD=DE，AB=BE，∠A=100°，则∠DEC= 度.‎ ‎3.如图,AB=AC,AD=AE,BE=CD.求证:△ABD≌△ACE.‎ 证明:在△ABD和△ACE中,‎ 197‎ ‎∴△ABD≌△ACE(SSS)‎ 上述的证明过程正确吗?若不正确,请写出正确的推理过程.‎ ‎4.如图,已知A,F,C,D在同一直线上,AB=DE,BC=EF,AF=DC,求证:BC∥EF.‎ ‎【教学说明】学生在教师指导下完成上述习题时,教师应提醒学生注意:‎ ‎1.善于利用题中已知条件和隐含条件(如题3的公共线段DE后),联想“SSS”证得三角形全等.‎ ‎2.要灵活地结合三角形全等性质,以证出线段相等或角相等,进而推得两线平行、或互相垂直等位置关系.‎ ‎3.熟悉证题格式.‎ 完成上述题目后,引导学生做本课时创优作业“课堂自主演练”中的题.‎ ‎【答案】1.B 2.80‎ ‎3.不正确.其证明过程如下:∵BE=CD,∴BE-DE=CD-DE,即BD=CE.在△ABD和△ACE中,‎ ‎∴△ABD≌△ACE(SSS).‎ ‎4.先证△ABC≌△DEF(SSS),∴∠BCA=∠EFD,∴BC∥EF.‎ 四、师生互动，课堂小结 教师引导学生反思:本节课我们有哪些收获?‎ 197‎ ‎【指导要点】回顾反思本节课重要知识,探究过程,并归纳方法和结论,并领悟其中所包含的数学思想与规律.‎ ‎1.布置作业：从教材“习题‎12.2”‎中选取.‎ ‎2.完成练习册中本课时的练习.‎ 本课时教学时应抓住以下重点：‎ ‎1.分类问题：教师让学生从实践入手，给定三角形三边，学生在薄纸上画，然后小组的同学看所画三角形是否重合，探索归纳、形成结论.‎ ‎2.教师可用多媒体展示现实生活中的实际例子：如桥梁、铁塔、自行车的三角架等，从中体验三角形的稳定性，认识“边边边”可作为三角形全等的判定依据.‎ ‎3.强调思路分析和书写规范.‎ 第2课时 边角边 ‎【知识与技能】‎ 掌握证明三角形全等的“边角边”定理.‎ ‎【过程与方法】‎ ‎1.经历探索三角形全等条件的过程，培养学生观察,分析图形的能力及动手能力.‎ ‎2.在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理.‎ ‎【情感态度】‎ 通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神.‎ ‎【教学重点】‎ 应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等.‎ ‎【教学难点】‎ 指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件.‎ 一、情境导入，初步认识 197‎ 问题1 教材探究3:已知任意△ABC,画△A′B′C′,使AB=A′B′,A′C′=AC,∠A′=∠A.‎ ‎【教学说明】要求学生规范地用作图工具画图,纠正学生的错误做法,并让学生剪出画好的△ABC,△A′B′C′,把它们放在一起,观察出现的结果,引导学生间交流结论.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.‎ 问题2 请各学习小组间交流,并总结出规律.‎ 二、思考探究，获取新知 根据学生交流情况,教师作出如下归纳总结.‎ ‎1.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS”.‎ ‎2.其中的角必须是两条相等的对应边的夹角,边必须是夹相等角的两条对应边.‎ 例1 如图,有一池塘,要测池塘两端A,B的距离,可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C,连接AC并延长到D,使CD=CA,连接BC并延长到E,使CE=CB.连接DE,那么量出DE的长就是A,B的距离,为什么?‎ ‎【教学说明】让学生思考后,书写推理过程,教师引导分析.‎ 要想证AB=DE,只需要证△ABC≌△DEC.而证这两个三角形全等,已有条件 ,还需条件 . ‎ 证明:在△ABC和△DEC中,‎ ‎∴△ABC≌△DEC(SAS).∴AB=DE.‎ ‎【归纳结论】证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题,常常通过证明这两个三角形全等来得到答案.‎ 例2 如图,已知AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:△ABD≌△ACE.‎ 197‎ ‎【教学说明】由学生依题意寻找条件,涉及三角形边的条件有AB=AC,AD=AE,但∠BAC=∠DAE只是对应边夹角的一部分,怎么办?以此引导学生思考,理清解题思路.‎ 证明：∵∠BAC=∠DAE(已知),‎ ‎∴∠BAC+CAD=∠DAE+CAD,‎ 即∠BAD=∠CAE.‎ 在△ABD与△ACE中,‎ AB=AC(已知),‎ ‎∠BAD=∠CAE(已证),‎ AD=AE(已知),‎ ‎∴△ABD≌△ACE.‎ ‎【归纳结论】用来证明三角形全等的边、角条件,必须是这两个三角形的边、角,而不是其中的一部分,如∠BAC=∠DAE不能直接用于证△ABD与△ACE的全等.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.如图,已知∠1=∠2,如果用SAS证明△ABC≌△BAD,还需要添加的条件是.‎ ‎2.如图，已知OA=OB,OC=OD,∠O=50°,∠D=35°,则∠AEC等于( ).‎ A.60° B.50° C.45° D.30°‎ ‎3.如图,已知AB∥DE,AB=DE,BE=CF,如果∠B=50°,∠A=70°,则∠F=( ).‎ A.70° B.65° C.60° D.55°‎ ‎4.如图,点B,D,C,F在一条直线上,且BC=FD,AB=EF.‎ ‎(1)请你添加一个条件(不再加辅助线),使△ABC≌△EFD,你添加的条件是 .(2)添加了条件后,证明△ABC≌△EFD.‎ 197‎ ‎5.如图,C是线段AB的中点,CD平分∠ACE,CE平分∠BCD,CD=CE.‎ ‎(1)求证:△ACD≌△BCE.‎ ‎(2)若∠D=50°，求∠B的度数.‎ ‎【教学说明】引导学生应用“SAS”解答上述习题，巩固对“SAS”的认识和提升应用能力.可让学生在黑板上写出4,5题的过程,强化学生书写证明过程的能力.‎ 在完成上述习题的解答后,请学生探究:“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形是否全等？”，指导学生画图分析、共同讨论，形成结论.‎ 教师出示下列材料帮助学生探究:‎ 如图,在△ABC和△ABD中,∠B=∠B,AB=AB,AC=AD,由图可知,△ABC与△ABD并不全等.‎ 完成上述题目后,引导学生做本课时创优作业“课堂自主演练”中的题.‎ ‎【答案】1.AC=BD 2.A 3.C ‎4.(1)∠B=∠F或AB∥EF或AC=ED.‎ ‎(2)当∠B=∠F时,在△ABC和△EFD中,‎ AB=EF,‎ ‎∠B=∠F,‎ BC=FD,‎ ‎∴△ABC≌△EFD(SAS).其它证明略.‎ ‎5.(1)∵点C是线段AB的中点,∴AC=BC,‎ 又∵CD平分∠ACE,CE平分∠BCD,‎ ‎∴∠1=∠2,∠2=∠3,∴∠1=∠3.‎ 在△ACD和△BCE中,‎ CD=CE,‎ ‎∠1=∠3,‎ AC=BC,‎ ‎∴△ACD≌△BCE(SAS).‎ ‎(2)∵∠1+∠2+∠3=180,∴∠1=∠2=∠3=60.‎ ‎∵△ACD≌△BCE,∴∠E=∠D=50°.∴∠B=180°-∠E-∠3=70°.‎ 197‎ 四、师生互动，课堂小结 先归纳“SAS”，并强调：“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等”.‎ 再提出问题供同学思考,交流,探讨.‎ ‎1.判定三角形全等的方法有哪些?‎ ‎2.证明线段相等,角相等的常见方法有哪些?‎ ‎1.布置作业：从教材“习题‎12.2”‎中选取.‎ ‎2.完成练习册中本课时的练习.‎ 本节课的引入，可采用探究的方式，引导学生通过操作、观察、探索、交流、发现思索的过程，得出判定三角形全等的“SAS”条件，同时利用一个联系生活实际的问题——测量池塘两端的距离，对得到的知识加以运用，最后再通过实际图形让学生认识到“两边及其中一边的对角对应相等”的条件不能判定两个三角形全等.‎ 第3课时 角边角和角角边 ‎【知识与技能】‎ 掌握两个三角形全等的条件:“ASA”与“AAS”，并指出用它们判别三角形是否全等.‎ ‎【过程与方法】‎ 经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思问题的能力，形成理性思维.‎ ‎【情感态度】‎ 敢于面对教学活动中的困难，能通过合作交流解决遇到的困难.‎ ‎【教学重点】‎ 理解、掌握三角形全等的条件：“ASA”、“AAS”.‎ 197‎ ‎【教学难点】‎ 探究出“ASA”“AAS”及它们的应用.‎ 一、情境导入，初步认识 问题1 一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕成了如图形状，你能制作出与原来同样大的纸板吗？‎ 鼓励学生提出不同的思路方法，并要求学生用纸片对自己的思路操作实验.‎ ‎【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.‎ 问题2 教材探究4.‎ 先任意画出一个△ABC.再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B（即两角和它们的夹边分别相等）.把画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？‎ 要求每个学生先独立动手画图并思考，再在小组内交流.‎ 把画好的△A′B′C′剪下,放在△ABC上,观察出现的情形,并根据结果总结规律,说出每个人的发现并交流.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎【归纳结论】根据学生的发言,予以不同的点评,重在鼓励,最后归纳出新知识点:‎ 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简称“角边角”或“ASA”.‎ 强调注意:“边”必须是“两角的夹边”.‎ 例1 如图,点D在AB上,点E在AC上,BE和CD相交于点O,AB=AC,∠B=∠C.求证:AD=AE.‎ 证明:△ABE和△ACD中,‎ 197‎ ‎∠B=∠C,‎ AB=AC,‎ ‎∠A=∠A,‎ ‎∴△ABE≌△ACD(ASA).‎ ‎∴AD=AE.‎ ‎【课堂练习】由学生在黑板上完成证明过程.‎ 如图,AB=A′C,∠A=∠A′,∠B=∠C,求证:△ABE≌△A′CD.‎ ‎【分析】本例可直接应用“ASA”证得两个三角形全等，关键是准确地书写证明过程.‎ 例2 在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.证明△ABC≌△DEF.‎ ‎【教学说明】由已知条件并联想“ASA”不难证明结论，教师关键通过本例引导学生发现：“两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等”.‎ 上述判定三角形全等的定理简写成“角角边”或“AAS”.‎ ‎【课堂练习】‎ 如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC=CD，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，为什么？‎ ‎【答案】利用三角形全等得到DE=AB.‎ 证明：在△ABC和△EDC中,‎ ‎∠B=∠EDC=90°,‎ BC=DC,‎ 197‎ ‎∠ACB=∠ECD.‎ ‎∴△ABC≌△EDC.∴DE=AB.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.如图,B是CE的中点，AD=BC，AB=DC，DE交AB于F点.求证:(1)AD∥BC;(2)AF=BF.‎ ‎2.如图，在△ABC中，D是BC边上的点(不与B,C重合),F,E分别是AD及其延长线上的点,CF∥BE,请你添加一个条件,使△BDE≌△CDF(不再添加其它线段,不再标注或使用其他字母),并给出证明.‎ ‎【教学说明】教师引导学生通过上述习题的解答归纳证明三角形全等的方法,并总结证明线段相等(或两线平行,垂直)或两角相等的常见方法.同时,让学生探究“两个三角形中三个角分别相等，这两个三角形全等吗？”的问题，同学间互相交流探究出来.‎ ‎【答案】1.(1)连接BD,∵AD=CB,AB=DC,BD=DB,∴△ABD≌△CDB(SSS),∴∠ADB=∠CBD.∴AD∥BC.‎ ‎(2)∵B为CE中点,∴EB=BC.由(1)知AD∥BC,AD=BC,∴AD=BE,∠A=∠FBE,又∠AFD=∠BFE,∴△ADF≌△BEF(AAS).∴AF=BF.‎ ‎2.添加条件:BD=DC(或点D是线段BC中点),FD=ED或CF=BE.以BD=DC为例证明如下:∵CF∥BE,∴∠FCD=∠EBD.又∵BD=DC,∠FDC=∠EDB.∴△BDE≌△CDF(ASA).‎ 四、师生互动，课堂小结 ‎1.证明三角形全等的方法有:SSS,SAS,ASA,AAS.‎ ‎2.三个角对应相等的两个三角形不一定相等.如:大小不同的两个等腰直角三角形不全等.‎ ‎3.证两线相等(或两角相等)的常用方法是证它们所在的两个三角形全等.‎ ‎1.布置作业：从教材“习题‎12.2”‎中选取.‎ ‎2.完成练习册中本课时的练习.‎ 197‎ 本课时教学以“自主探究——合作交流”为主体形式，先给学生独立思考的时间，提供学生创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会，培养学生独立探究，合作学习的能力.‎ 同时，注重让学生用自己的语言归纳和表达发现的规律，指引学生对知识与方法进行回顾总结，形成良好的反思习惯，获取优秀的学习方法.‎ 第4课时 斜边、直角边 ‎【知识与技能】‎ 掌握两个直角三角形全等的条件,并能应用它证明两个直角三角形全等.‎ ‎【过程与方法】‎ 通过对知识方法的归纳总结,加深对三角形全等的判定的理解.培养反思习惯,形成理性思维.‎ ‎【情感态度】‎ 通过探究与交流,解决问题,获得成功的体验,进一步激发探究的积极性.‎ ‎【教学重点】‎ 理解、掌握直角三角形全等的条件:HL.‎ ‎【教学难点】‎ 熟练选择判定方法,判定两个直角三角形全等.‎ 一、情境导入，初步认识 问题1舞台的背景形状是两个直角三角形,工作人员想知道这两个直角三角形是否全等,但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.‎ ‎(1)请你设法帮工作人员找到解决问题的方式.‎ ‎(2)如果工作人员只带了一卷尺,他能完成这个任务吗?‎ 全体学生思考,并互相交流每个人的想法,组长收集每组的结论.‎ 问题2 教材探究5‎ 197‎ 任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB.‎ 要求:每个学生都动手画图,并剪下所画的直角三角形,每两人把剪下的直角三角形,重叠在一起,观察它们是否重合.‎ ‎【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.‎ 二、思考探究，获取新知 教师根据学生操作、交流情况,引导学生一起归纳上述两个问题的结果.‎ 对于问题1,(1)方法有:测量斜边和一个对应的锐角(AAS),或测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角(ASA或AAS);(2)可以完成这个条件,其依据正是本节所要学的知识,以此激发学生探究的兴趣.‎ 对于问题2,归纳得到:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边、直角边”或“HL”.‎ 例1 如图,已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC=BD.求证:BC=AD.‎ ‎【教学说明】由学生思考,交流讨论后,指定学生表述思路,并由教师板书证明过程,引导学生正确书写解题步骤.‎ 证明:∵AC⊥BC,BD⊥AD,‎ ‎∴∠C=∠D=90°.‎ 在Rt△ABC和Rt△BAD中,‎ AB=BA,‎ AC=BD,‎ ‎∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).‎ 例2 如图,两根长度为‎12m的绳子,一端系在旗杆上,另一端分别固定在地面两个木桩上,两个木桩离旗杆底部的距离相等吗?请说明你的理由.‎ 解：相等.理由如下:‎ 197‎ 由图形及实际情形可知,△ABD和△ACD均为直角三角形.‎ 又AB=AC,AD为公共边,‎ ‎∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL),‎ ‎∴BD=CD.‎ 例3 如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系?‎ 解：∠ABC+∠DFE=90°.理由如下:‎ 在Rt△ABC和Rt△DEF中,‎ BC=EF,‎ AC=DF,‎ ‎∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).‎ 又∠DEF+∠DFE=90°,‎ ‎∴∠ABC+∠DFE=90°.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.如图,已知AC⊥BD于点P,AP=CP,请增加一个条件,使△ABP≌△CDP,你增加的条件是 (不再添加辅助线).‎ ‎2.如图，已知AB=AC,AD⊥BC于D,且△ABC的周长是‎50cm,△ABD的周长是‎40cm,则AD= .‎ ‎3.如图,AB⊥BD,AB∥DE,AB=CD,AC=CE,那么BC与DE有怎样的数量关系?写出你的猜想并说明理由.‎ 197‎ ‎4.如图,AB=AC,AD⊥BC于点D,AD=AE,AB平分∠DAE交DE于点F.请你写出图中三对全等三角形,并选取其中一对加以证明.‎ ‎【教学说明】指导学生解答上述习题时,强调学生应:(1)注意应用“HL”证三角形全等时的书写格式；（2）归纳总结证明直角三角形全等的判定条件共有几个？它们分别是什么？‎ ‎【答案】1.BP=DP或AB=CD或∠B=∠D或AB∥CD. ‎‎2.15cm ‎3.猜想:BC=DE.‎ 证明:∵AB⊥BD,∴∠ABC=90°,又AB∥DE,∴∠EDC=∠ABC=90°,即△ABC和△EDC为直角三角形.又AB=CD,AC=CE,∴Rt△ABC≌Rt△CDE(HL).∴BC=DE.‎ ‎4.△ADB≌△ADC,△ABD≌△ABE,△ABE≌△ACD,△AFD≌△AFE,△BFD≌△BFE(写出三对即可,可以△ADB≌△ADC为例证明,应用HL证得).‎ 四、师生互动，课堂小结 ‎1.回顾本书所学知识,巩固“HL”的记忆与认识，清楚地了解到“HL”是直角三角形全等所独有的定理，以直角三角形为前提条件.‎ ‎2.归纳直角三角形全等的证明定理有:SSS,SAS,ASA,AAS,HL共五个,在实际解题时能灵活选用.‎ ‎【教学说明】‎ 在总结直角三角形全等判定定理共有几个时,鼓励学生踊跃思考发言,发挥集体智慧得到完整答案,利于引导学生形成合作交流意识.‎ ‎1.布置作业：从教材“习题‎12.2”‎中选取部分题目.‎ ‎2.完成练习册中本课时的练习.‎ 本课时教学应突出 197‎ 学生主体性原则，即从规律的探究、例题的学习，指引学生独立思考，自主得出，在探究之后，让学生相互交流，或上台展示自己的发现，或表述个人的体验，从中获取成功的体验后，激发学生探究的激情.‎ ‎12.3 角的平分线的性质 第1课时 角的平分线的作法及性质 ‎【知识与技能】‎ ‎1.掌握角的平分线的作法.‎ ‎2.会利用角平分线的性质.‎ ‎【过程与方法】‎ 经历折纸、画图、文字与符号的翻译活动,培养学生的联想、探索、概括归纳的能力.‎ ‎【情感态度】‎ 通过实际操作与探究交流,激发学生学习数学的兴趣.‎ ‎【教学重点】‎ 角平分线的性质及其应用.‎ ‎【教学难点】‎ 灵活应用两个性质解决问题.‎ 一、情境导入，初步认识 活动1 学生预习教材,掌握角平分线的作法,小组间交流并动手实际画一画,总结出画角平分线的步骤.‎ 活动2 让学生用准备好的白纸与剪刀,自己动手,剪一个角,把剪好的角对折,使角的两边叠合在一起,再把纸片展开,看到了什么?‎ ‎【教学说明】发现第一次对折后的折痕是这个角的平分线;再折一次,又会出现两条折痕,而且这两条折痕是等长的.这种方法可以做无数次,所以这种等长的折痕可以折出无数对.‎ 请同学们折出如图所示的折痕PD、PE,并研究这个图形中隐含了哪些等量关系,互相交流,形成结论.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.‎ 197‎ 二、思考探究，获取新知 由上述活动及交流情况,教师总结以下新知识:‎ ‎1.角平分线上的点到角两边的距离相等.‎ ‎2.到角两边距离相等的点在角的平分线上.‎ ‎【教学说明】‎ ‎1.这两个性质的条件和结论正好相反,分别可以作为证线段相等和证角相等的依据.‎ ‎2.在用几何语言表述性质时,注意强调“点到直线的距离”中的垂直条件.‎ 例1 如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1∶20000）?‎ ‎【教学说明】教师提出下列问题，引导学生理清思路：‎ ‎(1)集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？‎ ‎(2)比例尺为1∶20000是什么意思？‎ ‎(3)图形上，表示500m的是个什么距离？‎ 例2 如图所示，BD为∠ABC的平分线，AB=BC,点P、D分别在BF上，PM⊥AD于M,PN⊥CD于N，求证：PM=PN. ‎ ‎【分析】从一条线引两条垂线，要证明两条垂线段相等，可联想到角平分线的性质，将证线段相等转化为找角平分线，即证角相等.根据△ABD≌△CBD即可得证.‎ ‎【证明】∵BD为∠ABC的平分线，‎ ‎∴∠ABD=∠CBD.‎ 在△ABD和△CBD中，‎ ‎ ‎ ‎∴△ABD≌△CBD(SAS).‎ ‎∴∠ADB=∠CDB.‎ 即射线DP为∠ADC的平分线.‎ 197‎ 又∵PM⊥AD,PN⊥CD,‎ ‎∴PM=PN.‎ 例3如图，点P是∠AOB的平分线OM上一点，作PD⊥OB,PC⊥OA,垂足分别是点D、C，点E、F分别在线段OD,OC上，且∠PED=∠PFC,求证：OP平分∠EPF. ‎ ‎【分析】‎ 欲证OP平分∠EPF，可设法证∠OPE=∠OPF,而要证∠OPE=∠OPF,需证∠OPD=∠OPC和∠DPE=∠CPF.‎ ‎【证明】‎ ‎∵OP平分∠AOB,PD⊥OB,PC⊥OA,垂足分别是点D，C，∴PD=PC，‎ ‎∠ODP=∠OCP=90°.‎ 在Rt△ODP与Rt△OCP中， ‎ ‎∴Rt△ODP≌Rt△OCP（HL）.‎ ‎∴OD=OC,∠OPD=∠OPC.‎ 在Rt△EDP与Rt△FCP中，‎ ‎∠PED=∠PFC,∠ODP=∠OCP=90°,‎ ‎∴90°-∠PED=90°-∠PFC,即∠DPE=∠CPF.‎ ‎∴∠OPD-∠DPE=∠OPC-∠CPF,‎ ‎∴∠OPE=∠OPF,即OP平分∠EPF.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.角的平分线上的点到这个角的两边的______相等.‎ ‎2.