湖南省长沙市2018-2019学年南雅教育共同体期末联考人教版八年级下数学试卷 解析版

湖南省长沙市2018-2019学年南雅教育共同体期末联考人教版八年级下数学试卷 解析版

湖南省长沙市2019年南雅教育共同体期末联考人教版八年级下数学试卷 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．下列函数是二次函数的是（　　）‎ A．y＝3x﹣4 B．y＝ax2+bx+c C．y＝（x+1）2﹣5 D．y＝‎ ‎2．若函数y＝（k﹣1）x+b+2是正比例函数，则（　　）‎ A．k≠﹣1，b＝﹣2 B．k≠1，b＝﹣2 C．k＝1，b＝﹣2 D．k≠1，b＝2‎ ‎3．若矩形的长和宽是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则矩形的对角线长度为（　　）‎ A．5 B．7 C．8 D．10‎ ‎4．正比例函数y＝kx（k≠0）的图象在第二、四象限，则一次函数y＝x+k的图象大致是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎5．下列判断错误的是（　　）‎ A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ‎ B．四个内角都相等的四边形是矩形 ‎ C．四条边都相等的四边形是菱形 ‎ D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 ‎6．“龟免首次赛跑“之后，输了比赛的免子总结惨痛教训后，决定和乌龟再赛一场，图中的函数图象刻画了“龟免再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的时间，y1表示乌龟所行的路程，y2表示兔子所行的路程），下列说法中正确的有（　　）‎ ‎①“龟免再次赛跑”的路程为1000米；②兔子和乌龟同时从起点出发；③乌龟在途中休息了10分钟：④免子比乌龟早10分钟到达目的地．‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎7．某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（　　）‎ A．x（x+1）＝2550 B．x（x﹣1）＝2550 ‎ C．2x（x+1）＝2550 D．x（x﹣1）＝2550×2‎ ‎8．为参加学校举办的“诗意校园•致远方”朗诵艺术大赛，八年级“屈原读书社”组织了五次选拔赛，这五次选拔赛中，小明五次成绩的平均数是90，方差是2；小强五次成绩的平均数也是90，方差是14.8．下列说法正确的是（　　）‎ A．小明的成绩比小强稳定 ‎ B．小明、小强两人成绩一样稳定 ‎ C．小强的成绩比小明稳定 ‎ D．无法确定小明、小强的成绩谁更稳定 ‎9．已知直线y＝kx+3经过点A（1，2）且与x轴交于点B，点B的坐标是（　　）‎ A．（﹣3，0） B．（0，3） C．（3，0） D．（0，﹣3）‎ ‎10．要由抛物线y＝2x2得到抛物线y＝2（x+1）2﹣3，则抛物线y＝2x2必须（　　）‎ A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 ‎ B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 ‎ C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 ‎ D．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 ‎11．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：‎ ‎（1）a+b+c＞0‎ ‎（2）方程ax2+bx+c＝0两根之和大于零 ‎（3）y随x的增大而增大 ‎（4）一次函数y＝x+bc的图象一定不过第二象限，‎ 其中正确的个数是（　　）‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎12．如图1，在平面直角坐标系中，将平行四边形ABCD放置在第一象限，且AB∥x轴．直线y＝﹣x从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2，那么平行四边形ABCD的面积为（　　）‎ A． B．4 C． D．8‎ 二．填空题（共6小题）‎ ‎13．