2019-2020学年山西省太原市八年级（下）期末数学试卷 解析版

2019-2020学年山西省太原市八年级（下）期末数学试卷 解析版

‎2019-2020学年山西省太原市八年级（下）期末数学试卷 一．选择题（共10小题）‎ ‎1．2020年太原将正式步入“地铁时代”，太原轨道交通近期建设的1、2、3号线在全国是第338条线路．下面是中国四个城市的地铁图标，其中是中心对称图形的是（　　）‎ A．太原地铁 B．广州地铁 C．香港地铁 D．上海地铁 ‎2．若分式有意义，则x的取值范围是（　　）‎ A．x≠﹣3 B．x≠‎0 ‎C．x≠ D．x≠3‎ ‎3．如图，△ABC沿线段BA方向平移得到△DEF，若AB＝6，AE＝2．则平移的距离为（　　）‎ A．2 B．‎4 ‎C．6 D．8‎ ‎4．不等式﹣2x≤6的解集在数轴上表示为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎5．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是BC的中点，若AB＝16，则OE的长为（　　）‎ A．8 B．‎6 ‎C．4 D．3‎ ‎6．下列各式从左边到右边的变形属于因式分解的是（　　）‎ A．6ab＝‎2a•3b B．a（x+y ）＝ax+ay ‎ C．x2+4x+4＝x（x+4）+4 D．a2﹣‎6a+9＝（a﹣3）2‎ ‎7．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则下列结论不一定成立的是（　　）‎ A．BC＝BD B．∠BDC＝∠ABC C．∠A＝∠CBD D．AD＝BD ‎8．计算÷的结果为（　　）‎ A． B．5﹣a C． D．5+a ‎9．在应对新冠肺炎疫情过程中，‎5G为山西疫情防控，复工复产，停课不停学提供了便利条件．已知‎5G网络峰值速率为‎4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输1000兆数据，‎5G网络比‎4G网络快9秒．若设‎4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据．则根据题意所列方程正确的是（　　）‎ A．﹣＝9 B．﹣＝9 ‎ C．﹣＝9 D．﹣＝9‎ ‎10．如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AB边的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AC边的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则∠EAG的度数为（　　）‎ A．15° B．20° C．25° D．30°‎ 二．填空题（共5小题）‎ ‎11．正十边形的外角和为　 　．‎ ‎12．若m+n＝1，mn＝﹣6，则代数式m2n+mn2的值是　 　．‎ ‎13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，BD平分∠ABC交AC边于点D，若CD＝3．则AD的长为　 　．‎ ‎14．如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点（﹣3，0），与y轴交于（0，﹣4），则不等式kx+b＜0的解集为　 　．‎ ‎15．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，D，E分别是边AB，AC的中点，保持△ADE不动，将△ABC从图1位置开始绕点A顺时针旋转，旋转角小于90°，连接BD，CE．‎ ‎（1）如图2，当DB∥AE时，线段CE的长为　 　．‎ ‎（2）如图3，当点B在线段ED的延长线上时，线段CE的长为　 　．‎ 三．解答题 ‎16．因式分解：‎ ‎（1）x3﹣2x2y+xy2；‎ ‎（2）（x+2y）2﹣x2．‎ ‎17.（1）解不等式组；‎ ‎（2）解分式方程：+1＝．‎ ‎18.如图，在平面直角坐标系中．△ABC的顶点坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，2），C（﹣2，3）．‎ ‎（1）平移△ABC，使点A的对应点A1的坐标为（1，2），画出平移后的△A1B‎1C1；‎ ‎（2）已知△A2B‎2C2与△ABC关于原点O成中心对称，请在图中画出△A2B‎2C2，此时线段A1B1和A2B2的关系是　　．‎ ‎19.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为BC边的中点．‎ ‎（1）过点D作直线DE⊥BC，交线段AB于点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法）；‎ ‎（2）在（1）的条件下，连接CE，求证：AE＝CE．