如图，在△ABC中,∠A=80°,∠B与∠C的平分线相交于点I,则∠BIC=___.‎ ‎ ‎ 第2题图 第3题图 ‎3.已知在△ABC中,∠B=30°,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于D,且DE⊥AB于E,则∠BDE=_______=_______=_______.‎ 197‎ ‎【教学说明】指导学生解答上述习题时，应适当启发学生对角平分线性质的灵活运用.‎ ‎【答案】1.距离 2.130°‎ ‎3.∠EDA ∠CDA ∠CAB 四、师生互动，课堂小结 ‎1.角平分线的两个性质应牢记并应用于解题中.‎ ‎2.与角平分线有关的求证线段相等,角相等问题,我们可以直接用角平分线性质,不必再利用证三角形全等得到线段相等或角相等.‎ ‎1.布置作业：从教材“习题12.3”中选取部分题.‎ ‎2.完成练习册中本课时的练习.‎ 本课时教学思路按操作、猜想、验证的学习过程，遵循学生的认知规律，充分体现了数学学习的必然性，教学时要始终围绕问题展开，先从出示问题开始，鼓励学生思考、探索问题中所包含的数学知识，再要求学生开展活动——折纸，体验三角形角平分线交于一点的事实，并得出进一步的猜想和开展新活动——尺规作图，从中猜想结论并思考证明的方法，整堂课以学生操作、探究、合作贯穿始终，并充分给学生思考留下足够的空间与时间，形成动手、合作、概括与解决问题的意识与能力.‎ 第2课时 角的平分线的判定 ‎【知识与技能】‎ ‎1.掌握角的平分线的判定.‎ ‎2.会利用三角形角平分线的性质.‎ ‎【过程与方法】‎ 通过学习角的平分线的判定，发展学生的推理能力，培养学生分析、归纳问题的能力.‎ ‎【情感态度】‎ 锻炼数学应用意识和用数学解决实际问题的能力，体验数学的应用价值.‎ ‎【教学重点】‎ 角平分线的判定.‎ 197‎ ‎【教学难点】‎ 三角形的内角平分线的应用.‎ 一、情境导入，初步认识 问题1我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？‎ ‎【教学说明】如图所示，已知PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE，那么能否得到点P在∠AOB的角平分线上呢？事实上，在Rt△OPD和Rt△OPE中，我们利用HL可得到Rt△OPD≌Rt△OPE.所以∠AOP=∠BOP，即点P在∠AOB的角平分线上.‎ 二、思考探究，获取新知 三角形内角平分线是角平分线的延伸，那如何利用它来解题呢？‎ 例1 如图O是△ABC内的一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE.若∠A=70°,求∠BOC的度数. ‎ ‎【分析】由OD=OE=OF,且OD⊥BC、OE⊥AC、OF⊥AB知，O是△ABC的三角平分线的交点，所以∠1=∠2、∠3=∠4.要求∠BOC的度数，只要求出∠1+∠3的度数，即只要求出2（∠1+∠3）=∠ABC+∠ACB的度数即可，在△ABC中，运用三角形的内角和定理，即可得出∠BOC的度数.‎ 解:∵OF⊥AB,OD⊥BC,且OF=OD,‎ ‎∴BO平分∠ABC,即∠1=∠2,同理可得∠3=∠4.‎ ‎∴∠BOC=180°-(∠1+∠3)=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=90°+∠A=125°.‎ ‎【教学说明】求三角形中角的度数，要善于运用角平分线的性质. ‎ 例2如图①,D、E、F是△ABC的三条边上的点，且CE=BF,S△DCE=S△DBF，求证：AD平分∠BAC. ‎ ‎【分析】由已知条件可知△DCE和△DBF的两底CE=BF,且它们的面积相等，所以这两底上的高应该相等.因此过点D作DM⊥AB,DN⊥AC,垂足分别为M和N，则DM=DN.由角平分线的判定定理可知，AD平分∠BAC.‎ 197‎ ‎【证明】如图②，过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N. ‎ ‎∵S△DCE=S△DBF,即CE·DN=BF·DM.‎ 又∵CE=BF,∴DN=DM,∴点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC.‎ 例3 如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°,D是AC上一点，且AE⊥BD并交BD的延长线于点E，又AE=BD.求证：BD是∠ABC的平分线. ‎ ‎【分析】要证明BD是∠ABC的平分线，即证明∠1=∠2,可构造全等三角形，延长AE、BC交于F，根据条件证明△ABE≌△FBE即可.‎ ‎【证明】延长AE、BC交于点F.‎ ‎∵AE⊥BD,∠ACB=90°,‎ ‎∴∠2+∠F=∠FAC+∠F=90°,‎ 即∠2=∠FAC.‎ 在△BDC与△AFC中，‎ ‎ ,‎ ‎∴△BDC≌△AFC(ASA),‎ ‎∴BD=AF.‎ 又∵AE=BD,∴AE=AF,‎ ‎∴AE=EF.‎ 在△ABE和△FBE中，‎ ‎ ,‎ ‎∴△ABE≌△FBE(SAS).∴∠1=∠2.‎ 即BD是∠ABC的平分线.‎ 例4 (青海西宁中考)八年级（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图所示），设计了如下方案：‎ 197‎ 方案一：∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P置于射线OA,OB之间.移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.‎ 方案二：∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON,将角尺的直角顶点P介于射线OA，OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M，N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.‎ ‎（1）方案一、方案二是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由；‎ ‎（2）方案一中，在PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA,PN⊥OB.此方案是否可行？请说明理由.‎ 解：（1）方案一不可行，理由:缺少三角形全等的条件.方案二可行.‎ 证明：在△OPM和△OPN中，‎ ‎ ‎ ‎∴△OPM≌△OPN(SSS).‎ ‎∴∠AOP=∠BOP.‎ ‎∴OP是∠AOB的平分线.‎ ‎（2）此方案可行.理由：∵PM=PN,且PM⊥OA,PN⊥OB,∴P在∠AOB的角平分线上，∴OP是∠AOB的平分线.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.如图，已知DB⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC,∠BAC=40°,∠ADG=130°,则∠DGF=________.‎ ‎ ‎ 第1题图 第2题图 ‎2.如图，以△ABC的两边AB,AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE,CD交于点O，求证：OA平分∠DOE.‎ ‎【答案】1.150°‎ ‎2.证明：过点A分别作AM⊥DC于点M，AN⊥BE于点N.‎ 197‎ ‎∵△ABD、△ACE是等边三角形，‎ ‎∴AD=AB,AE=AC,‎ ‎∠DAB=∠EAC=60°，‎ ‎∴∠DAC=∠BAE,‎ ‎∴△DAC≌△BAE，‎ ‎∴DC=BE,‎ 又∵S△DAC=S△BAE,‎ ‎∴AM=AN.‎ 又∵AM⊥DC,AN⊥BE,‎ ‎∴OA平分∠DOE.‎ 四、师生互动，课堂小结 ‎1.三角形的三条角平分线的交点有且只有一个，且一定在三角形的内部.‎ ‎2.证明三线共点的证明思路：先设其中的两线交于一点，再证明该交点也在第三条直线上.‎ ‎3.在三角形内部，要找一点到三边距离相等时，只要作出两个角的角平分线，其交点即是.‎ ‎4.角平分线的判定与性质的关系：由角平分线的判定方法知这个结论的逆命题也是正确的，即在三角形内，到三角形三边的距离相等的点是三角形三条角平分线的交点.‎ ‎1.布置作业：从教材“习题12.3”中选取部分题.‎ ‎2.完成练习册中本课时的练习.‎ 本课时教学应重视以下几点；‎ ‎1.努力体现数学与生活的联系，从实际中学习新知，使学生认识这种学习方法.‎ ‎2.课堂中，可采用口答、动手做做等方式组织学生比赛，教师依据具体情形予以点评指点，查漏补缺，使学生全方位从本质上理解知识.‎ 章末复习 197‎ ‎【知识与技能】‎ ‎1.了解全等三角形的概念和性质,能够准确辨认全等三角形中的对应元素.‎ ‎2.探索三角形全等的条件,能够利用三角形全等进行证明,掌握综合法证明的格式.‎ ‎3.会作角的平分线,了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质,会利用角的平分线的性质进行证明.‎ ‎【过程与方法】‎ 通过学习全等三角形的性质与条件,培养学生综合应用能力,培养学生的几何直觉.‎ ‎【情感态度】‎ 通过综合运用全等三角形性质和全等三角形条件以及角平分线的过程中,感受数学与生活息息相关,从而激发学数学的兴趣.‎ ‎【教学重点】‎ 全等三角形的性质和条件的综合应用.‎ ‎【教学难点】‎ 全等三角形性质、条件与其他知识的综合应用.‎ 一、知识框图，整体把握 ‎【教学说明】教师依据以上框图,带领学生一起全面回忆本章知识点.‎ 二、释疑解惑，加深理解 教师针对本章易错点引导学生予以归纳并分析错因.‎ ‎1.寻找全等三角形的对应边和对应角时出错.‎ 例1 如图,已知△ABC≌△FED,∠C=∠D,AE=BF,指出其它的对应边和对应角.‎ 197‎ ‎【常见错解】对应边BC与DF,AE与BF,对应角∠DFE和∠ABC.‎ ‎【错解分析】识图能力差,不能从重合的角度(将其中一个三角形先平移使AB与EF重合,然后沿EF翻折)来认识三角形的对应,从而无法正确找到对应边,对应角.‎ ‎2.对“SSS”掌握不熟练，自造条件用于判定三角形全等.‎ 例2 如图,AB=CD,AC和BD交于点O,若AC=BD,则∠B=∠C吗?为什么?‎ ‎【常见错解】∵AC=BD,∴OA=OD,OB=OC.又∵AB=CD,∴△ABO≌△DCO(SSS),∴∠B=∠C.‎ ‎【错解分析】OA=OD,OB=OC属于自造条件,由AC=BD无法推出OA=OD,OB=OC.‎ ‎3.对SAS,AAS中的“夹角”“对应边”的内涵理解不清，导致用错.‎ 例3 如图,AE=AC,AB=AD,∠EAB=∠CAD.求证:∠B=∠D.‎ ‎【常见错解】在△ABC和△ADE中,AC=AE,∠CAD=∠EAB,AB=AD,∴△ABC≌△ADE(SAS),∴∠B=∠D.‎ ‎【错解分析】没有认真地结合图形来分析条件,对应角认识不明确,错把∠EAB和∠CAD看成△ABC和△ADE的内角.‎ 三、典例精析，复习新知 ‎1.证明两线段相等 例4 已知,如图,AB=AC,∠BAC=∠DAE,∠ABD=∠ACE.试证明BD=CE.‎ 197‎ ‎【分析】欲证BD=CE,结合已知条件可知,只需证明BD,CE所在的△ABD和△ACE全等.‎ ‎【归纳】证明两条线段相等,可通过两个三角形全等得到,首先结合图形和已知条件观察它们所在的三角形是否全等,再予以证明.‎ ‎2.证明两角相等.‎ 例5 如图,AB=DC,∠A=∠D.求证：∠ABC=∠DCB ‎【分析】由AB=DC,∠A=∠D,想到如果取AD的中点N,连NB,NC,再由“SAS”得△ABN≌△DCN，所以BN=CN，∠ABN=∠DCN.下面只需证∠NBC=∠NCB,再取BC中点M,连MN,则由“SSS”证得△NBM≌△NCM，推得∠NBC=∠NCB，从而使问题得证.‎ ‎【归纳】所证的两角没有分布在两个三角形中,所以不能直接利用两个三角形全等的性质来证明,但取AD的中点N,连BN,CN,把四边形分解成三角形,再用三角形知识来解题,体现了转化的思想.‎ ‎3.证明两线互相垂直 例6 如图,△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,过D点作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.连EF交AD于G.求证:EF⊥AD.‎ ‎【分析】由已知条件不难看出△ADE≌△ADF,进一步易证△AGE≌△AGF或△DGE≌△DGF,从而得到∠AGE与∠AGF相等且互补,故EF⊥AD.‎ ‎【证明】‎ ‎∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.在Rt△ADE和Rt△ADF中，‎ AD=AD DE=DF ‎∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）∴AE=AF 在△AGE和△AGF中 AE=AF,‎ 197‎ ‎∠EAG=∠FAG,‎ AG=AG.‎ ‎∴△AGE≌△AGF(SAS),‎ ‎∴∠AGE=∠AGF.‎ ‎∵∠AGE+∠AGF=180°,‎ ‎∴∠AGE=12×180°=90°,即EF⊥AD.‎ ‎4.证明两线平行 例7 如图,△ABC中,AD平分∠BAC,E,F分别在BD,AD上,且DE=CD,EF=AC.求证:EF∥AB.‎ ‎【分析】要证EF∥AB,必须∠1=∠3,而∠1=∠2,故应有∠2=∠3,根据条件DE=CD,EF=AC,通过辅助线构造两个三角形全等来证明.‎ ‎【证明】分别作CM⊥AD于M,EN⊥AD交AD的延长线于N,在△EDN和△CDM中,‎ ‎∠END=∠CMD=90°,‎ ‎∠NDE=∠MDC(对顶角相等),‎ DE=CD.‎ ‎∴△EDN≌△CDM(AAS),∴EN=CM.‎ 在Rt△FEN和Rt△ACM中,‎ EF=AC,‎ EN=CM.‎ ‎∴Rt△FEN≌Rt△ACM(HL),∴∠2=∠3.‎ ‎∵∠1=∠2,∴∠1=∠3,∴EF∥AB.‎ ‎5.构造全等三角形 例8 如图所示,CE,CB分别是△ABC,△ADC的中线,且AB=AC.求证:CD=2CE.‎ 197‎ ‎【分析】为了证明CD=2CE,考虑CE是△ABC底边AB上的中线,故把CE延长到F,使CF=2CE,把原来证CD=2CE转化为证明CD=CF,如此把线段“倍半”的数量关系转化为证两条线段的相等关系.‎ ‎【归纳】三角形中有中线时,常加倍延长中线,构造全等三角形,使边,角条件转换,将分散的边、角集中在一些图形中,使问题易于解决.‎ ‎【教学说明】在讲解例题的过程中，老师引导学生回顾三角形全等和角平分线性质的知识. ‎ ‎1.布置作业：从教材“复习题‎12”‎中选取.‎ ‎2.完成练习册中本课时的练习.‎ 本课时教学应重点突出：‎ ‎1.利用知识回顾与错例剖析，使学生进一步巩固和深化对所学知识的理解，建立起清晰的知识框架，形成严谨的思维习惯.‎ ‎2.强调转化思想的认识与应用，证明线段与角的相等可以转化成证明三角形全等去解决，实际生活中的测量问题也可以利用全等三角形知识解决.利用这一系列问题帮助学生领悟和掌握这种数学思想方法.‎ 第十三章 轴对称 ‎13.1 轴对称 ‎13.1.1‎‎ 轴对称 ‎【知识与技能】‎ 197‎ 掌握轴对称图形和关于直线成轴对称等概念.‎ ‎【过程与方法】‎ 通过生活中的具体实例认识,培养观察、思维、操作、归纳能力.‎ ‎【情感态度】‎ 体验数学与生活的联系,发展审美观.‎ ‎【教学重点】‎ 准确掌握轴对称图形和关于直线成轴对称的实质.‎ ‎【教学难点】‎ 轴对称图形和关于直线成轴对称的区别与联系.‎ 一、情境导入，初步认识 展示学生按要求收集的图片资料,教师指导并对所有图片进行分类:第一类是轴对称图形,第二类是关于一条直线对称的图形.‎ 学生观察,并以小组为单位,讨论下列问题:‎ ‎1.第一类图案有什么共同特征?‎ ‎2.第二类图案有什么共同特征?‎ ‎【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.轴对称图形 在学生交流和说出两类图案的特征的基础上,教师提出第一类的图案称为轴对称图形.‎ 问题1 学生尝试说出轴对称图形的定义,教师适当纠正与补充.‎ 问题2 请学生再举一些日常生活中的轴对称图形的例子.‎ 问题3 请观察下列图案,看这些轴对称图形各有几条对称轴.‎ ‎2.两个图形关于某条直线对称 教师提出第二类图案称为两个图形关于某条直线对称.‎ 问题4 鼓励学生说出两个图形关于某条直线对称的定义.‎ 问题5 举出生活中两个图形成轴对称的例子.‎ 197‎ 如:‎ 提示：对称轴可能不止1条,也可能是水平的或倾斜的.‎ 教师再归纳总结轴对称图形和两个图形成轴对称间的区别与联系.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.如图,在由小正方形组成的L形的图形中,用三种不同的方法添画一个小正方形,使它成为轴对称图形.‎ ‎2.角是轴对称图形,它的对称轴是 .‎ ‎【教学说明】问题1中有两种方法比较容易,方法3鼓励学生交流讨论得到;问题2提醒学生不能说成角平分线.‎ ‎【答案】1.‎ ‎2.角平分线所在的直线.‎ 四、师生互动，课堂小结 本节课你学会了什么?有哪些收获?还有什么疑问?‎ ‎1.布置作业：从教材“习题‎13.1”‎中选取.‎ ‎2.如图是一个圆形的纸片,请问:它是轴对称图形吗?如果是, 对称轴有多少条?请你找到它的圆心.‎ ‎3.完成练习册中本课时的练习.‎ 本课时教学应重视以下几点：‎ 197‎ ‎1.努力体现数学与生活的联系，从实际中学习新知，使学生认识这种学习方法.‎ ‎2.形成提炼概念的能力，注重从实物的形象思维向抽象思维转变.‎ ‎3.在对比中发现，认识知识，如“轴对称”与“轴对称图形”的区别与联系.‎ ‎13.1.2 线段的垂直平分线的性质 ‎【知识与技能】‎ ‎1.了解两个图形成轴对称的性质,了解轴对称图形的性质.‎ ‎2.探究线段垂直平分线的性质.‎ ‎【过程与方法】‎ 经历探索轴对称图形性质的过程,发展空间观察能力.‎ ‎【情感态度】‎ 体验数学与现实间的联系,发展审美感,激发兴趣.‎ ‎【教学重点】‎ 轴对称的性质,线段垂直平分线的性质.‎ ‎【教学难点】‎ 线段垂直平分线的性质.‎ 一、情境导入，初步认识 问题1 下面图形中哪些是轴对称图形?如果是,请说出它的对称轴.‎ 问题2 如果两个图形成轴对称,那么这两个图形有什么关系?‎ ‎(如图2,△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称)‎ 197‎ ‎【教学说明】两个图形成轴对称,那么这两个图形就全等.由此提出线段垂直平分线定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.如图3,直线l是线段AB的垂直平分线.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎1.探究轴对称的性质 ‎(1)作两个成轴对称的三角形,如图.‎ ‎(2)将对称点分别用线段连接起来,观察它与对称轴的位置关系及数量关系,你能得到什么结论?是如何得到这个结论的?‎ ‎(3)轴对称图形是否也具备这样的性质呢?举例说明.‎ ‎2.探索线段垂直平分线的性质 探究1 教材中的“探究”.‎ 学生先思考教科书上的问题，然后让学生以线段代替木条进行画图探究.任意画一条线段AB,画出它的垂直平分线MN,在MN上任取点P1,P2,P3,分别量一量点P1,P2,P3到点A，点B的距离,你有什么发现?与同伴交流,说明理由.‎ 探究2 如图,PA=PB,取线段AB的中点O,连接PO,PO与AB有怎样的位置关系?‎ 指导学生运用三角形全等知识判定△PAO≌△PBO,从而推得PO是线段AB的垂直平分线.‎ 197‎ 教师总结线段垂直平分线的性质与判定.‎ 例1 如图所示,有一块三角形田地,AB=AC=‎10m,作AB的垂直平分线ED交AC于D,交AB于E,量得△BDC的周长为‎17m,请你替测量人员计算BC的长.‎ 解:∵ED是AB的垂直平分线,‎ ‎∴DA=DB.‎ 又∵△BDC的周长为‎17m,AB=AC=‎10m,‎ ‎∴BD+DC+BC=17(m).‎ ‎∴DA+DC+BC=17,‎ 即AC+BC=17(m).‎ ‎∴10+BC=17(m),BC=7(m).‎ ‎3.作简单轴对称图形的对称轴.‎ 例2 如图所示，△ABC与△A′B′C′关于某条直线对称，请你作出这条直线.‎ ‎【分析】△ABC与△A′B′C′中的点A与A′，点B与B′，点C与C′是对应点，连接一对对应点，如连接BB′，作线段BB′的垂直平分线即可.‎ 解:（1）如图所示，连接BB′，分别以点B，B′为圆心，以大于BB′的长为半径作弧，两弧相交于D、E两点；‎ ‎（2）作直线DE，DE即为所求的直线.‎ 197‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.如果△ABC中,∠BAC=110°,P,Q在BC上,若MP,NQ分别垂直平分AB,AC,则∠PAQ的度数是 .‎ ‎2.如图，正方形ABCD的边长为‎4cm,则图中阴影部分的面积为.‎ ‎3.如图所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（ ）‎ A.6‎ B.5‎ C.4‎ D.3‎ ‎4.如图所示,OC是∠AOB的平分线,AC⊥AO,BC⊥BO,则OC与AB的关系是( ).‎ A.AB垂直平分OC B.OC垂直平分AB C.OC只平分AB但不垂直 D.OC只垂直AB但不平分 ‎5.如图,△ABC中，AB=AC，∠A=36°,AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连结EC.‎ ‎（1）求∠ECD的度数；‎ ‎（2）若CE=5，求BC的长.‎ 197‎ ‎【教学说明】指导学生解答上述习题时，强调学生应：（1）注意成轴对称的两个图形的全等关系，由此可得到几组边、角的相等；（2）注意线段垂直平分线的性质的灵活运用.‎ ‎【答案】1.40° ‎2.8cm2 3.B 4.B ‎5.(1)∵DE垂直平分AC,∴CE=AE,∴∠ECD=∠A=36°.(2)∵AB=AC,∠A=36°,∴∠B=∠ACB=72°,∵∠ECD=36°,∴∠BCE=∠ACB-∠ECD=36°,∴∠BEC=72°=∠B,∴BC=EC=5.‎ 四、师生互动，课堂小结 问题：本节课学会了什么?有哪些收获?还有什么疑问?‎ 由学生表述,教师归纳总结.‎ ‎1.布置作业：从教材“习题‎13.1”‎中选取.‎ ‎2.完成练习册中本课时的练习.‎ 本课教学力求充分体现内容的基础性，方法的灵活性、学生学习的主体性和教学的主导性，在学习活动中，要求学生主动参与，认真思考、比较观察、动手交流和表述，并借助多媒体的手段辅助教学，增强直观性、激发学习兴趣.‎ 强调分组讨论，学生与学生之间很好地交流与合作，利用师生的双边活动，激发学生学习兴趣，教师从中发现、搜集学生的学习情况，查漏补缺，适时调度，从而顺利达到教学的目的.‎ ‎13.2 画轴对称图形 第1课时 作轴对称图形 ‎【知识与技能】‎ ‎1.通过动手操作体验如何作轴对称图形.‎ ‎2.能作出一个图形经一次或二次轴对称变换后的图形.‎ ‎3.能利用轴对称变换设计一些简单的图案.‎ ‎【过程与方法】‎ 197‎ 通过实际操作获取作轴对称图形的方法,并应用于简单的图案设计.‎ ‎【情感态度】‎ 通过图案设计等活动,培养学生的动手操作能力,审美及数学兴趣,发展学生的空间观念.‎ ‎【教学重点】‎ 作一个图形经轴对称变换后的图形.‎ ‎【教学难点】‎ 通过动手操作总结轴对称变换的特征.