在▱ABCD中，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，P是BC边上一点，且OP∥AB，则OP的长为　 　．‎ ‎14．函数y＝﹣x+1的图象不经过第　 　象限．‎ ‎15．菱形ABCD中，且AC＝6，BD＝8，则S菱形ABCD＝　 　．‎ ‎16．若关于x的方程x2+mx+7＝0有一个根为1，则该方程的另一根为　 　．‎ ‎17．如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2），不等式x2+bx+c＜x+m的解集为　 　．‎ ‎18．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF ‎≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB＝AC，∠BAC＝120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是　 　．（请写出正确结论的序号）．‎ 三．解答题 ‎19.已知抛物线y＝x2﹣4x+3．‎ ‎（1）求该抛物线与y轴的交点坐标；‎ ‎（2）求该抛物线与x轴的交点坐标．‎ ‎20.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF，∠AEB＝∠DFC．‎ 求证：四边形ABCD为平行四边形．‎ ‎21.已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足下表：‎ x ‎…‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎﹣1‎ ‎0‎ m ‎8‎ ‎…‎ ‎（1）可求得m的值为　；‎ ‎（2）求出这个二次函数的解析式；‎ ‎（3）当0＜x＜3时，则y的取值范围为　 ．‎ ‎22.若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2＝﹣，x1x2＝．该结论称为一元二次方程根与系数的关系，这个关系经常用来求一些代数式的值，请完成下列各题：‎ ‎（1）已知：x1、x2是方程x2﹣4x+2＝0的两个实数根，求（x1﹣1）（x2﹣1）值；‎ ‎（2）若m、n是方程x2﹣x﹣2016＝0的两个实数根，求代数式m2+2m+3n的值．‎ ‎23.四川雅安发生地震后，某校学生会向全校700名学生发起了爱心捐款活动，为了解捐款情况，随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②‎ ‎，请根据相关信息，解答下列是问题：‎ ‎（Ⅰ）本次随机抽样调查的学生人数为　　，图①中m的值是　　；‎ ‎（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；‎ ‎（Ⅲ）根据样本数据，估计该校本次活动捐款为10元的学生人数．‎ ‎24.某商店原来平均每天可销售某种水果100千克，每千克可盈利7元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可所多售出20千克．‎ ‎（1）设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；‎ ‎（2）若要平均每天盈利400元，则每千克应降价多少元？‎ ‎（3）每千克降价多少元时，每天的盈利最多？最多盈利多少元？‎ ‎25.如图，已知直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°．‎ ‎（1）求△AOB的面积；‎ ‎（2）求点C坐标；‎ ‎（3）点P是x轴上的一个动点，设P（x，0），‎ ‎①请用x的代数式表示PB2、PC2；‎ ‎②是否存在这样的点P，使得|PC﹣PB|的值最大？如果不存在，请说明理由；如果存在，请直接写出点P的坐标　　．‎ ‎26.如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．‎ ‎（1）求该抛物线的函数解析式．‎ ‎（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD．OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．‎ ‎（3）如图2，点E的坐标为（0，），点P是抛物线上的点，连接EB，PB，PE形成的△PBE中，是否存在点P，使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 湖南省长沙市2019年南雅教育共同体期末联考人教版八年级下数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．