‎ ‎20.如图，▱ABCD中，点E，F是对角线BD上两点，且BE＝DF，顺次连接A，E，C，F，A．求证：四边形AECF是平行四边形，并写出最后一步推理的依据．‎ ‎21.阅读下列材料，完成相应任务：‎ 神奇的等式 第1个等式：++＝1；第2个等式：++＝；‎ 第3个等式：++＝；第4个等式：++＝；…‎ 第100个等式：++＝；…‎ 任务：‎ ‎（1）第6个等式为：　++＝　；‎ ‎（2）猜想第n个等式（用含n的代数式表示），并证明．‎ ‎22.‎2020年6月1日，随着《山西省城市生活垃圾分类管理规定》的实施，我省的生活垃圾分类工作正式进入“提速”模式，太原市各社区积极行动．某小区准备购买A，B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的价格比B种垃圾桶每组的价格少120元，且用8000元购买A种垃圾桶的数量与用10400元购买B种垃圾桶的数量相等．‎ ‎（1）求A，B两种垃圾桶每组的单价；‎ ‎（2）该小区物业计划用不超过18000元的资金购买A，B两种垃圾桶共40组．则最多可以购买B种垃圾桶多少组？‎ ‎23.综合与实践 问题情境：数学课上，同学们利用两张全等的直角三角形纸片进行图形变换的操作探究．‎ 已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠ACB＝∠DFE＝90°，∠BAC＝∠EDF＝60°，AC＝DF＝3．‎ 操作探究1：‎ ‎（1）小颖将Rt△ABC和Rt△DEF按如图1的方式在同一平面内放置，其中AC与DF重合，此时B，C，E三点恰好共线．点B，E在点C异侧，求线段BE的长；‎ 操作探究2：‎ ‎（2）小军在图1的基础上进行了如下操作：保持Rt△ABC不动，将Rt△DEF绕点A按顺时针方向旋转角度α（0°＜α＜180°），射线FE和CB交于点G．如图2，在旋转的过程中，小军提出如下问题：‎ 从下面A、B两题中任选一题作答，我选择_____题．‎ A．①求证：CG＝FG；‎ ‎②如图3，当α＝30°时，延长AF交BC于点H，则线段FH的长为　　；‎ ‎③请在图4中画出旋转角α为90°时的图形，并直接写出此时C，F两点之间的距离．‎ B．①求证：BG＝EG；‎ ‎②如图3，当α＝30°时，延长AF交BC于点H，则线段GH的长为　　；‎ ‎③在△DEF旋转的过程中，是否存在以A，B，G，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请在图4中画出旋转后的图形，并直接写出此时旋转角α的度数；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题）‎ ‎1．2020年太原将正式步入“地铁时代”，太原轨道交通近期建设的1、2、3号线在全国是第338条线路．下面是中国四个城市的地铁图标，其中是中心对称图形的是（　　）‎ A．太原地铁 B．广州地铁 C．香港地铁 D．上海地铁 ‎【分析】根据中心对称图形的概念求解．‎ ‎【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；‎ B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；‎ C、是中心对称图形，故本选项符合题意；‎ D、不是中心对称图形，故本选项不合题意；‎ 故选：C．‎ ‎2．若分式有意义，则x的取值范围是（　　）‎ A．x≠﹣3 B．x≠‎0 ‎C．x≠ D．x≠3‎ ‎【分析】分式有意义的条件是分母不等于零．‎ ‎【解答】解：分式有意义，‎ 所以x+3≠0，解得：x≠﹣3．‎ 故选：A．‎ ‎3．如图，△ABC沿线段BA方向平移得到△DEF，若AB＝6，AE＝2．则平移的距离为（　　）‎ A．2 B．‎4 ‎C．6 D．8‎ ‎【分析】根据平移变换的性质解决问题即可．‎ ‎【解答】解：∵AB＝6，AE＝2，‎ ‎∴BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，‎ ‎∴平移的距离为4，‎ 故选：B．‎ ‎4．不等式﹣2x≤6的解集在数轴上表示为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．‎ ‎【解答】解：不等式的两边同时除以﹣2得，x≥﹣3，‎ 在数轴上表示为：‎ ‎．‎ 故选：D．‎ ‎5．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是BC的中点，若AB＝16，则OE的长为（　　）‎ A．8 B．‎6 ‎C．4 D．3‎ ‎【分析】直接利用平行四边形的性质结合三角形中位线定理得出EO的长．