人教版数学八年级上册《角的平分线的性质》同步测试

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12.3 角的平分线的性质 专题一 利用角的平分线的性质解题 1．如图，在△ABC 中，AC=AB，D 在 BC 上，若 D F⊥AB，垂足为 F，DG⊥AC，垂足为 G，且 DF=DG．求证：AD⊥BC. 2．如图，已知 CD⊥AB 于点 D，BE⊥AC 于点 E，BE，CD 交于点 O，且 AO 平分∠BAC． 求证：OB=OC． 3．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°， 2 1BAC B ∶ ∶∠ ∠ ，AD 是∠BAC 的角平分线，DE⊥AB 于点 E，AC=3 cm，求 BE 的长． 专题二 角平分线的性质在实际生活中的应用 4．如图，三条公路把 A、B、C 三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形 区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在 （ ） A．在 AC、BC 两边高线的交点处 B．在 AC、BC 两边中线的交点处 C．在∠A、∠B 两内角平分线的交点处 D．在 AC、BC 两边垂直平分线的交点处 5．如图，要在河流的南边，公路的左侧 M 区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离 相等，并且到河流与公路交叉 A 处的距离为 1cm（指图上距离），则图中工厂的位置应在 __________，理由是__________． 6．已知：有一块三角形空地，若想在空地中找到一个点，使这个点到三边的距离相等，试 找出该点．（保留作图痕迹） 状元笔记 【知识要点】 1．角的平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2．角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 【温馨提示】 1．到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，不是其他线段的交点． 2．到三角形三边距离相等的点不仅有内角的平分线的交点，还有相邻两外角的平分线的交 点，这样的点共有 4 个． 【方法技巧】 1．利用角的平分线的性质解决问题的关键是：挖掘角的平分线上的一点到角两边的垂线段． 若已知条件存在两条垂线段——直接考虑垂线段相等， 若已知条件存在一条垂线段——考虑通过作辅助线补出另一条垂线段，[来源:www.shulihua.net 若已知条件不存在垂线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段． 2．利用角平分线的判定解决问题的策略是：挖掘已知图形中一点到角两边的垂线段． 若已知条件存在 两条垂线段——先证明两条垂线段相等，然后说明角平分线或角的关 系； 若已知条件存在一条垂线段——考虑通过作辅助线补出另一条垂线段，再证明两条垂线 段相等； 若已知条件不存在垂线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段 后，证明两条垂线 段相等． 参考答案: 1．证明：∵ DF AB DG AC DF DG  ， ， ， ∴AD 是 BAC∠ 的平分线， ∴ BAD CAD∠ ∠ ． 在 ABD△ 和 ACD△ 中，       （公共边） （已求） 已知） ADAD DACDAB ACAB ( ∴ SAS)ABD ACD(△ ≌△ ． ∴ ADB ADC∠ ∠ ． 又∵ 180BDA CDA  ∠ ∠ ，∴ 90BDA  ∠ ，∴ AD BC ． 2．证明：∵AO 平分∠BAC，OD⊥AB，OE⊥AC， ∴OD=OE， 在 Rt△BDO 和 Rt△CEO 中，       , , COEDOB OEOD CEOBDO ∴ (ASA)BDO CEO△ ≌△ ． ∴OB=OC． 3．解：∵∠C=90°，∴∠BAC+∠B=90°， 又 DE⊥AB，∴∠C=∠AED=90°， 又 2 1BAC B ∶ ∶∠ ∠ ，∴∠A=60°，∠B=30°， 又∵AD 平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DC=DE， ∴ 3AE AC  cm． 在 Rt△DAE 和 Rt△DBE 中，       .DEDE BEDAED BDAE ∴△DAE≌△DBE（AAS）， ∴ 3BE AE  cm． 4．C 解析：根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B 两内角平分线的交点处．故 选 C． 5．∠A 的角平分线上，且距 A1cm 处 角平分线上的点到角两边的距离相等 6．解：作两个角的平分线，交点 P 就是所求作的点．