【精品讲义】人教版 八年级下册寒假同步课程（培优版）6

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1 内容 基本要求 略高要求 较高要求 平行四边形 会识别平行四边形 掌握平行四边形的概念、判定和性质， 会用平行四边形的性质及判定解决简 单问题 会运用平行四边形 的性质及判定解决 有关问题 一、平行四边形的性质 平行四边形的边：平行四边形的对边平行且对边相等． 平行四边形的角：平行四边形的对角相等，邻角互补． 平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分． 平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形． 平行四边形的周长：一组邻边之和的 2 倍． 平行四边形的面积：底乘以高． 二、平行四边形的判定 两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形． 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 例题精讲 【例 1】 如图 2，在平行四边形 ABCD 中， DB DC ， 65A   ，CE BD 于 E ，则 BCE   ． 【解析】∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴ 65A DCB     又∵ DB DC ∴ 65DBC DCB     ，∴ 50CDB   又∵ CE BD ，∴ 40ECD   ∴ 65 40 25BCE       ． 【答案】 25 平行四边形 2 2 【例 2】 已知平行四边形 ABCD 的周长为 60cm ，对角线 AC 、BD 相交于 O 点， AOB 的周长比 BOC 的 周长多8cm ，则 AB 的长度为 cm ． O D C B A 【解析】如图， AOB 的周长为 AB AO BO  ， BOC 的周长为 BC BO CO  由平行四边形的对角线互相平分可得     8AB AO BO BC BO CO AB BC        ∴ 60 8 2 194AB    ． 【答案】19 【例 3】 如图 3，一个平行四边形被分成面积为 1S 、 2S 、 3S 、 4S 四个小平行四边形，当 CD 沿 AB 自左向 右在平行四边形内平行滑动时． ① 1 4S S 与 2 3S S 的大小关系为 ． ② 已知点 C 与点 A 、 B 不重合时，图中共有 个平行四边形， 【解析】① 1 4 2 3S S S S （利用平行线处处距离相等，设出 1S 、 2S 、 3S 、 4S 对应的底和高，用底和高 表示 1 4S S 与 2 3S S 即可发现结论）；② 9 ． 【答案】① 1 4 2 3S S S S ；②9 【例 4】 在平行四边形 ABCD 中，点 1A 、 2A 、 3A 、 4A 和 1C 、 2C 、 3C 、 4C 分别为 AB 和CD 的五等分点，点 1B 、 2B 和 1D 、 2D 分别是 BC 和 DA 的三等分点，已知四边形 4 2 4 2A B C D 的面积为1，则平行四边形 ABCD 面积为 ． A．2 B． 3 5 C． 5 3 D．15 【解析】将其中的两块阴影部分拼到两块三角形空白区域，得到 9 块小平行四边形的面积为 1，故 15 块的 面积为 5 3 3 【答案】 5 3 【例 5】 现有如图 2 的铁片，其形状是一个大的平行四边形在一角剪去一个小的平行四边形，工人师傅想 用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮助师傅设计三种不同的分割方案． 【解析】省略 【答案】答案不惟一． 【例 6】 已知如图，四边形 ABCD 中， 90ABC ADC     ， E F、 分别是 AC BD、 的中点，如 果 26 12AC BF ， ，则 EF = ． 【解析】略 【答案】5 【例 7】 如图，平行四边形 ABCD 中， AE BD 于 E ， CF BD 于 F .求证： AE CF . D E F C A B 【解析】省略 【答案】∵四边形 ABCD 是平行四边形， 4 ∴ AD BC ， AD BC∥ . ∴ ADE CBF   . 又∵ AE BD ，CF BD . ∴ 90AED CFB     . ∴ AED ≌ CFB . ∴ AE CF . 【例 8】 如图，在平行四边形 ABCD 中，连接对角线 BD ，过 A C， 两点分别作 AE BD CF BD E F ， ， ， 为 垂足，求证：四边形 AECF 是平行四边形 【解析】省略 【答案】因为 ABCD 是平行四边形，所以 AB CD 且 AB CD∥ 所以 ABE CDF   因为 AE BD CF BD ， ，所以 90AEB CFD     所以 ABE CDF ≌ ，所以 AE CF 因为 90AEO CFO     ，所以 AE CF∥ 所以四边形 AECF 是平行四边形 【例 9】 如图，已知：AD 是 ABC 的角平分线，DE AB∥ ，在 AB 上截取 BF AE ，连接 DE EF， ，求证： 四边形 BDEF 是平行四边形 【解析】省略 【答案】因为 AD 平分 BAC 所以 BAD CAD   因为 DE AB∥ ，所以 BAD ADE   所以 EAD ADE DE AE   ， 因为 BF AE ，所以 DE BF 因为 DE BF∥ ，所以 BDEF 是平行四边形 【例 10】 已知：如图，在平行四边形 ABCD 中， ,E F 分别是 ,AB CD 的中点.