2021希望杯7年级考前100题培训学生版含答案

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2021 希望数学少年俱乐部——七年级培训 100 题 1. 计算： 2 2 2 2 22 4 6 8 100      ________． 2. 计算： 22 2 2 2 8 11 8 11 8 11 1 1 1 11 8 11 8 11 8 8 11                                 =________． 3. A = 2 2 2 2 1 1 1 1 8 9 10 64     ，B = 1 8 ，A 与 B 中较大的是________． 4. 设 2 0.012345678987654321 (1 2 3 9 3 2 1)A          … … ， 2 0.012345679B   ，则 99 10 (1 )A    ________． 5. 设 2019 2020 2 1 P    ， 2020 2021 2 1 Q    ，则 P，Q 的大小关系是（ ）． A．P＞Q B．P＜Q C．P＝Q D．不能确定 6. 设 2 2 2 1 1 1 48 ( ) 3 4 4 4 100 4 A        ，则与A最接近的正整数是________． 7. 对于非零自然数 a 和 b，规定符号的含义是：a b＝ 2 m a b a b     （m 是一个确 定的整数）．如果 1 4＝2 3，那么 3 4 等于__________． 8. 已知 (2 2 1)(2 2 1) 63a b a b     ，则 2 2 2 ___________a b ab   ． 9. 若一列数除了首末两数外，每个数都等于它两旁紧邻的两数之和，则称之 为具有波动性质，例如 2，3，1，–2，–3，……．已知下面这列数中，每 个*都代表一个数并且满足波动性质． 1，*，*，*，*，*，*，*，*，*，*，*，*，*，*，*，*，*，*，1， 则这 18 个*所代表的数的和为_________． 10. 若正整数 x，y 满足 2 2021x  ，则这样的正整数对（x，y）的个数是________． 11. 新运算符号◆定义如下：x◆y = ax + by + c，且满足 1◆2 = – 3， ( – 1)◆2= – 5 和 1◆( – 2) = 9，则 2◆( – 1) = ________． 12. 若关于 x 的方程 ( ) ( ) 0a a x b b x    有无穷多个解，则 （ ）． A. 1a b  B. 0a b  C. 0 a b  D. 1ab  13. 关于 x 的不等式 3 2m x n   解集的区间长度为 17，则 n m ________． 14. 计算：     2021 2020 505 01 2 16 1     ________． 15. 有理数 a，–b，c 在数轴上的位置如下图所示，则 1 ab  ， 1 b ， ac ， 2 1 b ， 2 1 a 中最大的是________． 16. 已知 1 202101 202104 P    ， 1 202102 202103 Q    ， 1 202102 202102 R    ， 则 P，Q，R 的大小关系是（ ）． A. P > Q > R B. P > R > Q C. Q > P > R D. R > Q > P 17. 若有理数 a 满足 1000 2021a a a    ，则这样的 a 有________个． 18. 已知 a，b，c 是非零有理数，且满足 2 c ab b a   ，则 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 101a b ab ab c abc ab c cc a b c                 = ． 19. 已知 2 3 4a    ，3 5 2a a b  ，则 a + b = ________． 20. 在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的两个顶点的坐标分别是 O（0，0）， A（4，3），且点 C 在第四象限，则点 B 的坐标为________． 21. 某出版社计划出版一套百科全书，固定成本为 12 万元，每印刷一套增加成 本 30 元．如果每套书定价 150 元，卖出后销售额的 20%给经销商，出版社 要想盈利 15 万元，那么该书至少发行________套． 22. 已知 2 2 2 3 2 4 0a b c ab b c       ，则 a + b + c 的值为 ． 23. 已知 n，k 皆为自然数，且 1 < k < n． 若 1 2 3 ( 2) ( 1) =10 1 n n n k n           …… ，则 n + k = ________． 24. 若 ，且 a≥2b（a，b≠0），则（ ）． A． 有最小值 B． 有最大值 1 C． 有最大值 2 D． 有最小值 25. 黑板上写有 1 1 1 1, , , , 2 3 100 …… 共 100 个数．每次操作先从黑板上的数中选 取 2 个数 a，b，然后删去 a，b，并在黑板上写上数 a + b + ab，则经过 99 次 操作后，黑板上剩下的数是________． 