‎ 一、情境导入，初步认识 利用多媒体向学生展示剪纸图片,供学生欣赏,并请学生交流:如此漂亮的剪纸是如何剪出的呢?‎ 问题1 请学生拿出画有一个简单风筝(如图形状)的半透明纸,把这张纸对折后描图,学生画好后打开对折的纸,观察并回答下列问题:‎ ‎(1)画出的图形与原来的图形有什么关系?‎ ‎(2)两个图形成轴对称有什么特征?‎ 问题2 如果改变对称轴的方向和位置,结果又如何呢?让学生在刚才的纸上任意折叠,描图,打开纸.你发现了什么?‎ ‎【教学归纳】由学生画图、操作、观察后总结出:‎ ‎(1)由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形,这个图形与原图形的形状、大小完全一样.‎ ‎(2)新图形上的每一点,都是原图形上的某一点关于直线l的对称点,连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.‎ ‎【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎【教学说明】‎ 197‎ 成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经轴对称变换后得到.一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础,经轴对称变换扩展而成的.‎ 问题 除上面所用的描图法;还可用什么方法画出轴对称变换后的图形?请学生间交流探讨.‎ 例1(1)如图1,已知△ABC和直线l,作出与△ABC关于直线l对称的图形.‎ ‎(2)将△ABC的位置移至图2,图3,图4时,再作出关于直线l对称的图形.并验证画法.‎ ‎【归纳总结】一个平面图形都是由一些点组成,点动成线,故要画一个图形经轴对称后的图形,只要找到一些特殊点,作出这些特殊点的对称点即可.‎ ‎【教学说明】‎ 利用轴对称变换,可以设计出精美的图案.有时,将平移和轴对称结合起来,可以设计出更美丽的图案.‎ 例2 操作并思考:‎ 如图所示,取一张薄的正方形纸,沿对角线对折后,得到一个等腰直角三角形,再沿斜边上的高线对折,将得到的三角形沿黑线剪开,去掉含90°角的部分,拆开折叠的纸,并将其铺开.‎ ‎(1)你会得到怎样的图案?先猜一猜,再做一做.‎ ‎(2)你能说明为什么会得到这样的图案吗?应用学过的轴对称的知识试一试.‎ ‎(3)如果将正方形纸按上面方式折3次,然后再去掉含90°角的部分展开后的结果又会怎样?为什么?‎ 解:(1)得到一个有2条对称轴的图形.‎ 197‎ ‎(2)按照上面的做法，实际相当于折出了正方形的2条对称轴，因此图中得到的图案一定有2条对称轴.‎ ‎(3)按题中的方式将正方形对折3次,相当于折出了正方形的4条对称轴,因此得到的图案一定有4条对称轴.‎ ‎【教学说明】教师参与,与学生一起操作,力求使图案与花边完美.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.把下列图形补成关于直线l对称的图形.‎ ‎2.如图,利用轴对称变换画出花瓶的另一半.‎ ‎3.如图，左边的旗子经过几次轴对称变换,可以变成右边的旗子?你能设计一种变换方案吗?‎ ‎4.如果我们把台球桌做成等边三角形形状,那么从AC中点D处出发的球,能否依次经BC,AB两条边反射后回到D处?如果认为不能,请说明理由;如果认为能,请作出球运动的路线.‎ ‎【教学说明】指导学生解答上述习题时，要注意引导学生：（1）画轴对称图形时，要先画好关键的对应点；（2）在已知成轴对称的图形时，利用成轴对称的图形的性质，找出对称轴.‎ ‎【答案】4.能.运动路线如图的D→E→F→D 197‎ 四、师生互动，课堂小结 教师请学生回忆本节内容,学生发言谈收获,最后引导总结.‎ ‎1.由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形,这个图形与原图形的形状、大小完全一样.‎ ‎2.经轴对称变换后的图形与原图形上的对应点连线被对称轴垂直平分.‎ ‎3.画一个图形经轴对称变换后的图形,关键是找到图形上的一些点,作出这些点的对称点.‎ ‎1.布置作业：从教材“习题‎13.2”‎中选取.‎ ‎2.完成练习册中本课时的练习.‎ 本课时教学时要尽量创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境，以生动活泼的形式呈现有关内容，重视学生的实际操作和观察发现与表述能力.教学时，根据本课内容特点，可依据其学科知识间联系（如例2）调动课堂气氛，培养学生学习兴趣.‎ 第2课时 用坐标表示轴对称 ‎【知识与技能】‎ ‎1.能在直角坐标系中画出已知点关于坐标轴对称的点.‎ ‎2.能求出已知点关于坐标轴对称的点的坐标,求出已知点关于平行于坐标轴的直线对称的点的坐标.‎ ‎【过程与方法】‎ 在找关于坐标轴对称的点的坐标之间规律并检验其正确性的过程中,培养学生的语言表达能力、归纳能力.‎ ‎【情感态度】‎ 197‎ 在找点,绘图的过程中使学生体验数形结合思想、体验学习乐趣,养成良好的科学研究方法.‎ ‎【教学重点】‎ 能求出已知点关于坐标轴对称的点的坐标.‎ ‎【教学难点】‎ 找对称点的坐标之间的关系,规律.‎ 一、情境导入，初步认识 用多媒体展示北京城风光图片,及北京城形象地图.‎ 问题1 老北京的地图(教材图13.2-3)中,西直门和东直门是关于中轴线对称的,如果以天安门为原点,分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系,对应于如教材图13.2-3所示的东直门的坐标,你能找到西直门的位置和坐标吗?‎ 学生指出西直门的位置或坐标,由此指出用坐标表示轴对称,很方便确定一个地方的位置.‎ ‎【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.‎ 问题2(1)在直角坐标系中画出下列已知点:‎ A(2,-3);B(-1,2);C(-6,-5);D(3,5);E(4,0);F(0,-3).‎ ‎(2)画出这些点分别关于x轴、y轴对称的点,并填写表格.‎ ‎(3)请你仔细观察点的坐标,你能发现关于坐标轴对称的点的坐标有什么规律吗?‎ ‎(4)请你想办法检验你所发现的规律的正确性,说说你是如何检验的.‎ ‎【归纳结论】‎ 点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y），即横坐标相等，纵坐标互为相反数；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y），即横坐标互为相反数，纵坐标相等.‎ 二、典例精析，掌握新知 197‎ 例1 已知点P1(a-1,5)和P2(2,b-1)关于x轴对称,则(a+b)2012的值为( ).‎ A.0 B.‎-1 ‎‎ C.1 D.(-3)2012‎ 出示新问题:‎ ‎1.如图,分别作出△PQR关于直线x=1和直线y=1对称的图形.‎ ‎2.试找出它们对应点的坐标.‎ ‎3.猜想:如果作关于直线x=3和直线y=-4对称的图形,试找出它们对应点的坐标,并总结出一般性规律.‎ 点(x,y)关于直线x=m对称点的坐标是(‎2m-x,y),即若两点(x1,y1),(x2,y2)关于直线x=m对称,则m=,y1=y2.‎ 点(x,y)关于直线y=n对称点的坐标是(x,2n-y),即若两点(x1,y1),(x2,y2)关于直线y=n对称,则x1=x2,n=.‎ 例2 如图,梯形ABCD关于y轴对称,点A的坐标为(-3,3),点B的坐标为(-2,0),试写出点C和点D的坐标,并求出梯形ABCD的面积.‎ ‎【分析】已知点D与点A关于y轴对称,点B和点C关于y轴对称,由此可推知点D,点C的坐标.‎ 解：∵点D与点A(-3,3)关于y轴对称,‎ 197‎ ‎∴点D的坐标为(3,3).同理点C的坐标为(2,0).‎ 故AD=|3-(-3)|=6,BC=|2-(-2)|=4,‎ ‎∴S梯形= (AD+BC)·OE=×(6+4)×3=15.‎ ‎【教学说明】由以上例题,应让学生掌握:‎ ‎1.平行于x轴的两点之间的距离等于两点横坐标差的绝对值.‎ ‎2.求规则图形的面积应选用平行于x轴(或y轴)的边为底边,求面积较方便.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.说出下列各点关于x轴,y轴对称的点的坐标.‎ ‎(-2,6),(1,-2),(-1,3),(-4,-2),(1,0).‎ ‎2.四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-5,1),B(-2,1),C(-2,5),D(-5,‎ ‎4),分别作出与四边形关于x轴和y轴对称的图形.‎ ‎3.在坐标系中描出点A(-1,3),B(5,-4),C(-3,-1),D(-1,1),E(-3,5),F(5,‎ ‎8),连接AB,BC,AC,DE,EF,DF,请你判断所得图形是轴对称图形吗?如果不是,请你说明理由;如果是,请说出对称轴.‎ ‎【教学说明】‎ 教师指导学生完成上述问题的解答,提示学生解题过程中注重画图找答案,体验数形结合的作用.同时,鼓励学生从实际解题中总结题中所隐含的规律.‎ ‎【答案】‎ ‎1.‎ ‎2.略 ‎3.图略.所得图形是轴对称图形，对称轴是y=2.‎ 四、师生互动，课堂小结 197‎ 教师引导学生总结本节课用坐标表示轴对称的主要解题方法和解题思路.‎ ‎1.已知点关于某条直线对称的点的坐标可以通过寻找线段间关系来求.‎ ‎2.学生表述关于x轴,y轴对称的点的坐标规律.‎ ‎1.布置作业：从教材“习题‎13.2”‎中选取.‎ ‎2.完成练习册中本课时的练习.‎ 本课时采用探究、发现式的教学方法，通过找具有一定代表性的分别位于四个象限及坐标轴的一些点的对称点及坐标，寻找关于坐标轴对称的点的坐标的一般规律，可培养学生观察、归纳、分析问题解决问题的能力，并通过研究线段之间关系发现对称点的坐标之间的关系，从中体验数形结合思想，教学中应让学生认识到寻找规律后检验其正确性是科学研究问题的一个必不可少的步骤.‎ ‎13.3 等腰三角形 ‎13.3.1‎‎ 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 ‎【知识与技能】‎ ‎1.理解掌握等腰三角形的性质.‎ ‎2.运用等腰三角形性质进行证明和计算.‎ ‎3.观察等腰三角形的对称性、发展形象思维.‎ ‎【过程与方法】‎ ‎1.通过实践、观察、证明等腰三角形的性质,发展学生推理能力.‎ ‎2.通过运用等腰三角形的性质解决有关问题,提高运用知识和技能解决问题的能力.‎ ‎【情感态度】‎ 引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲,并在运用数学知识解答问题的活动中取得成功的体验.‎ ‎【教学重点】‎ 等腰三角形的性质及应用.‎ 197‎ ‎【教学难点】‎ 等腰三角形的证明.‎ 一、情境导入，初步认识 问题1 让学生根据自己的理解,做一个等腰三角形.要求学生独立思考,动手做图后,再互相交流评价.‎ 可按下列方法做出:‎ 作一条直线l,在l上取点A,在l外取点B,作出点B关于直线l的对称点C,连接AB,AC,CB,则可得到一个等腰三角形.‎ 问题2 老师拿出事先准备好的长方形纸片,按下图方式折叠剪裁.‎ 观察并讨论:△ABC有什么特点?教师指导,并介绍等腰三角形的相关概念,及等腰三角形是轴对称图形.‎ ‎【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.‎ 二、思考探究，获取新知 教师依据学生讨论发言的情况,归纳等腰三角形的性质:‎ ‎①∠B=∠C→两个底角相等.‎ ‎②BD=CD→AD为底边BC上的中线.‎ ‎③∠BAD=∠CAD→AD为顶角∠BAC的平分线.‎ ‎∠ADB=∠ADC=90°→AD为底边BC上的高.‎ 指导学生用语言叙述上述性质.‎ 性质1等腰三角形的两个底角相等(简写成:“等边对等角”).‎ 性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线,底边上的高重合(简记为:“三线合一”).‎ 197‎ 教师指导对等腰三角形性质的证明.‎ ‎1.证明等腰三角形底角的性质.‎ 教师要求学生根据猜想的结论画出相应的图形,写出已知和求证.在引导学生分析思路时强调:‎ ‎(1)利用三角形全等来证明两角相等.为证∠B=∠C,需证明以∠B,∠C为元素的两个三角形全等,需要添加辅助线构造符合证明要求的两个三角形.‎ ‎(2)添加辅助线的方法可以有多种方式:如作顶角平分线,或作底边上的中线,或作底边上的高等.‎ ‎2.证明等腰三角形“三线合一”的性质.‎ ‎【教学说明】在证明中,设计辅助线是关键,引导学生用全等的方法去处理,在不同的辅助线作法中,由辅助线带来的条件是不同的,重视这一点，要求学生板书证明过程,以体会一题多解带来的体验.‎ 例 如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.‎ 解:∵AB=AC,BD=BC=AD,‎ ‎∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD(等边对等角).‎ 设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,‎ 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.‎ 于是在△ABC中,有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°,‎ 解得x=36°‎ 于是在△ABC中,有∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.‎ ‎【教学说明】等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”性质，可以实现由边到角的转 197‎ 化，从而可求出相应角的度数.要在解题过程中,学会从复杂图形中分解出等腰三角形,用方程思想和数形结合思想解决几何问题.‎ 三、运用新知，深化理解 第1组练习:‎ ‎1.如图,在下列等腰三角形中,分别求出它们的底角的度数.‎ ‎2.如图，△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,∠BAC=90°,AD是底边BC上的高,标出∠B,∠C,∠BAD,∠DAC的度数,指出图中有哪些相等线段.‎ ‎3.如图,在△ABC,AB=AD=DC,∠BAD=26°,求∠B和∠C的度数.‎ 第2组练习:‎ ‎1.如果△ABC是轴对称图形,则它一定是( )‎ A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 ‎2.等腰三角形的一个外角是100°,它的顶角的度数是( )‎ A.80° B.20°‎ C.80°和20° D.80°或50°‎ ‎3.已知等腰三角形的腰长比底边多‎2cm,并且它的周长为‎16cm.求这个等腰三角形的边长.‎ ‎4.如图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E.求证:AE=CE.‎ 197‎ ‎【教学说明】‎ 等腰三角形解边方面的计算类型较多,引导学生见识不同类型,并适时概括归纳,帮学生形成解题能力,注意提醒学生分类讨论思想的应用.‎ ‎【答案】‎ 第1组练习答案:‎ ‎1.(1)72°;(2)30°‎ ‎2.∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°;AB=AC,BD=DC=AD ‎3.∠B=77°,∠C=38.5°‎ 第2组练习答案:‎ ‎1.C ‎2.C ‎3.设三角形的底边长为xcm,则其腰长为(x+2)cm,根据题意,得2(x+2)+x=16.解得x=4.∴等腰三角形的三边长为‎4cm,‎6cm和‎6cm.‎ ‎4.延长CD交AB的延长线于P,在△ADP和△ADC中,∠PAD=∠CAD,AD=AD,∠PDA=∠CDA,∴△ADP≌△ADC.∴∠P=∠ACD.又∵DE∥AP,∴∠CDE=∠P.∴∠CDE=∠ACD,∴DE=EC.同理可证:AE=DE.∴AE=CE.‎ 四、师生互动，课堂小结 这节课主要探讨了等腰三角形的性质,并对性质作了简单的应用.请学生表述性质,提醒每个学生要灵活应用它们.‎ 学生间可交流体会与收获.‎ ‎1.布置作业：从教材“习题‎13.3”‎中选取.‎ ‎2.完成练习册中本课时的练习.‎ 本课时应把 197‎ 重点放在逐步展示知识的形成过程上，先让学生通过剪纸认识等腰三角形；再通过折纸猜测、验证等腰三角形的性质；然后运用全等三角形的知识加以论证.由特殊到一般、由感性上升到理性，逻辑演绎，层层展开，步步深入.‎ 第2课时 等腰三角形的判定 ‎【知识与技能】‎ ‎1.理解掌握等腰三角形的判定.‎ ‎2.运用等腰三角形判定进行证明和计算.‎ ‎【过程与方法】‎ 通过推理证明等腰三角形的判定定理,发展学生的推理能力,培养学生分析、归纳问题的能力.‎ ‎【情感态度】‎ 引导学生观察,发现等腰三角形的判定方法,获得成功的感受，并在这个过程中体验学习的乐趣.‎ ‎【教学重点】‎ 等腰三角形的判定定理.‎ ‎【教学难点】‎ 等腰三角形判定定理的证明.‎ 一、情境导入，初步认识 先请学生回忆等腰三角形的性质,再向学生提出下列问题.‎ 问题1 如图,位于海上A,B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警,当时测得∠A=∠B.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发,能不能大约同时赶到出事地点(不考虑风浪因素).‎ 引导学生作如下思考:‎ ‎(1)应该能同时赶到出事地点,因为两艘救生船的速度相同,同时出发,在相同的时间内走过的路程应该相同,也就是OA=OB,所以两船能同时赶到出事地点.‎ 197‎ ‎(2)能同时赶到O点位置的一个很重要的因素是∠A=∠B,也就是说如果∠A不等于∠B,那么同时以同样的速度出发就不能同时赶到出事地点.‎ ‎【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.‎ 问题2 根据上述探究,考虑:“在一个三角形中，如果两个角相等，那么它们所对的边也相等”，并证明这个结论.‎ ‎1.指导学生表述结论并写出证明过程.‎ ‎2.指出表述要严谨,如不能说成：“如果一个三角形的两个底角相等，那么它是等腰三角形”.‎ 二、思考探究，获取新知 例1 求证：如果一个三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.‎ ‎【教学说明】本题是文字叙述的证明题,先应将文字语言转化为相应的数学语言,再根据题意画出相应的几何图形.‎ 要证明这个问题,由特征结论联想“等角对等边”，而等角由已知的平行线和角平分线可推得.‎ 例2 如图,标杆AB高‎5m,为了将它固定,需要由它的中点C向地面上与点B距离相等的D,E两点拉两条绳子,使得D,B,E在一条直线上,量得DE=‎4m,绳子CD和CE要多长?‎ ‎【教学说明】‎ 这是一个与实际生活相关的问题,要解决这类问题,需要将实际问题抽象为数学模型.本题的实质是已知等腰三角形的底边和底边上的高,求腰长的问题.‎ 解：如图(2),选取比例尺为1∶100.‎ ‎①作线段DE=‎4cm.‎ ‎②作线段DE的垂直平分线MN,与DE交于点B.‎ ‎③在MN上截取BC=‎2.5cm.‎ ‎④连接CD,CE,△CDE就是所求的等腰三角形,量出CD的长,就可以计算出要求的绳长.‎ 例3 如图,已知△ABC中,AB=AC,BD,CE分别是两腰上的中线.求证:BD=CE.‎ 197‎ 证明:‎ ‎∵AB=AC,‎ ‎∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).‎ 又∵CD=AC,BE=AB,‎ ‎∴CD=BE.‎ 在△BEC和△CDB中,‎ ‎∵BE=CD,∠ABC=∠ACB,BC=CB,‎ ‎∴△BEC≌△CDB(SAS).‎ ‎∴BD=CE.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.如图,∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°,分别计算∠1,∠2的度数,并说明图中有哪些等腰三角形.‎ ‎2.如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠,重合部分是一个等腰三角形吗?为什么?‎ ‎3.如图,AC和BD相交于点O,AB∥DC,OA=OB.求证:OC=OD.‎ ‎4.如图,在△ABD中,C是BD上的一点,且AC⊥BD,AC=BC=CD.(1)求证:△ABD是等腰三角形.(2)求∠BAD的度数.‎ 197‎ ‎【教学说明】上述习题要引导学生边做题边总结,熟悉等腰三角形的性质与判定常与哪些知识在一起应用,等腰三角形性质与判定间有什么区别与联系,并鼓励学生探究一题多解的方法.‎ ‎【答案】‎ ‎1.∠1=72°,∠2=36°;等腰三角形有:△ABC、△ABD、△BCD ‎2.是等腰三角形,可证得∠1=∠2‎ ‎3.∵OA=OB,∴∠A=∠B.又∵AB∥DC,∴∠A=∠C,∠B=∠D.∴∠C=∠D,∴OC=OD(等角对等边).‎ ‎4.(1)证明:∵AC⊥BD,∴∠ACB=∠ACD=90°.又∵AC=AC,BC=CD,∴△ACB≌△ACD(SAS).∴AB=AD(全等三角形的对应边相等).∴△ABD是等腰三角形.(2)由(1)可知AB=AD,∴∠B=∠D.又∵AC=BC,∴∠B=∠BAC,∴AC=CD.∴∠D=∠DAC.在△ABD中,∠B+∠D+∠BAC+∠DAC=180°.∴2(∠BAC+∠DAC)=180°,∴∠BAC+∠DAC=90°,即∠BAD=90°.‎ 四、师生互动，课堂小结 利用问题指导学生总结:‎ 问题1 你学会了几种判定等腰三角形的方法?‎ 问题2 等腰三角形性质与判定有哪些联系和区别?‎ ‎【总结】本节课主要探究了等腰三角形判定定理,并对判定定理的简单应用有了一定的认识,在利用定理的过程中体会定理的重要性.在直观的探索和抽象的证明中养成一定的逻辑推理能力.‎ ‎1.布置作业：从教材“习题‎13.3”‎中选取.‎ ‎2.完成练习册中本课时的练习.‎ 利用等腰三角形的性质定理与判定定理的互逆关系来学习等腰三角形的判定是很重要、很常见的研究问题的方法，本节之前线段垂直平分线的知识的学习及以后学习平行四边形等特殊四边形的知识时会反复用到这种方法.‎ ‎13.3.2 等边三角形 第1课时 等边三角形的性质与判定 197‎ ‎【知识与技能】‎ ‎1.掌握等边三角形的定义.‎ ‎2.理解等边三角形的性质与判定定理.‎ ‎【过程与方法】‎ 经过应用等边三角形的性质与判定的过程培养学生分析问题、解决问题的能力.‎ ‎【情感态度】‎ 通过对等边三角形的学习，了解等边三角形的对称美,增强应用数学知识解决实际问题的信心.‎ ‎【教学重点】‎ 等边三角形的性质和判定方法.‎ ‎【教学难点】‎ 等边三角形性质的应用.‎ 一、 情境导入，初步认识 在等腰三角形中,有一种特殊的等腰三角形——三条边都相等的三角形,它叫等边三角形.请大家画图并结合等腰三角形的知识探讨等边三角形具有哪些特征,同学间互相交流.教师归纳总结如下:‎ ‎1.等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴.‎ ‎2.等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°.‎ ‎3.三角都相等的三角形是等边三角形.