八年级上数学课件12-4 分式方程_冀教版

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第十二章 分式和分式方程 12.4 分式方程 1 课堂讲解 u 分式方程 u 解分式方程 u 分式方程的根(解) u 分式方程的增根 2 课时流程 逐点 导讲练 课堂 小结 作业 提升 小红家到学校的路程为38 km.小红从家去学校总 是先乘公共汽车，下车后再步行2 km，才能到学校， 路途所用时间是1 h.已知公共汽车的速度是小红步行 速度的9倍，求小红步行的 速度. 1 分式方程 知1－导 1.上述问题中有哪些等量关系？ 2.根据你所发现的等量关系，设未知数并列出方程. 问题中的等量关系为： (1)小红乘公共汽车的时间+小红步行的时间=小红 上学路上的时间； (2)公共汽车的速度=9×小红步行的速度. 知1－导 如果设小红步行的速度为x km/h，那么公共汽车 的速度为9x km/h，根据等量关系(1)，可得到方程 如果设小红步行的时间为x h，那么她乘公共汽 车的时间为(1－x) h， 根据等量关系(2)，可得到方程 38 2 2 1.9x x    38 2 29 .1 x x    像 这样，分母中含有未知数的方程叫做分式方 程. 知1－导 上面得到的方程与我们已学过的方程有什么 不同？这两个方程有哪些共同特点？ 38 2 2 38 2 29 11 9x x x x      和结论： 讨论： 知1－讲 分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 要点精析：(1)分式方程的两个特点：①方程中含有分 母；②分母中含有未知数． (2)分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根 本区别，是区分分式方程和整式方程的依据． (3)整式方程和分式方程统称为有理方程． 易错警示：分式方程的分母中含有未知数，而不是一 般的字母参数． 知1－讲 例1 判断下列方程是不是分式方程： 2 3 3 4(1) 8;(2) ;2 4 2 x x x     2 1 1(3) 1;(4) .2 3 x x x y    导引：(1)中的方程分母中不含有未知数，(2)(3)(4) 中的方程分母中含有未知数． 解：(1)不是分式方程；(2)是分式方程；(3)是分式 方程；(4)是分式方程． 知1－讲 判断一个方程是不是分式方程的方法：根据分 式方程的定义，判断方程的分母中是否含有未知数， 如果含有未知数，那么这个方程是分式方程，否则 不是分式方程． 警示：识别分式方程时，不能对方程进行约分、 通分，更不能用等式的性质变形． 知1－练 1 预习完分式方程的概念，小丽举出了以下方程， 你认为不是分式方程的是(　　) A. ＋x＝1 B. ＝15 C. D. ＝2 4 3 5 x x1 x 1 4 1x x  2 1 1 x x   B 知1－练 2 在方程 中，分式方程有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1 5 6 15, , 9 0,1 7 2 3 5 x x xxx x       7π x x  B 2 解分式方程 知2－导 如何解分式方程 1 600 1 600 45 4 x x   ？ 方程两边同乘以最简公分母 ，得2 000－1 600 ＝5x，解这个整式方程，得x＝80. 把x＝80代入上述分式方程检验： 所以x＝80是该分式方程的解. 1 600 1 600 4 .580 804      左边 右边 5 4 x 知2－讲 解分式方程的一般步骤： ①去分母：给方程两边都乘各分式的最简公分 母，约去分母，化为整式方程； ②解这个整式方程，得到整式方程的根； ③验根：把整式方程的根代入分式方程（或最 简公分母），使分母的值不等于零的根是原分式方 程的根，当分母的值为零时，分式方程无解； ④写出分式方程的根． 解：(1)方程两边同乘x(1－x)，得36x=18(1－x). 解这个整式方程，得x＝ 经检验，x＝ 是原分式方程的解. (2)方程两边同乘9x，得36＋18＝9x， 解这个整式方程，得x＝6. 经检验，x＝6.是原分式方程的解. 知2－讲 例2 解方程 1 3 38 2 2 38 2 2(1) 9 ;(2) 1.1 9x x x x      1 .3 知2－讲 (1)解分式方程的基本思想是“化整”，即“化分式 方程为整式方程”，而“化整”的关键是找最简公分母； (2)解分式方程一定要注意验根，验根是解分式 方程必不可少的步骤． 警示：在去分母时，方程两边同乘最简公分母， 必须每一项都要乘，不能认为有分母的就要乘，没 有分母的就不用乘，而是有几项就要乘几项，不能 漏乘． 知2－练 1 解方程： 5(1) 4;2 3 3 2 x x x    2 3(2) 1.9 3 x x x    解：(1)去分母,得 x－5＝4(2x－3)， 去括号,得 x－5＝8x－12，移项,得 －7x＝－7， ∴x＝1. 经检验，x＝1为原分式方程的解． (2)方程两边同乘(x＋3)(x－3)，得 3＋x(x＋3)＝(x＋3)(x－3)，3＋x2＋3x＝x2－9. x＝－4. 检验：当x＝－4时，(x＋3)(x－3)≠0， 所以x＝－4是原分式方程的解． 知2－练 2 【中考·济宁】解分式方程 时，去分母后变形正确的为(　　) A．2＋(x＋2)＝3(x－1) B．2－x＋2＝3(x－1) C．2－(x＋2)＝3 D．