人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习：解二元一次方程组（解析版）

人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习：解二元一次方程组（解析版）

人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习：‎ 解二元一次方程组 知识网络 重难突破 知识点一 消元的思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为熟悉的一元一次方程，即可先求出一个未知数，然后再求另一个未知数。这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元的思想。‎ 代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。‎ 基本思路：未知数由多变少。‎ 代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： ‎ ‎1.变：将其中一个方程变形，使一个未知数用含有另一个的未知数的代数式表示。 ‎ ‎2.代：用这个代数式代替另一个方程中的相应未知数，得到一元一次方程。‎ ‎3.解：解一元一次方程 ‎4.求：把求得的未知数的值带入代数式或原方程组中的任意一个方程中，求得另一个未知数的值。 ‎ ‎5.写：写出方程组的解。‎ ‎6.验：将方程组的解带入到原方程组中的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解，负责解题有误。‎ ‎ 24 / 24‎ 加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。‎ 加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： ‎ ‎1.变形：将两个方程中其中一个未知数的系数化为相同（或互为相反数）。‎ ‎2.加减：通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程。‎ ‎3.求解：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值。‎ ‎4.回代：将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值。‎ ‎5.写解：写出方程组的解。‎ ‎6.检验：将方程组的解带入到原方程组中的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解，负责解题有误。‎ 整体消元法：根据方程组各系数的特点，可将方程组中的一个方程或方程的一部分看成一个整体，带入另一个方程中，从而达到消去其中一个未知数的目的，并求得方程的解。‎ 例 (x+5)+(y-4)=8‎ ‎　　 (x+5)-(y-4)=4‎ ‎　　令x+5=m,y-4=n，带入原方程求解未知数 ‎　　原方程可写为 ‎ m+n=8 解得m=6,n=2 所以 x=1‎ m-n=4 所以x+5=6,y-4=2 y=6‎ 特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。‎ 解二元一次方程的基本步骤：‎ ‎1.消元 2.求解 3.回代 4.写解 5.检验 解三元一次方程的基本步骤 ‎1.变形（变三元一次为二元一次） ‎ ‎2.求解：解二元一次方程组 ‎ ‎3.回代：将求得的未知数的值代入原方程组的一个适当的方程中，得到一个一元一次方程 ‎ ‎4.求解：解一元一次方程，求出第三个未知数 ‎ ‎5.写解：用大括号将所求的的三个未知数的值联立起来，即得原方程组的解。‎ ‎【典型例题】‎ 题型一 用代入法解二元一次方程组 ‎ 24 / 24‎ 典例1（2018·长沙市期末）由方程组可得出x与y的关系式是(　　)‎ A．x+y＝9 B．x+y＝3 C．x+y＝﹣3 D．x+y＝﹣9‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由①得：m=6-x ‎∴6-x=y-3‎ ‎∴x+y=9．‎ 故选A．‎ 变式1-1（2019·彬州市期中）用代入消元法解方程组使得代入后化简比较容易的变形是( )‎ A．由①得 B．由①得 C．由②得 D．由②得y＝2x－5‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ 解：观察方程①②可知，②中的系数为-1，比其它未知数的系数更为简单，所只要将②变形为y＝2x－5③，再把③代入①即可求出方程组的解.‎ 故应选D.