‎ ‎4.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.‎ 其中,前两个是等边三角形性质,后两个是等边三角形的判定.‎ ‎【教学说明】学生的发言会是多方位多角度的,教师应从边、角、对称性等类型归纳.同时强调,作为特殊的等腰三角形,等边三角形首先具备等腰三角形的所有性质.教师讲课前，先让学生完成“名师导学”.‎ 二、思考探究，获取新知 例1 如图,已知P,Q是△ABC的边BC上两点,且PB=PQ=QC=AP=AQ,求∠BAC的大小.‎ 197‎ ‎【分析】由已知显然可知△APQ是等边三角形,每个角都是60°.又知△APB与△AQC都是等腰三角形,两底角相等,由三角形外角性质即可推得∠PAB=30°.‎ 解:∵AP=AQ=PQ,‎ ‎∴△APQ是等边三角形.‎ ‎∴∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°.‎ 又∵AP=PB,‎ ‎∴∠PAB=∠PBA.‎ 又∵∠APQ=∠PBA+∠PAB,‎ ‎∴∠PAB=30°.‎ 同理∠QAC=30°.‎ ‎∴∠BAC=∠PAB+∠PAQ+∠QAC=120°.‎ ‎【教学说明】本例综合应用等边三角形与等腰三角形在角方面的性质,要求解题要规范,表述要有条理,言必有据,可让学生说出过程中每一步的依据.‎ 例2 在等边△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，BO，CO的垂直平分线分别交BC于点E和点F.求证：△OEF是等边三角形.‎ ‎【分析】由角平分线得∠OBC=∠OCB=30°,再根据线段垂直平分线的性质可得OE=BE,OF=CF.据此可计算出∠OEF及∠OFE的度数，进而可证得△OEF是等边三角形.‎ ‎【证明】∵E,F分别是BO,CO的垂直平分线上的点，‎ ‎∴OE=BE,OF=CF.‎ ‎∵△ABC是等边三角形，且OB,CO分别平分∠ABC,∠ACB,‎ ‎∴∠OBE=∠BOE=∠OCF=∠COF=30°.‎ ‎∴∠OEF=∠OFE=60°.‎ ‎∴∠EOF=60°.‎ ‎∴△OEF是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）.‎ ‎【教学说明】‎ 证明一个三角形是等边三角形，要灵活运用判定方法，根据已知提供的条件灵活选择，本题可用多种方法证明.‎ 197‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.△ABC中,AB=BC,∠B=∠C,则∠A= .‎ ‎2.下列说法不正确的是( ).‎ A.有两个角为60°的三角形是等边三角形 B.有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形 C.有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形 D.三个外角都相等的三角形是等边三角形 ‎3.已知∠AOB=30°,点P在∠AOB内部,P1与P关于OB对称,P2与P关于OA对称,则△P1OP2是( )三角形.‎ A.直角 B.钝角 C.等腰 D.等边 ‎4.如图,在等边△ABC中,D为BC上一点,BD=2CD,DE⊥AB于E,CE交AD于P.求∠APE的度数.‎ ‎【教学说明】用多媒体(或小黑板)出示以上问题,学生可在老师指导下完成,巩固所学知识.‎ ‎【答案】1.60° 2.C 3.D ‎4.解：∵△ABC为等边三角形.‎ ‎∴∠B=∠ACB=60°，AC=BC，‎ 又∵DE⊥AB，∠B=60°，‎ ‎∴∠BDE=30°.‎ ‎∴BE=BD，而BD=2CD ‎∴BE=CD.‎ 在△BCE和△CAD中 ‎ ‎ ‎∴△BCE≌△CAD，‎ ‎∴∠BCE=∠DAC 197‎ 而∠BCE+∠ACE=60°，‎ ‎∴∠DAC+∠ACE=60°.‎ ‎∴∠APC=120°，‎ ‎∴∠APE=60°.‎ 四、师生互动，课堂小结 教师指导学生回忆本节所学知识点,学生间交流,互相查漏补缺.‎ ‎1.布置作业：从教材“习题‎13.3”‎中选取.‎ ‎2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.‎ 本课时学习特殊的等腰三角形——等边三角形，可让学生先自主探索再合作交流，小组内、小组间充分交流后概括所得结论，这既巩固等腰三角形的应用知识，又类比探索等腰三角形性质和判定定理的方法，加深了对等腰三角形与等边三角形联系与区别的理解.‎ 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 ‎【知识与技能】‎ ‎1.熟练掌握含30°角的直角三角形的性质.‎ ‎2.会利用性质解题.‎ ‎【过程与方法】‎ 通过直尺量取得到直观结论，然后加以证明。‎ ‎【情感态度】‎ 本节课使学生经历了“实验——猜想——证明”的过程，使同学们初步体验了自然科学的一般研究方法，提高了学生研究和学习的兴趣.‎ ‎【教学重点】‎ 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.‎ ‎【教学难点】‎ 巧妙运用性质解题.‎ 197‎ 一、情境导入，初步认识 用两个全等的含30°角的直角三角尺，试着把它们拼在一起，看能否拼成一个等边三角形，然后以小组为单位一起讨论可从中发现什么结论，并予以证明.‎ 老师指导拼图，得出结论，并一起证明结论.‎ ‎（1）在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.‎ ‎（2）在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角为30°.‎ ‎【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.‎ 二、思考探究，获取新知 例1 在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC=60°,∠BAC的平分线AM的长为15cm，求BC的长.‎ ‎【分析】要求BC的长，可分别求出BM和CM的长.利用等腰三角形的判定得出BM=AM，利用含30°角的直角三角形的性质得CM=AM,将所求线段转化为已知线段进行求解.‎ 解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°,‎ ‎∠BAC=60°,‎ ‎∴∠B=30°.‎ ‎∵AM平分∠BAC,‎ ‎∴∠CAM=∠BAM=30°.‎ ‎∴∠B=∠BAM,∴AM=BM=15cm.‎ ‎∴在Rt△ACM中，∠CAM=30°.‎ ‎∵CM=AM=7.5cm.‎ ‎∴BC=CM+BM=7.5+15=22.5cm.‎ ‎【教学说明】‎ 在直接求一条线段不易求的情况下，可以将其转化为求易求的两条线段的和或差进行计算.‎ 197‎ 例2 在Rt△ABD中，∠ADB=90°,∠A=60°,作DC∥AB,且∠DBC=∠BDC,DC与BC交于点C，已知CD=4cm. ‎ ‎（1）求∠CBD的度数；‎ ‎（2）求AB的长.‎ ‎【分析】(1)根据直角三角形的两个锐角互余，可知∠DBA的度数，再由DC∥AB及等腰三角形的性质即可计算∠CBD的度数；（2）可作等腰三角形CBD底边上的高，延长交AB于点E.根据等腰三角形“三线合一”，可以得出CE平分BD且平分∠DCB,由此可知△BCE是等边三角形，所以BE=4,则DE=BE=4.再证明△ADE是等边三角形即可.‎ 解：（1）在Rt△ADB中，∵∠A=60°,∠ADB=90°,‎ ‎∴∠ABD=30°.‎ 又∵AB∥CD,∴∠CDB=∠ABD=30°.‎ ‎∴∠CBD=∠CDB=30°.‎ ‎（2）过点C作CM⊥BD于点M，交AB于点E，连接DE,则DE=EB,‎ ‎∴∠EDB=∠EBD=30°.‎ ‎∵∠CDM=30°,∠CMD=90°,‎ ‎∴CM=CD=2.‎ 又∵∠EBM=∠CBM=30°,BM=BM,‎ ‎∠EMB=∠CMB=90°,‎ ‎∴△CBM≌△EBM(ASA),‎ ‎∴EM=CM=2.‎ ‎∴DE=2EM=4.‎ ‎∵∠DEA=∠EDB+∠EBD=60°,‎ ‎∠A=60°,‎ ‎∴AD=DE=4.‎ 又∵∠ADB=90°,∠ABD=30°,‎ ‎∴AB=2AD=8.‎ ‎【教学说明】‎ 直角三角形30°角的性质常与直角三角形的两个锐角互余同时运用，此性质是求线段长度和证明线段间倍分问题的重要依据.‎ 197‎ 例3 如图所示，在△ABC中，AB=AC,D为BC边上的点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F，∠BAC=120°.求证：DE+DF=BC. ‎ ‎【分析】∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°.又DE⊥AB,DF⊥AC,可以构造两个含30°角的直角三角形.‎ ‎【证明】∵AB=AC,∠BAC=120°,‎ ‎∴∠B=∠C=(180°-120°)=30°.‎ 又∵DE⊥AB,DF⊥AC,‎ ‎∴∠BED=∠CFD=90°.‎ 在Rt△BDE中，∵∠B=30°,‎ ‎∴DE=BD.‎ 同理，在Rt△CDF中，DF=CD.‎ ‎∴DE+DF=BD+CD= (BD+CD)= BC.‎ 例4 如图所示，在四边形ABCD中，AD=4,BC=1,∠A=30°,∠ADC=120°,试求CD的长. ‎ ‎【分析】由于CD不是特殊三角形的边长，所以无法利用已知条件直接求出，延长AD、BC，将题中已知条件集中在两个特殊的三角形中.‎ 解：延长AD、BC交于点E,‎ 在Rt△ABE中，∠E=180°-90°-30°=60°,‎ 又∵∠CDE=180°-120°=60°,‎ ‎∴∠DCE=60°.‎ ‎∴△CED是等边三角形.‎ 设CD=x,则BE=1+x,AE=4+x,‎ 在Rt△ABE中，∵∠A=30°,‎ ‎∴AE=2BE.‎ 即4+x=2(1+x),解得x=2,即CD的长为2.‎ 三、运用新知，深化理解 197‎ ‎1.若三角形的三个内角的比为1∶2∶3,则它的最短边与最长边的比为（ ）.‎ A.1∶3‎ B.1∶2‎ C.2∶3‎ D.1∶4‎ ‎2.如果一个三角形是轴对称图形，且有一个角是60°,那么这个三角形是____.‎ ‎【答案】1.B 2.等边三角形 四、师生互动，课堂小结 特殊直角三角形，运用性质先判断，30°所对的直角边，长度恰为斜边一半.‎ ‎1.布置作业：从教材“习题13.3”中选取.‎ ‎2.完成练习册中本课时的练习.‎ 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历观察、实验、归纳等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法，同时升华学生的情感、态度和价值观.‎ ‎13.4 课题学习最短路径问题 ‎【知识与技能】‎ ‎1.了解最短路径问题.‎ ‎2.掌握解决最短路径问题的方法.‎ ‎【过程与方法】‎ 通过解决最短路径问题的过程培养学生分析问题的能力.‎ ‎【情感态度】‎ 通过对最短路径问题的学习，增强应用数学知识解决实际问题的信心.‎ ‎【教学重点】‎ 解决最短路径问题.‎ ‎【教学难点】‎ 最短路径的选择.‎ 197‎ 一、情景导入，初步认识 问题1 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？‎ 问题2 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）‎ ‎【教学说明】（1）C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小.‎ 作出点B关于l的对称点B′，连接AB′，线段AB′与直线l的交点C的位置即为所求.‎ ‎（2）N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小?‎ 将AM沿与河岸垂直方向平移，移动距离为河宽，则A点移到A′点，连接A′B，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN.‎ 教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.‎ 二、思考探究，获取新知 例 要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管道最短？‎ ‎【分析】本问题就是要在l上找一点C，使AC与CB的和最小.设B′‎ 197‎ 是B关于直线l的对称点，本问题也就是要使AC与CB′的和最小.在连接AB′的线中，线段AB′最短.因此，线段AB′与直线l的交点C的位置即为所求.‎ ‎【教学说明】解决最短路径问题通常运用的知识有“过直线作已知点的对称点”，“两点的所有连线中，线段最短”等.‎ 三、师生互动，课堂小结 这节课主要学习了最短路径问题，让学生相互交流体会与收获，并总结本课所学知识.‎ 完成练习册中本课时的练习.‎ 本课时教学时要尽量创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境，以生动活泼的形式呈现有关内容，教学时，根据本课内容特点，可依据其学科知识间联系调动课堂气氛，培养学生学习兴趣.‎ 章末复习 ‎【知识与技能】‎ ‎1.建立本章知识框架图,沟通知识点间联系.‎ ‎2.复习有关的概念、性质、判定、求解问题的方法,以及证(解)题的思路、方法等.‎ ‎【过程与方法】‎ ‎1.进一步认识生活中的轴对称现象,理解轴对称的性质.‎ ‎2.提高用规范的数学语言表达论证、计算过程的能力.‎ ‎【情感态度】‎ 在数学活动中提升求知欲,建立自信心,以及在解决问题过程中发展逻辑思维能力.‎ ‎【教学重点】‎ 轴对称、轴对称变换、等腰三角形的性质和判定.‎ ‎【教学难点】‎ 等腰三角形性质和判定的应用.‎ 一、知识框图，整体把握 197‎ ‎【教学说明】‎ 教师带领学生边复述边完成框图，重在挖掘知识间的联系.‎ 二、释疑解惑，加深理解 本章知识体现了数学思想,教师归纳讲解,帮助学生提升能力.‎ ‎1.数形结合思想在坐标系中的应用 用坐标表示轴对称,体现了数与形的结合,直观，易于理解与认识.‎ 例1 求P(3,2)关于x轴、关于直线x=-1对称点的坐标.‎ 解：分别为P′(3,-2),P″(-5,2).‎ ‎【教学说明】根据题中要求和对称特点,画出相应示意图,结果就一目了然.‎ ‎2.分类讨论思想解决等腰三角形问题 例2 若等腰三角形的一个角为50°,求顶角的度数.‎ ‎【分析】50°的角可能是等腰三角形的顶角,也可能是底角.‎ 解:当底角为50°时,顶角为80°,故等腰三角形的顶角为50°或80°.‎ ‎【教学说明】‎ 197‎ 由于等腰三角形的特殊性,做题时要注意分类思想的应用,要看已知角是顶角还是底角,已知边是腰还是底边,腰上的高是在三角形的内部还是在外部,考虑周全才不致于漏解.‎ ‎3.利用方程思想求值 例3 等腰三角形的周长为‎30cm，一边长是‎12cm，求另两边的长.‎ ‎【分析】本题已知长为‎12cm的边，不确定是腰或底边，所以要分两种情况求解.‎ 解：当腰长为‎12cm时，设底边长为xcm，‎ ‎∵x+2×12=30，‎ ‎∴x=6.‎ 当底边长为‎12cm时，设腰长为ycm.‎ ‎∵2y+12=30,‎ ‎∴y=9.‎ 因此，三角形另两边的长为‎12cm，‎6cm或‎9cm，‎9cm.‎ ‎【教学说明】用方程思想解几何题是常用的思路和方法.‎ 三、典例精析，复习新知 例4 如图，凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD.已知OA＞OC，OB＞OD，试比较BC+AD与AB+CD的大小.‎ ‎【分析】利用轴对称变换，以及三角形两边之和大于第三边，能很直观地得出BC+AD＞AB+CD的结论.‎ 解:如图，以AC为对称轴，将△ADO翻折，由于AC⊥BD，则点D必落在BO上，设为D′，‎ 则AD′=AD，OD′=OD.‎ 197‎ 同理，将△BCO翻折，点C必落在AO上，设为C′，则BC′=BC，OC′=OC.‎ 连C′D′，BC′，AD′，CD′，设BC′与AD′交于点E，‎ 则C′D′=CD.‎ 在△ABE和△C′D′E′中，‎ C′E+D′E＞C′D′，①‎ BE+AE＞AB.②‎ ‎①+②得BC′+AD′＞AB+C′D′，即BC+AD＞AB+CD.‎ ‎【教学说明】利用轴对称变换可得出边、角相等的一系列结论，所以要求学生能够灵活地应用这种变换.‎ 例5 如图，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN.试探究线段CN、BM、MN之间的关系，并加以证明.‎ ‎【分析】通过观察可以猜想这三条线段之间的关系为MN=CN+BM.通过观察可以猜想这三条线段之间的关系为MN=CN+BM.这类问题的证明方法通常是将MN截成两段，或将NC或MB延长，补成长为CN+BM的线段，运用全等三角形论证.‎ 解:BM+CN=MN.‎ 证明：如图，延长AC至M1，使CM1=BM，连接DM1.‎ ‎∵△ABC是正三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°.‎ ‎∵∠BDC=120°，且BD=CD，‎ ‎∴∠DBC=∠DCB=30°.‎ ‎∴∠ABD=∠ACD=90°.∠DCM1=90°.‎ 又∵BD=CD，BM=CM1，‎ ‎∴Rt△BDM≌Rt△CDM1（SAS）.‎ ‎∴DM=DM1，∠BDM=∠CDM1,‎ ‎∴∠MDM1=∠MDC+CDM1=∠MDC+∠BDM=∠BDC=120°.‎ 又∵∠MDN=60°，‎ ‎∴∠M1DN=∠MDN=60°.‎ 又∵DM=DM1，DN=DN,‎ ‎∴△MDN≌△M1DN（SAS）.‎ ‎∴MN=M1N=NC+M‎1C=CN+BM.‎ 197‎ ‎【教学说明】‎ 对于此类题，三条线段之间的关系一般是它们的和差关系，证明方法通常采用截长补短法.‎ 例6 如图,花边中的图案以正方形为基础,由圆弧或圆构成,依照例图,请你为班级黑板报设计一条花边.‎ 要求:只要画出组成花边的一个图案,不写画法,不需要文字;以所给的正方形为基础,用圆弧或圆画出;图案应有美感;与例图不同.‎ ‎【分析】本题主要考查大家根据轴对称性质设计花边图案的能力,而且要符合题中的四点要求,这是一道融数学与美术为一体的综合创新素质题.‎ ‎【答案】此题答案不唯一,略举几例如图所示.‎ ‎【教学说明】数学知识与现实生活紧密相连,眼前轴对称的应用比比皆是,提醒每个学生留心,从生活实际中提升对轴对称的认识.‎ ‎1.布置作业：从教材“复习题‎13”‎中选取.‎ ‎2.完成练习册中本课时的练习.‎ 本章知识与现实生活联系密切，是人们日常生活和生产中应用较广的几何图形，是三角形知识的延续与拓展，涉及的轴对称、线段垂直平分线、等腰三角形知识，可让解题从全等的模式中解脱出来，而且可简便解决相关的计算、证明问题，使解题过程简化，在复习中应强化这些知识.‎ 第十四章 整式的乘法与因式分解 ‎14.1 整式的乘法 ‎14.1.1 同底数幂的乘法 197‎ ‎【知识与技能】‎ 理解并应用同底数幂的乘法法则解决实际问题.‎ ‎【过程与方法】‎ ‎1.通过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用，使学生初步理解特殊到一般，一般到特殊的认知规律.‎ ‎2.进一步体会幂的意义时，发展推理能力和有条理表述能力.‎ ‎【情感态度】‎ 体会探究过程，激发探索创新精神.‎ ‎【教学重点】‎ 正确理解同底数幂的乘法法则.‎ ‎【教学难点】‎ 应用法则解决实际问题.‎ 一、情境导入，初步认识 ‎1.复习乘方的意义，师生共同回忆.‎ an表示n个a相乘，这种运算叫乘方，其结果叫做幂，a叫做底数，n是指数，即 ‎ ‎2.提出问题，要求学生根据乘方的意义求得结果.‎ 一种电子计算机每秒进行1千万亿（1015）次运算，它工作103秒可进行多少次运算？‎ ‎【教学说明】运算次数=运算速度×工作时间，故计算机工作103秒可进行的运算次数为1015×103（次）.‎ 教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.‎ ‎3.仿照上面的计算过程求出下列各题结果.‎ ‎（1）52×56；（2）x3·x4；（3）3a·3b（其中a，b均是正整数）.‎ 197‎ 由学生完成计算后，带领学生观察每个算式的特征，并试着总结一般性规律，学生间互相探讨，用语言表述出来.‎ 二、思考探究，获取新知 根据上面的探究，教师向学生讲述幂的乘法法则.‎ am·an表示同底数幂的乘法，根据幂的意义可得：‎ 即：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.它也适用于三个或三个以上的幂相乘.提示学生注意运算形式的改变.‎ 例1计算下列各题.‎ ‎（1）87×85；‎ ‎（2）（-）3×（-）2；‎ ‎（3）a5×（-a）5.‎ ‎【分析】涉及幂的乘法问题，先应该观察是否是同底数幂的运算，上述各式均符合，可应用同底数幂乘法法则计算.‎ ‎【教学说明】应用同底数幂的乘法法则时，把因数的“乘法运算”转化为指数的“加法运算”，不能想当然地算成87×85=87×5.‎ 例2计算下列各题.‎ 197‎ ‎【分析】应用同底数幂的乘法法则时，要先把各式化成同底数幂，应熟悉下列等式：（a-b）2=（b-a）2，（a-b）3=-（b-a）3.计算时，要结合乘法法则确定积的性质符号.‎ ‎【教学说明】同底数幂的乘法法则中，底数可以是多项式，不能简单认为底数只能是一个单项式.‎ 例3计算下列各题.‎ ‎【分析】本例是同底数幂乘法与整式加减的综合运用，应类比有理数的混合运算法则按正确顺序计算.‎ ‎【教学说明】（1）-a2与（-a）2的意义不同，其结果互为相反数.（2）a6·a6与a6-a6的意义不同，计算法则与结果都不一样.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.下列算式是否正确？对错误的指出错因，并予以纠正.‎ 197‎ ‎2.太阳光照射到火星上大约要9.26×102秒，光的速度约为3×105千米/秒，求火星与太阳的距离.‎ ‎3.计算：5×26-6×24+×27.‎ ‎【教学说明】题1是基本判断题，要求学生明辨对错，并引以为警示；题2注意法则的运用；题3可以从逆用法则角度考虑求解.‎ 四、师生互动，课堂小结 ‎ 师生共同回顾同底数幂乘法法则.‎ 学生互相交流学习收获和存在的疑点，互相查错.‎ ‎1.布置作业：从教材“习题14.1”中选取部分题.‎ ‎2.完成练习册中本课时的练习.‎ 本课时在教学时要充分利用学生已有关于乘方意义理解的知识，引领学生自主探究出同底数幂的乘法公式，这样利于加深学生对新知的认识与理解，便于应用于各种形式的问题解决中.‎ 教学时要强调学生对公式中运算符号的变化特点，提醒学生不能想当然地得出am·an=amn的结论，并加强各种变式的训练.‎ 197‎ ‎14.1.2 幂的乘方 ‎【知识与技能】‎ 认识幂的乘方的意义及运算法则.‎ ‎【过程与方法】‎ ‎1.经历探索幂的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力.‎ ‎2.了解幂的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题.‎ ‎【情感态度】‎ 利用小组交流讨论，培养学生合作学习的素养.‎ ‎【教学重点】‎ 利用幂的乘方法则进行计算.‎ ‎【教学难点】‎ 幂的乘方法则的理解.‎ 一、情境导入，初步认识 ‎1.复习同底数的乘法法则的推导、公式及其应用.