‎ ‎【解答】解：∵在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，‎ ‎∴点O是AC的中点，‎ 又∵点E是BC的中点，‎ ‎∴EO是△ABC的中位线，‎ ‎∴EO＝AB＝8．‎ 故选：A．‎ ‎6．下列各式从左边到右边的变形属于因式分解的是（　　）‎ A．6ab＝‎2a•3b B．a（x+y ）＝ax+ay ‎ C．x2+4x+4＝x（x+4）+4 D．a2﹣‎6a+9＝（a﹣3）2‎ ‎【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．‎ ‎【解答】解：A、从左到右的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意；‎ B、从左到右的变形，是整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；‎ C、从左到右的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意；‎ D、从左到右的变形，属于因式分解，故本选项符合题意；‎ 故选：D．‎ ‎7．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则下列结论不一定成立的是（　　）‎ A．BC＝BD B．∠BDC＝∠ABC C．∠A＝∠CBD D．AD＝BD ‎【分析】根据等腰三角形的性质判断即可．‎ ‎【解答】解：∵AB＝AC，‎ ‎∴∠ABC＝∠ACB＝75°，‎ 又∵BC、BD是以点B为圆心，BC长为半径圆弧的半径，‎ ‎∴BC＝BD，故A成立；‎ ‎∵BC＝BD，‎ ‎∴∠BDC＝∠BCD，‎ ‎∴∠BDC＝∠ABC，故B成立；‎ ‎∵∴∠ABC＝∠ACB＝∠BDC，‎ ‎∴∠A＝∠CBD，故C成立；‎ 若∠A＝30°，则∠ABC＝∠ACB＝75°，‎ ‎∵∠A＝∠CBD＝30°，‎ ‎∴∠ABD＝75°﹣30°＝45°，‎ ‎∴∠ABD≠∠A，‎ ‎∴AD≠BD，故D不一定成立；‎ 故选：D．‎ ‎8．计算÷的结果为（　　）‎ A． B．5﹣a C． D．5+a ‎【分析】直接利用分式的乘除运算法则化简得出答案．‎ ‎【解答】解：原式＝•（5﹣a）‎ ‎＝．‎ 故选：C．‎ ‎9．在应对新冠肺炎疫情过程中，‎5G为山西疫情防控，复工复产，停课不停学提供了便利条件．已知‎5G网络峰值速率为‎4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输1000兆数据，‎5G网络比‎4G网络快9秒．若设‎4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据．则根据题意所列方程正确的是（　　）‎ A．﹣＝9 B．﹣＝9 ‎ C．﹣＝9 D．﹣＝9‎ ‎【分析】直接利用在峰值速率下传输1000兆数据，‎5G网络比‎4G网络快9秒，进而方程即可．‎ ‎【解答】解：设‎4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，根据题意得：‎ ‎﹣＝9．‎ 故选：A．‎ ‎10．如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AB边的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AC边的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则∠EAG的度数为（　　）‎ A．15° B．20° C．25° D．30°‎ ‎【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵AB边的垂直平分线交AB于点D，AC边的垂直平分线交AC于点F，‎ ‎∴AG＝CG，AE＝BE，‎ ‎∴∠C＝∠CAG，∠B＝∠BAE，‎ ‎∴∠BAE+∠CAG＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝100°，‎ ‎∴∠EAG＝∠BAE+∠CAG﹣∠BAC＝100°﹣80°＝20°，‎ 故选：B．‎ 二．填空题（共5小题）‎ ‎11．正十边形的外角和为　360°　．‎ ‎【分析】根据多边的外角和定理进行选择．‎ ‎【解答】解：因为任意多边形的外角和都等于360°，‎ 所以正十边形的外角和等于360°．‎ 故答案为：360°‎ ‎12．若m+n＝1，mn＝﹣6，则代数式m2n+mn2的值是　﹣6　．‎ ‎【分析】利用提公因式法因式分解，再把m+n＝1，mn＝﹣6代入计算即可．‎ ‎【解答】解：∵m+n＝1，mn＝﹣6，‎ ‎∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝（﹣6）×1＝﹣6．