下列函数是二次函数的是（　　）‎ A．y＝3x﹣4 B．y＝ax2+bx+c C．y＝（x+1）2﹣5 D．y＝‎ ‎【分析】根据二次函数定义的条件判定则可．‎ ‎【解答】解：A、y＝3x﹣4，是一次函数，错误；‎ B、y＝ax2+bx+c，当a＝0时，不是二次函数，错误；‎ C、y＝（x+1）2﹣5，是二次函数，正确，‎ D、y＝，不是二次函数，错误．‎ 故选：C．‎ ‎2．若函数y＝（k﹣1）x+b+2是正比例函数，则（　　）‎ A．k≠﹣1，b＝﹣2 B．k≠1，b＝﹣2 C．k＝1，b＝﹣2 D．k≠1，b＝2‎ ‎【分析】根据正比例函数的定义可知k﹣1≠0，b+2＝0，从而可求得k、b的值．‎ ‎【解答】解：∵y＝（k﹣1）x+b+2是正比例函数，‎ ‎∴k﹣1≠0，b+2＝0．‎ 解得；k≠1，b＝﹣2．‎ 故选：B．‎ ‎3．若矩形的长和宽是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则矩形的对角线长度为（　　）‎ A．5 B．7 C．8 D．10‎ ‎【分析】设矩形的长和宽分别为a、b，根据根与系数的关系得到a+b＝7，ab＝12，利用勾股定理得到矩形的对角线长＝，再利用完全平方公式和整体代入的方法可计算出矩形的对角线长为5．‎ ‎【解答】解：设矩形的长和宽分别为a、b，‎ 则a+b＝7，ab＝12，‎ 所以矩形的对角线长＝＝＝＝5，‎ 故选：A．‎ ‎4．正比例函数y＝kx（k≠0）的图象在第二、四象限，则一次函数y＝x+k的图象大致是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据正比例函数图象所经过的象限判定k＜0，由此可以推知一次函数y＝x+k的图象与y轴交于负半轴，且经过第一、三象限．‎ ‎【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的图象在第二、四象限，‎ ‎∴k＜0，‎ ‎∴一次函数y＝x+k的图象与y轴交于负半轴，且经过第一、三象限．‎ 观察选项，只有B选项正确．‎ 故选：B．‎ ‎5．下列判断错误的是（　　）‎ A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ‎ B．四个内角都相等的四边形是矩形 ‎ C．四条边都相等的四边形是菱形 ‎ D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 ‎【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定，菱形的判定以及正方形的判定对各选项分析判断即可得解．‎ ‎【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，故本选项错误；‎ B、四个内角都相等的四边形是矩形，正确，故本选项错误；‎ C、四条边都相等的四边形是菱形，正确，故本选项错误；‎ D、两条对角线垂直且平分的四边形是正方形，错误，应该是菱形，故本选项正确．‎ 故选：D．‎ ‎6．“龟免首次赛跑“‎ 之后，输了比赛的免子总结惨痛教训后，决定和乌龟再赛一场，图中的函数图象刻画了“龟免再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的时间，y1表示乌龟所行的路程，y2表示兔子所行的路程），下列说法中正确的有（　　）‎ ‎①“龟免再次赛跑”的路程为1000米；②兔子和乌龟同时从起点出发；③乌龟在途中休息了10分钟：④免子比乌龟早10分钟到达目的地．‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【分析】根据函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决．‎ ‎【解答】解：由图象可得，‎ ‎“龟免再次赛跑”的路程为1000米，故①正确，‎ 兔子和乌龟不是同时从起点出发，乌龟先出发的，故②错误，‎ 乌龟在途中休息了40﹣30＝10分钟，故③正确，‎ 免子比乌龟早10分钟到达目的地，故④正确，‎ 故选：B．‎ ‎7．某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（　　）‎ A．x（x+1）＝2550 B．x（x﹣1）＝2550 ‎ C．