‎ ‎【教学说明】本环节要求学生能表述出同底数幂乘法法则的推导过程与依据，并在应用法则计算上面各题时注意公式左右的字母、符号、运算形式等的变化.‎ 教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.‎ ‎2.完成下列练习.‎ ‎（1）33表示___个___相乘.‎ ‎（33）2表示___个相乘.‎ ‎（2）（32）3=___×___×___=（3×3）×（3×3）×（3×3）=___.‎ 197‎ ‎（am）2=am×am=________.‎ ‎（3）（am）n=_____×_______×_______……×_______=.‎ 学生填写完成后，教师要求学生分组观察（3）中的等式，共同探寻其中特征与规律，形成文字后全班再交流.‎ 二、思考探究，获取新知 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.‎ 即：（am）n=amn（m，n都是正整数）.‎ ‎【教学说明】理解法则与公式时提醒学生注意以下几点.‎ ‎1.幂的乘方的意义是指几个相同的幂相乘，根据乘方的意义写成乘方的形式.如（a2）3是指三个a2相乘，读作a的平方的三次方，幂的乘方法则是由同底数幂的乘法法则和乘方的意义推得.‎ ‎2.公式可逆用，即amn=（am）n=（an）m，根据题目的需要常逆用这个法则将某些幂变形，从而解决问题.‎ ‎3.不要把幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方运算是转化为指数的乘法运算（底数不变）；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算（底数不变）.‎ 例1计算：‎ ‎【分析】本题是幂的乘方法则的运用.（1）中的底数是8；（2）中的底数是a；（3）中的底数是-m；（4）中的底数a的指数是3-m，乘方后指数应是2（3-m）=6-2m.‎ ‎【教学说明】运用幂的乘方性质时，一定要留心底数符号和指数的运算.‎ 例2计算：‎ ‎【分析】先进行幂的乘方运算，再进行同底数幂的乘法运算.‎ 197‎ ‎【教学说明】幂的乘方法则中的底数可以为单个数字、字母，也可以为多项式或单项式.‎ ‎【教学说明】本题可先要求学生自主考虑解决方式，如有困难，可在小组间交流各自的思路，共同找到解题的方法，并在交流中升华成一种经验，然后由教师向学生指明：本题是积的乘方公式逆用解题，许多教学问题都要善于逆向思考与应用（如幂的乘方公式及后面的积的乘方公式等），要把这种方法应用于每个问题的思考之中.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.判断下列各题正确与否，错误的请更正.‎ ‎2.计算下列各题.‎ 197‎ ‎【教学说明】解答题2时，要求学生写出详细过程，并思索每一步的意义，先不要直接写出结果，要在练习中体验法则的运用.‎ 四、师生互动，课堂小结 ‎ ‎1.交流本节课收获，回忆法则、公式.‎ ‎2.和同伴一起解答下列问题，然后向同伴表述你的解题收获.‎ ‎1.布置作业：从教材“习题14.1”中选取部分题.‎ ‎2.完成练习册中本课时的练习.‎ 本课时教学可类比同底数幂乘法知识的学习过程，由学生根据乘方的意义推导出法则，并从中识别两个公式的异同点，从本质上理解并认识法则再利用各种形式的训练加强学生对法则的理解与运用.‎ 197‎ 教学中可渗透对逆向思考方法的强调，让学生形成逆向思考数学问题的习惯，逐步提升打破常规，勇于创新的素质，真正得到数学素养的加深.‎ ‎14.1.3 积的乘方 ‎【知识与技能】‎ ‎1.经历探索积的乘方的运算法则的过程，进一步体会幂的意义.‎ ‎2.理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题.‎ ‎【过程与方法】‎ ‎1.在探索积的乘方的运算法则的过程中，发展推理能力和有条理的表达能力 ‎.2.学习积的乘方的运算法则，提高解决问题的能力.‎ ‎【情感态度】‎ 体会探究数学法则的乐趣，增加学习数学的信心与兴趣.‎ ‎【教学重点】‎ 积的乘方法则的应用.‎ ‎【教学难点】‎ 积的乘方法则的推导.‎ 一、情境导入，初步认识 教师带领学生依据乘方的意义及前面积累的经验，推导积的乘方公式，并由学生表述文字语言和数学公式.‎ 即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得幂相乘.‎ 公式为：（ab）n=anbn（n为正整数）.‎ ‎【教学说明】1.三个或三个以上的因式的积的乘方也具有这一性质，如（abc）n=anbncn（n为正整数）.‎ ‎2.积的乘方法则可以逆用，即an·bn=（ab）n（n为正整数）.‎ 教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.‎ 二、思考探究，获取新知 例1计算下列各题.‎ 197‎ ‎【分析】应用积的乘方公式时，要分清底数含有几个因式，确保每个因式都进行乘方，注意系数的符号，特别不能忽视系数为-1时的计算.‎ ‎【教学说明】在-（-2a2b4）3中，指数3对第一个负号不起作用，对第二个负号起作用.‎ 例2计算下列各题.‎ ‎【分析】按顺序进行计算，先算积的乘方，再算幂的乘方，最后算同底数幂相乘.‎ ‎【教学说明】可类比实数运算法则来安排上述各题的运算顺序.‎ 例3计算：‎ 197‎ ‎【分析】每个幂的指数都较大，应观察题目特点，结合1，-1和0的乘方的规律，寻找简便运算.根据积的乘方公式的逆用，即“同指数幂相乘，指数不变，底数相乘”来把原式进行转化.‎ ‎【教学说明】逆用幂的乘法公式（包括同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方）是解数学题的一种常用技巧.本题即是依据题中指数大，底数中有互为倒数（互为倒数的积为1）的特征，通过对题目结构转化，逆用积的乘方公式求解的.在转化时，注意性质符号.运算符号的变化不能出错，不能因转化而改变了原式的大小.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.写出下列各题的结果.‎ ‎2.计算下列各题.‎ 197‎ ‎3.某工厂要做一种棱长为2.5×103mm的正方体箱子，求这种箱子的容积（结果用科学记数法表示）.‎ ‎4.写出下列各题的结果.‎ ‎5.试问：N=212×58是一个几位的正整数？‎ ‎【教学说明】上述习题可由学生分组集体讨论求解，题1是巩固积的乘方法则；题2是幂的乘法与其他运算的综合，强调学生看清题目特点，合理选用法则，并特别注意符号与运算形式转化不能出错；题3是积的乘方公式在实际问题中的应用，注意解答过程完整；题4，题5是积的乘方等公式的逆用，要发掘技巧，形成能力.‎ 四、师生互动，课堂小结 ‎ ‎1.本节所学的积的乘方公式是什么？如何用文字表达？应用时要注意些什么？说出你的收获与思考.‎ ‎2.对比幂的乘方，同底数幂的乘法、积的乘方公式的联系与区别，与同伴交流你的感受.‎ 197‎ ‎1.布置作业：从教材“习题14.1”中选取部分题.‎ ‎2.完成练习册中本课时的练习.‎ 本课时教学可先由学生依据同底数幂的乘法、幂的乘方等法则的推导与应用自主探究出积的乘方法则，并应用于具体解题之中.‎ 教师注意引导学生发现幂的乘法三个法则之间的异同，并利用具体问题指导学生解题时先观察分析问题特征，再合理选用法则.‎ 课堂中，可采用口答、动手做做等方式组织学生比赛，从中培养学生计算能力，教师依据具体情形予以点评指点，查漏补缺，使学生全方位从本质上理解知识.‎ ‎14.1.4 整式的乘法 第1课时 单项式与单项式、多项式相乘 ‎【知识与技能】‎ 探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行计算.‎ ‎【过程与方法】‎ 设置实际情境，引导学生参与探索公式.‎ ‎【情感态度】‎ 让学生主动参与探究，形成独立思考、勇于探究的习惯.‎ ‎【教学重点】‎ 单项式与单项式、单项式与多项式乘法法则的应用.‎ ‎【教学难点】‎ 两个法则的探究.‎ 一、情境导入，初步认识 引导学生复习幂的运算性质，并解答下列问题.‎ 197‎ ‎【教学说明】主要由学生口述幂的乘法运算性质、公式及上述问题的答案，对学生暴露出的问题予以纠正，为后续学习打下基础.‎ 教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.‎ 二、思考探究，获取新知 问题1光的速度约为3×105km/s，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102s，试求地球与太阳的距离约是多少千米？‎ ‎【分析】由题意可列式为（3×105）×（5×102），这个算式可引导学生运用乘法交换律和结合律求出，即（3×5）×（105×102）=15×107=1.5×108，即地球与太阳的距离约为1.5×108km.‎ ‎【教学说明】要求学生认真分析体会上述计算过程，感受其中的思路与依据，再将上式中的数换成字母，如（a×105）×（b×103），ab2×3ab等，依据同样的方式经小组为单位探求结果，并发掘一般性规律，同伴间交流并互相完善.‎ ‎【归纳总结】单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.‎ 问题2解答下列问题.‎ ‎（3）何叶的步长为a米，她量得家里的卧室长15步，宽14步，问这间卧室的面积有多少平方米？‎ ‎（4）下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？‎ 问题3三家连锁店以相同的价格m（单位：元/瓶）销售某种商品，它们在一个月内的销售量（单位：瓶）分别是a，b，c.求这个月内销售这种商品的总收入.‎ 197‎ ‎【分析】这个问题的思路有两个：‎ 方法一先求三家连锁店的总销量，再求总收入，即总收入为m（a+b+c）元.‎ 方法二先分别求三家连锁店的收入，再求它们的和，即总收入为（ma+mb+mc）元.‎ 由于两种方法只是思考的角度不同，求的是同一个量，故必有m（a+b+c）=ma+mb+mc.‎ 引导学生联想乘法分配律及上述等式总结归纳，得出自己的结论.‎ ‎【归纳总结】单项式与多项式相乘，就是用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.‎ 例1计算：‎ ‎【教学说明】1.凡是在单项式里出现过的字母，结果里应全都有，不能漏掉；2.单项式中含有的多项式因式把它看作一个整体参加计算.‎ 例2计算下列各题.‎ 197‎ ‎【教学说明】计算时，符号的确定是关键，可把单项式前和多项式各项前的“+”或“-”号看作性质符号，把单项式乘以多项式的结果用“+”连接，最后写成省略加号的代数和.‎ 三、运用新知，深化理解 计算下列各题.‎ ‎【教学说明】1.本题是混合运算题，计算顺序仍是先乘除、后加减，先去括号等.混合运算的结果有同类项的需合并，从而得到最简结果.‎ ‎2.单项式与多项式的每一项都要相乘，不能漏乘、多乘.‎ ‎3.在确定积的每一项的符号时一定要小心.‎ 197‎ 四、师生互动，课堂小结 ‎ ‎1.梳理本节所学内容，巩固单项式乘以单项式，单项式乘以多项式的法则.‎ ‎2.互相交流运用法则计算时要注意的事项.‎ ‎1.布置作业：从教材“习题14.1”中选取部分题.‎ ‎2.完成练习册中本课时的练习.‎ 本课时教学宜由学生根据已有知识（如乘法分配律法则等）自主推导出单项式乘法，单项式与多项式相乘的法则，充分体现学生课堂上的主体作用，再结合具体问题的解答，由学生间互相交流，体会法则计算的本质，以便灵活应用于解题之中.‎ 第2课时 多项式与多项式相乘 ‎【知识与技能】‎ 理解并掌握多项式乘以多项式的法则.‎ ‎【过程与方法】‎ 类比前面的方法，自主探索多项式与多项式乘法法则.‎ ‎【情感态度】‎ 在探究过程中，形成独立思考，主动求知的习惯.‎ ‎【教学重点】‎ 多项式乘法法则的应用.‎ ‎【教学难点】‎ 多项式与多项式相乘法则的推导.‎ 197‎ 一、情境导入，初步认识 ‎1.回忆单项式乘以多项式法则，并计算：‎ ‎（1）3a（5a-2b）；（2）（x-3y）·（-6x）.‎ ‎【思考】有一算式（a+b）（x+y），假设把（x+y）看作一个整体m，则上式变为（a+b）m，此时与上述习题类型相同么？你有何想法？‎ 问题为了扩大街心花园的绿地面积，把一块长a米，宽p米的长方形绿地加长b米，加宽q米（如图）.你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？‎ 方法一这块花园现在长（a+b）米，宽（p+q）米，故面积为（p+q）（a+b）米2.‎ 方法二这块花园现在是由四小块组成，面积分别为ap米2，aq米2，bp米2，bq米2，故面积为（ap+aq+bp+bq）米2.‎ 由此可推知：（a+b）（p+q）=ap+aq+bp+bq.‎ 即多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.‎ 要求学生讨论这个公式的特点，并探讨如何应用于计算中.‎ ‎【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.‎ 二、思考探究，获取新知 例1计算下列各题.‎ ‎（1）（3a+2b）（4a-5b）；‎ ‎（2）（x-1）（x+1）（x2+1）；‎ ‎（3）（a+b）（a-2b）-（a+2b）（a-b）；‎ ‎（4）5x（x2+2x+1）-（2x+3）（x-5）.‎ 197‎ ‎【教学说明】多项式乘以多项式时须把一个多项式中的每一项乘以另一多项式中的每一项，刚开始时要严格按照法则写出全部过程，要注意：（1）每一项的符号不能弄错；（2）不能漏乘任何一项.‎ 例2计算下列各题.‎ ‎（1）（x+2）（x+3）；（2）（x-4）（x+1）；‎ ‎（3）（y+4）（y-2）；（4）（y-5）（y-3）.‎ 求得结果后，与同伴一起观察，探寻其中的特征和规律，并交流.‎ ‎【教学说明】根据上述结果，可得（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq，这个公式可作为特别结论应用.‎ 回答下列问题：‎ ‎（1）（x+4）（x+3）=_________；‎ ‎（2）（x-1）（x+2）=_________；‎ ‎（3）（x-5）（x-6）=_________；‎ ‎（4）（x-5）（x-5）=_________.‎ 例3解方程：‎ ‎（x-2）（x2-6x-9）=x（x-5）（x-3）.‎ ‎【分析】先应用多项式乘法法则进行化简，再解方程.‎ 197‎ 例4先化简，再求值：（x+2y）（2x+y）-（3x-y）（x+2y），其中x=9，y=.‎ ‎【教学说明】本例的实质是多项式乘以多项式法则的应用.‎ 例5已知（x2+px+8）（x2-3x+q）的展开式中不含x2，x3项，试求p，q的值.‎ ‎【分析】先按多项式乘以多项式的法则展开，再合并同类项，欲使展开式中不含x2，x3项，就是x2项和x3项的系数为0，通过解方程组可求出p，q的值.‎ 因为展开式中不含x2，x3项，‎ 解之得p=3，q=1.‎ ‎【教学说明】一个多项式中可能含有很多字母，在解答问题时，一般把要求的字母当作已知数看待，合并同类项时，这些字母应看成单项式的系数.‎ 三、运用新知，深化理解 甲、乙两人共同计算一道整式乘法：（2x+a）·（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x-10；由于乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2-9x+10.‎ ‎（1）你能知道式子中a、b的值各是多少？‎ ‎（2）请你计算出这道整式乘法的正确结果.‎ ‎【分析】甲抄错了a的符号，即甲的计算式为：（2x-a）（3x+b）=6x2-（3a-2b）x-ab，对比得到的结果可得：-（3a-2b）=11；①‎ 197‎ 乙漏抄了第二个多项式x的系数，即乙的计算式为：（2x+a）（x+b）=2x2+（a+2b）x+ab，对比得到的结果可得：a+2b=-9.②‎ 由①、②两式即可得出a、b的值.‎ ‎【教学说明】‎ 此题综合性较强，教师可先让学生自行思考，寻求解题思路，然后教师引领学生去理解题意，师生共同完成解答.‎ ‎【答案】（2x-a）（3x+b）=6x2-（3a-2b）x-ab=6x2+11x-10；‎ ‎（2x+a）（x+b）=2x2+（a+2b）x+ab=2x2-9x+10；‎ 所以-（3a-2b）=11，且a+2b=-9，解得a=-5，b=-2.‎ 所以（2x-5）（3x-2）=6x2-19x+10.‎ 四、师生互动，课堂小结 ‎ 师生共同交流本节所学知识及收获.‎ ‎1.布置作业：从教材“习题14.1”中选取部分题.‎ ‎2.完成练习册中本课时的练习.‎ 本课时教学时可先利用几何图形的方式验证多项式乘法法则的正确性，形成直观感受；再把公式中的（m+n）整体看作一个单项式，利用单项式与多项式相乘法则，进一步推证多项式乘法法则，从中让学生体验转化的数学思想，课堂上引导学生解决一些具体的数学问题，帮助学生巩固对法则的理解认识.‎ 第3课时 同底数幂的除法 ‎【知识与技能】‎ 掌握同底数幂的除法法则并用于计算.‎ ‎【过程与方法】‎ 经历探索同底数幂的除法的运算法则的过程，理解运算算理.‎ ‎【情感态度】‎ 197‎ 经历探索过程，获得成功感和积累数学经验.‎ ‎【教学重点】‎ 同底数幂的除法法则的运用.‎ ‎【教学难点】‎ 根据乘、除互为逆运算推出同底数幂的除法法则.‎ 一、情境导入，初步认识 ‎1.回忆同底数幂乘法法则，并填空：‎ ‎（2）依题（1）的结果，并结合乘除法互为逆运算，填空：‎ ‎（3）观察题（2）中的每一个等式，以小组为单位讨论，找出这些等式的共同特点，并互相交流归纳.‎ ‎【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.‎ ‎2.师生共同归纳结论：‎ 同底数幂相除，底数不变，指数相减.‎ 即am÷an=am-n（a≠0，m，n都是正整数，且m＞n）.‎ 提醒：底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式；当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这个性质.‎ 二、思考探究，获取新知 例1计算下列各题：‎ 197‎ ‎【分析】（2）的解答可根据乘方的性质先确定商的性质符号，即（-a）8÷（-a）5=-a8÷a5；（3）与（2）有区别.其中（-a）5与-a5的意义不同，隐含了（-m）2=m2，（-m）3=-m3的关系式；（4）的底数是多项式，也适用同底数幂的除法法则.‎ 例2计算下列各题：‎ ‎【分析】同底数幂的除法法则也适用于底数是单项式的情形，当底数不相同时，应先设法转化为同底数幂，再应用法则.‎ ‎【教学说明】在学生理解例题后，教师提出零指数幂的定义与意义.即任何不等于0的数的0次幂都等于1.即a0=1（a≠0）.‎ 例3已知2×5m=5×2m，求m的值.‎ ‎【分析】将等式化为方程的形式，利用a0=1的性质解答.‎ 197‎ 例4计算下列各题：‎ ‎【分析】解答本题的关键是遵循运算顺序，避免错算.‎ ‎【教学说明】不要出现-a21÷a6÷a6=-a21÷1=-a21这样的错误.‎ ‎【分析】本题可逆用幂的有关性质，将结论中的代数式转化为含有已知条件的代数式进行求解，即要求32m-4n+1的值，则应把已知条件转化为以3为底的幂的形式，如9n=（32）n=32n.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.下面的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？‎ 197‎ ‎2.计算下列各题.‎ ‎3.计算下列各题.‎ ‎【教学说明】安排上述三题是为了帮助学生深化理解同底数幂的除法运算，题可师生共同评析.题2，3教师可指派学生到黑板上演算，然后全班订正，让学生加深印象，达成共识.‎ 四、师生互动，课堂小结 ‎ 谈谈本节课获得了哪些知识和解决问题的方法.‎ ‎【教学说明】这节课利用除法的意义及乘、除互逆的运算，揭示了同底数幂的除法的运算规律.并能运用运算法则解决简单的计算问题，积累了一定的数学经验.‎ ‎1.布置作业：从教材“习题14.1”中选取部分题.‎ ‎2.完成练习册中本课时的练习.‎ 197‎ 本课时教学重点在指导学生由同底数幂乘法法则推导出同底数幂除法法则，并类比已有知识由学生自主归纳总结出运用法则计算时应注意的问题，在学生充分认识法则的本质后，指导学生解决一定基础的具体问题，学生间互相查漏补缺，教师适时指点评价，帮助学生把知识转化为解决问题的能力，实际教学中，教师尽量多营造学生自主探究，自已解决问题的氛围.‎ 第4课时 整式的除法 ‎【知识与技能】‎ 经历探索单项式除以单项式，多项式与单项式相除的运算法则的过程，会进行单项式，多项式与单项式的除法运算.‎ ‎【过程与方法】‎ 探究单项式与单项式、多项式与单项式相除的算理，发展有条理的表达与思考能力.‎ ‎【情感态度】‎ 从探索单项式除以单项式的运算法则的过程中，获取成功的体验，积累研究数学问题的经验.‎ ‎【教学重点】‎ 整式除法法则的应用.‎ ‎【教学难点】‎ 整式除法法则的探究.‎ 一、情境导入，初步认识 ‎1.（1）计算：2xy·（-3x2y2）=____，ab2·a=________.‎ ‎（2）根据（1）的结果，并由乘、除法互为逆运算填空：‎ ‎-6x3y3÷2xy=______.‎ a2b2÷ab2=________.‎ ‎（3）仿照（1）（2）的形式，要求学生再举几个例子，并从中总结规律.‎ ‎【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.‎ ‎2.师生共同表述这些式子所共有的特征：‎ 197‎ ‎（1）都是单项式除以单项式.‎ ‎（2）运算结果都是把系数、同底数幂分别相除后作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.‎ ‎（3）单项式相除是在同底数幂的除法基础上进行的.‎ ‎3.提出单项式除以单项式的法则.‎ 例1计算：‎ ‎【分析】本题直接利用单项式除以单项式法则计算.计算时，要弄清两个单项式的系数各是什么，哪些是同底数幂，哪些是只在一个单项式里出现的字母，此外还要特别注意系数的符号.‎ 二、思考探究，获取新知 由学生列举几个单项式乘以多项式的计算题，并求出结果，并根据乘、除法互逆，把整式乘法转化为多项式除以单项式的计算题，并写出结果.再观察特征，总结规律.‎ ‎【归纳总结】多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.‎ 即（am+bm）÷m=am÷m+bm÷m=a+b.‎ 例2计算：‎ 197‎ ‎【分析】本题利用多项式除以单项式法则计算；（2）题中，把（a+b）看成一个整体，那么此式也可以看作是多项式除以单项式.‎ 例3计算：‎ ‎【分析】此题是整式加减乘除混合运算，解题时要注意运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里的.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.计算：‎ 197‎ ‎2.计算：‎ ‎3.化简求值.‎ ‎【教学说明】题1是有关单项式除以单项式的训练，题2是有关多项式除以单项式的训练，此两题可让学生自由训练，加强新知理解；题3是整式的乘法，除法的综合计算，教师着重指导学生如何正确地运用公式快速、准确地计算.‎ ‎ ‎ 197‎ 四、师生互动，课堂小结 ‎ 集体交流本节知识点和解题方法，教师点评.‎ ‎1.布置作业：从教材“习题14.1”中选取部分题.