八年级数学上册第七章平行线的证明7-4平行线的性质教学课件新版北师大版

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7.4 平行线的性质 第七章 平行线的证明 学习目标 1. 理解并掌握平行线的性质公理和定理．（重点） 2. 能熟练运用平行线的性质进行简单的推理证明．（难点） 两直线平行 1 . 同位角相等 2 . 内错角相等 3 . 同旁内角互补 问题 平行线的判定方法是什么？ 思考 反过来,如果两条直线平行,同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢? 导入新课 回顾与思考 讲授新课 平行线的性质 合作探究 问题 1 ： 根据“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等” . 你能作出相关的图形吗？ A B C D E F M N 1 2 问题 2 ： 你能根据所作的图形写出已知、求证吗？ 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等 . 已知，如图，直线 AB ∥ CD,∠1 和 ∠2 是直线 AB 、 CD 被直线 EF 截出的同位角 . 求证： ∠1=∠2. 文字语言 符号语言 A B C D E F M N 1 2 问题 3 ： 你能说说证明的思路吗？ A B C D E F M N G H 1 2 证明：假设 ∠1 ≠ ∠2 ，那么我们可以过点 M 作直线 GH ，使 ∠EMH= ∠2 ，如图所示 . 根据“同位角相等，两直线平行”，可知 GH ∥ CD. 又因为 AB ∥ CD ，这样经过点 M 存在两条直线 AB 和 GH 都与直线 CD 平行 . 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾 . 这说明 ∠1 ≠ ∠2 的假设不成立，所以 ∠1 =∠2. 如果∠1 ≠ ∠2， AB 与 CD 的位置关系会怎样呢？ 一般地，平行线具有如下性质： 定理 1 ： 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等 . 简单说成： 两直线平行，同位角相等 . b 1 2 a c ∴ ∠1=∠2 （两直线平行，同位角相等） ∵ a∥b （已知） 应用格式 : 总结归纳 议一议 利用上述定理，你能证明哪些熟悉的结论？ 两直线平行，内错角相等 . 两直线平行，同旁内角互补 . 尝试来证明一下 定理 2 ： 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 . 1 2 b c 3 a 已知：直线 a∥b ，∠ 1 和∠ 2 是 直线 a ， b 被直线 c 截出的内错角 . 求证： ∠ 1=∠2. 证明：∵ a∥b ( 已知 ) ， ∴∠2 ＝∠ 3( 两条直线平行，同位角相等 ) ∵∠1 ＝∠ 3( 对顶角相等 ) ， ∴∠1=∠2( 等量代换 ) 定理 3 ： 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 1 2 b c 3 a 已知：直线 a∥b ，∠ 1 和∠ 2 是直 线 a ， b 被直线 c 截出的同旁内角 . 求证： ∠ 1+∠2=180°. 证明：∵ a∥b ( 已知 ) ∴∠2 ＝∠ 3 ( 两条直线平行，同位角相等 ) ∵∠1+∠3 =180° ( 平角等于 180°) ∴∠1+∠2=180 ° ( 等量代换 ) . 证明：∵ a ∥ b ，∴∠ 1= ∠ 2 ， 同理∠ 2= ∠ 3 ，∴∠ 1= ∠ 3 ，∴ a∥c . 定理： 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 . 已知：如图，直线 a,b,c 被直线 d 所截，且 a∥b,c∥b . 求证： a∥c . 平行线的性质 公理 : 两直线平行 , 同位角相等 . ∵ a∥b , ∴∠1=∠2. 性质定理 1: 两直线平行 , 内错角相等 . ∵ a∥b , ∴∠1=∠2. 性质定理 2: 两直线平行 , 同旁内角互补 . ∵ a∥b , ∴ ∠1+∠2=180 0 . a b c 2 1 a b c 1 2 a b c 1 2 这里的结论 , 以后可以直接运用 . 总结归纳 归纳总结 证明一个命题的一般步骤： (1) 弄清题设和结论； (2) 根据题意画出相应的图形； (3) 根据题设和结论写出已知 , 求证； (4) 分析证明思路 , 写出证明过程 . 典例精析 A D C B 例 1 ： 如图所示，已知四边形 ABCD 中， AB ∥ CD ， AD ∥ BC, 试问∠ A 与∠ C ，∠ B 与∠ D 的大小关系如何？ 