湘教版七年级数学下册期末复习课件

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常考题型讲解 第二章 -- 整式的乘法 考点一 幂的乘法运算 例 1 计算： （ 1 ） (2 a ) 3 ( b 3 ) 2 ·4 a 3 b 4 ； （ 2 ） ( － 8) 2017 ×(0.125) 2016 . 解：（ 1 ） 原式 = 8 a 3 b 6 ×4 a 3 b 4 =32 a 3+3 b 6+4 =2 a 6 b 10 . （ 2 ）原式 = （ － 8 ） × （ － 8 ） 2016 × （ 0.125 ） 2016 = （ － 8 ） [ （ － 8 ） ×0.125] 2016 = （ － 8 ） × （ － 1 ） 2016 = － 8. 1. 下列计算不正确的是（ ） A.2 a 3 · a =2 a 4 B. ( － a 3 ) 2 = a 6 C. a 4 · a 3 = a 7 D. a 2 · a 4 = a 8 D 针对训练 2. 计算： 0.25 2017 × （ － 4 ） 2017 － 8 100 ×0.5 301 . 解 : 原式 =[0.25 × （ － 4 ） ] 2017 － （ 2 3 ） 100 ×0.5 300 ×0.5 = － 1 － （ 2 ×0.5 ） 300 ×0.5 = － 1 － 0.5 = － 1.5. 例 2 （ 1 ） 已知 a n － 3 · a 2 n +1 = a 10 , 求 n 的值 ; （ 2 ） 已知 x a =2, x b =3, 求 x a+b 的值 . 公式逆用： a m+n =a m ·a n 公式运用： a m ·a n = a m+n 解： n － 3+2 n +1=10, n =4; 解： x a+b =x a ·x b =2×3=6. 考点二 幂的运算的逆向运用 3. 已知 x 2 n ＝ 3 ，求 ( x 3 n ) 4 的值； 4. 已知 2 x ＋ 5 y － 3 ＝ 0 ，求 4 x · 32 y 的值． 解： 3. (x 3 n ) 4 ＝ x 12 n ＝ ( x 2 n ) 6 ＝ 3 6 ＝ 729. 4. ∵ 2 x ＋ 5 y － 3 ＝ 0 ， ∴ 2 x ＋ 5 y ＝ 3, ∴4 x ·32 y ＝ (2 2 ) x ·(2 5 ) y ＝ 2 2 x ·2 5 y ＝ 2 2 x ＋ 5 y ＝ 2 3 ＝ 8. 针对训练 考点三 整式的乘法 例 3 计算： [ x ( x 2 y 2 － xy ) － y ( x 2 － x 3 y )] × 3 x 2 y , 其中 x =1, y =3 . 【 解析 】 在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中， 一要注意运算顺序；二要熟练正确地运用运算法则 . 解：原式 = ( x 3 y 2 － x 2 y － x 2 y + x 3 y 2 ) × 3 x 2 y =(2 x 3 y 2 － 2 x 2 y ) × 3 x 2 y = 6 x 5 y 3 － 6 x 4 y 2 . 当 x =1, y =3 时，原式 =6 × 27 － 6 × 9=108. 5. 一个长方形的长是 a － 2 b +1, 宽为 a , 则长方形的面积 为 . a 2 － 2 ab + a 针对训练 考点四 整式的乘法公式的运用 例 4 先化简 , 再求值： [( x － y ) 2 +( x + y )( x － y )] － 2 x 2 , 其中 x =3, y =1.5 . 【 解析 】 运用平方差公式和完全平方公式，先算括 号内的，再进行整式的除法运算. 解：原式 = ( x 2 － 2 xy + y 2 + x 2 － y 2 ) ÷2 x =(2 x 2 － 2 xy ) － 2 x 2 = － 2 xy . 当 x =3, y =1.5 时，原式 = － 9. 6. 求方程 ( x － 1) 2 － ( x － 1)( x +1)+3(1 － x )=0 的解 . 解：原方程可化为 － 5 x +5=0 , 解得 x =1. 