‎ ‎2.完成练习册中本课时的练习.‎ 本课时的主要任务是完成单项式除以单项式法则的推导，进而将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式，根据学生已有的认知水平，教师可鼓励学生自主探究整式的除法法则，并在小组间交流各自体会后由教师总结，最后学生在教师的指点下完成一定的训练，以确保能真正理解并应用法则.‎ ‎14.2 乘法公式 ‎14.2.1 平方差公式 197‎ ‎【知识与技能】‎ 会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.‎ ‎【过程与方法】‎ ‎1.在探究平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力.‎ ‎2.培养学生观察、归纳、概括的能力.‎ ‎【情感态度】‎ 在计算过程中发现规律，用数学符号表示，感受数学的简洁美.‎ ‎【教学重点】‎ 平方差公式的推导和应用.‎ ‎【教学难点】‎ 理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式.‎ 一、情境导入，初步认识 出示下列习题，由学生分组完成：‎ ‎1.计算：（x+3）（x-3），（t+2）（t-2），（3y+1）（3y-1），（x+y）（x-y）.‎ ‎2.试用简便方法求结果：‎ ‎（1）2001×1999=_____；‎ ‎998×102=_______.‎ ‎【教学说明】根据多项式乘以多项式法则可求得题1，题2根据题目特点，把因数变形得2001×1999=（2000+1）（2000-1）=20002-1×2000+1×2000+1×（-1）=20002-1=3999999.‎ 要求学生以小组为单位，共同探究上述过程的结构特征与变化特征，并从中总结出一般性规律来.‎ 教师讲课前，先让学生完成“名师导学”.‎ 二、思考探究，获取新知 由学生进行充分的交流探讨后，师生共同归纳.‎ 上述结构的式子用公式表示为：（a+b）（a-b）=a2-b2‎ 197‎ ‎，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，称之为平方差公式.‎ ‎（1）推导：（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2.‎ ‎（2）公式特点：左边是两个二项式相乘，这两项中有一项是相同的，另一项互为相反数，右边是乘式中两项的平方差（相同数的平方减去互为相反数的平方）.‎ ‎（3）公式中的a、b可以是数、单项式或多项式.‎ ‎（4）符合平方差公式特点的乘法式子可直接套用公式.‎ 例1下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能？能用平方差公式计算的，写出计算结果.‎ ‎（1）（2a-3b）(3b-2a);‎ ‎(2)(-2a+3b)(2a+3b);‎ ‎(3)(-2a-3b)(-2a+3b);‎ ‎(4)(2a+3b)(2a-3b);‎ ‎(5)(-2a-3b)(2a-3b);‎ ‎(6)(2a+3b)(-2a-3b);‎ ‎【分析】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可用平方差公式.‎ 解：（1）（6）不能用平方差公式，（2）（3）（4）（5）可以用平方差公式.‎ 例2计算：‎ ‎（1）59.9×60.1；（2）102×98.‎ ‎【分析】（1）中的两个因式分别变成60-0.1和60+0.1，再用平方差公式计算；（2）中两个因式分别可转化成100+2与100-2.‎ 197‎ ‎【教学说明】运用平方差公式计算，先要观察所要计算的式子（或经转化后的式子）是否具有平方差公式的结构特征，然后套用公式计算.‎ 例3利用平方差公式计算下列各题.‎ ‎（1）（2x+1）（2x-1）-3x2.‎ ‎（2）（1-2x）（1+2x）（1+4x2）（1+16x4）.‎ ‎【分析】（1）中的乘法计算可用平方差公式；（2）应先进行（1-2x）（1+2x）的计算，再逐步应用平方差公式求得结果.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.计算下列各题.‎ ‎2.利用平方差公式计算下列各题：‎ ‎（1）499×501；‎ ‎（2）2002×2004-20032.‎ ‎3.请认真分析下面一组等式的特征：‎ ‎1×3=22-1，‎ 197‎ ‎3×5=42-1，‎ ‎5×7=62-1，‎ ‎……‎ 猜想这一组等式有什么规律.将你猜想到的规律用一个只含字母n的式子表示出来.‎ ‎【教学说明】要求学生独立完成上述各题，再与小组成员交流，查漏纠错.‎ 四、师生互动，课堂小结 ‎ 阅读下列材料，回忆巩固平方差公式.‎ 平方差公式的几何意义也就是利用图形来表示公式.如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图2），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式就是平方差公式，即（a+b）（a-b）=a2-b2.‎ ‎1.布置作业：从教材“习题14.2”中选取部分题.‎ 197‎ ‎2.完成创优作业本课时的“课时作业”部分.‎ 平方差公式体现了特殊多项式相乘的结果，教师可引导学生由多项式乘法法则推出，然后引导学生观察公式的结构特征，从本质上认识符合公式特征的多项式相乘，以便于灵活解决实际问题.‎ ‎14.2.2 完全平方公式 ‎【知识与技能】‎ ‎1.完全平方公式的推导及其应用.‎ ‎2.完全平方公式的几何解释.‎ ‎【过程与方法】‎ 经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力.‎ ‎【情感态度】‎ 在灵活应用公式的过程中激发学生学习数学的兴趣，培养探究精神.‎ ‎【教学重点】‎ 完全平方公式的应用.‎ ‎【教学难点】‎ 完全平方公式的结构特征及几何解释.‎ 一、情境导入，初步认识 问题一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们，来一个孩子，就给一块糖；来两个孩子，就给每个孩子两块糖，……‎ ‎（1）第1天有a个男孩子去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？‎ ‎（2）第2天有b个女孩子去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？‎ ‎（3）第3天这（a+b）个孩子一起去看老人，老人一共给了孩子们多少块糖？‎ ‎（4）这些孩子第3天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？‎ 197‎ ‎【教学说明】（4）的结果需要化简，应用乘法法则可求出（a+b）2.引导学生结合教材认识从几何角度解释（a+b）2的结果.教师讲课前，先让学生完成“名师导学”.‎ ‎【归纳总结】公式的表达式：（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2.‎ 公式的特征：公式的左边是一个二项式的平方，右边是一个二次三项式；左边是两数和的形式时，右边就是这两数的平方和加上这两数积的2倍（和对应加）；左边是两数差的形式时，右边就是这两数的平方和减去这两数积的2倍（差对应减）；两公式结构相同，仅一个符号不同.‎ 二、思考探究，获取新知 例1计算下列各题.‎ ‎【分析】（1）、（2）可直接应用公式.计算时，如遇小数，应将其化成分数，这样可方便计算.（3）、（4）应注意符号，或可直接应用公式（a-b）2=a2-2ab+b2.‎ 197‎ 例2计算：（1）1032；（2）2992.‎ ‎【分析】通过观察可发现103=100+3，299=300-1，这样可应用完全平方公式.‎ ‎【教学说明】引导学生在实际练习中重点体验完全平方公式的结构特征，正确套用公式，同时注意把完全平方公式展开后每一项的符号不能出错.‎ 例3运用乘法公式计算.‎ ‎（1）（a-b+c）（a+b-c）；‎ ‎（2）（2x-y+1）（y-1+2x）；‎ ‎（3）（x-y+z）2.‎ ‎【分析】1.为了应用公式计算，先必须对式中各项添上括号，其法则是：如果括号前是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.‎ ‎2.（1）中可以将两因式变成a与b-c的和与差；（2）中两因式可以变成2x与y-1的和与差，运用平方差公式计算；（3）的底数可变形为两式的和或差.‎ 197‎ ‎【教学说明】（1）只有符号不同的两个三项式相乘，通过添括号都可以将算式变形为完全平方式或平方差；（2）两因式中绝对值相同的各项若符号全部相同或完全相反，则为完全平方式；若一部分符号相同，则为平方差.‎ 三、运用新知，深化理解 计算：‎ ‎［（x-2y）（x+2y）］2-［（x-2y）2-（x+2y）2］2.‎ ‎【教学说明】上述计算是在平方差公式、完全平方公式的基本应用上的延伸，可要求学生尝试动手练习，教师再予以指导.‎ 197‎ ‎【归纳总结】①对于比较复杂的整式乘法，先不要急于运算，应首先分析其特点，尽可能用公式进行运算，而且运算过程中尽可能地合并同类项.②必要的时候灵活运用运算公式，采用其逆运算，可以使运算过程简便.‎ 四、师生互动，课堂小结 ‎ 由学生谈谈本节课所学知识的认识，集体评点.‎ ‎1.布置作业：从教材“习题14.2”中选取部分题.‎ ‎2.完成创优作业本课时的“课时作业”部分.‎ 本课时教学重点是引导学生观察分析完全平方公式的结构特征，教师可组织学生独立观察，再在小组内交流，最后由教师归纳评点，以便学生认识与完全平方公式相关的所有变式.‎ ‎14.3 因式分解 ‎14.3.1 提公因式法 ‎【知识与技能】‎ ‎1.使学生了解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系.‎ ‎2.了解公因式概念和提公因式的方法.‎ 197‎ ‎3.会用提公因式法分解因式.‎ ‎【过程与方法】‎ ‎1.通过学习提取公因式法分解因式，把握公因式的找法和提取公因式的方法.‎ ‎2.理解因式分解的最后结果，每个因式再也不能分解.‎ ‎【情感态度】‎ 在探索提公因式分解因式的过程中学会逆向思维，渗透化归思想.‎ ‎【教学重点】‎ 用提公因式法分解因式.‎ ‎【教学难点】‎ 如何确定公因式和提公因式分解因式.‎ 一、情境导入，初步认识 ‎1.计算下列各题.‎ ‎（1）x（x+1）=____；‎ ‎（2）（x+1）（x-1）=___________；‎ ‎（3）m（a+b+c）=______________.‎ ‎2.对题1计算后的等式从右往左看，可看出每一个多项式都可转化为几个因式的积的形成.由此教师提出因式分解的定义.‎ ‎【归纳总结】把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做多项式的因式分解（或叫分解因式）.因式分解与整式乘法是相反的变形.‎ 例1下列因式分解过程是否正确？‎ 解：（1）错误，缺项（2）因式分解的各项不能有分式，所以错误（3）错误，结果不是乘积形式（4）错误，括号内的因式各项中仍有公因式.‎ 197‎ 因式分解的定义要注意以下几个方面：‎ 因式分解专指多项式的恒等变形，即等式左边必须是多项式，要与整式的乘法区分；因式分解的结果必须是几个整式的积的形式；因式分解与整式乘法互为逆运算.‎ ‎3.由ma+mb+mc=m（a+b+c）可知，这是一个因式分解的过程，其中m是各项的公因式，另一个因式是ma+mb+mc除以m所得的商，这种分解因式的方法叫提公因式法.‎ 寻找公因式的方法是：‎ ‎（1）确定公因式：如果多项式各项系数为整数，公因式就是各项系数的最大公约数和各项的相同字母的最低次幂的积.能准确地找出公因式，是提取公因式法的关键.‎ ‎（2）确定另一个因式：即原多项式除以公因式所得的商作为另一个因式，从而将原多项式写成公因式与这个因式的积.‎ 例2（1）多项式3x2-6xy+3的公因式是__________.‎ ‎（2）多项式4mn3-16m2-8m的公因式是__________.‎ ‎（3）多项式x（b+c-a）-y（b+c-a）-（a-b-c）的公因式是_________.‎ ‎（4）多项式2（x-3）+x（3-x）的公因式是__________.‎ ‎【分析】先确定系数部分的公因式，再确定字母部分的公因式.（1）的公因式就是3，最后的一项中不含字母，所以公因式中不含字母；（2）的公因式的系数是4，16，8的最大公约数，字母部分是m；（3）的公因式是b+c-a；（4）的多项式可变形为2（x-3）-x（x-3），其公因式是x-3.‎ ‎【教学说明】确定公因式一定要从系数，字母及指数三方面入手，公因式可以是一个数，也可以是一个单项式、多项式，互为相反数的因式可变形为公因式.教师讲课前，先让学生完成“名师导学”.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎【分析】首项为负，一般要先提取负号，还要注意，提公因式后不要漏项.‎ 197‎ ‎【分析】（1）多项式各项的公因式是多项式时，要提取次数幂最低的.（2）提公因式时要“提净”、“分完”，提公因式后还能提公因式的要继续分解，最后结果，若有相同因式，要写成幂的形式.‎ 例5‎ 利用分解因式计算：‎ ‎【分析】本题若按一般步骤进行计算比较麻烦且易出错，运用提公因式法就可简化其运算过程.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.下列由左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？说明理由.‎ 197‎ ‎2.分解因式.‎ ‎【教学说明】上述题目由学生自由探究，对于学生出现的各类错误予以及时纠正，并加以解释.‎ ‎【答案】1.因为（1）（2）的右边都不是积的形式，所以它不是因式分解；（4）的左边不是多项式而是一个单项式，（5）中的，都不是整式，所以（4）（5）也不是因式分解.只有（3）的左边是多项式，右边是整式的积的形式，所以只有（3）是因式分解.‎ ‎2.（1）2a（a-2）；（2）2ab2（3ab+5c-2b）；（3）-2ab（a2b-3a+1）；（4）2（x+2）（x+1）.‎ 四、师生互动，课堂小结 ‎ 集体回忆因式分解的定义和提公因式分解因式的步骤.‎ ‎1.布置作业：从教材“习题14.3”中选取部分题.‎ ‎2.完成创优作业本课时的“课时作业”部分.‎ 本课时教学应注意：‎ 197‎ ‎1.本节课是因式分解的第一节课，教师重点引导学生理解概念和提公因式法，不宜高要求.‎ ‎2.可类比数的分解来认识因式分解.‎ ‎3.强化学生对公因式概念的理解.‎ ‎14.3.2 公式法 第1课时 利用平方差公式分解因式 ‎【知识与技能】‎ 掌握平方差公式并应用于因式分解.‎ ‎【过程与方法】‎ 分析平方差公式的结构与特点，提高判断、运算能力.‎ ‎【情感态度】‎ 培养学生的观察、联想能力，进一步了解换元思想方法.‎ ‎【教学重点】‎ 应用平方差公式分解因式.‎ ‎【教学难点】‎ 根据问题特点，选择因式分解的方法.‎ 一、情境导入，初步认识 思考多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？‎ ‎【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“名师导学”.鼓励学生思考并合作交流，并大胆地表述出来.教师可提供以下思考步骤：‎ ‎1.多项式的因式分解是整式乘法的逆用，也就是把一个多项式化成几个整式的积的形式.‎ ‎2.提公因式法的第一步是观察多项式各项是否有公因式，如果没有公因式，就不能使用提公因式法对该多项式进行因式分解.‎ ‎3.对不能使用提公因式法分解因式的多项式，不能说不能因式分解.‎ ‎4.对a2-b2，提公因式法不适用，联想（a+b）（a-b）=a2-b2，这启示我们有新的分解因式的方法.‎ ‎【归纳总结】因式分解的公式法中平方差公式为a2-b2=（a+b）（a-b），它具有如下特点：‎ 197‎ ‎（1）左边是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反.‎ ‎（2）右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式是这两数的差.‎ 二、思考探究，获取新知 例1下列各式中能用平方差公式分解因式的有个（填序号）.‎ ‎【分析】①⑤是两个符号相同的平方项，不能用平方差公式分解；③是三项式，不符合平方差公式的特点；②④⑥都能写成两个数（式）的平方差，在实数范围内能够运用平方差公式.‎ ‎【答案】3‎ ‎【教学说明】能否用平方差公式分解因式，应紧紧抓住平方差公式的特点进行判断，分别从项数、符号、平方项等方面判断.‎ 例2分解因式.‎ ‎【教学说明】（1）可以利用加法交换律把负平方项交换放在后面；（2）1是平方项，可以写成“12”.‎ 例3分解因式.‎ 197‎ 197‎ ‎【教学说明】（1）如果多项式的各项中含有多项式，那么先提起公因式，再运用平方差公式求解.（2）因式分解必须进行到每一个多项式的因式都不能分解为止. ‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.下列多项式能用平方差公式分解的有（）.‎ ‎3.王敏同学去商店买了单价是9.8元/kg的糖果10.2kg，售货员刚拿起计算器，王敏就说应付99.96元，结果与售货员计算的结果相吻合，售货员很惊讶地说：“你好像个神童，怎么算得这么快？”王敏得意地说：“过奖了，我只不过利用数学上的一个公式”.‎ 你知道王敏同学是怎样计算的吗？‎ 197‎ ‎【教学说明】设置上述3个题目是为了加强学生对于平方差公式的结构认识及应用，教师可安排学生上台板书解题过程，师生共同检查.第3题虽然是整式乘法平方差公式应用，主要是为了帮助学生分清整式乘法中的平方差公式与因式分解中的平方差公式的应用区别.‎ ‎【答案】1.D2.（1）（2x+3）（2x-3）；‎ ‎（2）（2x+p+q）（p-q）；‎ ‎（3）（x2+y2）（x+y）（x-y）；‎ ‎（4）ab（a+1）（a-1）；‎ ‎（5）（13x-y）（-x+13y）；‎ ‎（6）x（x2+x+2）（x+1）.‎ ‎3.10.2×9.8=（10+0.2）（10-0.2）=102-0.22=99.96（元）.‎ 四、师生互动，课堂小结 ‎ 集体回顾平方差公式结构与分解因式时应注意的事项.‎ ‎1.布置作业：从教材“习题14.3”中选取部分题.‎ ‎2.完成创优作业本课时的“课时作业”部分.‎ 本课时教学重点是引导学生因整式乘法中的平方差公式推导出因式分解的平方差公式，教师应组织学生利用这个关系自主认识出新知识，了解公式的结构特征，并交流思考.加深学生对公式变式的认识，从而全方位地掌握平方差公式的应用范围，再指导学生利用实际训练强化对新知识的掌握.‎ 第2课时 利用完全平方公式分解因式 ‎【知识与技能】‎ 理解完全平方公式的特点，能用完全平方公式分解因式.‎ ‎【过程与方法】‎ ‎1.探索完全平方公式的结构，逐步掌握完全平方公式的应用.‎ ‎2.综合考察分解因式的方法，灵活运用各种方法分解因式.‎ ‎【情感态度】‎ 197‎ 培养学生观察、分析能力.灵活根据问题特点解决实际问题.‎ ‎【教学重点】‎ 用完全平方公式分解因式.‎ ‎【教学难点】‎ 灵活应用公式分解因式.‎ 一、情境导入，初步认识 引导学生由整式乘法中的完全平方公式推导出因式分解中的完全平方公式，即a2±2ab+b2=（a±b）2，用文字表述为：‎ 两个数的平方和，加上（或减去）这两数积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.‎ 问题判断下列各式是不是完全平方式.‎ ‎【教学说明】由学生观察并充分分析式子特点，熟悉完全平方式的结构.教师讲课前，先让学生完成“名师导学”.‎ ‎（2）（4）（5）都不是.‎ ‎【归纳总结】完全平方公式的特点：左边是一个三项式，其中的两项同号且均为一个整式的平方，另一项是前两项幂的底数的积的2倍，符号可“+”可“-”.右边是两个整式的和（或差）的平方，中间的符号同左边的乘积项的符号.‎ 二、思考探究，获取新知 197‎ 例1已知4x2+1+mx是关于x的完全平方式，求m2-5m+3的值.‎ ‎【分析】先由完全平方的结构特点确定m的值，然后再代入求代数式的值.‎ 解：由题意，得4x2+mx+1=（2x±1）2，即4x2+mx+1=4x2±4x+1，所以m=±4.‎ 当m=4时，m2-5m+3=42-5×4+3=-1.‎ 当m=-4时，m2-5m+3=（-4）2-5×（-4）+3=39.‎ ‎【教学说明】在求m的过程中，要考虑全面，不要忽略m=-4这种情况.‎ 例2分解因式.‎ 197‎ 例3把下列各式分解因式.‎ ‎【分析】（1）（2）题先提公因式再运用公式；（3）题用公式后还可以再提公因式，再用公式分解.‎ 197‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.分解因式.‎ ‎2.分解因式.‎ ‎3.用简便方法计算下列各题.‎ ‎ ‎ ‎【教学说明】上述三题可让学生自主探究，教师对有困难的同学加以指导，最后师生共同评析.‎ 197‎ 四、师生互动，课堂小结 ‎ ‎1.表述完全平方公式的结构特征.‎ ‎2.交流如何对一个二次三项式进行因式分解.‎ ‎1.布置作业：从教材“习题14.3”中选取部分题.‎ ‎2.完成创优作业本课时的“课时作业”部分.‎ 本课时教学以引导学生认识完全平方公式的结构特征为重点，以学生自主观察、分析、归纳为主要形式，鼓励学生分组讨论，集中归纳，共同总结，充分调动学生的积极性，主动参与学习过程，接受新知识.‎ 章末复习 ‎【知识与技能】‎ ‎1.掌握整式的乘法运算方法并运用于计算.‎ ‎2.掌握因式分解的方法并运用于分解因式.‎ ‎【过程与方法】‎ 197‎ ‎1.引导学生有序地总结归纳本章概念与基本方法.‎ ‎2.应用例题讲解帮助学生形成解题能力.‎ ‎【情感态度】‎ ‎1.体验转化思想.‎ ‎2.培养从特殊到一般，从一般到特殊的思维能力.‎ ‎【教学重点】‎ 整式的乘法运算与因式分解.‎ ‎【教学难点】‎ 根据实际问题选择合适方法解题.‎ 一、知识框图，整体把握 ‎【教学说明】引导学生一起表述概念法则，并适当归类，完成框架图.教学中以学生的发言为主，教师予以评判与补充，重在提醒学生找到知识点间的联系与区别.‎ 二、释疑解惑，加深理解 ‎1.整式的乘除及混合运算 整式的乘除及混合运算是本章核心内容，是计算重点.解决此类问题的一般步骤是①审题确定运算顺序，即按先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或去掉括号）；②运用各种计算法则准确地计算每一步，这是计算化简核心步骤，计算应仔细认真，防止出错，否则前功尽弃；③检查结果的正确性.‎ 例1先化简，再求值：x（x-4）（x+4）-（x+3）（x2-6x+9）+5x3y2÷x2y2，其中x=-3.‎ ‎【分析】此题主要考查整式的运算以及运算的顺序.‎ 解：原式=x（x2-16）-x3+6x2-9x-3x2+18x-27+5x ‎=x3-16x-x3+6x2-9x-3x2+18x-27+5x 197‎ ‎=3x2-2x-27.‎ 当x=-3时，原式=3x2-2x-27=3×（-3）2-2×（-3）-27=27+6-27=6.‎ 例2解方程：［2x3（2x-3）-x2］÷（2x2）=x（2x-1）.‎ ‎【分析】将整式的各种运算融入方程中，因此解方程问题实质上转化为整式的计算问题.‎ ‎2.乘法公式 教材中的乘法公式有两个：一是平方差公式，二是完全平方公式.