26. 对于任意实数 x，y，z，定义运算“*”为： 3 2 2 3 3 3 3 45 ( 1) ( 1) 60 x y x y xy x y x y         ， 且 ( )x y z x y z     ，则 2021 2020 2019 3 2    …… 的值为________． 27. 方程组 12 6 x x      的解的个数为（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 28. 已知正整数 a，b，c，d 满足    2 213 , 13a c d b c d    ，则 d 的值是 _________． 2a b   b a 1 2 b a a b a b 8 9  29. 已知实数 x，y，z 满足 5 4 2 2 x y z x y z        ，则代数式4 4 1x z  的值是_______． 30. 某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品，其中小笔记本每本 5 元，大笔记本每本 7 元，钢笔每支 10 元，购买的大笔记本的数量是钢笔数 量的 2 倍，共花费 346 元，若购买的奖品总数最多，则小笔记本买了_______ 本． 31. 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和 谐数”．如： 3 3 3 32 1 ( 1) , 26 3 1 ,      2 和26均为“和谐数”．那么，不超过 2021 的正整数中，所有的“和谐数”之和为 ________． 32. 已知实数 a，b，x，y 满足 2 yxba ， 5 byax ， 则  )()( 2222 yxabxyba ________． 33. 设实数 x，y，z 满足 1x y z   ，则 2 3M xy yz xz   的最大值为________． 34. 已知 a，b 均为正整数，则 2 23 2 4M a ab b    能取到的最小正整数值为 ________． 35. 对任意三个实数 a，b，c，用  , , M a b c 表示这三个数的平均数，用  min , , a b c 表示这三个数中最小的数，若    2 2, 2 , 2 min 2 2, 2 , 2M x y x y x y x y x y x y         ， 则  yx ______． 36. 满足 (x2  x 1) x2  1 的整数 x 有________个． 37. 在 Rt△ABC 中，∠A=90°，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点 I，分别交对 边于点 D 和 E．若△BIC 的面积为 8，则四边形 BCDE 的面积是_______． 38. 如图，P 是△ABC 内一点，过 P 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成 的小三角形△EPN、△DPM、△TPR 面积分别是 4、9 和 49．则△ABC 的 面积是________． 39. 在三角形 ABC 中，AB = b2 – 1，BC = a2，CA = 2a，其中 a，b 均是大于 1 的整数，则 b – a = ________． 40. 一个平行四边形可以被分成 96 个边长为 1 的正三角形，它的周长最小可能 是_________． 41. 如图，∠9 –∠8 +∠7 +∠6 –∠5 +∠4 +∠3 –∠2 –∠1 = ________°． 42. 三条边各不相等的△ABC，它的两条高长度分别是 4 和 12．若它的第三条 高的长度也是整数，则这条高的长度是_______． 43. 如图，3 个三角形的面积比为 : : 4 : 2 :3PBC PAC PABS S S    ，又知△ABC 三边 a，b，c 上的高为 ha = 3，hb = 5，hc = 6，则 P 到△ABC 三边的距离之和 为 ． 44. 如图，在三角形 ABC 中，点 D 在 BC 上，且∠ABC＝∠ACB，∠ADC＝∠ DAC，∠DAB＝21°，则∠BAC = _______°． 45. 如图，D、E 是三角形 ABC 内两点，∠BAD=∠DAE=∠EAC，BD、CE 分别 平分 ABC 和 ACB ，且相交于点 F．如果∠ADB =127°，∠AEC =132°， 那么∠BFC =_______°． 46. 如图，在正六边形 ABCDEF 中，M、N、P、Q、R、S 分别为六条边上的中 点，如果阴影部分的面积为 100cm2，那么正六边形ABCDEF的面积为______． 47. 四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，已知上下两个三角形的面积 20OADS  ， 45BOCS  ，则四边形 ABCD 面积的最小值为________． 48. 将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干个区域，如果要分成不少于 100 个区域，至少要画________条直线． 