2－(x＋2)＝3(x－1) 2 2 31 1 x x x    D 知2－练 3 已知分式方程 ，下列说法 错误的是(　　) A．方程两边各分式的最简公分母是(x－1)(x＋1) B．方程两边都乘(x－1)(x＋1)，得整式方程2(x－ 1)＋3(x＋1)＝6 C．解B选项中的整式方程，得x＝1 D．原方程的解为x＝1 2 2 3 6 1 1 1x x x     D 3 分式方程的根（解） 知3－导 使得分式方程等号两端相等的未知数的值 叫做分式方程的解(也叫做分式方程的根). 导引：把x＝3代入分式方程，得到关于a的一元一次方 程，求a的值． ∵x＝3是分式方程 ＝0的根， ∴ ＝0，解得a＝5 知3－讲 例3 [中考·遵义]若x＝3是分式方程 ＝0的根，则a的值是(　　) A．5　 　B．－5　 　C．3　　 　D．－3 2 1 2 a x x    2 1 2 a x x    2 1 3 3 2 a    A 知3－讲 根据方程的解构造方程，由于所构造的方程是 分式方程，因此验根的步骤不可缺少. 知3－练 1 已知关于x的方程 的解为 x＝－ ，求m的值． 4 ( 1) 5 m x m x    1 5 解：把x＝－ 代入方程 ， 得 ，解得m＝5.经检验，m＝5 是分式方程 的解．∴m的值为5. 1 5 4 ( 1) 5 m x m x    1 45 1 515 m m        1 45 1 515 m m        知3－练 2 【中考·遵义】若x＝3是分式方程 ＝0的根，则a的值是(　　) A．5 B．－5 C．3 D．－3 3 【中考·齐齐哈尔】关于x的分式方程 有解，则字母a的取值范围是(　　) A．a＝5或a＝0 B．a≠0 C．a≠5 D．a≠5且a≠0 2 1 2 a x x    5 2 a x x   A D 下列是小华解方程 的过程： 方程两边同乘x－1，得x＋1＝－(x－3)＋(x－1). 你认为x＝1是方程 的解吗？为什么? 事实上，因为当x＝1时，x－1＝0，即这个分式方程 的分母为0，方程中的分式无意义，所以x＝1不是这个分 式方程的解(根). 4 分式方程的增根 知4－导 1 3 11 1 x x x x     1 3 11 1 x x x x     在解分式方程时，首先是通过去分母将分式方 程转化为整式方程，并解这个整式方程，然后要将 整式方程的根代入分式方程(或公分母)中检验.当 分母的值不等于0时，这个整式方程的根就是分式 方程的根；当分母的值为0时，分式方程无解，我 们把这样的根叫做分式方程的增根. 知4－导 知4－讲 例4 解方程： 2 2 3.2 2 x x x    解：方程两边同乘x＋2，得 2－(2－x)＝3(x＋2). 解这个整式方程，得 x＝－3. 经检验，x＝－3是原分式方程的解. 在去分母时，方程两边同时乘最简公分母， 必须每一项都要乘，不能认为有分母的就要乘， 没有分母的就不用乘，而是有几项就要乘几项， 不能漏乘. 知4－讲 知4－练 1 下列关于分式方程增根的说法正确的是(　　) A．使所有的分母的值都同时为零的解是增根 B．分式方程的解为0就是增根 C．使分子的值为0的解就是增根 D．使最简公分母的值为0的解是增根 D 知4－练 2 解下列方程：3 5 12 .2 2 x x x x     解：原方程即为 ，方程两边同 乘以(x－2)去分母，得3x－5=2(x－2)－(x＋1)， 整理得x=0． 经检验，x=0是原分式方程的解. 3 5 122 2 x x x x     知4－讲 例5 已知关于x的分式方程 ＝1. (1)若该方程有增根1，求a的值； (2)若该方程有增根，求a的值． 3 1 x a x x   导引：先将分式方程化成整式方程，然后将增根代 入整式方程，求出字母a的值． 解：(1)去分母并整理，得(a＋2)x＝3. ∵1是原方程的增根，∴(a＋2)×1＝3，a＝1. (2)∵原分式方程有增根，∴x(x－1)＝0，x＝0或1. 又∵整式方程(a＋2)x＝3有根，∴x＝1.∴原分式 方程的增根为1.∴(a＋2)×1＝3，∴a＝1. 方程有增根，一定存在使最简公分母等于零的 未知数的值，解这类题的一般步骤为： (1)把分式方程化为整式方程； (2)令最简公分母为零，求出未知数的值. 注意： 必须验证未知数的值是不是整式方程的根； (3)把未知数的值代入整式方程，从而求出待定 字母的值． 知4－讲 1 当m取何值时，分式方程 ＝4会 产生增根？ 知4－练 1 3 3 m x x   解：在方程两边同乘x－3，得：1－m＝4(x－3)． 解得：x＝ .若x＝ 是原分式方程 的增根，则 ＝3.解得：m＝1.所以当m ＝1时，原分式方程会产生增根． 13 4 m 13 4 m 13 4 m 知4－练 2 【中考·营口】若关于x的分式方程 ＝2有增根，则m的值是(　　) A．m＝－1 B．m＝0 C．m＝3 D．m＝0或m＝3 3 若关于x的分式方程 有增 根，则它的增根是(　　) A．0 B．1 C．－1 D．1和－1 2 3 3 x m x x   6 ( 1)( 1) 1 m x x x    A B 1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程. 2.列分式方程的步骤： (1)审清题意； (2)设未知数； (3)找到相等关系； (4)列分式方程. 1.去分母(关键找最简公分母) 将分式方程转化为整式方程 2.解这个整式方程 得到整式方程的解 3.检验(代入最简公分母看是 否为0，为0增根) 舍去增根 4.写出最终结果 得到原方程的解 3.解分式方程的步骤：