只要掌握了公式的基本结构特点就可以快捷高效地解题.两个公式即可以正用，也可以逆用，有时逆用公式会使计算更加简捷，使用公式时要注意五点：（1）a、b的广泛代表性；（2）公式中各项的关系及整个公式的结构特点；（3）要有连续使用公式的技巧；（4）要掌握公式交替使用的方法；（5）了解两个公式的推广.‎ 例3已知a+b=6，ab=-7.‎ 求下列各式的值：（1）a2+b2；（2）a2-ab+b2；（3）a-b.‎ 解：（1）∵（a+b）2=（a2+b2）+2ab，故a2+b2=62-2×（-7）=50.‎ ‎（2）a2-ab+b2=a2+b2+2ab-3ab=（a+b）2-3ab=62-3×（-7）=57.‎ ‎（3）∵（a-b）2=（a+b）2-4ab=62-4×（-7）=64，∴a-b=±8.‎ ‎3.因式分解 因式分解是整式乘法的逆变形，有两种基本方法：提公因式法和运用公式法.因式分解的一般步骤是一提、二套、三查：若多项式有公因式先提取公因式，然后考虑运用公式，若多项式有两项，考虑平方差公式，若多项式有三项，则考虑用完全平方公式，最后检查一下所得结果否还能继续分解.‎ 例4把下列各式分解因式：（1）m4-16n4；（2）4x2n+20xnyn+25y2n.‎ 197‎ ‎【分析】如果多项式各项含有公因式，应先提取公因式，再进一步分解因式，分解因式必须分解到每一个多项式都不能再分解为止.‎ 解：（1）m4-16n4=（m2）2-（4n2）2=（m2+4n2）（m2-4n2）=（m2+4n2）［m2-（2n）2］=（m2+4n2）（m+2n）（m-2n）.‎ ‎（2）4x2n+20xnyn+25y2n=（2xn）2+2·2xn·5yn+（5yn）2=（2xn+5yn）2.‎ 例5把下列各式分解因式：‎ ‎【分析】应先提取公因式，然后再运用公式进行分解.‎ 三、典例精析，复习新知 例6解不等式组：‎ ‎【分析】解不等式组时，要将不等号两边的括号去掉，进行化简，在①中，（x+3）（x-3）符合平方差公式左边的形式，可用平方差公式，直接写出结果得x2-9；在②中，（2x-5）（-2x-5）=（-5+2x）（-5-2x）也符合平方差公式左边的形式，可用平方差公式，这样可使解不等式组的过程简化.‎ ‎【教学说明】平方差公式是代数变形的基本工具之一，在各类题目中均有可能用到，所以要随时注意，灵活使用，这样可以提高解题速度.‎ 例7分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3.‎ 你发现了什么规律？利用你发现的规律直接写出多项式1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）2005分解因式的结果.‎ ‎【分析】先将多项式分解因式，分析结果的特点，根据特点找出规律.‎ 197‎ ‎【教学说明】通过观察多项式的结构特点，较易发现经过整理之后可提公因式（1+x），而提完公因式后，多项式的结构呈现规律性的重复，可逐次提取.可见，解这类题目要善于对多项式的结构进行观察，应避免盲目乱解.‎ ‎1.布置作业：从教材“复习题14”中选取部分题.‎ ‎2.完成创优作业中“本章热点专题训练”.‎ 复习教学时要突出：‎ ‎1.引领学生充分认识概念、法则、公式，重点分析概念本质，公式特征及各知识点间关系.‎ ‎2.指导学生挖掘知识点间的联系，整体上认识知识（如整式乘法与因式分解）‎ ‎3.重点指导学生反思解题技法，总结规律，达到举一反三的目的.‎ 第十五章 分式 ‎15.1 分式 ‎15.1.1 从分数到分式 ‎【知识与技能】‎ 理解分式的意义，掌握使分式有意义时分母中字母的取值范围或字母之间的相互关系.‎ ‎【过程与方法】‎ 在经历探索、思考、类比的过程中，体会分式的意义，感受分式是刻画现实问题中数量关系的一种模型.‎ 197‎ ‎【情感态度】‎ 进一步增强从特殊到一般的认知过程，发展学生的数学思维能力.‎ ‎【教学重点】‎ 理解分式的意义，掌握使分式有意义时分母中字母的取值范围的判别方法.‎ ‎【教学难点】‎ 在分式有意义的条件下，分式值为0的字母的取值情况.‎ 一、情境导入，初步认识 问题 一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/小时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？‎ ‎【教学说明】章前画面和上述问题可用多媒体展示，让学生感受生活，感受数学.对所提出的问题让学生相互交流，探索解决问题的过程、方法，教师巡视，适时参与学生的讨论，最后选取学生代表展示成果，教师及时提出新问题.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.‎ 二、思考探究，获取新知 问题1刚才大家通过探讨，获得到 这样的式子，它们是整式吗？如果不是，区别在哪里？‎ 思考1（1）长方形的面积为10cm2，长为7cm，宽为 ；若长方形的面积为S，长为a，则宽应为 ；‎ ‎（2）把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱的容器中，水面高度为 cm；把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，水面高度应为 .‎ 思考2 式子S/a、V/S与10/7，200/33有什么区别？它们与有什么共同点？谈谈你的看法.‎ ‎【教学说明】教师应引导学生对上述三个问题进行积极思考，感受整式与分式、分式与分数之间的联系和区别，初步形成对分式的概念的理解.教师在学生交流过程中，巡视全场，引导学生关注所给式子的分子，分母的特征，此时可类比分数分子、分母进行描述.‎ 分式：一般地如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.‎ 问题2（1）使分式 有意义，则x的取值有什么要求？‎ 197‎ ‎（2）使分式A/B有意义，所需要的条件是什么？‎ ‎【教学说明】让学生自主探究，获得结论，然后相互交流，教师再予以总结.‎ ‎【归纳结论】使分式A/B有意义时，必有B≠0.‎ 三、典例精析，掌握新知 例1指出下列各式中的整式与分式：‎ ‎【教学说明】教师总结判断分式的依据：看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式.然后让学生自主探索，获得结论，这里要注意：π不是字母，是常数，所以x/π是整式.‎ 例2填空：‎ ‎（1）当x 时，分式有意义？‎ ‎（2）当b 时，分式有意义？‎ ‎（3）当x，y满足关系 时，分式有意义？‎ ‎（4）当x 时，分式 有意义？‎ 解：（1）由题意有：3x≠0，故x≠0，所以当x≠0时，分式有意义；（2）由题意有：5-3b≠0，故b≠5/3,所以当b≠5/3时，分式有意义；（3）由题意有x-y≠0，故x≠y，所以当x≠y时，分式有意义；（4）由题意有x2+1≠0，因为x2≥0，x2+1≥1，故x为任何数时，分式有意义.‎ ‎【教学说明】让学生自主探索，获得结论，选取一、两名同学汇报自己的结论，师生共同评论.评析时，教师应注意引导学生对（3）、（4）小题进行反思，巩固对分式有意义的条件和认识.‎ 197‎ 例3什么条件下，下列分式的值为0？‎ ‎（1） ；（2） ；（3） .‎ 解：（1）由题意有：x-1=0，∴x=1.当x=1时，分母x≠0，所以当x=1时，分式的值为0；‎ ‎（2）由题意有：2m-3n=0，∴m=n，∴m+n=n，又m+n≠0，即n≠0，∴n≠0，从而在m=n≠0时，分式的值为0；‎ ‎（3）由题意有：x(x-3)=0，∴x=0或x=3，当x=0时，分母x2-x-6=-6≠0，当x=3时，x2-x-6=9-3-6=0，故使分式的值为0时，x的值为x=0.‎ ‎【教学说明】教学时，教师应讲清楚使分式=0时所必须的条件是：分子=0且分母≠0，这样让学生自己通过探讨三个问题的结论时，感知分式有意义是确定分式的值的前提条件，然后给一定时间让学生自己尝试解决所提出的问题，再由老师给予完整解答，让学生在比较、分析与反思中巩固所学知识.在完成上述例题后，教师可引导学生做教材P4练习，以巩固知识.‎ 四、师生互动，课堂小结 ‎1.这节课你有哪些收获？‎ ‎2.通过这节课的学习，你还有哪些疑问？与同伴交流.‎ ‎【教学说明】问题都可由学生自己总结，选取代表发表自己的看法，从而系统地对本节知识进行回顾与思考，针对学生的疑问，可当堂予以解释，帮助学生掌握所学的知识.‎ ‎1.布置作业：从教材“习题15.1”中选取.‎ ‎2.完成练习册中本课时的练习.‎ 这节课的内容较少，比较贴近实际生活，要求学生知道什么是分式，能区分整式与分式，对保证分式有意义、分子分母要同时满足什么条件能很准确地指出来.此外，分式的值为0时分子分母也要满足一定的条件.教学中可以多出具一些实例，让学生在实际问题中去感知.‎ 197‎ ‎15.1.2分式的基本性质 ‎【知识与技能】‎ 掌握分式的基本性质，能依据分式的性质进行约分和通分运算.‎ ‎【过程与方法】‎ 通过归纳、类比等方法得出分式的基本性质，通过观察、实验、推理等活动，发现并总结出运用分式基本性质进行分式的约分和通分.‎ ‎【情感态度】‎ 进一步增强学生的创新思维能力.‎ ‎【教学重点】‎ 理解并掌握分式的基本性质，能用分式的性质进行分式的约分和通分.‎ ‎【教学难点】‎ 在分式通分时找几个分母的公分母是关键，在分式的约分时应注意将分子、分母中的多项式进行分解因式.‎ 一、情境导入，初步认识 分数的基本性质：一个分数的分子、分母同乘以（或除以）一个不为0的数，分数的值不变.‎ 思考 下列从左到右的变形成立吗？为什么？‎ ‎【教学说明】教师应引导学生用类比分数的基本性质来解决上述问题，加深对分式性质的初步认识.教学时，让学生相互交流，感受新知.‎ 二、思考探究，获取新知 ‎（一）分式的基本性质 197‎ 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.‎ 即 （A、B、C均为整式，且C≠0）‎ 试一试 ‎【教学说明】让学生自主探究，教师巡视，针对学生可能出现的问题及时给予指导，最后师生共同分析，完善答案.教学重点在于让学生明白通过分子（或分母）的变化特征，来获得分母（或分子）的变化思路，为后面的分式约分和通分作好铺垫.‎ ‎2.不改变分式的值，使下列分式的分子或分母都不含有“-”号：‎ ‎3.不改变分式的值，将下列分式中分子或分母的系数化为整数：‎ ‎【教学说明】2、3两道小题均由学生自主完成，相互交流.教师在学生处理第2题时应引导学生运用分数除法法则得到商的符号来完成分式中分子（或分母）的符号的处理办法，第3题应引导学生运用分式性质在分子、分母同乘以一个合适倍数来达到目的，边巡视，边指导，让学生在练习过程中加深对性质的理解和运用.‎ ‎（二）分式的约分 分式的约分：把分式的分子、分母中的公因式约去的过程叫做分式的约分，如由 197‎ ‎，就是分式的约分.‎ 最简分式：分子与分母中没有公因式的分式叫做最简分式.‎ 分式的约分，一般要约去分子和分母中所有公因式，使所得结果成为最简分式或整式.‎ ‎【教学说明】上述定义或结论，在教学时，教师可结合分数的约分和前面的1（1）小题进行说明，让学生通过感性认识获得理性思考，体验由特殊到一般的辨证思维方法.‎ 试一试 ‎4.约分：‎ ‎【教学说明】在学生自主探究，探索问题结论过程中，教师应关注学生以下几个方面：（1）找分式的分子、分母中的公因式是否彻底，是否考虑了分子、分母中各项的系数；（2）是否注意到分式的符号的变化；（3）约分是否彻底等，对所出现的问题一定要做好个别指导，最后师生共同讨论，给出正确答案，让学生对比自己的解答，进行必要的反思.‎ ‎（三）分式的通分 思考：联想分数的约分，如何进行分式的通分呢？‎ 试一试 ‎5.将下列分式通分：‎ ‎【分析】（1）把分式化成分母相同的分式的过程叫做分式的通分；（2）通分的关键是确定几个分式的最简公分母，而确定最简公分母通常按以下三个步骤进行：①取各分母系数的最小公倍数作为公分母系数；②各个分母中所有不同的因式均作为公分母中的一个因式；③所有因式的指数以它的最高次幂作为公因式中该因式的指数.‎ 197‎ ‎【教学说明】教学时，给几分钟时间先让学生尝试着解决问题，在学生出现思维盲区时，教师给予详细分析，边讲边演示，在思维的激烈碰撞过程中，逐渐形成对分式通分的认识.‎ 三、师生互动，课堂小结 ‎1.通过本节课的学习，你有哪些收获？‎ ‎2.通过这节课的学习，你觉得有哪些知识是难以把握的？你有何想法？‎ ‎【教学说明】通过对问题的思考，让学生回顾本节学过的知识点有哪些，怎样利用分式的性质来化简分式中分子（或分母）的符号，怎样将分子、分母中的系数化成整数，如何进行分式的约分和通分，在约分和通分时最关键的问题有哪些，如何解决等等，进一步深化对本节知识的理解.在这里，教师可引导学生做教材P8练习以及习题14.1中的题，以帮助学生进一步掌握.‎ ‎1.布置作业：从教材“习题15.1”中选取.‎ ‎2.完成练习册中本课时的练习.‎ ‎“分式的基本性质”在分式教学中占有重要的地位，它是约分、通分的依据.这部分知识比较容易理解，教师在设计这节课时，可利用“猜想和验证”的方法，留给学生足够的探索时间和广阔的思维空间，让学生得到的不仅是数学知识，更主要的是数学学习的方法，从而激励学生进一步地主动学习，产生我会学的成就感.‎ 教师应注重提高在验证、交流环节中学生的参与率，尤其是一些后进生可能普遍会感觉无从下手，在交流时不主动，从而停留在一知半解的状态.在巩固练习环节上，教师要注意学生的练习密度，最好给每位学生准备一份练习纸，这样能确保达到一定的练习量.‎ ‎15.2 分式的运算 ‎15.2.1 分式的乘除 第1课时 分式的乘除 197‎ ‎【知识与技能】‎ 掌握分式的乘除法运算法则，能进行分式的乘除法运算.‎ ‎【过程与方法】‎ 在经历探索、类比、归纳的过程中，理解并掌握分式的乘除法运算法则.‎ ‎【情感态度】‎ 在类比分数乘除法运算法则获得分式乘除法法则中，让学生体验由数到式的数学发展过程，激发学生学习兴趣，增强求知欲.‎ ‎【教学重点】‎ 理解并掌握分式乘除法运算法则，能用它来进行分式乘除法运算.‎ ‎【教学难点】‎ 运用分式乘除法运算法则解决一些实际应用问题，进一步增强数学应用能力.‎ 一、情境导入，初步认识 观察下列算式：‎ 由上述算式，我们知道，分数的乘法法则是 ；‎ 分数的除法法则是 .‎ 思考 类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？‎ ‎【教学说明】让学生直接由分数的乘除法运算法则感知分式的乘除法法则，可激发学生的学习兴趣，增强求知欲.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.‎ 二、思考探究，获取新知 类比分数的乘除法运算，可以发现分式的乘除法也有相同的运算法则.‎ 乘法法则：分式乘分式，把分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，用式子可表示为： .‎ 197‎ 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子可表示为： .‎ ‎【教学说明】分式的乘除法则可由学生类比分数得到结论，让学生在合作交流中感受新知；教师不必直接给出结论.在教学时，教师可进一步地展示下面的一些问题，帮助学生加深理解.‎ 问题 ‎【教学说明】在教学时，上述三个问题教师可延时展示给学生，让学生逐一思考，获得结论.教师巡视，对有困难的学生适时给予指导，同时分别选派2～3名学生上黑板演示，师生共同评析.在问题1中，着重于除式是整式情形，这时应引导学生先将整式看作分母为1的式子来参与计算；问题中侧重于运算结果应予以约分化简，必须是最简分式时才算运算结束；问题3侧重于分式的分母、分子是多项式情形，此时应注重于分解因式，以便于约分化简，整个过程都应是学生自主探究，合作交流来完成的.‎ 三、典例精析，掌握新知 197‎ ‎【分析】本题是分式乘除法，分子、分母是多项式的应先把多项式分解因式再运用法则，而分式乘除法实质就是约分.‎ 197‎ ‎【教学说明】本例仍由学生自主探究，抽学生回答，教师适时点拨，师生共同寻求解题方法，完成解题过程.在完成之后，教师可引导学生做P138练习第2、3题，在这个过程中，仍可让学生举手回答，教师予以点评.‎ 四、运用新知，深化理解 ‎1.一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的m、n时，水面的高为多少？‎ ‎2.大拖拉机m天耕地a公顷，小拖拉机n天耕地b公顷，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？‎ ‎【教学说明】这两个题可由学生自主探究，获得结论，教师应关注学生将实际问题转化成分式模型的能力及是否能正确运用分式乘除法法则来完成解答.‎ ‎【答案】可参见教材P135问题1、问题2的解答.‎ 五、师生互动，课堂小结 运用分式乘除法法则解决具体问题时有哪些需要注意的问题？谈谈你的看法，与同伴交流.‎ ‎1.布置作业：从教材“习题15.2”中选取.‎ ‎2.完成练习册中本课时的练习.‎ 分式的乘除不是特别难上的课，主要是要让学生掌握方法.拿乘法来说，其方法有两种：一种是先约分再乘；另一种是先乘再约分.一般应这样处理：如果分子分母全是单项式，就用先乘后约分的方法；如果分子分母含有可分解因式的多项式，就先约分后相乘.当然两种方法并不一定非得有固定的模式，你觉得哪种容易接受就选择哪种.并且在约分时应教给学生一个不容易错的方法，就是约分后把每个约好的式子写在原来的上（分子）下（分母）方，不约的照抄，最后就看写着结果再相乘，既不容易漏乘，也不容易多乘.分式除法可转变为分式乘法后再按上述方法进行.‎ 在教学方法上，教师应努力结合现实的问题情境，引导学生理解分式乘除的意义.由于练习计算是比较单调和枯燥的，为了避免单纯的机械计算，将计算学习与解决问题有机结合，创设学生喜欢的实际情境，引导学生根据实际问题的数量关系，列出算式.‎ 第2课时 分式的乘除混合运算与分式的乘方 197‎ ‎【知识与技能】‎ ‎1.掌握分式的乘除法法则，能用它们进行分式的乘除混合运算.‎ ‎2.理解分式乘方的意义，能进行有关分式乘方的运算.‎ ‎【过程与方法】‎ 通过对具体问题的探究思考，感受分式乘除混合运算、分式乘方运算方法，进一步增强类比的数学思想方法的理解.‎ ‎【情感态度】‎ 进一步增强学生的数学计算能力，发展严密的数学思维能力，增强数学学习兴趣.‎ ‎【教学重点】‎ 分式乘除、乘方混合运算能力.‎ ‎【教学难点】‎ 分式乘方法则的理解和运用.‎ 一、情境导入，初步认识 问题分式乘除法运算法则是什么？如何进行分式乘除法混合运算呢？‎ 试一试 参见教材P138例4.‎ 想一想 小明同学在计算÷·时，其过程如下：原式=÷1=，你认为他的计算正确吗？说说你的理由，与同伴交流.‎ ‎【教学说明】‎ 教师延时展示上述三个问题，让学生自主探究，加深对分式乘除法法则的理解，体会分式乘除法混合运算方法.教师对学生的结论给予恰当评析，肯定学生的成绩，对出现的疑问给予鼓励，帮助他们形成正确认知.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.‎ 二、思考探究，获取新知 思考参见教材P138“思考”.‎ ‎【归纳结论】参见教材P138最后一段.‎ 197‎ ‎【教学说明】教师提出问题，由学生自主探究，发现规律，形成认知，从而感受分式乘方的意义.‎ 试一试 计算：‎ ‎【教学说明】选派两名同学上黑板计算，其余同学在座位上自主探究.教师巡视，最后全班同学一道对两位同学的演示结果进行评析，教师应对学生的解答进行详细讲解，帮助学生完善认知.‎ ‎【归纳结论】分式的乘方，就是把分式的分子、分母各自乘方.‎ 三、典例精析，掌握新知 例计算：‎ ‎（1）参见教材P139例5第（2）小题；‎ ‎（2）参见教材P139练习第2题第（2）小题.‎ ‎【分析】分式的乘除、乘方混合运算，应先算乘方，再算乘除，能约分的一定要约分.‎ ‎【教学说明】教学时，教师应对一些学生易出现错误的地方予以强调，如（-c2d）2=-c4d2或c2d2，(-3c)3=-9c3等错误，引起学生注意.‎ 四、运用新知，深化理解 ‎1.参见教材P139“练习”第1题.‎ ‎2.计算：‎ ‎（1）参见教材P139“练习”第2题第（1）小题；‎ ‎（2）参见教材P146第3题第（4）小题.‎ ‎【教学说明】‎ 学生独立完成这些小题，然后相互交流，有时间的话，教师予以评价，让学生查漏补缺，巩固新知.‎ 五、师生互动，课堂小结 本节课所学习的主要知识是什么？有哪些需要特别注意的地方？谈谈你的看法，并与同伴交流.‎ ‎1.布置作业：从教材“习题15.2”中选取.‎ 197‎ ‎2.完成练习册中本课时的练习.‎ 由于前面学生已对分式的乘除法有一定的了解，所以本课时的教学可采用类比的方法进行，一方面类比整式的乘除混合运算，另一方面类比前面分式的乘除.教学时，教师要起引导作用，引导学生自主发现和解决问题.‎ ‎15.2.2 分式的加减 第1课时 分式的加减 ‎【知识与技能】‎ 理解并掌握分式的加减法法则，能用它进行简单的分式加减.‎ ‎【过程与方法】‎ 经历探究实际问题中数量关系的过程，感受分式的加减法也是实际需要，进而掌握分式的加减方法.‎ ‎【情感态度】‎ 进一步增强用类比的思想方法解决数学问题的能力，锻炼数学应用意识和用数学解决实际问题的能力，体验数学的应用价值.‎ ‎【教学重点】‎ 分式的加减法运算方法.‎ ‎【教学难点】‎ 异分母分式的加减法即化异分母分式为同分母分式的方法.‎ 一、情境导入，初步认识 问题1参见教材P139“问题3”.‎ 问题2参见教材P139“问题4”.‎ ‎【教学说明】让学生对上述两个问题的思考，得出算式分别为 和 ‎ 197‎ ‎，教师巡视，对不能尽快得出算式的学生给予个别指导，让学生能自主分析问题，并探寻解决问题的方法.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.‎ 二、思考探究，获取新知 思考参见教材P140“思考”.‎ ‎【归纳结论】同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，化为同分母分式，再加减.‎ ‎【教学说明】在师生共同探讨获得分式加减法法则后，教师应强调以下两个问题：①分式加减的最后结果能约分的一定要约分，化为最简分式；②异分母分式加减时，一定要先确定各分式的最简公分母，化为同分母分式后再进行加减法运算.‎ 三、典例精析，掌握新知 例 参见教材P140例6.‎ 解：参见教材P140例6“解”部分.‎ 四、运用新知，深化理解 参见教材P141“练习”.‎ ‎【教学说明】第1题只须与学生核对答案即可，而第2题建议选三名中等成绩同学上黑板演示，其它同学独立探究，然后师生共同评析三位同学的演算过程，在评讲过程中教师应有针对性地强调一些需注意的问题：如（1）中的最简公分母；（2）中化为同分母分式后分子应适时添加括号，（3）中应先将 化为 ，再通分等.‎ 五、师生互动，课堂小结 ‎1.在进行异分母分式的加减法运算时，应关注哪些问题？‎ ‎2.通过这节课的学习，你还有哪些疑惑，与同伴交流.‎ ‎【教学说明】用问题形式对本节知识进行归纳总结，让学生对知识进行梳理，形成知识体系.‎ ‎1.布置作业：从教材“习题15.2”中选取.‎ ‎2.完成练习册中本课时的练习.‎ 197‎ 这节课教师可采用探究与自主学习相结合的模式来完成.探究的目的是让学生经历类比分数加减运算的过程，通过将分式中的字母赋值，从而把分数的加减运算法则推及到分式的加减运算.整个过程中既有从特殊到一般的归纳，也有从一般到特殊的演绎.此外还可以通过把例题的再加工，使学生把错误暴露出来，引起他们的共鸣，而这些课堂内学生的差错会成为学生自己可贵的复习资料.