49. 如图， ，则 n = _______． 50. 如图，AB∥DE，∠ABC = 75°，∠BCD = 38°，则∠CDE = ________°． 51. 如图，边长分别为 4 厘米和 3 厘米的正方形 ABCD 与 BEFG 并排放在一起. AF 交 BG 于 P， 则△APE 的面积与△GFP 面积的比值为________． 90A B C D E F G n          52. 如图，已知△ABC 的面积为 24，点 D 在线段 AC 上，点 F 在线段 BC 的延长 线上，且 BC = 4CF，四边形 DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积 为______． 53. 如图，将表面展开图（左图）还原为正方体，按右图所示摆放，那么，左图 中的线段 MN 在右图中的对应线段是（ ）． A．a B．b C．c D．d 54. 如图，工地上竖立着两根电线杆 AB、CD，它们相距 15 米，分别自两杆上高 出地面 4 米、6 米的 A、C 处，向两侧地面上的 E，D 和 B，F 点处，用钢丝 绳拉紧，以固定电线杆．那么钢丝绳 AD 与 BC 的交点 P 离地面的高度为 ________米． 55. 若  x 表示不大于 x 的最大整数，关于 x 的方程 + 3 2 10 x a      有正整数解，则常 数 a 的取值范围是________． 56. 有一列数，第一个数是 10，第二个数是 6，从第三个数开始的每个数都是前 面所有数的平均数，则在这列数中，前 2021 个数的和等于________． 57. 黑色布袋中有 40 只手感相同的袜子，它们只有颜色不同：10 只白色的，12 只红色的，18 只黑色的．现在伸手进布袋拿袜子，拿出的 3 只袜子中至少有 1 双袜子（2 只同色袜子算 1 双）的概率是________． 58. 从 1，2，3，……，205 这 205 个正整数中，最多能取出________个数，使得 对于取出来的数中的任意三个数 a，b，c (a < b < c)，都有 ab≠c． 59. 已知 0 < a < 1，且满足 1 2 29 18 30 30 30 a a a                         ，则[10a]的值等于 ________．（[x]表示不超过 x 的最大整数） 60. 三角形三边 a，b，c 的长都是整数，且 a ≤ b ≤ c．若 b = 10，那么这样的 三角形共有________个． 61. 递增数列 2，3，5，6，7，10，11，……，包含所有既不是平方数又不是立 方数的正整数．则此数列的第 500 项是________． 62. 两枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是 1，2，3，4，5， 6．同时掷这两枚骰子，朝上的两个数字之和除以 5 的余数是 3 的概率是 _______． 63. 一个园丁要把 3 棵枫树，4 棵橡树，5 棵桦树栽成一行，他随机地确定这些 树的排列顺序，则任何 2 棵桦树都不相邻的概率是________． 64. 设正四面体的四个顶点是 ABCD，各棱长度为 1 米．有个小虫从 A 点开始 按以下规则前进：在每一个顶点处随机选择通过这个顶点的三条棱之一， 并一直爬到这个棱的尽头，则它爬了 7 米以后恰好位于顶点 A 的概率是 ________． 65. 将 1，2，3，……，100 这 100 个自然数，任意分成 50 组，每组两个数， 现将每组的两个数中的任意一个数值记作 a，另一个记作 b，代入代数式   1 2 a b a b   中进行计算，求出其结果，50 组都代入后可得 50 个值， 这 50 个值的和的最大值_______． 66. 已知 n＞1， 1 2 3, , , , na a a a 为整数且 1 2 3 1 2 3 2021n na a a a a a a a          ，则 n 的最小值为_______． 67. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，等腰梯形 ABCD 的顶点坐标分别为 A（1， 1），B（2，–1），C（–2，–1），D（–1，1）．y 轴上一点 P（0，2）绕点 A 旋 转 180°得点 P1，点 P1 绕点 B 旋转 180°得点 P2，点 P2 绕点 C 旋转 180° 得点 P3，点 P3 绕点 D 旋转 180°得点 P4，……，重复操作依次得到点 P1， P2，……，则点 P2021的坐标是________． 68. 如果 a，b 为给定的实数，且 1 < a < b，那么 1，a + 1，2a + b，a + b + 1 这 四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是________． 16 69. 把 11～22 这 12 个自然数填入图中的小圆内，每个数都要用到，且每边上的 四个数的和相等，这个和的最小值和最大值相差________． 70. 如图有一长条型链子，其外形由边长为 1cm 的正六边形排列而成．其中每个 黑色六边形与 6 个白色六边形相邻，若链子上有 35 个黑色六边形，则此链 子有________个白色六边形． …… 71. 