精品人教版八年级数学上册第十一章11.2与三角形有关的 角

精品人教版八年级数学上册第十一章11.2与三角形有关的 角

第十一章 三角形 11.2与三角形有关的 角 第1课时 学习目标 2.会运用三角形内角和定理进行计算.（难点） 1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内 角和等于180°.（重点） 我的形状最 小，那我的 内角和最小. 我的形状最 大，那我的 内角和最大. 不对，我有一 个钝角，所以 我的内角和才 是最大的. 一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角 形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧. 导入新课 情境引入 我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.与 三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的. 思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角 和为180°呢? 折叠 还可以用拼接的 方法，你知道怎 样操作吗？ 锐角三角形 测量 480 720 600 600＋480＋720＝1800 （学生运用学科工具—量角器测量演示） 剪拼 A B C 2 1 （小组合作，讨论剪拼方法。各小组代表板演剪拼过程） 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面 的操作过程，你能发现证明的思路吗？ 还有其他的拼 接方法吗？ 讲授新课 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在 一起. 三角形的内角和定理的证明 l 验证结论 三角形三个内角的和等于180°. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 已知：△ABC. 证法1：过点A作l∥BC， ∴∠B=∠1. (两直线平行,内错角相等) ∠C=∠2. (两直线平行,内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180°， ∴∠B+∠C+∠BAC=180°. 1 2 证法2：延长BC到D，过点C 作CE∥BA， ∴ ∠A=∠1 . (两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2. (两直线平行，同位角相等) 又∵∠1+∠2+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°. CB A E D 1 2 CB A E D F 证法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB. ∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC. (两直线平行，同位角相等) ∠A+∠AED=180°, ∠AED+∠EDF=180°， (两直线平行，同旁内角相补) ∴ ∠A=∠EDF. ∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°， ∴∠A+∠B+∠C=180°. 想一想：同学们还有其他的方法吗？ 思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心 是什么？ 借助平行线的“移角”的功能，将三 个角转化成一个平角. C A B 1 2 3 4 5 l A C B 1 2 34 5 l P 6 m A B C D E C 24 A B 3E Q D F P G H 1 B G C 24 A 3E DF H 1 试一试：同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤？ 知识要点 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线 叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. u思路总结 为了证明三个角的和为180°,转化为一个平 角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的 常用方法. u作辅助线 例1 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °, ∠B=75 °,AD 是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. A B C D 解：由∠BAC=40 °, AD是△ABC的角平分线，得 ∠BAD= ∠BAC=20 °.1 2 在△ABD中， ∠ADB=180°-∠B-∠BAD =180°-75°-20°=85°. 三角形的内角和定理的运用 【变式题】如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC， ∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数． 解：∵∠A＝50°，∠B＝70°， ∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°. ∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠BCD＝ ∠ACB＝30°. ∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠BCD＝30°， 在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD=80°. 1 2 例2 如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作 DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝ 80°，求∠D. 解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°． ∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°， ∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°. 又∵∠CFD＝∠AFE， ∴∠CFD＝60°. ∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°， ∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°. 基本图形 由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D. 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4. 总结归纳 4 例3 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍， ∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数. 解: 设∠B为x°，则∠A为(3x)°， ∠C为(x ＋ 15)°， 从而有 3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180. 解得 x ＝ 33. 所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48. 答： ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°， 48°. 几何问题借助方程 来解. 这是一个重要 的数学思想. 【变式题】在△ABC中，∠A＝ ∠B＝ ∠ACB， CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分线，求∠DCE 的度数． 1 2 1 3 解析：根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB，利 用三角形的内角和求出∠A，再求出∠ACB，∠ACD， 最后根据角平分线的定义求出∠ACE即可求得∠DCE 的度数． 比例关系可 考虑用方程 思想求角度. 解：∵∠A＝ ∠B＝ ∠ACB， 设∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x. ∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°， ∴x＋2x＋3x＝180°，得x＝30°， ∴∠A＝30°，∠ACB＝90°. ∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD＝180°－90°－30°＝60°. ∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠ACE＝ ×90°＝45°， ∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°. 