2x（x+1）＝2550 D．x（x﹣1）＝2550×2‎ ‎【分析】如果全班有x名学生，那么每名学生应该送的相片为（x﹣1）张，根据“全班共送了2550张相片”，可得出方程为x（x﹣1）＝2550．‎ ‎【解答】解：∵全班有x名学生，‎ ‎∴每名学生应该送的相片为（x﹣1）张，‎ ‎∴x（x﹣1）＝2550．‎ 故选：B．‎ ‎8．为参加学校举办的“诗意校园•致远方”朗诵艺术大赛，八年级“屈原读书社”‎ 组织了五次选拔赛，这五次选拔赛中，小明五次成绩的平均数是90，方差是2；小强五次成绩的平均数也是90，方差是14.8．下列说法正确的是（　　）‎ A．小明的成绩比小强稳定 ‎ B．小明、小强两人成绩一样稳定 ‎ C．小强的成绩比小明稳定 ‎ D．无法确定小明、小强的成绩谁更稳定 ‎【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．‎ ‎【解答】解：∵小明五次成绩的平均数是90，方差是2；小强五次成绩的平均数也是90，方差是14.8．‎ 平均成绩一样，小明的方差小，成绩稳定，‎ 故选：A．‎ ‎9．已知直线y＝kx+3经过点A（1，2）且与x轴交于点B，点B的坐标是（　　）‎ A．（﹣3，0） B．（0，3） C．（3，0） D．（0，﹣3）‎ ‎【分析】由点A的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出点B的坐标．‎ ‎【解答】解：∵直线y＝kx+3经过点A（1，2），‎ ‎∴2＝k+3，‎ 解得：k＝﹣1，‎ ‎∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3．‎ 当y＝0时，x＝3，‎ ‎∴点B的坐标为（3，0）．‎ 故选：C．‎ ‎10．要由抛物线y＝2x2得到抛物线y＝2（x+1）2﹣3，则抛物线y＝2x2必须（　　）‎ A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 ‎ B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 ‎ C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 ‎ D．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 ‎【分析】变化规律：左加右减，上加下减．‎ ‎【解答】解：抛物线y＝2x2必须向左平移1个单位，再向下平移3个单位才得到y＝2（x+1）2﹣3．‎ 故选：A．‎ ‎11．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：‎ ‎（1）a+b+c＞0‎ ‎（2）方程ax2+bx+c＝0两根之和大于零 ‎（3）y随x的增大而增大 ‎（4）一次函数y＝x+bc的图象一定不过第二象限，‎ 其中正确的个数是（　　）‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎【分析】（1）根据利用图象可知，x＝1时函数值在x轴上方，得出答案；‎ ‎（2）结合图象可知方程ax2+bx+c＝0两根之和大于零，‎ ‎（3）根据二次函数增减性得出，对称轴两侧增减性不同，得出答案；‎ ‎（4）结合图象可知b＜0，c＜0，即可得出一次函数y＝x+bc的图象一定不过的象限．‎ ‎【解答】解：（1）利用图象可知，x＝1时函数值在x轴上方，∴a+b+c＞0，‎ 故此选项正确；‎ ‎（2）结合图象可知方程ax2+bx+c＝0两根之和大于零，故此选项正确；‎ ‎（3）y随x的增大而增大，根据二次函数增减性得出，对称轴两侧增减性不同，故此选项错误；‎ ‎（4）一次函数y＝x+bc的图象一定不过第二象限，结合图象可知b＜0，c＜0，‎ ‎∴bc＞0，‎ ‎∴一次函数y＝x+bc的图象一定不过第四象限，故此选项错误．‎ 故选：C．‎ ‎12．如图1，在平面直角坐标系中，将平行四边形ABCD放置在第一象限，且AB∥x轴．直线y＝﹣x从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2，那么平行四边形ABCD的面积为（　　）‎ A． B．4 C． D．8‎ ‎【分析】根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A，当移动距离是7时，直线经过D，在移动距离是8时经过B，则AB＝8﹣4＝4，当直线经过D点，设交AB与N，则DN＝2，作DM⊥AB于点M．