‎ 故答案为：﹣6．‎ ‎13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，BD平分∠ABC交AC边于点D，若CD＝3．则AD的长为　3　．‎ ‎【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝CD＝3，再证明△ADG是等腰直角三角形可得结论．‎ ‎【解答】解：如图，过D作DG⊥AB于G，‎ ‎∵BD平分∠ABC，∠ACB＝90°，‎ ‎∴CD＝DG＝3，‎ ‎∵∠A＝45°，∠AGD＝90°，‎ ‎∴AG＝DG＝3，‎ ‎∴AD＝3，‎ 故答案为：3．‎ ‎14．如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点（﹣3，0），与y轴交于（0，﹣4），则不等式kx+b＜0的解集为　x＞﹣3　．‎ ‎【分析】根据一次函数的性质得出y随x的增大而减小，当x＞﹣3时，y＜0，即可求出答案．‎ ‎【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点（﹣3，0），与y轴交于点（0，﹣4），‎ ‎∴y随x的增大而减小，且x＝﹣3时，y＝0，‎ 当x＞﹣3时，y＜0，即kx+b＜0，‎ ‎∴不等式kx+b＜0的解集为x＞﹣3．‎ 故答案为：x＞﹣3．‎ ‎15．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，D，E分别是边AB，AC的中点，保持△ADE不动，将△ABC从图1位置开始绕点A顺时针旋转，旋转角小于90°，连接BD，CE．‎ ‎（1）如图2，当DB∥AE时，线段CE的长为　2　．‎ ‎（2）如图3，当点B在线段ED的延长线上时，线段CE的长为　﹣‎ ‎　．‎ ‎【分析】（1）根据已知条件得到∠DAE＝90°，AD＝AE＝2，根据平行线的性质得到∠ADB＝∠DAE＝90°，由勾股定理得到BD＝＝＝2，根据旋转的想知道的∠BAD＝∠CAE，根据全等三角形的性质即可得到结论；‎ ‎（2）根据全等三角形的性质得到BD＝CE，∠ADB＝∠AEC＝135°，求得∠BEC＝90°，根据勾股定理即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，D，E分别是边AB，AC的中点，‎ ‎∴∠DAE＝90°，AD＝AE＝2，‎ ‎∵DB∥AE，‎ ‎∴∠ADB＝∠DAE＝90°，‎ ‎∴BD＝＝＝2，‎ ‎∵将△ABC从图1位置开始绕点A顺时针旋转，‎ ‎∴∠BAD＝∠CAE，‎ ‎∴△ABD≌△ACE（SAS），‎ ‎∴CE＝BD＝2；‎ 故答案为：2；‎ ‎（2）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，‎ ‎∴∠BAD＝∠CAE，‎ 在△BAD和△CAE中，，‎ ‎∴△BAD≌△CAE（SAS），‎ ‎∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC＝135°，‎ ‎∴∠BEC＝90°，‎ ‎∵DE＝2，BC＝4，‎ ‎∴（CE+2）2+CE2＝（4）2，‎ 解得：CE＝﹣（负值舍去），‎ 故答案为﹣．‎ 三．解答题 ‎ ‎16．因式分解：‎ ‎（1）x3﹣2x2y+xy2；‎ ‎（2）（x+2y）2﹣x2．‎ ‎【分析】（1）直接提取公因式x，进而利用公式法分解因式即可；‎ ‎（2）直接利用平方差公式分解因式得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）原式＝x（x2﹣2xy+y2）‎ ‎＝x（x﹣y）2；‎ ‎（2）原式＝（x+2y+x）（x+2y﹣x）‎ ‎＝2y（2x+2y）‎ ‎＝4y（x+y）．‎ ‎17.（1）解不等式组；‎ ‎（2）解分式方程：+1＝．‎ ‎【考点】B3：解分式方程；CB：解一元一次不等式组．‎ ‎【专题】522：分式方程及应用；524：一元一次不等式(组)及应用；66：运算能力．‎ ‎【分析】（1）分别求出不等式组中每个不等式的解集，进而得出不等式组的解集；‎ ‎（2）根据解分式方程的步骤解答即可．‎ ‎【解答】解：（1）解不等式①，得x≥﹣5，‎ 解不等式②，得x＜2，‎ 在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图：‎ ‎∴原不等式组的解集为x≥﹣5；‎ ‎（2）方程两边同乘2（x﹣2）得：‎ ‎2x+2（x﹣2）＝1，‎ 解这个方程，得x＝1，‎ 经检验，x＝1是原方程的解．‎ ‎18.图，在平面直角坐标系中．△ABC的顶点坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，2），C（﹣2，3）．