设 1 2 3 4 2020 20213 3 3 3 3 3a        ，则 a 被 13除，得到的余数是________． 72. 一个完全平方数是四位数，且它的各位数字均小于 7．如果把组成它的每个 数字都加上 3，便得到另外一个完全平方数，原来的四位数为_______． 17 73. 1 1 1 2021x y   有__________组不同的正整数解． 74. 有些自然数可以表示成两个合数相乘再加上一个合数的形式，例如： 33 4 6 9   ．那么，不能表示成这种形式的自然数最大是_______． 75. 已知 P 是大于 3 的质数，则 P2÷24 所得的余数是_______． 76. 已知 1 2 3 4 5a a a a a， ， ， ， 是满足条件 1 2 3 4 5 9a a a a a     的五个不同的整数， 若 b 是关于 x 的方程      1 2 3 4 5 2009x a x a x a x a x a      的整数根，则 b 的值为________． 77. 设 n 是整数，如果 n2的十位数字是 7，那么 n2 的个位数字是________． 78. 小明家电话号码最初为六位数，首先在首位号码和第二位号码之间加上数字 8，成为一个七位数的电话号码；然后在首位号码前加上数字 2，成为一个八 位数的电话号码．小明发现，他家最新电话号码的八位数，恰是最初电话号 码六位数的 81 倍，则小明家最初的电话号码是_________． 18 79. 若质数 p，q 满足：3 4 0, 111, q p p q     则 pq 的最大值为_________． 80. 某校初三两个毕业班的学生和教师共 100 人一起在台阶上拍毕业照留念，摄 影师要将其排列成前少后多的梯形队阵（排数≥3），且要求各行的人数必须 是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那 么，满足上述要求的排法有________种． 2021 希望数学少年俱乐部——七年级培训 100 题答案 1. 计算： 2 2 2 2 22 4 6 8 100      ________． 答案：171700 2. 计算： 22 2 2 2 8 11 8 11 8 11 1 1 1 11 8 11 8 11 8 8 11                                 =________． 答案：88 3. A = 2 2 2 2 1 1 1 1 8 9 10 64     ，B = 1 8 ，A 与 B 中较大的是________． 答案：B 4. 设 2 0.012345678987654321 (1 2 3 9 3 2 1)A          … … ， 2 0.012345679B   ，则 99 10 (1 )A    ________． 答案：±1 5. 设 2019 2020 2 1 P    ， 2020 2021 2 1 Q    ，则 P，Q 的大小关系是（ ）． A．P＞Q B．P＜Q C．P＝Q D．不能确定 答案：A 6. 设 2 2 2 1 1 1 48 ( ) 3 4 4 4 100 4 A        ，则与A最接近的正整数是________． 答案：25 7. 对于非零自然数 a 和 b，规定符号的含义是：a b＝ 2 m a b a b     （m 是一个确 定的整数）．如果 1 4＝2 3，那么 3 4 等于__________． 答案： 11 12 8. 已知 (2 2 1)(2 2 1) 63a b a b     ，则 2 2 2 ___________a b ab   ． 答案：16 9. 若一列数除了首末两数外，每个数都等于它两旁紧邻的两数之和，则称之 为具有波动性质，例如 2，3，1，–2，–3，……．已知下面这列数中，每 个*都代表一个数并且满足波动性质． 1，*，*，*，*，*，*，*，*，*，*，*，*，*，*，*，*，*，*，1， 则这 18 个*所代表的数的和为_________． 答案：0 10. 若正整数 x，y 满足 2 2021x  ，则这样的正整数对（x，y）的个数是________． 答案：2 11. 新运算符号◆定义如下：x◆y = ax + by + c，且满足 1◆2 = – 3， ( – 1)◆2= – 5 和 1◆( – 2) = 9，则 2◆( – 1) = ________． 答案：7 12. 若关于 x 的方程 ( ) ( ) 0a a x b b x    有无穷多个解，则 （ ）． A. 1a b  B. 0a b  C. 0 a b  D. 1ab  答案：B 13. 关于 x 的不等式 3 2m x n   解集的区间长度为 17，则 n m ________． 答案：51 14. 计算：     2021 2020 505 01 2 16 1     ________． 答案：0 15. 有理数 a，–b，c 在数轴上的位置如下图所示，则 1 ab  ， 1 b ， ac ， 2 1 b ， 2 1 a 中最大的是________． 答案： 2 1 b 16. 