利用三角函数即可求得DM即平行四边形的高，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．‎ ‎【解答】解：根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A，当移动距离是7时，直线经过D，在移动距离是8时经过B，‎ 则AB＝8﹣4＝4，‎ 如图1，‎ 当直线经过D点，设交AB与N，则DN＝2，作DM⊥AB于点M．‎ ‎∵y＝﹣x与x轴形成的角是45°，‎ 又∵AB∥x轴，‎ ‎∴∠DNM＝45°，‎ ‎∴DM＝DN•sin45°＝2×＝2，‎ 则平行四边形的面积是：AB•DM＝4×2＝8．‎ 故选：D．‎ 二．填空题（共6小题）‎ ‎13．在▱ABCD中，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，P是BC边上一点，且OP∥AB，则OP的长为　3　．‎ ‎【分析】根据三角形的中位线定理和平行四边形的性质解答即可．‎ ‎【解答】解：如图：‎ ‎∵▱ABCD，‎ ‎∴AO＝OC，‎ ‎∵OP∥AB，‎ ‎∴OP是△ABC的中位线，‎ ‎∴OP＝，‎ 故答案为：3‎ ‎14．函数y＝﹣x+1的图象不经过第　三　象限．‎ ‎【分析】先根据一次函数y＝﹣x+1中k＝﹣，b＝1判断出函数图象经过的象限，进而可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+1中k＝﹣＜0，b＝1＞0，‎ ‎∴此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．‎ 故答案为：三．‎ ‎15．菱形ABCD中，且AC＝6，BD＝8，则S菱形ABCD＝　24　．‎ ‎【分析】由菱形ABCD中，且AC＝6，BD＝8，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案．‎ ‎【解答】解：∵菱形ABCD中，且AC＝6，BD＝8，‎ ‎∴S菱形ABCD＝AC•BD＝24．‎ 故答案为：24．‎ ‎16．若关于x的方程x2+mx+7＝0有一个根为1，则该方程的另一根为　7　．‎ ‎【分析】设方程的另一根为x1，根据两根之积等于，即可得出关于x1的一元一次方程，解之即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设方程的另一根为x1，‎ 根据题意得：1×x1＝7，‎ 解得：x1＝7．‎ 故答案为：7．‎ ‎17．如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2），不等式x2+bx+c＜x+m的解集为　1＜x＜3　．‎ ‎【分析】求关于x的不等式x2+bx+c＜x+m的解集，实质上就是根据图象找出函数y＝x+m的值大于函数y＝x2+bx+c值时x的取值范围，由两个函数图象的交点及图象的位置，可求范围 ‎【解答】解：依题意得求关于x的不等式x2+bx+c＜x+m的解集，‎ 实质上就是根据图象找出函数y＝x+m的值大于函数y＝x2+bx+c值时x的取值范围，‎ 而y＝x2+bx+c的开口方向向上，且由两个函数图象的交点为A（1，0），B（3，2），‎ 结合两个图象的位置，可以得到此时x的取值范围：1＜x＜3．‎ 故填空答案：1＜x＜3．‎ ‎18．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB＝AC，∠BAC＝120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是　①②　．（请写出正确结论的序号）．‎ ‎【分析】由三角形ABE与三角形BCF都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，∠ABE＝∠CBF＝60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形EBF与三角形DFC全等，利用全等三角形对应边相等得到EF＝AC，再由三角形ADC为等边三角形得到三边相等，等量代换得到EF＝AD，AE＝DF，利用对边相等的四边形为平行四边形得到AEFD为平行四边形，若AB＝AC，∠BAC＝120°，只能得到AEFD为菱形，不能为正方形，即可得到正确的选项．