‎ 变式1-2（2019·平顶山市期中）方程的公共解是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ 把方程y=1﹣x代入3x+2y=5，得3x+2（1﹣x）=5，‎ 解得：x=3．‎ 把x=3代入方程y=1﹣x，得y=﹣2．‎ 故选C．‎ ‎ 24 / 24‎ 变式1-3（2019·成都市期中）以方程组的解为坐标的点(y，x)在第( )象限．‎ A．一 B．二 C．三 D．四 ‎【答案】D ‎【详解】‎ 解方程组得，‎ ‎（4，-1）位于第四象限.‎ 故选D.‎ 题型二 用加减法解二元一次方程组 典例2（2019·保定市期末）已知a，b满足方程组则a+b的值为（ ）‎ A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题解析：，‎ ‎①+②：4a+4b=16‎ 则a+b=4，‎ 故选B． ‎ 变式2-1（2019·许昌市期末）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ）‎ A．要消去y，可以将①×5＋②×2‎ B．要消去x，可以将①×3＋②×（－5）‎ C．要消去y，可以将①×5＋②×3‎ D．要消去x，可以将①×（-5）＋②×2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由已知可得，消元的方法有两种，分别为：‎ ‎（1）要消去y，可以将①×3＋②×5；‎ ‎ 24 / 24‎ ‎（2）要消去x，可以将①×（-5）＋②×2．‎ 故选D 变式2-2（2019·淮南市期末）若，则x，y的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 详解：∵，‎ ‎∴‎ 将方程组变形为，‎ ‎①+②×2得，5x=5，解得x=1，‎ 把x=1代入①得，3-2y=1，解得y=1，‎ ‎∴方程组的解为．‎ 故选：D．‎ 变式2-3（2020·崇左市期末）用加减法解方程组下列解法错误的是（ ）‎ A．①×3－②×2，消去x B．①×2－②×3，消去y C．①×(－3)＋②×2，消去x D．①×2－②×(－3)，消去y ‎【答案】D ‎【解析】‎ 本题考查了加减法解二元一次方程组 用加减法解二元一次方程组时，必须使同一未知数的系数相等或者互为相反数．如果系数相等，那么相减消元；如果系数互为相反数，那么相加消元．‎ A、，可消去x，故不合题意；‎ B、，可消去y，故不合题意；‎ C、，可消去x，故不合题意；‎ ‎ 24 / 24‎ D、，得，不能消去y，符合题意．‎ 故选D．‎ 题型三 用特殊法解二元一次方程组 典例3（2018·南通市期末）关于x，y 的方程组（其中a，b是常数）的解为，则方程组的解为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意知：，①+②，得：2x=7，x=3.5，①﹣②，得：2y=﹣1，y=﹣0.5，所以方程组的解为．‎ ‎ 故选C．‎ 变式3-1（2019·泰兴市期中）若方程组的解满足，则的取值是（ ）‎ A． B． C． D．不能确定 ‎【答案】B ‎【详解】‎ ‎，①②得：，即，代入得：，解得：，故选．‎ 变式3-2（2019·萧山区期末）若方程组的解是，则方程组的解是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎ 24 / 24‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ 设1-x=m，-y=n，则方程组可变为 ‎，‎ ‎∵方程组的解是，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 故选D.‎ 变式3-3（2018·海安市期中）若方程组的解是，则方程组的解是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 解：令x+1=m，y﹣2=n，∴方程组可化为．∵方程组的解是，∴x+1=2，y﹣2=﹣1，解得：．故选A．‎ ‎ 24 / 24‎ 题型四 二元一次方程错解复原问题 典例4 （2019·齐齐哈尔市期末）甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，甲正确地解得乙看错了方程②中的系数c，解得，则的值为（ ）‎ A．16 B．25 C．36 D．49‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ 把代入得：，解得：c=4，把代入得：3a+b=5，联立得：，解得：，则（a+b+c）2=（2﹣1+4）2=25．‎ 故选B．‎ 变式4-1（2018 临沂市期末）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得到的解为，乙看错了方程组中的b，得到的解为．