已知 1 202101 202104 P    ， 1 202102 202103 Q    ， 1 202102 202102 R    ， 则 P，Q，R 的大小关系是（ ）． A. P > Q > R B. P > R > Q C. Q > P > R D. R > Q > P 答案：C 17. 若有理数 a 满足 1000 2021a a a    ，则这样的 a 有________个． 答案：2 18. 已知 a，b，c 是非零有理数，且满足 2 c ab b a   ，则 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 101a b ab ab c abc ab c cc a b c                 = ． 答案： 1 202  19. 已知 2 3 4a    ，3 5 2a a b  ，则 a + b = ________． 答案：0 或 6 7 20. 在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的两个顶点的坐标分别是 O（0，0）， A（4，3），且点 C 在第四象限，则点 B 的坐标为________． 答案：（7，– 1） 21. 某出版社计划出版一套百科全书，固定成本为 12 万元，每印刷一套增加成 本 30 元．如果每套书定价 150 元，卖出后销售额的 20%给经销商，出版社 要想盈利 15 万元，那么该书至少发行________套． 答案：3000 22. 已知 2 2 2 3 2 4 0a b c ab b c       ，则 a + b + c 的值为 ． 答案：4 23. 已知 n，k 皆为自然数，且 1 < k < n． 若 1 2 3 ( 2) ( 1) =10 1 n n n k n           …… ，则 n + k = ________． 答案：29 24. 若 ，且 a≥2b（a，b≠0），则（ ）． A． 有最小值 B． 有最大值 1 C． 有最大值 2 D． 有最小值 答案：C 25. 黑板上写有 1 1 1 1, , , , 2 3 100 …… 共 100 个数．每次操作先从黑板上的数中选 取 2 个数 a，b，然后删去 a，b，并在黑板上写上数 a + b + ab，则经过 99 次 操作后，黑板上剩下的数是________． 答案：100 26. 对于任意实数 x，y，z，定义运算“*”为： 3 2 2 3 3 3 3 45 ( 1) ( 1) 60 x y x y xy x y x y         ， 且 ( )x y z x y z     ，则 2021 2020 2019 3 2    …… 的值为________． 答案： 5463 967 27. 方程组 12 6 x x      的解的个数为（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 答案：A 2a b   b a 1 2 b a a b a b 8 9  28. 已知正整数 a，b，c，d 满足    2 213 , 13a c d b c d    ，则 d 的值是 _________． 答案：85 29. 已知实数 x，y，z 满足 5 4 2 2 x y z x y z        ，则代数式4 4 1x z  的值是_______． 答案：–3 30. 某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品，其中小笔记本每本 5 元，大笔记本每本 7 元，钢笔每支 10 元，购买的大笔记本的数量是钢笔数 量的 2 倍，共花费 346 元，若购买的奖品总数最多，则小笔记本买了_______ 本． 答案：50 31. 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和 谐数”．如： 3 3 3 32 1 ( 1) , 26 3 1 ,      2 和26均为“和谐数”．那么，不超过 2021 的正整数中，所有的“和谐数”之和为 ________． 答案：6860 32. 已知实数 a，b，x，y 满足 2 yxba ， 5 byax ， 则  )()( 2222 yxabxyba ________． 答案：–5 33. 设实数 x，y，z 满足 1x y z   ，则 2 3M xy yz xz   的最大值为________． 答案： 3 4 34. 已知 a，b 均为正整数，则 2 23 2 4M a ab b    能取到的最小正整数值为 ________． 答案：2 35. 对任意三个实数 a，b，c，用  , , M a b c 表示这三个数的平均数，用  min , , a b c 表示这三个数中最小的数，若    2 2, 2 , 2 min 2 2, 2 , 2M x y x y x y x y x y x y         ， 则  yx ______． 答案：– 4 36. 满足 (x2  x 1) x2  1 的整数 x 有________个． 答案：3 37. 在 Rt△ABC 中，∠A=90°，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点 I，分别交对 边于点 D 和 E．