【精品】人教版 八年级下册数学 18菱形的判定

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第十八章 平行四边形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 八年级数学下（RJ） 教学课件 18.2.2 菱 形 第2课时 菱形的判定 学习目标 　1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判 定定理．（重点） 2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算. （难点） 一组邻边相等 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 平行四边形 菱 形 的 性 质 菱形 两组对边平行 四条边相等 两组对角分别相等 邻角互补 两条对角线互相垂直平分 每一条对角线平分一组对角 边 角 对角线 复习引入 导入新课 问题 菱形的定义是什么？性质有哪些？ 根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法： AB=AD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形. 数学语言 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. A B C D 思考 还有其他的判定方法吗？ 讲授新课 对角线互相垂直的平行四边形是菱形一 前面我们用一长一短两根细木条,在它们的中点处固 定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根 橡皮筋,做成一个平行四边形.那么转动木条,这个平行 四边形什么时候变成菱形?对此你有什么猜想？ 猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 你能证明这 一猜想吗？ A B C O D 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC 与BD相交于点O ，AC⊥BD. 求证：□ABCD是菱形. 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴OA=OC. 又∵AC⊥BD, ∴BD是线段AC的垂直平分线. ∴BA=BC. ∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）. 证一证 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 AC⊥BD 几何语言描述： ∵在□ABCD中，AC⊥BD, ∴ □ABCD是菱形. A B C D 菱形ABCD A B C D □ABCD 菱形的判定定理： 归纳总结 例1 如图， ABCD的两条对角线AC、BD相交于点 O，AB=5，AO=4，BO=3. 求证：四边形ABCD是菱形. A B C D O 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∵ OA=4,OB=3,AB=5，证明： 即AC⊥BD， ∴ AB2=OA2+OB2， ∴△AOB是直角三角形， 典例精析 ∴四边形ABCD是菱形. 例2 如图,矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、 BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形． A B C DE F O 1 2 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴AE∥FC，∴∠1=∠2. ∵EF垂直平分AC， ∴AO = OC . 又∠AOE =∠COF， ∴△AOE≌△COF，∴EO =FO. ∴四边形AFCE是平行四边形. 又∵EF⊥AC ∴ 四边形AFCE是菱形. 练一练 在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若 添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条 件可以是 （ 　 ） A．∠ABC=90° B．AC⊥BD C．AB=CD D．AB∥CD B 四条边相等的四边形是菱形二 小刚：分别以A、C为圆心,以 大于 AC的长为半径作弧,两条 弧分别相交于点B , D,依次连接 A、B、C、D四点. 已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形 ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗？ CA B D 想一想：根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证 小刚的作法对吗？ 1 2 猜想：四条边相等的四边形是菱形. 证明：∵AB=BC=CD=AD; ∴AB=CD , BC=AD. ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB=BC, ∴四边形ABCD是菱形. A B C D 已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD. 求证：四边形ABCD是菱形. 证一证 四条边都相等的四边形是菱形 AB=BC=CD=AD 几何语言描述： ∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD， ∴四边形 ABCD是菱形. A B C D 菱形ABCD 菱形的判定定理： 归纳总结 四边形ABCD A B C D 下列命题中正确的是 （ ） A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.三条边相等的四边形是菱形 C.四条边相等的四边形是菱形 D.四个角相等的四边形是菱形 C 练一练 证明： ∵ ∠1= ∠2, 又∵AE=AC,AD=AD, ∴ △ACD≌ △AED (SAS). 同理△ACF≌△AEF(SAS) . ∴CD=ED, CF=EF. 又∵EF=ED,∴CD=ED=CF=EF, ∴四边形CDEF是菱形. 2 例3 如图,在△ABC中, AD是角平分线,点E、F分别在 AB、 AD上,且AE=AC,EF = ED. 求证：四边形CDEF是菱形. A C B E D F 1 典例精析 例4 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm， BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到 △DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接 AD.求证：四边形ACFD是菱形． 证明：由平移变换的性质得CF＝AD＝10cm，DF＝AC. ∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm， ∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm， ∴四边形ACFD是菱形．  2 2 2 26 8 10 cm .AC AB BC      四边形的条件中存在多个关于边的等量关系 时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较 方便． 归纳 H G F E D CB A 证明：连接AC、BD. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD. ∵点E、F、G、H为各边中点， 1 1 , 2 2 EF GH BD FG EH AC    ， ∴EF=FG=GH=HE， ∴四边形EFGH是菱形. 例5 如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四 边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形. C A B D E F G H 【变式题】 如图，顺次连接对角线相等的四边形 ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？ 解：四边形EFGH是菱形. 又∵AC=BD, ∵点E、F、G、H为各边中点， 1 1 . 2 2 EF GH BD FG EH AC    ， ∴EF=FG=GH=HE， ∴四边形EFGH是菱形. 顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，得 到四边形是菱形. 归纳 理由如下：连接AC、BD A B C D E F G H 拓展1 如图，顺次连接平行四边形ABCD各边中点，得 到四边形EFGH是什么四边形？ 解：连接AC、BD. ∵点E、F、G、H为各边中点， 1 1 , 2 2 EF GH BD FG EH AC    ， ∴四边形EFGH是平行四边形. 拓展2 如图，若四边形ABCD是菱形，顺次连接菱形 ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？ 四边形EFGH是矩形. 同学们自己 去解答吧 思考 在学平行四边形的时候我们知道把两张等宽 的纸条交叉重叠在一起得到的四边形是平行四边形， 你能进一步判断重叠部分ABCD的形状吗？ A C D B 分析：易知四边形ABCD是平行四边形，只需证一 组邻边相等或对角线互相垂直即可进一步判断. 由题意可知BC边上的高和CD边上的高相等， 然后通过证△ABE≌△ADF，即得AB=AD. 请补充完整的 证明过程 E F 例3 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点， BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF. (1)求证：四边形BCFE是菱形； (1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE∥BC且2DE＝BC. 又∵BE＝2DE，EF＝BE， ∴EF＝BC，EF∥BC， ∴四边形BCFE是平行四边形． 又∵EF＝BE， ∴四边形BCFE是菱形. 菱形的性质与判定的综合运用三 (2)解：∵∠BCF＝120°， ∴∠EBC＝60°， ∴△EBC是等边三角形， ∴菱形的边长为4，高为 ， ∴菱形的面积为 . 2 3 4 2 3 8 3  (2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积． 判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选 择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形； 如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以 先尝试证出这个四边形是平行四边形． 归纳 练一练 如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB， AB=2，求平行四边形ABCD的周长. 解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠DAC=∠ACB，∠BAC=∠ACD， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC=∠BAC， ∴∠DAC=∠ACD， ∴AD=DC， ∴四边形ABCD为菱形， ∴四边形ABCD的周长=4×2=8． 当堂练习 1.判断下列说法是否正确 (1)对角线互相垂直的四边形是菱形； (2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形； (3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的 四边形是菱形； (4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组 对角的四边形是菱形． √ ╳ ╳ ╳ 2.一边长为5cm的平行四边形的两条对角线的长分别 为24cm和26cm，则平行四边形的面积是 . 312cm2 3.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD， 下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（　　） A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60° D．∠ACB=60° B 解析：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE， ∴AC∥DE，AC=DE， ∴四边形ACED为平行四边形. 当AC=BC时， 平行四边形ACED是菱形． 故选B． A B C D O E 4.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC, CE ∥BD.求证：四边形OCED是菱形. 证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形， ∴OC=OD， ∴四边形OCED是菱形． 证明：∵MN是AC的垂直平分线， ∴AE=CE，AD=CD，OA=OC， ∠AOD=∠EOC=90°. ∵CE∥AB， ∴∠DAO=∠ECO， ∴△ADO≌△CEO（ASA）． ∴AD=CE， ∴四边形ADCE是平行四边形. 又∵∠AOD=90°， ∴四边形ADCE是菱形． 5.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点 D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、 CD.求证：四边形ADCE是菱形. B C A D O E M N （1）证明：由尺规作∠BAF的平分线的过程可得 AB=AF，∠BAE=∠FAE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB， ∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE， ∴BE=FA，∴四边形ABEF为平行四边形， ∵AB=AF， ∴四边形ABEF为菱形. 6.如图,在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的 平分线交BC于点E，连接EF． （1）求证：四边形ABEF为菱形； （2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长． （2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长． 解：∵四边形ABEF为菱形， ∴AE⊥BF，BO= FB=3，AE=2AO， 在Rt△AOB中，由勾股定理得AO =4， ∴AE=2AO=8． 1 2 课堂小结 有一组邻边相等的平行四边 形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形 是菱形. 四边相等的四边形是菱形. 运用定理进行计算和证明 菱形的 判定 定义法 判定 定理