则原方程组的解（　 ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ 把甲得到的解带入第二个方程，得；把乙得到的解带入第一个方程，得；‎ 则得到方程，解得，故选择B.‎ 变式4-2（2019·贵港市期中）小亮在解二元一次方程组时，把系数看错而解得，而原方程组的正确解为，那么系数的值是（ ）‎ A．不能确定 B．‎ C．和不能确定， D．‎ ‎ 24 / 24‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ 解：把代入，解得，‎ 把和代入得出，解得，‎ 所以.‎ 故选：D.‎ 题型五 构造二元一次方程组求解 典例5（2019·成都市期末）新运算“△”定义为(a，b)△(c，d)＝(ac+bd，ad+bc)，如果对于任意数a，b都有(a，b)△(x，y)＝(a，b)，则(x，y)＝（ ）‎ A．(0，1) B．(0，﹣1) C．(﹣1，0) D．(1，0)‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ 由新定义，知： (a,b)△(x,y)=(ax+by,ay+bx)=(a,b)，‎ 则 ‎ 由①+②，得:(a+b)x+(a+b)y=a+b，‎ ‎∵a，b是任意实数，∴x+y=1，③‎ 由①−②，得 ‎(a−b)x−(a−b)y=a−b，∴x−y=1，④‎ 由③④解得，x=1，y=0，‎ ‎∴(x,y)为(1,0)；‎ 故选D.‎ 变式5-1（2019·佳木斯市期末）已知与的和是单项式，则m，n的值分别是（ ）.‎ A．m=－1，n=－7 B．m=3，n=1‎ C．m=，n= D．m=，n=－2‎ ‎ 24 / 24‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ 由题意得：，‎ 解得：，‎ 故选B.‎ 变式5-2（2018内江市期末）如果（x+y-5）2与|3x-2y+10|互为相反数，则x，y的值为（　　）‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ ‎∵（x+y-5）2与|3y-2x+10|互为相反数，‎ ‎∴（x+y-5）2+|3y-2x+10|=0，‎ 解得．‎ 故选C．‎ 变式5-3（2019·吉水县期中）如果3x2n－1ym与－5xmy3是同类项，那么m和n的值分别是(　　)‎ A．3和－2 B．－3和2‎ C．3和2 D．－3和－2‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ 由题意可得：‎ ‎，‎ 解得：，‎ 故选C．‎ ‎ 24 / 24‎ 题型六 已知二元一次方程组的解满足的条件求参数 典例6（2018·济南市期末）已知是二元一次方程组的解，则m+3n的值是（ ）‎ A．4 B．6 C．7 D．8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 详解：根据题意，将代入，得：，‎ ‎①+②，得：m+3n=8，‎ 故选D．‎ 变式6-1（2018·淄博市期中）如果方程组的解中的x与y相等，则k的值为（ ）‎ A．1 B．1或－1 C．5 D．－5‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 由题意可得方程组，‎ 解得：，‎ 把代入方程5x-4y=k，得k=5-4=1，‎ 故选A.‎ 变式6-2（2019·安定县期中）已知方程组，x与y的值之和等于2，则k的值为(　　)‎ A．4 B． C．3 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 详解：，‎ ‎ 24 / 24‎ ‎①×2-②×3得：y=2（k+2）-3k=-k+4， 把y=-k+4代入②得：x=2k-6， 又x与y的值之和等于2，所以x+y=-k+4+2k-6=2， 解得：k=4 故选A 变式6-3（2019·巴彦淖尔市期末）若二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解，则为（ ）‎ A．3 B．5 C．7 D．9‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ 解：解方程组，得，‎ 把x=2a，y=a代入方程，得，‎ 解得：a=7.‎ 故选C.‎ 题型七 同解方程组 典例7（2020·金牛区期末）已知方程组中的，互为相反数，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ 由题意得：x+y=0，即y=-x， 代入方程组得：‎ ‎， 解得：m=3x=4， 故选：D．