若△BIC 的面积为 8，则四边形 BCDE 的面积是_______． 答案： 16 38. 如图，P 是△ABC 内一点，过 P 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成 的小三角形△EPN、△DPM、△TPR 面积分别是 4、9 和 49．则△ABC 的 面积是________． 答案：144 39. 在三角形 ABC 中，AB = b2 – 1，BC = a2，CA = 2a，其中 a，b 均是大于 1 的整数，则 b – a = ________． 答案：0 40. 一个平行四边形可以被分成 96 个边长为 1 的正三角形，它的周长最小可能 是_________． 答案：28 41. 如图，∠9 –∠8 +∠7 +∠6 –∠5 +∠4 +∠3 –∠2 –∠1 = ________°． 答案：180 42. 三条边各不相等的△ABC，它的两条高长度分别是 4 和 12．若它的第三条 高的长度也是整数，则这条高的长度是_______． 答案：5 43. 如图，3 个三角形的面积比为 : : 4 : 2 :3PBC PAC PABS S S    ，又知△ABC 三边 a，b，c 上的高为 ha = 3，hb = 5，hc = 6，则 P 到△ABC 三边的距离之和 为 ． 答案：8 44. 如图，在三角形 ABC 中，点 D 在 BC 上，且∠ABC＝∠ACB，∠ADC＝∠ DAC，∠DAB＝21°，则∠BAC = _______°． 答案：88 45. 如图，D、E 是三角形 ABC 内两点，∠BAD=∠DAE=∠EAC，BD、CE 分别 平分 ABC 和 ACB ，且相交于点 F．如果∠ADB =127°，∠AEC =132°， 那么∠BFC =_______°． 答案：123 46. 如图，在正六边形 ABCDEF 中，M、N、P、Q、R、S 分别为六条边上的中 点，如果阴影部分的面积为 100cm2，那么正六边形ABCDEF的面积为______． 答案：650 47. 四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，已知上下两个三角形的面积 20OADS  ， 45BOCS  ，则四边形 ABCD 面积的最小值为________． 答案：125 48. 将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干个区域，如果要分成不少于 100 个区域，至少要画________条直线． 答案：14 49. 如图， ，则 n = _______． 答案：6 50. 如图，AB∥DE，∠ABC = 75°，∠BCD = 38°，则∠CDE = ________°． 答案：143 51. 如图，边长分别为 4 厘米和 3 厘米的正方形 ABCD 与 BEFG 并排放在一起. AF 交 BG 于 P， 则△APE 的面积与△GFP 面积的比值为________． 答案： 28 9 90A B C D E F G n          52. 如图，已知△ABC 的面积为 24，点 D 在线段 AC 上，点 F 在线段 BC 的延长 线上，且 BC = 4CF，四边形 DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积 为______． 答案：6 53. 如图，将表面展开图（左图）还原为正方体，按右图所示摆放，那么，左图 中的线段 MN 在右图中的对应线段是（ ）． A．a B．b C．c D．d 答案：C 54. 如图，工地上竖立着两根电线杆 AB、CD，它们相距 15 米，分别自两杆上高 出地面 4 米、6 米的 A、C 处，向两侧地面上的 E，D 和 B，F 点处，用钢丝 绳拉紧，以固定电线杆．那么钢丝绳 AD 与 BC 的交点 P 离地面的高度为 ________米． 答案：2.4 55. 若  x 表示不大于 x 的最大整数，关于 x 的方程 + 3 2 10 x a      有正整数解，则常 数 a 的取值范围是________． 答案： 35a  56. 有一列数，第一个数是 10，第二个数是 6，从第三个数开始的每个数都是前 面所有数的平均数，则在这列数中，前 2021 个数的和等于________． 答案：16168 57. 黑色布袋中有 40 只手感相同的袜子，它们只有颜色不同：10 只白色的，12 只红色的，18 只黑色的．现在伸手进布袋拿袜子，拿出的 3 只袜子中至少有 1 双袜子（2 只同色袜子算 1 双）的概率是________． 答案： 193 247 58. 从 1，2，3，……，205 这 205 个正整数中，最多能取出________个数，使得 对于取出来的数中的任意三个数 a，b，c (a < b < c)，都有 ab≠c． 答案：193 59. 已知 0 < a < 1，且满足 1 2 29 18 30 30 30 a a a                         ，则[10a]的值等于 ________．（[x]表示不超过 x 的最大整数） 答案：6 60. 三角形三边 a，b，c 的长都是整数，且 a ≤ b ≤ c．