1 2 1 3 1 2 ②在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是 _________三角形 . 练一练： ①在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °，则∠ C= . ③在△ABC中， ∠A= ∠B+10°, ∠C= ∠A + 10°, 则 ∠A= ， ∠ B= ，∠ C= . 102° 直角 60° 50° 70° 北 .A D 北 .C B . 东 E 例4 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏 东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向.从B岛看A,C两岛 的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是 多少度？ 三角形的内角和定理也常常用在实际问题中. 解： ∠CAB= ∠BAD- ∠CAD=80 °-50°=30°. 由AD//BE,得∠BAD+ ∠ABE=180 °. 所以∠ABE=180 °- ∠BAD=180°-80°=100°, ∠ABC= ∠ABE- ∠EBC=100°-40°=60°. 在△ABC中， ∠ACB=180 °- ∠ABC- ∠ CAB =180°-60°-30° =90°, 答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60 °,从C岛看A,B两岛的 视角∠ACB是90°. 北 .A D 北 .C B. 东 E 【变式题】如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛的 南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，求从C岛看A， B两岛的视角∠ACB的度数. 解：如图， 由题意得BE∥AD,∠BAD=40°， ∠CAD=15°，∠EBC=80°， ∴∠EBA=∠BAD=40°， ∠BAC=40°+15°=55°, ∴∠CBA=∠EBC-∠EBA=80°-40°=40°， ∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC =180°-55°-40°=85°． D E 当堂练习 1.求出下列各图中的x值． x=70 x=60 x=30 x=50 2.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=___________ . BA C D 4 1 32 E 40°（ 280 ° 3.如图，四边形ABCD中，点E在BC上,∠A+∠ADE=180°， ∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数． 解：∵∠A+∠ADE=180°， ∴AB∥DE， ∴∠CED=∠B=78°． 又∵∠C=60°， ∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C） =180°-（78°+60°） =42°． 4.如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD 平分∠BAC．求∠ADC的度数. 解：∵∠B=42°，∠C=78°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°. ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD= ∠BAC=30°， ∴∠ADC=180°-∠B-∠CAD=72°. 1 2 5.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分 ∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度数． 解：∵△ABC中，∠A=60°， ∴∠ABC+∠ACB=120°． ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）=60°． ∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°， ∴∠BPC=180°-60°=120°． 1 2 拓 展 【变式题】你能直接写出∠BPC与∠A 之间的数量关系吗？ 解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）=60°． ∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°， ∴∠BPC=180°- （∠ABC+∠ACB） =180°- （180°-∠A）=90°+ ∠A ． 1 2 1 2 1 2 1 2 课堂小结 三 角 形 的 内角和定理 证 明 了解添加辅助线 的方法及其目的 内 容 三角形内角和等于180 ° 第十一章 三角形 11.2与三角形有关的 角 第2课时 1.了解直角三角形两个锐角的关系.（重点） 学习目标 2.掌握直角三角形的判定.（难点） 3.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算. （难点） 导入新课 在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟 非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它 指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样 大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们 这个家就再也围不起来了……”“为什么？” 老二很纳闷. 你知道其中的道理吗？ 内角三兄弟之争情境引入 老大的度数为90°，老二若是比老大的度数大，那 么老二的度数要大于90°，而三角形的内角和为 180°，相互矛盾，因而是不可能的. 在这个家里，我 是永远的老大. 问题1：如下图所示是我们常用的三角板,两锐角的度 数之和为多少度? 讲授新课 问题引导 30°+60°=90° 45°+45°=90° 直角三角形的两个锐角互余 问题2：如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，两锐角 的和等于多少呢？ 在Rt△ABC中，因为 ∠C=90°，由三角形内角和定 理，得∠A +∠B+∠C=90°,即 ∠A +∠B=90°. 思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？ A B C 直角三角形的两个锐角互余．　　 u应用格式： 在Rt△ABC 中， ∵　∠C =90°， ∴　∠A +∠B =90°．　 直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△” 表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ． 总结归纳 方法一（利用平行的判定和性质）： ∵∠B=∠C=90°， ∴AB∥CD， ∴∠A=∠D. 方法二（利用直角三角形的性质）： ∵∠B=∠C=90°， ∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°. ∵∠AOB=∠COD，∴∠A=∠D. 例1（1）如图，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O， ∠A与∠D有什么关系？ 图 典例精析 解：∠A=∠C.理由如下： ∵∠B=∠D=90°， ∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°. ∵∠AOB=∠COD， ∴∠A=∠C. （2）如图，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与 ∠C有什么关系？请说明理由. 图与图有哪 些共同点与 不同点？ 例2 如图， ∠C=∠D=90 °,AD,BC相交于点E. ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？ A B C DE 解：在Rt△ACE中， ∠CAE=90 °- ∠AEC. 在Rt△BDE中, ∠DBE=90 °- ∠BED. ∵ ∠AEC= ∠BED， ∴ ∠CAE= ∠DBE. 解：∵CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E， ∴∠BEA=∠BDF=90°， ∴∠ABE+∠A=90°， ∠ABE+∠DFB=90°. ∴∠A=∠DFB. ∵∠DFB+∠BFC=180°， ∴∠A+∠BFC=180°. 【变式题】如图，△ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC 于E，CD，BE相交于点F，∠A与∠BFC又有什么关 系？为什么？ 