‎ ‎ 24 / 24‎ 变式7-1（2019·临沂市期末）如果方程组与有相同的解，则a，b的值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 由已知得方程组，‎ 解得，‎ 代入，‎ 得到，‎ 解得．‎ 故选A.‎ 变式7-2（2019·宿州市期末）若方程组与方程组有相同的解,则a,b的值分别为 (　　)‎ A．1,2 B．1,0 C．,- D．-,‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 解：解得 将代入得，‎ ‎ 24 / 24‎ 故选A.‎ 题型八 三元一次方程组解法 典例8（2017·西安市期末）如果，其中xyz≠0，那么x：y：z=（   ）‎ A．1：2：3 B．2：3：4 C．2：3：1 D．3：2：1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 已知，‎ ‎①×2﹣②得，7y﹣21z=0，‎ ‎∴y=3z，‎ 代入①得，x=8z﹣6z=2z，‎ ‎∴x：y：z=2z：3z：z=2：3：1．‎ 故选C．‎ 变式8-1（2018·深圳市期中）已知方程组，那么代数式8x–y–z的值是( )‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ 解：∵3x−y−2z＝1，‎ ‎∴−y−z＝1＋z−3x，‎ ‎8x−y−z＝1＋z−3x＋8x＝5x＋z＋1，‎ ‎，‎ ‎①＋②得：‎ ‎5x＋z＝6，‎ 即8x−y−z＝6＋1＝7，‎ ‎ 24 / 24‎ 故选B．‎ 变式8-2（2018·安庆市期末）已知实数x，y，z满足，则代数式3(x﹣z)+1的值是( )‎ A．﹣2 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ 方程组，‎ ‎②﹣①得：3x﹣3z＝﹣5，‎ 整理得：3(x﹣z)＝﹣5，‎ 把3(x﹣z)＝﹣5代入代数式3(x﹣z)+1得：‎ ‎﹣5+1＝﹣4，‎ 即代数式3(x﹣z)+1的值是﹣4，‎ 故选：B．‎ 变式8-3（2020·南昌市期中）已知三元一次方程组，则（　　）‎ A．20 B．30 C．35 D．70‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎①+②+③得：2（x+y+z）=70，‎ 则x+y+z=35．‎ 故选C．‎ 变式8-4（2019·衡阳市期中）已知则等于( )‎ A．38 B．19 C．14 D．22‎ ‎【答案】B ‎ 24 / 24‎ ‎【详解】‎ 解：将三个方程相加可得：2a＋2b＋2c＝38，‎ 所以a＋b＋c＝19．‎ 故选B.‎ 巩固训练 一、 选择题（共10小题）‎ ‎1．（2019·成都市期末）二元一次方程组的解是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 详解：，‎ ‎①+②得：2x=0，‎ 解得：x=0，‎ 把x=0代入①得：y=2，‎ 则方程组的解为，‎ 故选：B．‎ ‎2．（2019·宜昌市期末）方程组的解是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 详解：，‎ ‎ 24 / 24‎ ‎①-②得 x=6，‎ 把x=6代入①，得 y=4，‎ 原方程组的解为．‎ 故选A.‎ ‎3．（2020·枣庄市期末）方程组的解是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ 解：，‎ ‎＋②得：9x=18，即x=2，‎ 把x=2代入②得：y=，‎ 则方程组的解为：‎ 故选：D．‎ ‎4．（2019·延安市期末）若二元一次方程组的解为则的值为（ ）‎ A．1 B．3 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ 解：‎ ‎ 24 / 24‎ ‎，‎ 得，‎ 所以，‎ 因为 所以.‎ 故选D.‎ ‎5．（2018·长沙市期末）由方程组可得出x与y的关系式是(　　)‎ A．x+y＝9 B．x+y＝3 C．x+y＝﹣3 D．x+y＝﹣9‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由①得：m=6-x ‎∴6-x=y-3‎ ‎∴x+y=9．‎ 故选A．‎ ‎6．（2018·鄂州市期末）甲、乙两人同求方程ax-by=7的整数解，甲正确地求出一个解为，乙把ax-by=7看成ax-by=1，求得一个解为，则a，b的值分别为( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 把甲的解代入ax-by=7可得a+b=7，把乙的解代入可得a-2b=1，由它们构成方程组可得 ‎ 24 / 24‎ ‎，解方程组得，故选B．