‎ ‎【解答】解：∵△ABE、△BCF为等边三角形，‎ ‎∴AB＝BE＝AE，BC＝CF＝FB，∠ABE＝∠CBF＝60°，‎ ‎∴∠ABE﹣∠ABF＝∠FBC﹣∠ABF，即∠CBA＝∠FBE，‎ 在△ABC和△EBF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABC≌△EBF（SAS），‎ ‎∴EF＝AC，‎ 又∵△ADC为等边三角形，‎ ‎∴CD＝AD＝AC，‎ ‎∴EF＝AD＝DC，‎ 同理可得△ABC≌△DFC，‎ ‎∴DF＝AB＝AE＝DF，‎ ‎∴四边形AEFD是平行四边形，选项②正确；‎ ‎∴∠FEA＝∠ADF，‎ ‎∴∠FEA+∠AEB＝∠ADF+∠ADC，即∠FEB＝∠CDF，‎ 在△FEB和△CDF中，‎ ‎．‎ ‎∴△FEB≌△CDF（SAS），选项①正确；‎ 若AB＝AC，∠BAC＝120°，则有AE＝AD，∠EAD＝120°，此时AEFD为菱形，选项③错误，‎ 故答案为：①②．‎ 三．解答题 ‎19.已知抛物线y＝x2﹣4x+3．‎ ‎（1）求该抛物线与y轴的交点坐标；‎ ‎（2）求该抛物线与x轴的交点坐标．‎ ‎【考点】H3：二次函数的性质；H5：二次函数图象上点的坐标特征；HA：抛物线与x轴的交点．‎ ‎【专题】535：二次函数图象及其性质．‎ ‎【分析】（1）通过求自变量为0对应的函数值得到该抛物线与y轴的交点坐标；‎ ‎（2）通过解方程x2﹣4x+3＝0得该抛物线与x轴的交点坐标．‎ ‎【解答】解：（1）当x＝0时，y＝x2﹣4x+3＝3，‎ 所以该抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）；‎ ‎（2）当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，‎ 所以该抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）．‎ ‎20.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF，∠AEB＝∠DFC．‎ 求证：四边形ABCD为平行四边形．‎ ‎【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L6：平行四边形的判定．‎ ‎【专题】555：多边形与平行四边形．‎ ‎【分析】首先证明△AEB≌△CFD可得AB＝CD，再由条件AB∥CD可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD为平行四边形．‎ ‎【解答】证明：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠DCA＝∠BAC，‎ 在△AEB和△CFD中，‎ ‎∴△AEB≌△CFD（ASA），‎ ‎∴AB＝CD，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴四边形ABCD为平行四边形．‎ ‎21.已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足下表：‎ x ‎…‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎﹣1‎ ‎0‎ m ‎8‎ ‎…‎ ‎（1）可求得m的值为　3　；‎ ‎（2）求出这个二次函数的解析式；‎ ‎（3）当0＜x＜3时，则y的取值范围为　﹣1≤y＜3　．‎ ‎【考点】H3：二次函数的性质；H8：待定系数法求二次函数解析式．‎ ‎【分析】（1）（2）把表中的三个点（0，3），（1，0），（2，﹣1）代入函数的解析式，得到关于a，b，c的方程组，即可求得解析式，把x＝4代入即可求得m的值；‎ ‎（3）根据函数的图象开口方向，增减性即可确定．‎ ‎【解答】解：（1）（2）根据题意得：，‎ 解得：，‎ 则函数的解析式是：y＝x2﹣4x+3，‎ 当x＝4时，m＝16﹣16+3＝3；‎ ‎（3）函数的顶点坐标是：（2，﹣1），‎ 当0＜x＜3时，则y的取值范围为：﹣1≤y＜3．‎ 故答案是：3；﹣1≤y＜3．‎ ‎22.若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2＝﹣，x1x2＝．该结论称为一元二次方程根与系数的关系，这个关系经常用来求一些代数式的值，请完成下列各题：‎ ‎（1）已知：x1、x2是方程x2﹣4x+2＝0的两个实数根，求（x1﹣1）（x2﹣1）值；‎ ‎（2）若m、n是方程x2﹣x﹣2016＝0的两个实数根，求代数式m2+2m+3n的值．‎ ‎【考点】AB：根与系数的关系．‎ ‎【专题】23：新定义；523：一元二次方程及应用．