接着可出些不同类型的题，让学生再次经历分式的加减运算过程，强化技能，以达到熟练的程度.‎ 第2课时 分式的混合运算 ‎【知识与技能】‎ ‎1.进一步掌握分式的加减法运算方法，能用它解决实际问题.‎ ‎2.能进行分式的乘除、加减、乘方混合运算.‎ ‎【过程与方法】‎ 在具体问题情境的探索思考过程中，进一步增强学生的数学应用意识，锻炼分析问题、解决问题的能力.‎ ‎【情感态度】‎ 进一步培养学生严密的科学态度和良好的学习习惯.‎ ‎【教学重点】‎ 掌握分式乘除、加减、乘方混合运算.‎ ‎【教学难点】‎ 运用分式乘除、加减、乘方等解决实际问题.‎ 一、情境导入，初步认识 问题1异分母分式的加减法的一般步骤有哪些？在运算过程中有哪些需要注意的问题？‎ 问题2在进行分式的乘除、加减，乘方混合运算时，你认为应该怎样做？谈谈你的想法.‎ ‎【教学说明】问题1的设置在于巩固上节课学过知识，并能用它解决本节问题，起承上启下作用；问题2则是让学生联想到分式乘除、分式加减法则是类比分数而得到的，因而可类比得到分式混合运算法则.在教学时，可让学生自主探究，相互交流，在探讨中形成认知.‎ 教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.‎ 二、思考探究，获取新知 197‎ 197‎ ‎【教学说明】‎ 上述两个例题都应先让学生独立完成试试，然后教师再予以评讲，例1的（1）题侧重于展示分式的混合运算方法；先算乘方，再算乘除，最后算加减；而第（2）题进一步强调混合运算中的运算顺序：“先算乘方，再算乘除，最后算加减.有括号应先做括号内的运算，再算括号外的运算”.‎ 三、典例精析，掌握新知 197‎ ‎【教学说明】教学时，可让学生自主探索，获得结论，教师再行讲解.例1中计算（x2+xy+y2）（x-y）时，若已掌握公式（a2+ab+b2）（a-b）＝a3-b3，可直接写出结果x3-y3，如果不知道此公式，可利用多项式乘多项式的法则计算.例2中含有一个开放性问题，这里教师应该强调：选择一个值代入时，一定要使原代数式有意义，即不能选x为0，1这两个值.‎ 四、运用新知，深化理解 ‎2.在一块a公顷的稻田上插秧，如果10个人插秧，要用m天完成；如果一台插秧机工作，需比10个人插秧提前3天完成.一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的多少倍？‎ ‎【教学说明】学生独立探究，教师巡视时，对有困难同学给予指导，最后予以评讲，让学生在自查中反思，积累解题经验和方法.‎ 197‎ 五、师生互动，课堂小结 ‎1.通过这节课的学习，你有哪些收获？‎ ‎2.你还有哪些疑问？与同伴交流.‎ ‎【教学说明】让学生对照上述两个问题自我反思，既系统回顾本节所学知识，又查找问题所在，在与同伴交流中加深认识.‎ ‎1.布置作业：从教材“习题15.2”中选取.‎ ‎2.完成练习册中本课时的练习.‎ 本课时要求学生理解并掌握分式的乘除、加减和乘方混合运算，为达到教学目标，本课时通过问题的提出，让学生类比前面不含乘方的混合运算.例题的讲解旨在引导学生把实际问题数学化.当然，无论是例题的分析还是练习题的落实，都以学生为中心，给予充分的时间让学生去演算并暴露问题，再指出问题所在，为后面的教学提供较好的对比分析材料.此外，教师还应引导学生发现并总结多种解题技巧，比较其优劣，通过分析题目的显著特点来灵活运用方法技巧解决问题，锻炼和培养他们的发散思维能力.‎ ‎15.2.3 整数指数幂 197‎ 第1课时 整数指数幂 ‎【知识与技能】‎ 理解并掌握整数指数幂的意义，能进行有关整数指数幂的运算.‎ ‎【过程与方法】‎ 在经历探索、类比、归纳、思考等活动过程中，体会由正整数指数幂扩充到整数指数幂的意义.‎ ‎【情感态度】‎ 进一步增强学生的数学思维和逻辑推理能力，增强数学学习兴趣，激发求知欲.‎ ‎【教学重点】‎ 整数指数幂的意义及运算方法.‎ ‎【教学难点】‎ 负整数指数幂的意义.‎ 一、情境导入，初步认识 ‎（1）当n为正整数时，an表示的实际意义是什么？‎ ‎（2）正整数指数幂的运算性质有哪些？‎ ‎【教学说明】教师设置问题，师生共同回顾，并一一予以解释，为负整数指数幂做好铺垫.‎ 教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.‎ 思考一般地，am中指数m可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂am表示什么？‎ ‎【教学说明】设置思考，可激发学生的学习兴趣，增强解决相关问题的能力.‎ 二、思考探究，获取新知 试一试 计算：a3÷a5（a≠0）‎ 方法一：a3÷a5= =1/a2；‎ 方法二：a3÷a5=a3-5=a-2.‎ 比较上述两个结论，你有何发现？由此你是否能找出a-m与1/am的关系呢？‎ ‎【归纳结论】数学中规定：一般地，当n为正整数时，a-n=1an（a≠0），即a-n（a≠‎ 197‎ ‎0）是an的倒数.‎ 你有何发现？与同伴交流.‎ ‎【归纳结论】‎ am·an=am+n这条性质对于m，n为任意整数情形仍然适用.‎ 思考类似上面的探究过程，在(ab)m=am·bm，（am）n=am·n，‎ am÷an=am-n及()n=anbn中的指数m、n能否也都可以是正整数、0或负整数呢？不妨谈谈你的看法并与同伴交流.‎ ‎【归纳结论】‎ 正整数指数幂的所有运算法则在整数范围内都是成立的.‎ 试一试 ‎【教学说明】在学生通过自主探究相互交流获得感性认识基础上，设置上述两个问题，第1题较为简单，学生可轻松完成.第2题也有意让学生先自主探索，寻找出结论.教师巡视，然后予以评讲.在评讲过程中，针对学生出现的问题予以解释，让出现问题的同学加深理解.‎ 三、典例精析，掌握新知 197‎ ‎【教学说明】以上两例均可由学生自主完成，教师巡视，最后予以简评即可.‎ 四、运用新知，深化理解 ‎【教学说明】以上两题由学生独立探究，教师巡视时，对有困难的同学给予指导，再予以评讲，让学生在自查中反思，积累解题经验.‎ 在这两题中，第1题的第（1）、（2）、（3）题都是负整数指数幂的运算，解答这类题一般要先把负整数指数化为正整数指数，然后再按正整数指数幂的运算性质进行计算；第（4）题要注意负整数指数幂和零指数幂的运算.‎ 197‎ 第2题的第（1）、（2）题按幂的运算性质计算后，把负整数指数幂写成正整数指数幂的形式，这里是应用a-n=1/an（a≠0）来转化的.第（3）题中分子、分母中的负整数指数幂改变指数的符号后就可以直接写在相应的分母、分子的位置上，依据是 =［］n= ，即=（其中a≠0，b≠0，n为正整数），运用这一技巧，能使计算变得更容易.‎ 五、师生互动，课堂小结 ‎1.这节课你有哪些收获？‎ ‎2.你认为这节课有哪些知识是难以理解的，与同伴交流.‎ ‎1.布置作业：从教材“习题15.2”中选取.‎ ‎2.完成练习册中本课时的练习.‎ 整数指数幂是在学生学习了分式的基本性质及乘除法之后的教学，教材中利用同底数幂相除的性质给出负整数指数及零指数的意义.在教学中，教师可在复习幂的有关运算性质后提出问题：“幂的这些运算性质中指数都要求是正整数，如果是负数又表示什么意义呢？”‎ 197‎ 通过提问让学生寻找规律,猜想出零指数幂和负整数指数幂的意义，这不但可以调动学生学习的积极性,还可以达到预期效果.‎ 第2课时 负整数指数幂的应用 ‎【知识与技能】‎ 理解并掌握用科学记数法来表示较小的数的方法.‎ ‎【过程与方法】‎ 通过具体实例感受用负整数指数幂来表示较小的数的方法.‎ ‎【情感态度】‎ 进一步增强数学应用意识，培养辩证的数学思想方法.‎ ‎【教学重点】‎ 能用科学记数法表示较小的数.‎ ‎【教学难点】‎ 用科学记数法表示较小的数时，10的指数的确定是关键.‎ 一、情境导入，初步认识 观察下列算式：‎ ‎【教学说明】通过对上述问题的思考，让学生在具体问题中初步感受绝对值小于1的任何小数都可以写成a×10n的形式，形成感性认识，为后继学习作好铺垫.‎ 教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.‎ 二、思考探究，获取新知 问题我们知道，用科学记数法表示一些较大的数时，通常写成a×10n的形式，其中1≤‎ 197‎ a<10，n为正整数.在前面的思考中，我们发现对于绝对值小于1的小数也可以写成a×10n（1≤a<10）的形式，这时n是一个负整数.试问：你能说出n的值与小数点后至第一个非0数字前0的个数之间的关系吗？想一想，并与同伴交流.‎ ‎【教学说明】在学生的相互交流过程中，老师巡视，及时予以指导，通过0.0003=3×10-4，0.00000307=3.07×10-6，-0.0000105=-1.05×10-5中小数点后至第一个非0数字前0的个数及相应的指数可得到它们之间的关系.‎ ‎【归纳结论】对于一个小于1的正小数，如果小数点后至第一个非0数字前有m个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数应为-(m+1).‎ 试一试 ‎1.用科学记数法表示下列各数：‎ ‎（1）0.00000001；（2）0.0012；（3）-0.0000304.‎ ‎2.请写出下列用科学记数法表示的数的原数：‎ ‎（1）3.01×10-3；‎ ‎（2）1.05×10-6；‎ ‎（3）-6.35×10-8.‎ ‎【教学说明】这两道题均可让学生独立完成，然后选取代表汇报自己的结论，师生共同评析，加深对用科学记数法来表示较小的数的理解.‎ 三、典例精析，掌握新知 例1参见教材P145例10.‎ 例2计算：（1）（2×10-6）×（6×10-9）；‎ ‎（2）（3×10-2）3÷（2×10-2）2.‎ ‎【教学说明】以上例题由师生共同完成.‎ 四、师生互动，课堂小结 这节课你有何收获，你还有哪些地方有疑问？不妨说说看.‎ ‎【教学说明】让学生自己反思，再次体会用科学记数法表示绝对值较小数的方法，查找还有哪些疑虑，以便适时释疑解惑，深化理解.‎ ‎1.布置作业：从教材“习题15.2”中选取.‎ ‎2.完成练习册中本课时的练习.‎ 197‎ 本课时可类比七年级上册所学科学记数法和前一课时的负整数指数幂的教学思路.教师可试着让学生自己发现并解决问题，以进一步加深对用科学记数法表示较小的数的理解.‎ ‎15.3 分式方程 第1课时 分式方程及其解法 ‎【知识与技能】‎ ‎1.理解分式方程的意义；‎ ‎2.掌握解分式方程的基本思路和解法；‎ ‎3.理解解分式方程可能无解的原因，掌握解分式方程的验根方法.‎ ‎【过程与方法】‎ 通过探索实际问题中的数量关系，体会分式方程的模型作用，在经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程，发展学生分析问题，解决问题的能力，渗透转化的数学思想，培养学生的应用意识.‎ ‎【情感态度】‎ 在活动中培养学生乐于探索、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值.‎ ‎【教学重点】‎ 解分式方程的基本思路和解法.‎ ‎【教学难点】‎ 理解解分式方程可能无解的原因，及增根的含义.‎ 一、情境导入，初步认识 问题一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？‎ ‎【教学说明】让学生求出江水流速为v千米/时后，自主探究，获得方程.然后师生共同评析.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.‎ 197‎ 思考 (1)方程与以往学过的方程有什么不同之处？‎ ‎（2）什么叫分式方程？分式方程的特征是什么？‎ ‎（3）怎样解分式方程呢？‎ ‎【教学说明】教师提出问题后，学生自主探究，相互交流，得出相应结论.教师应关注学生的参与情况及解决问题的情形，适时予以点拨，最后师生共同评析.‎ 二、思考探究，获取新知 分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.‎ 解分式方程的基本思路是将分式方程运用去分母的方法化成为整式方程.‎ 如：解方程.‎ 解：在方程两边乘的最简公分母(30+v)（30-v），得 ‎90(30-v)=60（30+v）.‎ 解得v=6.‎ 检验：将v=6代入方程，左边=5/2=右边，所以v=6是原分式方程的解.‎ 试一试 解方程 .‎ 思考 上面两个分式方程中，为什么去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，而去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？‎ ‎【教学说明】教师提出问题后，学生先独立解决问题，然后在小组中提出自己的看法并讨论.在学生讨论时，教师可参与交流，鼓励学生勇于探索、实践，解释产生这一现象的原因，并让学生明白解分式方程时一定要验根.‎ ‎【归纳结论】‎ 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此；解分式方程时必须检验.检验方法可以如下：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；如果使最简公分母为0，则整式方程的解不是原分式方程的解，它是原分式方程增根，原分式方程无解.‎ 三、典例精析，掌握新知 例1解方程 .‎ 197‎ 解：方程两边同乘以x(x-3)，得 ‎2x=3(x-3).‎ 解得x=9.‎ 检验：x=9时,x(x-3)=54≠0，∴x=9是原分式方程的解.‎ 例2解方程 .‎ 解：方程两边同乘以（x-1）(x+2)，得 x（x+2）-（x-1）(x+2)=3‎ 化简，得x+2=3.‎ 解得x=1.‎ 检验：把x=1代入(x-1)(x+2)=0，x=1不是原分式方程的解，原分式方程无解.‎ ‎【教学说明】两例都可以让学生自主完成，教师巡视，注意学生的解题格式和解题过程，发现问题，及时点拨，使学生掌握解分式方程的方法.‎ 四、运用新知，深化理解 解下列方程：‎ ‎【教学说明】学生独立完成，选三名同学上黑板解答，教师巡视，对有困难同学给予帮助，鼓励他们努力完成解答，然后全班同学评析三位上黑板同学的解答，吸取经验，总结问题，帮助自己完善认知.若有时间，教师可引导学生做教材P150练习以帮助学生熟练地解分式方程.‎ ‎【答案】（1）解：方程两边同时乘以x（x-6），得x-6＝7x，解得，x＝-1.‎ 检验：当x=-1时，x(x-6)≠0，x=-1是原分式方程的解.‎ ‎（2）解：方程两边同时乘以（x-1），得x＝4+3（x-1），解得x＝- .‎ 检验：当x=-时，x-1≠0.x=-是原分式方程的解.‎ ‎（3）方程可化简为： ，两边同乘以x（x-2）（x+2），得3（x+2）+（x-2）=0，得x＝-1.‎ 197‎ 检验：当x=-1时，x(x-2)(x+2)≠0，x=-1是原分式方程的解.‎ 五、师生互动，课堂小结 ‎1.解分式方程的一般步骤是什么？‎ ‎2.解分式方程时为什么要检验，说说你的看法.‎ ‎1.布置作业：从教材“习题15.3”中选取.‎ ‎2.完成练习册中本课时的练习.‎ 在本课的教学过程中，应从这样的几个方面入手：‎ ‎（1）分式方程和整式方程的区别：分清楚分式方程必须满足的两个条件：①方程式里必须有分式，②分母中含有未知数.这两个条件是判断一个方程是否为分式方程的充要条件.同时，由于分母中含有未知数，所以将其转化为整式方程后求出的解就应使每一个分式有意义，否则，这个根就是原方程的增根.正是由于分式方程与整式方程的区别，在解分式方程时必须进行检验.‎ ‎（2）分式方程和整式方程的联系：分式方程通过方程两边都乘以最简公分母，约去分母，就可以转化为整式方程来解，教学时应充分渗透这种化归思想.‎ ‎（3）解分式方程时，如果分母是多项式时，应先写出将分母进行因式分解的步骤，从而让学生准确无误地找出最简公分母.‎ 另外，对分式方程可能产生增根的原因，要启发学生认真思考和讨论.‎ 第2课时 用分式方程解决实际问题 ‎【知识与技能】‎ 能构建分式方程解决实际应用问题.‎ ‎【过程与方法】‎ 经历“实际问题——构建分式方程模型——解决实际应用问题”的过程，进一步体会数学建模思想，培养学生的数学应用意识，发展学生分析问题、解决问题的能力.‎ ‎【情感态度】‎ 在构建分式方程解决实际问题的过程中，体验数学的应用价值，提高数学学习兴趣.‎ 197‎ ‎【教学重点】‎ 构建分式方程解决实际应用问题.‎ ‎【教学难点】‎ 依据实际问题构建分式方程模型.‎ 一、情境导入，初步认识 问题解分式方程的一般步骤是怎样的？为什么解分式方程过程中一定要检验？‎ ‎【教学说明】让学生回顾分式方程的解法，为利用分式方程的实际应用问题作好准备.教师再解释分式方程必须检验的原因，加深印象.‎ 教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.‎ 二、典例精析，掌握新知 例1两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的13，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？‎ ‎【分析】由题意可知甲队单独施工1个月完成工程量是，如果能知道乙队单独施工1个月所完成的工程量，就可以比较两边的施工速度.因此可以设出乙队单独施工1个月完成的工程量为，进而列出方程为+(+)=1，解这个方程，求出未知数值后，经检验，得到问题的答案.‎ 解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的.记总工程量为1，根据工程的实际进度，得 ‎+ +=1.‎ 方程两边乘6x，得 ‎2x+x+3=6x.‎ 解得 x=1.‎ 检验：当x=1时，6x≠0.‎ 所以，原分式方程的解为x=1.‎ 由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的，可知乙队的施工速度快.‎ 197‎ ‎【教学说明】解答过程可由学生自己完成，注意给出分式方程的检验过程.‎ 例2某次列车平均提速vkm/h.用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km，提速前列车的平均速度为多少？‎ ‎【分析】对于题目中出现的字母v和s，我们都应把它当作已知数据.根据问题的需要，可说提速前的速度为x千米/时，则提速后速度为(x+v)千米/时，再利用相同时间内，提速前行驶s千米，提速后可行驶（s+50）千米，建立关于x的分式方程为 ，并予以求解及进行检验.在检验时可利用实际问题中s>0，v>0来进行判断即可得出结论.‎ 解：设提速前这次列车的平均速度为xkm/h，则提速前它行驶skm所用时间为sxh,提速后它行驶（s+50）km所用时间为h.‎ 根据行驶时间的等量关系，得.‎ 方程两边乘x(x+v)，得s（x+v）=x(s+50).‎ 解得x= .‎ 检验：由v,s都是正数，得x=时x（x+v）≠0.‎ 所以，原分式方程的解为x=.‎ 答：提速前列车的平均速度为km/h.‎ ‎【教学说明】解答过程由学生自己完成，教师巡视，发现问题，及时沟通，让学生养成独立思考习惯，学会分析问题，解决问题.在评讲时教师应针对本节的实际背景下的s>0，v>0进行必要说明.‎ 三、运用新知，深化理解 ‎1.八年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.‎ ‎2.张明3h清点完一批图书的一半，李强加入清点加一半图书的工作，两人合作1.2h清点完另一半图书.如果李强单独清点这批图书需要几小时？‎ ‎3.甲、乙二人做某种机械零件.已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等.求甲、乙每小时各做零件多少个.‎ ‎【教学说 197‎ 明】1、2题可由学生自主探究，获得结论，教师在巡视过程中，针对学生可能出现的问题及时点拨.而第3题教师应先予以分析，再引导学生依题意得到关于x的分式方程，从而得到问题的答案.‎ 四、师生互动，课堂小结 本节课学习了哪些知识？在知识的应用过程中需要注意什么？你有什么收获？‎ ‎【教学说明】教师提出问题，学生反思，对本节知识进行归纳小结，提出疑问，并与同学交流，进一步巩固和提高用分式方程解决实际问题的能力.‎ ‎1.布置作业：从教材“习题15.3”中选取.‎ ‎2.完成练习册中本课时的练习.‎ 本课时教学除了在一般意义上让学生经历“提出问题——构建模型——解决问题”的过程，还应让学生特别注意分式方程的“检验”.‎ 章末复习 ‎【知识与技能】‎ ‎1.进一步了解本章学过的主要知识，能用它们解决具体问题；‎ ‎2.进一步增强分式的混合运算能力，解分式方程的能力，能根据实际问题构建分式方程并解决应用问题的能力.‎ ‎【过程与方法】‎ 经历“知识结构图——问题反思——实际应用”的探索过程，增强学生的数学类比思想、化归思想的意识，增强分析问题、解决问题的能力.‎ ‎【情感态度】‎ 在学生的相互交流、共同探究的问题过程中，进一步增强学生的合作交流意识和探究精神，培养良好的学习习惯，增强求知欲望.‎ ‎【教学重点】‎ ‎1.分式的基本概念；‎ ‎2.分式的有（无）意义；‎ ‎3.分式的基本性质；‎ 197‎ ‎4.分式的化简与计算；‎ ‎5.负整数指数幂与科学记数法；‎ ‎6.解分式方程；‎ ‎7.分式方程的应用.‎ ‎【教学难点】‎ ‎1.分式的化简求值；‎ ‎2.分式的混合运算；‎ ‎3.分式方程增根的理解；‎ ‎4.分式方程的实际运用.‎ 一、知识框图，整体把握 ‎【教学说明】下面结构图的构建是在教师与学生一道回顾本章知识过程中，边回顾边构建，通过结构图可让学生系统地回顾本章主要知识.‎ 本章知识结构图 197‎ 二、释疑解惑，加深理解 ‎1.如何用式子表示分式的基本性质和运算法则？通过类比分数的基本性质和运算法则，你有什么认识？类比的方法在本章学习中起什么作用？‎ ‎2.怎样进行分式的约分和通分？‎ ‎3.a-n表示什么意思？如何用科学记数法表示绝对值小于1的数？‎ ‎4.解分式方程的思路和一般步骤是什么？为什么解分式方程要检验？‎ ‎【教学说明】教师提出问题，学生思考，交流得到结论，教师再予以解析，帮助学生加深理解.‎ 197‎ 三、典例精析，复习新知 例1（1）关于甲醛污染问题一直困扰人们.我国质检总局规定：针织内衣、被套、床上用品等直接接触皮肤的制品，每千克的衣物上甲醛含量应在0.000075千克以下，将0.000075用科学记数法表示为（ ）‎ A.0.75×10-4 B.7.5×10-4‎ C.7.5×10-5 D.75×10-6‎ ‎(2)若分式的值为0，则x的值等于 .‎ ‎（3）化简 = .‎ ‎(4)某玩具厂生产一种玩具，甲车间计划生产500个，乙车间计划生产400个，甲车间每天比乙车间多生产10个，两车间同时开始生产且同时完成任务.设乙车间每天生产x个，可列方程为（ ）‎ ‎【教学说明】这里的四道小题可由学生自己给出答案，教师展示答案供学生自查即可.‎ ‎【答案】（1）C（2）x=1（3）a-1（4）B 例2分式方程 有增根，则m的值为（ ）‎ A.0和3 B.1 C.1和-2 D.3‎ ‎【分析】将分式方程化为整式方程为x(x+2)-（x-1）(x+2)=m，整理得x=m-2，要使原分式方程有增根，则应有(x-1)(x+2)=0，∴x=1或x=-2.∴m-2=1或m-2=-2，解得m=3或m=0.当m=0时，原分式方程为 ，此方程可化为x=x-1，而0≠-1，原分式方程无解，且没有增根，应舍去，而当m=3时，原分式方程无解，但有增根x=1，故选D.‎ ‎【教学说明】本章在实际教学时可根据需要取舍，若选用，则应由教师予以评讲.‎ 例3（1）先化简，再求值： ，其中a为整数，且-3

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