‎ ‎（1）平移△ABC，使点A的对应点A1的坐标为（1，2），画出平移后的△A1B‎1C1；‎ ‎（2）已知△A2B‎2C2与△ABC关于原点O成中心对称，请在图中画出△A2B‎2C2，此时线段A1B1和A2B2的关系是　相等且平行　．‎ ‎【考点】Q4：作图﹣平移变换；R8：作图﹣旋转变换．‎ ‎【专题】13：作图题；69：应用意识．‎ ‎【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．‎ ‎（2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．‎ ‎【解答】解：（1）如图，△A1B‎1C1即为所求．‎ ‎（2）如图，△A2B‎2C2即为所求．线段A1B1和A2B2的关系是相等且平行．‎ 故答案为：相等且平行．‎ ‎19.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为BC边的中点．‎ ‎（1）过点D作直线DE⊥BC，交线段AB于点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法）；‎ ‎（2）在（1）的条件下，连接CE，求证：AE＝CE．‎ ‎【考点】N2：作图—基本作图．‎ ‎【专题】13：作图题；67：推理能力．‎ ‎【分析】（1）根据角平分线的作图方法即可得到结论；‎ ‎（2）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定定理即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示，直线DE即为所求；‎ ‎（2）∵点D为BC边的中点，DE⊥BC，‎ ‎∴BE＝CE，‎ ‎∴∠B＝∠BCE，‎ ‎∵∠ACB＝90°，‎ ‎∴∠B+∠A＝90°，∠BCE+∠ACE＝90°，‎ ‎∴∠A＝∠ACE，‎ ‎∴AE＝CE．‎ ‎20.如图，▱ABCD中，点E，F是对角线BD上两点，且BE＝DF，顺次连接A，E，C，F，A．求证：四边形AECF是平行四边形，并写出最后一步推理的依据．‎ ‎【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L7：平行四边形的判定与性质．‎ ‎【专题】555：多边形与平行四边形；67：推理能力．‎ ‎【分析】连接AC交BD于点O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，然后求出OE＝OF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明．‎ ‎【解答】证明：如图，连接AC交BD于点O，‎ 在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，‎ ‎∵BE＝DF，‎ ‎∴OB﹣BE＝OD﹣DF，‎ 即OE＝OF，‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．‎ ‎21.阅读下列材料，完成相应任务：‎ 神奇的等式 第1个等式：++＝1；第2个等式：++＝；‎ 第3个等式：++＝；第4个等式：++＝；…‎ 第100个等式：++＝；…‎ 任务：‎ ‎（1）第6个等式为：　++＝　；‎ ‎（2）猜想第n个等式（用含n的代数式表示），并证明．‎ ‎【考点】‎1G：有理数的混合运算；32：列代数式；37：规律型：数字的变化类．‎ ‎【专题】‎2A：规律型；67：推理能力．‎ ‎【分析】（1）根据题目中的5个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第6个等式；‎ ‎（2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可．‎ ‎【解答】解：（1）第6个等式为：++＝；‎ ‎（2）猜想第n个等式（用含n的代数式表示）为：++＝；‎ 证明：∵左边＝++＝＝＝，‎ ‎∴左边＝右边，等式成立．‎ 故答案为：++＝．‎ ‎22.‎2020年6月1日，随着《山西省城市生活垃圾分类管理规定》的实施，我省的生活垃圾分类工作正式进入“提速”模式，太原市各社区积极行动．某小区准备购买A，B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的价格比B种垃圾桶每组的价格少120元，且用8000元购买A种垃圾桶的数量与用10400元购买B种垃圾桶的数量相等．‎ ‎（1）求A，B两种垃圾桶每组的单价；‎ ‎（2）该小区物业计划用不超过18000元的资金购买A，B两种垃圾桶共40组．则最多可以购买B种垃圾桶多少组？