思考：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本 图形吗？ 基本图形 ∠A=∠C∠A=∠D 总结归纳 问题：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？ 如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90° ， 那么△ABC 是直角三角形吗？ 在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是 △ABC是直角三角形. 有两个角互余的三角形是直角三角形 A B C 应用格式： 在△ABC 中， ∵　∠A +∠B =90°， ∴　△ABC 是直角三角形． 有两个角互余的三角形是直角三角形.　　 总结归纳 典例精析 例3 如图，∠C=90 °, ∠1= ∠2，△ADE是直角三 角形吗？为什么？ A C B D E ( ( 1 2 解：在Rt△ABC中， ∠2+ ∠A=90 °. ∵ ∠1= ∠2, ∴∠1 + ∠A=90 °. 即△ADE是直角三角形. 例4 如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是 直角三角形吗？为什么？ 解：△ABD是直角三角形.理由如下： ∵CE⊥AD， ∴∠CED=90°， ∴∠C+∠D=90°， ∵∠A=∠C， ∴∠A+∠D=90°， ∴△ABD是直角三角形. 1.如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到一个三角 形，则图中∠1+∠2的度数是________.90° 2.如图，AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C， 若∠BOD=38°，则∠A=________.52° 第1题图 第2题图 当堂练习 3.在△ABC中，若∠A=43°，∠B=47°，则这个三角形是 ____________.直角三角形 4.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另 一个锐角的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° B 5.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是 （ 　　） A．∠A+∠B=∠C B．∠A-∠B=∠C C．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=∠B=3∠C D 6.如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°， CD⊥AB，与∠1互余的角有（　　） A．∠B B．∠A C．∠BCD和∠A D．∠BCD C 7.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是 AB上一点，且∠ACD=∠B．求证：△ACD是直角 三角形． 证明：∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∵∠ACD=∠B， ∴∠A+∠ACD=90°， ∴△ACD是直角三角形. 课堂小结 直角三角 形的性质 与 判 定 性 质 直角三角形的两个锐角互余 判 定 有两个角互余的三角 形 是 直 角 三 角 形 第十一章 三角形 11.2与三角形有关的 角 第3课时 1.理解并掌握三角形的外角的概念． 2.能够在能够复杂图形中找出外角.（难点） 3.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角 的和及三角形的内角和．（重点） 4.会利用三角形的外角性质解决问题. 学习目标 导入新课 复习引入 1.在△ABC中，∠A=80°, ∠B=52°,则∠C= . 3.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？ 48 ° 三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角， 它们的和是180 °. 2.如图，在△ABC中， ∠A=70°, ∠B=60°,则 ∠ACB= ，∠ACD= . A B C D 50 ° 130° B D C AO ● 40 ° 70 ° ？ ● ● ● 问题：发现懒羊羊独自在O处游玩后，灰太狼打算用迂回的方 式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住懒羊羊返回羊村 的去路，红太狼则直接在A处拦截懒羊羊，已知∠BAC=40° ， ∠ABC=70°.灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处？ 利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？ 思考：像∠BCD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质. 这节课让我们一起来探讨吧. B D C AO ● 40 ° 70 ° ？ ● ● ● 由三角形内角和易得∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70°， 所以∠BCD=180°－∠BCA=110°. 讲授新课 u定义 如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这 样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫 做三角形的外角. ∠ACD是△ABC的一个外角 CB A D 三角形的外角的概念 问题1 如图，延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个外角？ ∠DCE是不是△ABC的一个外角？ E 在三角形每个顶点处都有两个外角. ∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE； CB A D ∠BCE是△ABC的一个 外角，∠DCE不是 △ABC的一个外角. 问题2 如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶 点处有多少个外角？ A B C 画一画 画出△ABC的所有外角，共有几个呢? 每一个三角 形都有6个外 角． 每一个顶点 相对应的外角 都有2个，且这 2个角为对顶角. 三角形的外角应具备的条件： ①角的顶点是三角形的顶点； ②角的一边是三角形的一边； ③另一边是三角形中一边的延长线. ∠ACD是△ABC的一个外角 CB A D 每一个三角形都有6个外角． 总结归纳 F A B C D E 如图,∠ BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三 角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？ ∠BEC是△AEC的外角; ∠AEC是△BEC的外角; ∠EFD是△BEF和△DCF 的外角. 练一练 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 问题1 如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角 ∠ACB有什么关系？ ∠BCD与∠ACB互补. 三角形的外角的性质 问题2 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角 (∠A，∠B)有什么关系？ 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 ∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B=∠BCD. 你能用作平行线的 方法证明此结论吗？ D 证明：过C作CE平行于AB， A B C 12 ∴∠1= ∠B， （两直线平行，同位角相等） ∠2= ∠A ， （两直线平行，内错角相等） ∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B. E 已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B. 验证结论 u三角形内角和定理的推论 A B C D ( ( ( 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. u应用格式： ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角 ∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B. 