解：∠ A= ∠ C, ∠B=∠D 理由：∵ AB ∥ CD （已知 ） ∴∠ B+∠C=180° （两直线平行，同旁内角互补 ） 又 ∵ AD ∥ BC （已知） ∴∠ C+∠D=180° （ 两直线平行，同旁内角互补 ） ∴∠ B=∠D （ 同角的补角相等 ） 同理 ∠ A=∠C A D C B 例 2 ： 已知，如图， AB∥CD ， ∠B=∠D ，求证： AD ∥ BC. 证法一： ∵AB ∥ DC （已知） ∴∠B+∠C=180° （两直线平行，同旁内角互补） ∵∠B=∠D （已知） ∴∠D+∠C=180° （等量代换） ∴AD ∥ BC （同旁内角互补，两直线平行） A D C B 例 2 ： 已知，如图， AB∥CD ， ∠B=∠D ，求证： AD ∥ BC. 证法二： 如图，延长 BA （构造一组同位角） ∵AB ∥ CD （已知） ∴∠1=∠D （两直线平行，内错角相等） ∵∠B=∠D （已知） ∴∠1=∠B （等量代换） ∴AD ∥ BC （同位角相等，两直线平行） 1 A D C B 例 2 ： 已知，如图， AB∥CD ， ∠B=∠D ，求证： AD ∥ BC. 证法三： 如图，连接 BD （构造一组内错角） ∵AB ∥ CD （已知） ∴∠1=∠4 （两直线平行，内错角相等） ∵∠B=∠D （已知） ∴∠B － ∠1=∠D － ∠4 （等式的性质） ∴∠2=∠3 ∴AD ∥ BC （内错角相等，两直线平行） 1 2 3 4 两直线平行 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 平行线的判定 平行线的性质 线的关系 角的关系 性质 角的关系 线的关系 判定 讨论： 平行线三个性质的条件是什么？结论是什么？它与判定有什么区别？（分组讨论） 平行线的判定与性质 总结归纳 当堂练习 1. 下列图形中，由 AB ∥ CD ，能得到∠ 1=∠2 的是 ( ) B 【 解析 】 选项 A 中∠ 1 与∠ 2 是同旁内角，∠ 1+∠2=180° ，错误 ; 选项 B 中，∠ 1 与∠ 2 是相等的，正确 ; 选项 C 中，∠ 1 与∠ 2 是 AC 与 BD 被 AD 所截而得的内错角，错误 ; 选项 D 中，∠ 1 与∠ 2 是 AC 与 BD 被 CD 所截而得的同旁内角，错误 . 2. 如图所示 , 下列推理不正确的是 ( ) A.∵AB ∥ CD ，∴∠ ABC+∠C=180° B.∵∠1=∠2 ，∴ AD ∥ BC C.∵AD ∥ BC ，∴∠ 3=∠4 D.∵∠A+∠ADC=180° ，∴ AB ∥ CD C 【 解析 】A 选项的根据是两直线平行，同旁内角互补； B 选项的根据是内错角相等，两直线平行； D 选项的根据是同旁内角互补，两直线平行； C 选项中， AD ∥ BC ，而∠ 3 与∠ 4 是 AB 与 CD 被 BD 所截的内错角 . 解 : ∠ A =∠ D . 理由： ∵ AB∥DE ( 　 ) ∴∠ A =_______ ( ) ∵ AC∥DF ( ) ∴∠ D =______ ( ) ∴∠ A =∠ D ( ) 4. 如图1 , 若 AB∥DE , 　 AC∥DF ，请说出∠ A 和∠ D 之 间的数量关系，并说明理由 . P F C E B A D 图１ 已知 ∠ CPE 两直线平行 , 同位角相等 已知 ∠ CPE 两直线平行 , 同位角相等 等量代换 解 : ∠ A +∠ D =180 o . 理由： ∵ AB∥DE ( 　 ) ∴∠ A = ______ ( ) ∵ AC∥DF ( ) ∴∠ D + _______=180 o ( ) ∴∠ A +∠ D =180 o （ ） 如图 2, 若 AB∥DE , 　 AC∥DF ，请说出∠ A 和∠ D 之间的数量关系，并说明理由 . 图2 F C E B A D P 已知 ∠ CPD 两直线平行 , 同位角相等 已知 ∠ CPD 两直线平行 , 同旁内角互补 等量代换 5. 如图，是一块梯形铁片的残余部分，量得 ∠ A =100° ， ∠ B =115° ，梯形的另外两个角分别是多少度？ A B C D 解：因为梯形上、下底互相平行，所以 ∠ A 与 ∠ D 互补， ∠ B 与 ∠ C 互补 . 所以梯形的另外两个角分别是 80° 、 65°. 于是∠ D =180 ° - ∠ A =180° - 100°=80° ∠ C = 180 ° - ∠ B =180° - 115°=65° 6. 如图，在∆ ABC 中， CE⊥AB 于点 E ， DF⊥AB 于点 F ， AC//ED ， CE 是∠ ACB 的平分线，则∠ EDF=∠BDF ，请说明理由 . 解：因为 CE⊥AB ， DF⊥AB 所以 DF//EC 所以∠ BDF=∠1 ， ∠EDF=∠3 因为 ED//AC ， 所以∠ 3=∠2 所以∠ EDF=∠2 又 CE 平分∠ ACB 所以∠ 1=∠2 所以∠ BDF=∠EDF . 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 两直线平行 判定 性质 已知 得到 得到 已知 课堂小结