‎ ‎【考点】B7：分式方程的应用；C9：一元一次不等式的应用．‎ ‎【专题】522：分式方程及应用；69：应用意识．‎ ‎【分析】（1）直接利用8000元购买A种垃圾桶的数量与10400元购买B种垃圾桶的数量相等，进而得出等式求出答案；‎ ‎（2）直接利用计划用不超过18000元的资金购买A，B两种垃圾桶共40组，表示出两种垃圾桶所需费用，进而得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）设A种垃圾桶每组的单价为x元，则B种垃圾桶每组的单价为（x+120）元，根据题意可得：‎ ‎＝，‎ 解得：x＝400，‎ 经检验得：x＝400是所列方程的根，‎ x+120＝400+120＝520（元），‎ 答：A种垃圾桶每组的单价为400元，B种垃圾桶每组的单价为520元；‎ ‎（2）设购买B种垃圾桶y组，则购买A种垃圾桶（40﹣y）组，‎ 根据题意可得：400（40﹣y）+520y≤18000，‎ 解得：y≤，‎ ‎∵y是正整数，‎ ‎∴y的最大值为16，‎ 答：最多可以购买B种垃圾桶16组．‎ ‎23.综合与实践 问题情境：数学课上，同学们利用两张全等的直角三角形纸片进行图形变换的操作探究．‎ 已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠ACB＝∠DFE＝90°，∠BAC＝∠EDF＝60°，AC＝DF＝3．‎ 操作探究1：‎ ‎（1）小颖将Rt△ABC和Rt△DEF按如图1的方式在同一平面内放置，其中AC与DF重合，此时B，C，E三点恰好共线．点B，E在点C异侧，求线段BE的长；‎ 操作探究2：‎ ‎（2）小军在图1的基础上进行了如下操作：保持Rt△ABC不动，将Rt△DEF绕点A按顺时针方向旋转角度α（0°＜α＜180°），射线FE和CB交于点G．如图2，在旋转的过程中，小军提出如下问题：‎ 从下面A、B两题中任选一题作答，我选择_____题．‎ A．①求证：CG＝FG；‎ ‎②如图3，当α＝30°时，延长AF交BC于点H，则线段FH的长为　2﹣3　；‎ ‎③请在图4中画出旋转角α为90°时的图形，并直接写出此时C，F两点之间的距离．‎ B．①求证：BG＝EG；‎ ‎②如图3，当α＝30°时，延长AF交BC于点H，则线段GH的长为　4﹣6　；‎ ‎③在△DEF旋转的过程中，是否存在以A，B，G，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请在图4中画出旋转后的图形，并直接写出此时旋转角α的度数；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】LO：四边形综合题．‎ ‎【专题】152：几何综合题；69：应用意识．‎ ‎【分析】（1）根据勾股定理得BC的长，由全等知：EF＝BC＝3，可得BE的长；‎ ‎（2）A．①如图2，连接AG，证明Rt△ACG≌Rt△AFG（HL），可得结论；‎ ‎②如图3，当α＝30°时，∠CAF＝30°，分别求AH和AF的长，利用线段的差可得FH的长；‎ ‎③如图4，根据勾股定理可得CF的长；‎ B．①由Rt△ABC≌Rt△DEF和线段的差可得结论；‎ ‎②如图3，设GH＝x，则CG＝FG＝﹣x，根据勾股定理列方程可得结论；‎ ‎③如图5，根据平行线的性质和角的和可得结论．‎ ‎【解答】（1）解，如图1，‎ 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，‎ ‎∴∠B＝90°﹣60°＝30°，‎ ‎∴AB＝‎2AC，‎ ‎∵AC＝3，‎ ‎∴AB＝6，‎ 由勾股定理得；BC＝＝3，‎ ‎∵Rt△ABC≌Rt△DEF，‎ ‎∴EF＝BC＝3，‎ ‎∴BE＝BC+EF＝6；‎ ‎（2）A．①证明：如图2，连接AG，‎ 在Rt△ACG和Rt△AFG中，‎ ‎∵，‎ ‎∴Rt△ACG≌Rt△AFG（HL），‎ ‎∴CG＝FG，‎ ‎②解：如图3，‎ 当α＝30°时，∠CAF＝30°，‎ ‎∵∠C＝90°，AC＝3，‎ ‎∴CH＝，AH＝2，‎ ‎∵AF＝AC＝3，‎ ‎∴FH＝2﹣3，‎ 故答案为：2﹣3；‎ ‎③解：如图4，‎ 由旋转得：∠CAF＝90°，AC＝AF＝3，‎ 由勾股定理得：CF＝＝3；‎ B．①证明：∵Rt△ABC≌Rt△DEF，‎ ‎∴BC＝EF，‎ ‎∴BC﹣CG＝EF﹣FG，‎ 即BG＝EG；‎ ‎②如图3，‎ 设GH＝x，则CG＝FG＝﹣x，‎ ‎∵FH＝2﹣3，‎ Rt△GHF中，GH2＝FH2+FG2，‎ ‎∴，‎ 解得：x＝4﹣6，‎ 即GH＝4﹣6，‎ 故答案为：4﹣6；‎ ‎③如图5，四边形AEGB是平行四边形，‎ ‎∴AB∥FG，‎ ‎∴∠BAE＝∠AEF＝30°，‎ ‎∴α＝∠CAB+∠BAE+∠FAE＝60°+30°+60°＝150°．‎