‎ ‎7．（2020·通辽市期末）已知x+y=1，x-y=3，则xy的值为（ ）‎ A．2 B．1 C．－1 D．－2‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ 解方程组得.‎ ‎，‎ 所以xy=-2，‎ 故选D.‎ ‎8．（2019·石家庄市期中）已知是方程组的解，则的值是（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 将代入，‎ 可得：，‎ 两式相加：，‎ 故选A．‎ ‎9．（2019·南阳市期末）已知方程组的解满足x＋y＝3，则k的值为(　　)．‎ A．10 B．8 C．2 D．－8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎ 24 / 24‎ 由题意可得，‎ ‎2×①-②得y=k-，‎ ‎②-③得x=-2，‎ 代入③得y=5，‎ 则k-=5，‎ 解得k=8．‎ 故选B.‎ ‎10．（2019·黄石市期末）若关于的方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（ ）‎ A．1 B．3 C． D．2‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 由题知,方程组，x−y=9m乘以2再与x+2y=3m相加得，‎ ‎3x=21m，‎ ‎∴x=7m，‎ 把x=7m代入方程组求出y=−2m，‎ ‎∵x,y的方程组的解也是方程3x+2y=17的解，‎ ‎∴把x=7m，y=−2m代入方程3x+2y=17得，‎ ‎3×7m+2×(−2m)=17，‎ 解得m=1；‎ 故选A.‎ 一、 填空题（共5小题）‎ ‎ 24 / 24‎ ‎11．（2020·合肥市期末）已知关于x，y的二元一次方程组 的解互为相反数，则k的值是_________．‎ ‎【答案】－1‎ ‎【详解】‎ ‎∵关于x，y的二元一次方程组 的解互为相反数，‎ ‎∴x=-y③，‎ 把③代入②得：-y+2y=-1，‎ 解得y=-1，所以x=1，‎ 把x=1，y=-1代入①得2-3=k，‎ 即k=-1.‎ 故答案为-1‎ ‎12．（2020·南山区期末）已知、满足方程组，则的值为___．‎ ‎【答案】1‎ ‎【详解】‎ 方法一：解方程组，‎ 解得：，‎ ‎∴x-y=1；‎ 方法二：两个方程相减，得.‎ x-y=1，‎ 故答案为1.‎ ‎13．（2019·定襄县期末）若方程组，则的值是_____．‎ ‎【答案】24．‎ ‎【详解】‎ ‎ 24 / 24‎ 解：‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ 故答案为：24．‎ ‎14．（2020·五大连池市期中）若（2x﹣3y+5）2+|x+y﹣2|=0，则x=_____，y=_____．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 详解：∵(2x−3y+5)2+|x+y−2|=0，‎ ‎∴ ‎ 解得 ‎ 故答案为 ‎15．（2020·达州市期末）一个无盖的长方形包装盒展开后如图所示（单位：cm），则其容积为__________cm3.‎ ‎【答案】800 ‎ ‎【解析】‎ 设长方体底面长宽分别为x、y，高为z，‎ 由题意得：，解得：，‎ 所以长方体的体积为：16×10×5=800.‎ 故答案为：800.‎ ‎ 24 / 24‎ 一、 解答题（共2小题）‎ ‎16．（2018·贵港市期中）善于思考的小军在解方程组时,采用了一种“整体代换”的解法:‎ 将方程②变形:即 把方程①代入③,得 把代入①,得∴原方程组的解为 请你解决以下问题:‎ 模仿小军的“整体代换法”解方程组 ‎(2)已知满足方程组求与的值.‎ ‎【答案】（1）方程组的解为；（2）19. ‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由②得：3（3x-2y）+2y=19③， 把①代入③得：15+2y=19， 解得：y=2， 把y=2代入①得：x=3，‎ 则方程组的解为；‎ ‎（2）由①得：3（x2+4y2）-2xy=47③， 由②得：2（x2+4y2）+xy=36④， ③+④×2得：7（x2+4y2）=119， 解得：x2+4y2=17．‎ ‎③×2得：6（x2+4y2）-4xy=94⑤，‎ ‎④×3得：6（x2+4y2）+3xy=108⑥，‎ ‎⑥-⑤得：7 xy=14‎ xy=2.‎ ‎ 24 / 24‎ ‎17．（2019·东莞市期末）解方程组：‎ ‎【答案】‎ ‎【详解】‎ 解：‎ ‎+②得：④‎ ‎④-③得：‎ 将代入③得：‎ 将，代入②得：‎ ‎ 24 / 24‎