因式分解()运用平方差公式进行分解因式教案

因式分解()运用平方差公式进行分解因式教案

‎ ‎ ‎9.6.1乘法公式再认识——因式分解（二）‎ 运用平方差公式进行分解因式 一、教学目标：‎ ‎1. 使学生进一步理解因式分解的意义.‎ ‎2. 使学生理解平方差公式的意义，弄清公式的形式和特征.‎ ‎3. 会运用平方差公式分解因式.‎ ‎4. 通过对比整式乘法和分解因式的关系，进一步发展学生的逆向思维能力.‎ ‎5. 感受整式乘法和分解因式矛盾的对立统一观点.‎ ‎6. 培养学生积极主动参与探索的意识以及观察能力.‎ ‎7. 感悟换元的思想方法.‎ 说明 以前学习运用公式法分解因式，主要的评价手段是能否牢记公式的特点，在运用公式解题时过分地追求问题的熟练和技巧，无形之中影响了学生学习数学的兴趣和信心.现在我们试图先通过对具体的数字运算或简单图形的面积计算让学生对公式有一个感性认识，让学生在与同伴交流中思考、感悟，使学生内心产生解决问题的欲望，从而进一步上升到理性认识.这种设计更符合学生从“特殊到一般”、从“具体到抽象”的认知特点.‎ 二、教学重点、难点：‎ ‎1. 理解平方差公式的意义，弄清公式的形式和特征.‎ ‎2. 会运用平方差公式对某些多项式进行分解因式 三、教具、学具：‎ 投影仪、条件较好的使用多媒体演示 四、教学过程：‎ ‎（一）设置情景：‎ 情景1：小组讨论：992－1是100的整数倍吗？‎ 你是怎样想的？‎ 说明：学生可能直接计算出结果，应予以肯定.在这儿可以设计系列问题予以引导：‎ ‎1.判断某个数是否是另一个数的整数倍可以怎么判断？‎ 如：12是3的整数倍吗？（学生知道就是把12分解因数.）‎ - 6 -‎ ‎ ‎ ‎2.类似地要判断992－1是100的整数倍呢？也可以想到尝试分解.‎ ‎3.992－1可以写成（99+1）（99－1）吗？为什么可以这么写？9992－1可以吗？‎ ‎4.a2－1可以写成（a+1）(a－1)吗？‎ ‎5.a2－4可以写成乘积形式吗？你认为可以写成什么样子呢？‎ ‎6.a2－b2呢？‎ 情景2：和老师比一比，看谁算的又快又准确：572－562 962－952‎ ‎()2－()2‎ 说明：算式的设计要体现出运用分解计算的简便性，以激发学生的好奇心和求知欲.‎ 问：为什么你们没有老师算的快呢？你想知道老师是怎么计算的吗？‎ 思考：在以上的这些算式中，你发现他们有什么共同点？用自己的语言说一说.‎ 情景3：计算图中的阴影部分面积（用a、b的代数式表示）‎ 问题一：整体计算可以怎样表示？‎ 问题二：分割成如图两部分可以怎样计算？‎ 问题三：比较两种计算的结果你有什么发现？‎ 说明：学生可能先分割再整体得出：(a+b)(a－b)=a2－b2 (1)‎ 也有的是先整体再分割得出 a2－b2=(a+b)(a－b) (2)‎ 两种形式加以比较进一步明确整式乘法和因式分解的关系.‎ 思考：‎ ‎1.对于（1）式从左边到右边的变形叫什么？‎ ‎2.对于（2）式从左边到右边的变形叫什么？‎ ‎3.我们已经学习提公因式法分解因式.在（2）式的左边有公因式吗？但它写成右边的形式是分解因式吗？可见，没有公因式的某些多项式也可以用别的方法分解.‎ ‎（二）平方差公式的特征辨析：‎ 把乘法公式(a+b)(a－b)=a2－b2反过来得：a2－b2=(a+b)(a－b)‎ 我们可以运用这个公式对某些多项式进行分解因式.这种方法叫运用平方差公式法.‎ ‎[议一议]：‎ 下列多项式可以用平方差公式分解吗？‎ ‎（1）x2－y2 （2）x2+y2 （3）－x2－y2 ‎ - 6 -‎ ‎ ‎ ‎（4）－x2+y2 （5）64－a2 （6）4x2－9y2‎ 说明：这里是学生自主辨析公式特点的好机会，一定让学生自己讨论，只要能辨别哪些能用公式就可以，教师在具体使用时，可以先出示前面4道题，为了降低难度可以先把第5题写为82－a2然后改写成64－a2形式，让学生体会转化的数学思想.对于最后一题若学生对幂的运算较生疏，可以适当补充练习，如：填空：4a2=( )2 b2=( )2 x2y2=( )2.进而让学生自己体会公式中的a与b可以表示一个数，也可以表示一个式子，渗透换元的思想方法.最后，教师可以用简练的语言总结平方差公式的特点：‎ ‎1.左边特征是：二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反.‎ ‎2.右边特征是：两个二项式的积，一个是左边两项的底数之和，另一个是这两个底数之差.