7. 已知 x 2 +9 y 2 +4 x － 6 y +5=0, 求 xy 的值 . 解： ∵ x 2 +9 y 2 +4 x － 6 y +5=0, ∴( x 2 +4 x +4)+(9 y 2 － 6 y +1)=0 ， ∴ ( x +2) 2 +(3 y － 1) 2 =0 . ∴ x +2=0,3 y － 1=0 , 解得 x = － 2, y = ∴ 针对训练 考点五 转化思想的 解题方法 例 5 计算： (1) － 2 a · 3 a 2 b 3 · (2) （ － 2 x +5+ x 2 ）·（ － 6 x 3 ） . 【 解析 】 (1)单项式乘以单项式可以转化为有理数的乘法和同底数幂的乘法；(2)多项式乘以单项式可以转化为单项式乘以单项式. 解：（ 1 ）原式 = （ 2 ）原式 =( － 2 x ) · ( － 6 x 3 )+5 · ( － 6 x 3 )+ x 2 · ( － 6 x 3 ) =12 x 4 － 30 x 3 － 6 x 5 . 8. 计算： （4 a － b ）•（ － 2 b ） 2 ． 解：原式= （4 a － b ）•4 b 2 =16 ab 2 － 4 b 3 ． 针对训练 考点六 整体思想的解题方法 例 6 若 2 a +5 b － 3=0 ，则 4 a · 32 b = . 【 解析 】 已知条件是 2 a +5 b － 3=0 ，无法求出 a ， b 的值因此可以逆用积的乘方先把 4 a · 32 b . 化简为含有与已知条件相关的部分，即 4 a · 32 b =2 2 a · 2 5 b =2 2 a + 5 b . 把 2 a +5 b 看做一个整体，因为 2 a +5 b -3=0 ，所以 2 a +5 b =3 ，所以 4 a · 32 b =2 3 = 8. 8 9 . 若 x n =5 ，则 ( x 3 n ) 2 － 5( x 2 ) 2 n = . 12500 10. 若 x + y =2 ，则 = . 2 针对训练 例 6 如图所示，在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，把剩下的部分拼成梯形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证公式是 . b a a a a b b b b b a - b 考点七 数形结合思想的解题方法 a 2 － b 2 =( a + b )( a － b ) 11. 我们已知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一个代数恒等式也可以用这种形式来表示，例如（ 2 a + b )( a + b )=2 a 2 +3 ab + b 2 , 就可以用图①和图②等图形的面积表示 . a a a b b ab ab ab a 2 a 2 b 2 图① b 2 a 2 a 2 ab ab ab a a a b b 图② 针对训练 （ 2 ）请画一个几何图形，使它的面积能表示 （ a + b )( a +3 b )= a 2 +4 ab +3 b 2 . （ 1 ）请写出图③所表示的代数恒等式； b b a a b a ab ab ab ab ab a 2 a 2 b 2 b 2 图③ 图④ a 2 b a ab ab ab ab b 2 b 2 b 2 (2 a + b )( a +2 b )=2 a 2 +5 ab +2 b 2 ; 例 8 ．已知多项式 x 2 －mx－n与x－2的乘积中不含x 2 项和x项，求这两个多项式的乘积． 考点八 多项式乘法中不含某项的求值 解：(x－2)(x 2 －mx－n)＝x 3 － mx 2 －nx－2x 2 ＋2mx＋2n＝x 3 －(m＋2)x 2 ＋(2m－n)x＋2n， 因为乘积不含 x 2 项和x项， 所以2m－n＝0. －（m＋2）＝0， 解得n＝－4. ( m＝－2， ) 所以这两个多项式的乘积为 x 3 － 8. 12 ．若 (x 2 ＋ax＋1)·(－6x 3 )的展开式中不含x 4 项，则a的值为( ) A．－6 B．