知识要点 练一练：说出下列图形中∠1和∠2的度数： A B C D ( ( ( 80 ° 60 ° ( 21 (1) A B C ( ( ( ( 2 1 50 ° 32 ° (2) ∠1=40 °, ∠2=140 ° ∠1=18 °, ∠2=130 ° 例1 如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC的度数. ∵ ∠BEC是△AEC的一个外角， ∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE， ∵∠A=42° ，∠ACE=18°， ∴ ∠BEC=60°. ∵ ∠BFC是△BEF的一个外角， ∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF， ∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=60°， ∴ ∠BFC=88°. 解： F A C D E B 典例精析 例2 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°， ∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度 数． 解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角 形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数． E 解：延长BP交AC于点E， 则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角， ∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE， ∠PEC＝∠ABE＋∠A， ∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE ＝150°－30°＝120°. ∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°. 【变式题】 (一题多解)如图，∠A=51°，∠B=20°， ∠C=30°，求∠BDC的度数. A B C D ( ( ( 51 ° 20 ° 30 ° 思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为 三角形问题. A B C D ( ( 20 ° 30 ° 解法一：连接AD并延长于点E. 在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3， 在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4. 因为∠BDC=∠3+∠4， ∠BAC=∠1+∠2， 所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30°=101°. E ) ) 1 2 ) 3 ) 4 你发现了什 么结论？ A B C D ( ( ( 51 ° 20 ° 30 ° E ) 1 解法二：延长BD交AC于点E. 在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE， 在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD. 所以∠BDC =∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30°=101°. 解法三:连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）. ) 2 F 解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的 性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解. 总结 如图 ，试比较∠2 、∠1的大小； 如图 ，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小.   图 图 解：∵∠2=∠1+∠B, ∴∠2＞∠1. 解：∵∠2=∠1+∠B, ∠3=∠2+∠D, ∴∠3＞∠2＞∠1. 拓展探究 三角形的 外角大于 与它不相 邻的内角. 例3 如图， ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三个外角，它们 的和是多少？ 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻 的两个内角的和，得 ∠BAE= ∠2+ ∠3， ∠CBF= ∠1+ ∠3, ∠ACD= ∠1+ ∠2. 又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °， 所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD =2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °. A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 你还有其他 解法吗？ 三角形的外角和 解法二：如图，∠BAE+∠1=180 ° ① ， ∠CBF +∠2=180 ° ②， ∠ACD +∠3=180 ° ③， 又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °， ①+ ②+ ③得 ∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD +(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °， 所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°. A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 解法三：过A作AM平行于BC， ∠3＝ ∠4 B C 1 2 3 4A ∠2＝ ∠BAM， 所以 ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝ ∠1＋ ∠4＋ ∠BAM=360° M ∠2＋ ∠ 3＝ ∠ 4＋∠BAM， 结论：三角形的外角和等于360°. 思考 你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？ D E F 当堂练习 1.判断下列命题的对错. （1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. （ ） （2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍. （ ） （3）三角形的一个外角等于两个内角的和. （ ） （4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（ ） （5）三角形的一个外角大于任何一个内角. （ ） （6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（ ） 2.如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F 等于 （ ） F A BE C D A.26° B.63° C.37° D.60° A 3.（1）如图，∠BDC是________ 的外角,也是 的外角； (2)若∠B=45 °， ∠BAE=36 °, ∠BCE=20 °,试求∠AEC的度数. A B C D E△ADE △ADC 解：根据三角形外角的性质有 ∠ADC= ∠B+ ∠BCE, ∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE. 所以∠AEC= ∠B+∠BCE+ ∠BAE =45 °+20 °+36 °=101 °. 解：因为∠ADC是△ABD的外角. 4 .如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD, ∠ADC=80°，∠BAC=70°，求： （1）∠B 的度数；（2）∠C的度数. 在△ABC中， ∠B+∠BAC+∠C=180°， ∠C=180º-40º-70º=70°. 所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°. 又因为∠B=∠BAD， A B180 40 ,2B    所以 CD A B C D E 1 2 F G 解：∵∠1是△FBE的外角, ∴∠1=∠B+ ∠E, 同理∠2=∠A+∠D. 在△CFG中, ∠C+∠1+∠2=180º, ∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+ ∠E= 180º. 5.如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数. 能力提升： 1 2 3 B A C P N M D E F 6.如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F =________.360° 课堂小结 三 角 形 的 外 角 定 义 角一边必须是三角形的一边，另一 边必须是三角形另一边的延长线 性 质 三角形的一个外角等于与它 不相邻的两个内角的和 三 角 形 的 外 角 和 三角形的外角和等于360 °