‎ ‎【分析】（1）根据根与系数的关系即可求出答案；‎ ‎（2）根据根与系数的关系以及方程的解的概念即可求出答案．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝2，‎ ‎∴原式＝x1x2﹣（x1+x2）+1‎ ‎＝2﹣4+1‎ ‎＝﹣1；‎ ‎（2）由题意可知：m+n＝1，mn＝﹣2016，‎ ‎∵m2﹣m﹣2016＝0，‎ ‎∴m2﹣m＝2016，‎ ‎∴原式＝m2﹣m+3m+3n ‎＝2016+3×1‎ ‎＝2019；‎ ‎23.四川雅安发生地震后，某校学生会向全校700名学生发起了爱心捐款活动，为了解捐款情况，随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列是问题：‎ ‎（Ⅰ）本次随机抽样调查的学生人数为　50　，图①中m的值是　32　；‎ ‎（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；‎ ‎（Ⅲ）根据样本数据，估计该校本次活动捐款为10元的学生人数．‎ ‎【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图；W2：加权平均数；W4：中位数；W5：众数．‎ ‎【分析】（1）用5元学生数除以5元学生占抽样调查学生数的百分比求解即可．‎ ‎（2）利用平均数，众数和中位数的定义求解．‎ ‎（3）该校总人数乘捐款为10元的学生的百分比．‎ ‎【解答】解：（1）本次随机抽样调查的学生人数为：4÷8%＝50（人），‎ ‎1﹣24%﹣20%﹣16%﹣8%＝32%，所以m＝32，‎ 故答案为：50，32．‎ ‎（2）本次调查获取的样本数据的平均数：（4×5+10×16+15×12+20×10+30×8）÷50＝16（元），‎ 求本次调查获取的样本数据的众数是10，‎ 本次调查获取的样本数据的中位数是15．‎ ‎（3）该校本次活动捐款为10元的学生人数为：700×32%＝224（人）．‎ ‎24.某商店原来平均每天可销售某种水果100千克，每千克可盈利7元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可所多售出20千克．‎ ‎（1）设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；‎ ‎（2）若要平均每天盈利400元，则每千克应降价多少元？‎ ‎（3）每千克降价多少元时，每天的盈利最多？最多盈利多少元？‎ ‎【考点】HE：二次函数的应用．‎ ‎【分析】（1）直接利用每千克利润×销量＝总利润，进而得出函数关系式；‎ ‎（2）利用y＝400，进而解方程得出答案；‎ ‎（3）利用配方法求出二次函数最值即可．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意得：‎ y＝（100+20x）×（7﹣x）‎ ‎＝﹣20x2+40x+700；‎ ‎（2）令y＝﹣20x2+40x+700中y＝400，则有：400＝﹣20x2+40x+700，‎ 即x2﹣2x﹣15＝0，‎ 解得：x1＝﹣3（舍去），x2＝5．‎ 所以若要平均每天盈利400元，则每千克应降价5元．‎ ‎（3）y＝﹣20x2+40x+700＝﹣20（x﹣1）2+720，‎ ‎ 所以每千克降价1元时，每天的盈利最多，最多盈利多，720元．‎ ‎25.如图，已知直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°．‎ ‎（1）求△AOB的面积；‎ ‎（2）求点C坐标；‎ ‎（3）点P是x轴上的一个动点，设P（x，0），‎ ‎①请用x的代数式表示PB2、PC2；‎ ‎②是否存在这样的点P，使得|PC﹣PB|的值最大？如果不存在，请说明理由；如果存在，请直接写出点P的坐标　（﹣21，0）　．‎ ‎【考点】FI：一次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）由直线y＝﹣x+3得出OA、OB，可求△AOB的面积；‎ ‎（2）过C点作CD⊥x轴，垂足为D，根据△ABC为等腰直角三角形证明△OAB≌△DCA，得出CD＝OA，AD＝OB，确定C点坐标；‎ ‎（3）①设P（x，0），可知PD＝7﹣x，在Rt△OPB，Rt△PCD中，利用勾股定理求PB2、PC2，‎ ‎②存在这样的P点．当PB与PA成一直线时，|PC﹣PB|的值最大．