－1 C．1 D．0 针对训练 13 ．(6分)已知(x 2 ＋px＋8)与(x 2 －3x＋q)的乘积中不含x 3 和 x 2 项，求p、q的值 解：因为 (x 2 ＋px＋8)(x 2 －3x＋q) ＝ x 4 － 3x 3 ＋ qx 2 ＋ px 3 － 3px 2 ＋pqx＋8x 2 －24x＋8q ＝ x 4 ＋(p－3)x 3 ＋(q－3p＋8)x 2 ＋(pq－24)x＋8q. 因为乘积中不含 x 2 与 x 3 项， 所以p－3＝0且q－3p＋8＝0. 所以p＝3，q＝1. D 考点九 多项式乘法中看错某项的求值 例 9 ．某同学在计算一个多项式A乘以－3x 2 时，因抄错运算符号，算成了加上－ 3x 2 ，得到的结果是 x 2 －4x＋1. (1)这个多项式A是多少？ (2)正确的计算结果是多少？ 解：(1)这个多项式A是： (x 2 －4x＋1)－(－3x 2 )＝4x 2 －4x＋1. (2)正确的计算结果是： (4x 2 －4x＋1)·(－3x 2 )＝－12x 4 ＋ 12x 3 － 3x 2 . 针对训练 14 ．小青和小芳分别计算同一道整式乘法题：(2x＋a)(3x＋b)，小青由于抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x 2 －13x＋6，小芳由于抄错了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x 2 －x－6，则这道题的正确结果是 6x 2 ＋5x－6． 例 10 ．通过学习同学们已经体会到灵活运用整式乘法公式给计算和化简带来的方便、快捷．相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦． 例：用简便方法计算 195×205. 考点十 乘法公式的巧妙运用 解： 195×205 ＝(200－5)(200＋5)　　　　① ＝ 200 2 － 5 2 ② ＝ 39 975. (1)例题求解过程中，第②步变形是利用 (填乘法公式的名称)； 平方差公式 (2)用简便方法计算： ①9×11×101×10 001； ②(2＋1)(2 2 ＋ 1)(2 4 ＋ 1)…(2 32 ＋1)＋1 . 解：①原式＝(10－1)(10＋1)(100＋1)(10 000＋1) ＝(100－1)(100＋1)(10 000＋1) ＝(10 000－1)(10 000＋1) ＝ 10 8 － 1. ②原式＝(2－1)(2＋1)(2 2 ＋ 1)(2 4 ＋ 1)…(2 32 ＋1)＋1 ＝ (2 2 － 1) (2 2 ＋ 1)(2 4 ＋ 1)…(2 32 ＋1)＋1 ＝ (2 4 － 1)(2 4 ＋ 1)…(2 32 ＋1)＋1 ＝ 2 64 －1＋1 ＝ 2 64 . 考点十一 乘法公式的巧妙运用 例 11 ．观察下列等式： (x－1)(x＋1)＝x 2 －1； (x－1)(x 2 ＋x＋1)＝x 3 －1； (x－1)(x 3 ＋ x 2 ＋x＋1)＝x 4 －1； (x－1)(x 4 ＋ x 3 ＋ x 2 ＋x＋1)＝x 5 －1，… 运用上述规律，试求 2 19 ＋ 2 18 ＋ 2 17 ＋…＋2 3 ＋ 2 2 ＋2＋1的值． 解：设S＝2 19 ＋ 2 18 ＋ 2 17 ＋…＋2 3 ＋ 2 2 ＋2＋1， 则(2－1)S＝(2－1)(2 19 ＋ 2 18 ＋ 2 17 ＋…＋2 3 ＋ 2 2 ＋2＋1)＝2 20 －1， 所以S＝2 20 － 1. 针对训练 15 ．观察下列算式： 3 2 － 1 2 ＝8＝8×1，5 2 － 3 2 ＝16＝8×2，7 2 － 5 2 ＝24＝8×3，9 2 － 7 2 ＝32＝8×4，… (1)仿照以上的等式，请另外再写出一个等式； (2)试用代数式来表述你发现这些算式的规律； (3)说明你发现的规律的正确性． 解： (1)11 2 － 9 2 ＝40＝8×5. (2)(2n＋1) 2 －(2n－1) 2 ＝8n(n为正整数)． (3)(2n＋1) 2 －(2n－1) 2 ＝ (4n 2 ＋4n＋1)－(4n 2 －4n＋1)＝8n.