求证：(1) AFD ≌ CEB ； (2)四边形 AECF 是平行四边形． C E F D B A 【解析】省略 【答案】（1）∵四边形 ABCD 平行四边形， 5 ∴ , ,AB CD AD BC B D     . 又∵ ,E F 分别是 ,AB CD 的中点， ∴ 1 1,2 2BE AB DF CD  . ∴ ,BE DF AE CF  . ∴ AFD ≌ CEB . （2）由（1）知 AE CF ， AFD ≌ CEB . ∴ AF CE . ∴四边形 AECF 是平行四边形． 【例 11】 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，、 F 是对角线 AC 上两点，且 AF CE ，求证：四边形 BEDF 是平行四边形． 【解析】省略 【答案】连接 BD ，交 AC 于 O ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ BO DO ， AO CO ∵ AF CE ，∴ AF AO CE CO   ∴OF OE ，∴四边形 BFDE 是平行四边形 【例 12】 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E F， 在 AD BC， 上，且 AE CF ， AF 与 BE 交于点 M ， CE 与 DF 交于点 N ，求证：四边形 EMFN 是平行四边形 【解析】省略 【答案】先证四边形 AFCE 是平行四边形，得出 AF CE∥ ，再证四边形 BEDF 是平行四边形，得 BE DF∥ ， 所以四边形 EMFN 是平行四边形 【例 13】 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 M 、 N 是对角线 AC 上的点，且 AM CN ， DE BF ， 求证：四边形 MFNE 是平行四边形． E N F M D C B A 【解析】省略 【答案】∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴ AB CD∥ ， AB CD 6 ∴ MAF NCE   又∵ DE BF ∴ AF CE 又∵ AM CN 显然 AFM CEN ≌ ∴ FM EN 且 AMF CNE   ∴ FMN ENM   ∴四边形 MFNE 是平行四边形． 【例 14】 如图， E 、 F 分别是平行四边形 ABCD 的 AD 、 BC 边上的点，且 AE CF ． ⑴求证： ABE ≌ CDF ； ⑵若 M N， 、分别是 BE 、 DF 的中点，连接 MF 、 EN ，试判断四边形 MFNE 是怎样的四边形， 并证明你的结论． E N M C D F B A 【解析】省略 【答案】⑴由 ABCD 是平行四边形可知， AB CD ， BAE DCF   又 AE CF ，故 ABE ≌ CDF ⑵由(1)可知， AEB CFD   ， BE DF 又 FN DN ， BM ME ，∴ ME NF 而 AD ∥ BC ，∴有 AEB CBE   ∴ CBE CFD   ，∴ BE ∥ DF ∴四边形 MFNE 为平行四边形 【例 15】 如图，过四边形 ABCD 对角线的交点 O 作直线 EF 交 AD 、 BC 分别于 E 、 F ，又G 、 H 分 别为 OB 、 OD 的中点，求证：四边形 EHFG 为平行四边形． O G F H E D C B A 【解析】省略 【答案】易证 EO FO ， HO GO ∴四边形 EHFG 为平行四边形 【例 16】 已知：如图，平行四边形 ABCD 内有一点 E 满足 ED AD 于点 D ， EBC EDC   ， 45ECB   ，请找出与 BE 相等的一条线段，并给予证明． E D C B A F A B C D E 【解析】 AB 或CD ． 7 证明：延长 DE 交 BC 于 F ， ∵ ED AD 且 AD BC∥ ∴ DF BC 又∵ 45ECB   ∴ CEF 为等腰直角三角形 ∴ EF CF 在 BEF 和 DCF 中 EBF CDF BFE DFC EF CF         ∴ BEF DCF ≌ ∴ BE DC AB  【答案】 AB 或CD 课后作业 1. 已知：如图， AD ∥ BC ， ED ∥ BF ，且 AF CE ．求证：四边形 ABCD 是平行四边形． F E D C B A 【解析】省略 【答案】∵ ED ∥ BF ，∴ DEF BFE   ，∴ AED BFC   又∵ AF CE ，∴ AE CF ∵ AD ∥ BC ∴ EAD FCB   ，∴ AED ≌ CFB ∴ AD BC ，∴ ABCD 是平行四边形 2. 如图，在平行四边形 ABCD 的各边 AB BC CD DA， ， ， 上，分别取 E F G H， ， ， ，使 AE CG ， BF DH ，求证：四边形 EFGH 为平行四边形 【解析】省略 【答案】利用 AEH CGF ≌ ， AEH DFE ≌ ，证明 HE FG HG EF ，