‎ ‎【解答】解：（1）由直线y＝﹣x+3，令y＝0，得OA＝x＝4，令x＝0，得OB＝y＝3，‎ 所以，S△AOB＝×4×3＝6；‎ ‎（2）过C点作CD⊥x轴，垂足为D，‎ ‎∵∠BAO+∠CAD＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，‎ ‎∴∠BAO＝∠ACD，‎ 又∵AB＝AC，∠AOB＝∠CDA＝90°，‎ ‎∴△OAB≌△DCA，‎ ‎∴CD＝OA＝4，AD＝OB＝3，则OD＝4+3＝7，‎ ‎∴C（7，4）；‎ ‎（3）①由（2）可知，PD＝|7﹣x|，‎ 在Rt△OPB中，PB2＝OP2+OB2＝x2+9，‎ Rt△PCD中，PC2＝PD2+CD2＝（7﹣x）2+16＝x2﹣14x+65，‎ ‎②存在这样的P点．‎ 延长BC交x轴于P，‎ 设直线BC解析式为y＝kx+b，将B、C两点坐标代入，得 ‎，‎ 解得，‎ 所以，直线BC解析式为y＝x+3，‎ 令y＝0，得P（﹣21，0），此时|PC﹣PB|的值最大，‎ 故答案为：（﹣21，0）．‎ ‎26.如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．‎ ‎（1）求该抛物线的函数解析式．‎ ‎（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD．OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．‎ ‎（3）如图2，点E的坐标为（0，），点P是抛物线上的点，连接EB，PB，PE形成的△PBE中，是否存在点P，使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题．‎ ‎【专题】16：压轴题；2B：探究型；31：数形结合．‎ ‎【分析】（1）OB＝OC＝3，则：B（3，0），C（0，3），把B、C坐标代入抛物线方程，解得抛物线方程为：y＝﹣x2+2x+3…①；‎ ‎（2）S△COF：S△CDF＝3：2，则S△COF＝S△COD，即：xD＝xF，即可求解；‎ ‎（3）分∠PBE或∠PEB等于2∠OBE两种情况分别求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）OB＝OC＝3，则：B（3，0），C（0，3），‎ 把B、C坐标代入抛物线方程，‎ 解得抛物线方程为：y＝﹣x2+2x+3…①；‎ ‎（2）∵S△COF：S△CDF＝3：2，‎ ‎∴S△COF＝S△COD，即：xD＝xF，‎ 设：F点横坐标为3t，则D点横坐标为5t，‎ 点F在直线BC上，‎ 而BC所在的直线表达式为：y＝﹣x+3，则F（3t，3﹣3t），‎ 则：直线OF所在的直线表达式为：y＝x＝x，‎ 则点D（5t，5﹣5t），‎ 把D点坐标代入①，解得：t＝或，‎ 则点D的坐标为（1，4）或（2，3）；‎ ‎（3）①当∠PBE＝2∠OBE时，‎ 当BP在x轴上方时，‎ 如图2，设BP1交y轴于点E′，‎ ‎∴∠P1BE＝2∠OBE，∴∠E′BO＝∠EBO，又∠E′OB＝∠EBO＝60°，BO＝BO，‎ ‎∴E′BO△≌△EBO（AAS），‎ ‎∴EO＝EO＝，∴点E′（0，），‎ 直线BP1过点B、E′，则其直线方程为：y＝﹣x+…②，‎ 联立①②并解得：x＝﹣，‎ 故点P1的坐标为（﹣，）；‎ 当BP在x轴下方时，‎ 如图2，过点E作EF∥BE′交BP2于点F，则∠FEB＝∠EBE′，‎ ‎∴∠E′BE＝2∠OBE，∠EBP2＝2∠OBE，∴∠FEB＝∠EBF，‎ ‎∴FE＝BF，‎ 直线EF可以看成直线BE′平移而得，其k值为﹣，‎ 则其直线表达式为：y＝﹣x﹣，‎ 设点F（m，﹣m﹣），过点F作FH⊥y轴交于点H，作BK⊥HF于点K，‎ 则点H（0，﹣m﹣），K（3，﹣m﹣），‎ ‎∵EF＝BF，则FE2＝BF2，‎ 即：m2+（﹣+m+）2＝（3﹣m）2+（m+）2，‎ 解得：m＝，则点F（，﹣），‎ 则直线BF的表达式为：y＝x﹣…③，‎ 联立①③并解得：x＝﹣或3（舍去3），‎ 则点P2（﹣，﹣）；‎ ‎②当∠PEB＝2∠OBE时，‎ 当EP在BE上方时，如图3，点E′为图2所求，‎ 设BE′交EP3于点F，‎ ‎∵∠EBE′＝2∠OBE，∴∠EBE′＝∠P3EB，‎ ‎∴FE＝BF，‎ 由①知，直线BE′的表达式为：y＝﹣x+，‎ 设点F（n，﹣n+），K（3，﹣n+），‎ 由FE＝BF，同理可得：n＝，‎ 故点F（，），则直线EF的表达式为：y＝x﹣…④，‎ 联立①④并解得：n＝1或﹣（舍去负值），‎ ‎∴P3（1，4）；‎ 当EP在BE下方时，‎ 同理可得：x＝（舍去负值），‎ 故点P4（，﹣）．‎ 故点P的坐标为：（1，4）或（﹣，）或（﹣，﹣）或（，﹣）．‎