若 b = 10，那么这样的 三角形共有________个． 答案：55 61. 递增数列 2，3，5，6，7，10，11，……，包含所有既不是平方数又不是立 方数的正整数．则此数列的第 500 项是________． 答案：528 62. 两枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是 1，2，3，4，5， 6．同时掷这两枚骰子，朝上的两个数字之和除以 5 的余数是 3 的概率是 _______． 答案： 7 36 63. 一个园丁要把 3 棵枫树，4 棵橡树，5 棵桦树栽成一行，他随机地确定这些 树的排列顺序，则任何 2 棵桦树都不相邻的概率是________． 答案： 7 99 64. 设正四面体的四个顶点是 ABCD，各棱长度为 1 米．有个小虫从 A 点开始 按以下规则前进：在每一个顶点处随机选择通过这个顶点的三条棱之一， 并一直爬到这个棱的尽头，则它爬了 7 米以后恰好位于顶点 A 的概率是 ________． 答案： 182 729 65. 将 1，2，3，……，100 这 100 个自然数，任意分成 50 组，每组两个数， 现将每组的两个数中的任意一个数值记作 a，另一个记作 b，代入代数式   1 2 a b a b   中进行计算，求出其结果，50 组都代入后可得 50 个值， 这 50 个值的和的最大值_______． 答案：3775 66. 已知 n＞1， 1 2 3, , , , na a a a 为整数且 1 2 3 1 2 3 2021n na a a a a a a a          ，则 n 的最小值为_______． 答案：5 67. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，等腰梯形 ABCD 的顶点坐标分别为 A（1， 1），B（2，–1），C（–2，–1），D（–1，1）．y 轴上一点 P（0，2）绕点 A 旋 转 180°得点 P1，点 P1 绕点 B 旋转 180°得点 P2，点 P2 绕点 C 旋转 180° 得点 P3，点 P3 绕点 D 旋转 180°得点 P4，……，重复操作依次得到点 P1， P2，……，则点 P2021的坐标是________． 答案：（– 2018，0） 68. 如果 a，b 为给定的实数，且 1 < a < b，那么 1，a + 1，2a + b，a + b + 1 这 四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是________． 答案： 1 4 16 69. 把 11～22 这 12 个自然数填入图中的小圆内，每个数都要用到，且每边上的 四个数的和相等，这个和的最小值和最大值相差________． 答案：8 70. 如图有一长条型链子，其外形由边长为 1cm 的正六边形排列而成．其中每个 黑色六边形与 6 个白色六边形相邻，若链子上有 35 个黑色六边形，则此链 子有________个白色六边形． …… 答案：142 71. 设 1 2 3 4 2020 20213 3 3 3 3 3a        ，则 a 被 13除，得到的余数是________． 答案：12 72. 一个完全平方数是四位数，且它的各位数字均小于 7．如果把组成它的每个 数字都加上 3，便得到另外一个完全平方数，原来的四位数为_______． 答案：1156 73. 1 1 1 2021x y   有__________组不同的正整数解． 答案：4 17 74. 有些自然数可以表示成两个合数相乘再加上一个合数的形式，例如： 33 4 6 9   ．那么，不能表示成这种形式的自然数最大是_______． 答案：35 75. 已知 P 是大于 3 的质数，则 P2÷24 所得的余数是_______． 答案：1 76. 已知 1 2 3 4 5a a a a a， ， ， ， 是满足条件 1 2 3 4 5 9a a a a a     的五个不同的整数， 若 b 是关于 x 的方程      1 2 3 4 5 2009x a x a x a x a x a      的整数根，则 b 的值为________． 答案：10 77. 设 n 是整数，如果 n2的十位数字是 7，那么 n2 的个位数字是________． 答案：6 78. 小明家电话号码最初为六位数，首先在首位号码和第二位号码之间加上数字 8，成为一个七位数的电话号码；然后在首位号码前加上数字 2，成为一个八 位数的电话号码．小明发现，他家最新电话号码的八位数，恰是最初电话号 码六位数的 81 倍，则小明家最初的电话号码是_________． 答案：282500 18 79. 若质数 p，q 满足：3 4 0, 111, q p p q     则 pq 的最大值为_________． 答案：1007 80. 某校初三两个毕业班的学生和教师共 100 人一起在台阶上拍毕业照留念，摄 影师要将其排列成前少后多的梯形队阵（排数≥3），且要求各行的人数必须 是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那 么，满足上述要求的排法有________种． 答案：2