‎ ‎3.在乘法公式中，平方差是指计算的结果，在分解因式时，平方差是指要分解的多项式.‎ ‎（三）例题教学 例1 把下列多项式分解因式：‎ ‎(1) 36－25x2 (2) 16a2－9b2‎ 分析：观察是否符合平方差公式的形式，应引导学生把36、25x2、16a2、9b2改写成62、(5x)2、(4a)2和(3b)2形式，能否准确的改写是本题的关键.‎ 解： 36－25x2=62－(5x)2‎ ‎=(6+5x)(6－5x)‎ ‎16a2－9b2=(4a)2－(3b)2‎ ‎=(4a+3b)(4a－3b)‎ 说明： (1)对于多项式中的两部分不是明显的平方形式,应先变形为平方形式,再运用公式分解,以免出现16a2－9b2=(16a+9b)(16a－9b)的错误.‎ ‎（2）在此还要提醒防止出现分解后又乘开的现象，这是旧知识的“倒摄作用”所引起的现象.‎ 例2 如图，求圆环形绿化区的面积.‎ 解： 352π－152π ‎=π(352－152)‎ - 6 -‎ ‎ ‎ ‎=(35+15)(35－15)π ‎=50×20π ‎=1000π(m2)‎ 这个绿化区的面积是1000πm2‎ 说明：在这里列出算式后可以让学生自己讨论怎么计算，要让学生解释他的解法，可能解释为逆运用乘法结合律，也可能解释为合并同类项，都要予以肯定，在这儿不要怕浪费时间，通过比较得出上述解法和前一节的提取公因式是一致的，从而为分解因式的一般步骤打下伏笔，即：先提公因式，再运用公式.‎ 例3 把下列多项式分解因式：‎ ‎1. (x+p)2－(x+q)2 2. 9(a+b)2－4(a－b)2 ‎ 分析：在这里，尤其要重视对运用平方差公式前的多项式观察和心算，而后是进行变形.这一点在这儿尤为重要.‎ 解： (x+p)2－(x+q)2‎ ‎=[(x+p)+(x+q)][(x+p)－(x+q)] ‎ ‎=(2x+p+q)(p－q)‎ ‎9(a+b)2－4(a－b)2 ‎ ‎=[3(a+b)]2－[2(a－b)]2‎ ‎=[3(a+b)+2(a－b)] [3(a+b)－2(a－b)]‎ ‎=(5a+b)(a+5b)‎ 说明：设计本题的目的是让学生加深平方差公式中的a、b不仅可以表示数字、单项式，也可以是多项式，进一步渗透整体、换元的思想.‎ 例4.（供选择）观察下列算式回答问题：‎ ‎32－1=8‎ ‎52－1=24=8×3‎ ‎72－1=48=8×6‎ ‎92－1=80=8×10‎ ‎………‎ - 6 -‎ ‎ ‎ 问：根据上述的式子，你发现了什么？你能用自己的语言表达你所发现的结论吗？你能用数学式子来说明你的结论是正确的吗？‎ 解： 任意一个奇数的平方与1的差是8的整数倍.‎ ‎(2n+1)2－1 =[(2n+1)+1][(2n+1)－1]‎ ‎= (2n+2)·2n ‎=2(n+1)·2n ‎ ‎=4n(n+1)‎ 因为n是整数，所以n、n+1是两个连续的整数，而两个连续的整数一定有一个是偶数，即n(n+1)是2的倍数，因此4n(n+1)是8的倍数.‎ ‎（四）练习 ‎1.下列分解因式是否正确：‎ ‎（1）－x2－y2=(x+y)(x－y)‎ ‎（2）9－25a2=(3+25a)(3+25b)‎ ‎（3）－4a2+9b2=(－2a+3b)(－2a－3b)‎ ‎2.把下列各式分解因式：‎ ‎（1） 36－x2 （2） a2－b2 （3） x2－16y2‎ ‎（4） x2y2－z2 （5） (x+2)2－9 （6）(x+a)2－(y+b)2‎ ‎（7） 25(a+b)2－4(a－b)2 （8） 0.25(x+y)2－0.81(x－y)2‎ ‎3.在边长为16.4cm的正方形纸片的四角各剪去一边长为1.8cm的正方形，求余下的纸片的面积.‎ ‎4.已知x2－y2=－1 ， x+y=，求x－y的值.‎ ‎（五）小结 学生自己说出通过本节课的学习进一步理解了整式的乘法与因式分解的关系.能用自己的语言说出平方差公式的特点.能体会出公式中的字母a、b不仅可以表示数字，而且可以是单项式、多项式.‎ ‎（六）作业 ‎1.课本P95习题9.6第一题.‎ ‎2.课本P95习题9.6第二题.‎ ‎3.课本P95习题9.6第六题的第一题 - 6 -‎ ‎ ‎ 选做 利用因式分解计算：‎ ‎（1）‎ ‎（2）(1－)(1－)(1－)…(1－)(1－)‎ ‎（3）已知：4m+n=90，2m－3n=10，求(m+2n)2－(3m－n)2的值.‎ - 6 -‎