2020-2021学年广西崇左市大新县、扶绥县九年级（上）期中数学试卷 解析版

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2020-2021 学年广西崇左市大新县、扶绥县九年级（上）期中数 学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，在每小题给出的四个选项中只有 一项是符合要求的，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。） 1．下列多边形一定相似的是（ ） A．两个矩形 B．两个五边形 C．两个正方形 D．两个等腰三角形 2．若 x 是 a，b 的比例中项，则下列式子错误的是（ ） A．x2＝ab B． C． D．ab＝ 3．已知 ，则下列等式中不成立的是（ ） A． B． C． D． 4．对抛物线：y＝x2+2x﹣3 而言，下列结论正确的是（ ） A．与 x 轴有两个交点 B．开口向下 C．顶点坐标是（1，﹣2） D．与 y 轴的交点是（0，3） 5．下列函数： ① y＝﹣2x； ② y＝ ； ③ y＝x﹣1； ④ y＝5x2+1，是反比例函数的个数有 （ ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 6．根据有关测定，当外界气温处于人体正常体温的黄金比值时，人体感到最舒适（人体正 常体温约为 37℃），这个气温大约为（ ） A．23℃ B．28℃ C．30℃ D．37℃ 7．在下列抛物线中，开口最小的是（ ） A．y＝﹣ x2 B．y＝﹣ x2 C．y＝x2 D．y＝ x2 8．若方程 ax2+bx+c＝0（a＞0）的两个根是﹣3 和 1，则对于二次函数 y＝ax2+bx+c，当 y ＞0 时，x 的取值范围是（ ） A．﹣3＜x＜1 B．x＜﹣3 或 x＞1 C．x＞﹣3 D．x＜1 9．已知点 A（x1，4），B（x2，8）都在反比例函数 y＝﹣ 的图象上，则下列关系式一定正 确的是（ ） A．x1＜x2＜0 B．x1＜0＜x2 C．x2＜x1＜0 D．x2＜0＜x1 10．已知抛物线 y＝x2+2x﹣k﹣2 与 x 轴没有交点，则函数 y＝ 的图象大致是（ ） A． B． C． D． 11．把抛物线 y＝﹣2x2+4 的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，所得的抛物线 的函数关系式是（ ） A．y＝﹣2（x﹣2）2+7 B．y＝﹣2（x﹣2）2+1 C．y＝﹣2（x+2）2+7 D．y＝﹣2（x+2）2+1 12．抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中： ① b2＜4ac； ② abc＜0： ③ 4a+b＝0； ④ a+b+c＞0 ⑤ 当 y＝2 时，x 只能等于 0．其中结论正确的个数是（ ） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分，请将答案填在指定的空格内） 13．已知函数 y＝（2﹣k）x2+kx+1 是二次函数，则 k 满足 ． 14．已知：x：y＝2：5，那么（x+y）：y＝ ． 15．反比例函数 ，当 x＞0 时，y 随 x 增大而减小，k 的取值范围 ． 16．已知抛物线 y＝x2﹣x﹣1 与 x 轴的一个交点为（a，0），则 a2﹣a+2020＝ ． 17．一名男生参加抛实心球测试，已知球的高度 y（m）与水平距离 x（m）之间的关系是 ，则这名男生抛实心球的成绩是 m． 18．过反比例函数 y＝ （k≠0）图象上一点 A，分别作 x 轴和 y 轴的垂线段，垂足分别为 B、C，如果△ABC 的面积是 6，则 k 的值为 ． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（6 分）已知 a：b：c＝3：2：1，且 2a﹣3b+c＝10，求 a+2b﹣3c 的值． 20．（6 分）如图，在△ABC 中，DE∥BC，AB＝15，AE：EC＝3：2，求 DB 的长． 21．（6 分）已知抛物线的对称轴是直线 x＝1，函数的最小值是﹣1，且图象经过点（3，1）， 求此抛物线的函数关系式． 22．（8 分）已知 y 与 x+1 成反比例，且当 x＝1 时，y＝2，求当 x＝0 时，y 的值． 23．（8 分）已知：在△ABC 中，CD 为∠C 的平分线． 求证： ． 24．（10 分）已知反比例函数 y1＝ 与一次函数 y2＝k2x 的图象如图所示． （1）求点 B 的坐标； （2）请直接写出 y1＞y2 时，x 的取值范围． 25．（10 分）某水果商销售每箱进价为 40 元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于 55 元．市 场调查显示，若每箱以 50 元的价格销售，平均每天可销售 90 箱，价格每提高 1 元，则 平均每天少销售 3 箱． （1）求平均每天销售利润 w（元）与销售价 x（元箱）之间的函数关系式，并直接写出 自变量 x 的取值范围． （2）当每箱的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大是多少元？ 26．（12 分）如图，抛物线 y＝x2+bx+c 经过坐标原点，并与 x 轴交 F 点 A（4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 为抛物线上任意一点，是否存在点 P 使得△AOP 的面积为 4？若存在，求出 点 P 的坐标；若不存在，说明理由． 2020-2021 学年广西崇左市大新县、扶绥县九年级（上）期中数 学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，在每小题给出的四个选项中只有 一项是符合要求的，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。） 1．下列多边形一定相似的是（ ） A．两个矩形 B．两个五边形 C．两个正方形 D．两个等腰三角形 【分析】利用相似多边形的对应边的比相等，对应角相等分析． 【解答】解：要判断两个多边形是否相似，需要看对应角是否相等，对应边的比是否相 等． 矩形、五边形、等腰三角形都属于形状不唯一确定的图形，即对应角、对应边的比不一 定相等，故不一定相似，A、B、D 错误； 而两个正方形，对应角都是 90°，对应边的比也都相当，故一定相似，C 正确． 故选：C． 2．若 x 是 a，b 的比例中项，则下列式子错误的是（ ） A．x2＝ab B． C． D．ab＝ 【分析】根据比例中项的定义，内项之积等于外项之积即可判断． 【解答】解：∵线段 x 是线段 b，a 的比例中项， ∴x2＝ba，故 A 正确， ∴ ， ，故 B、C 正确； 故选：D． 3．已知 ，则下列等式中不成立的是（ ） A． B． C． D． 【分析】直接利用比例的性质以及等式的性质将各选项化简进而得出答案． 【解答】解：A、∵ ， ∴ ＝ ，成立； B、∵ ＝ ， ∴ad﹣2bd＝cb﹣2bd， ∴ab＝bc， ∴等式成立； C、∵ ＝ ， cb﹣ca＝ad﹣ac， ∴bc＝ad， ∴等式成立； D、∵ ＝ ， ∴ad+bd＝bc+c2， ∴等式不成立； 故选：D． 4．对抛物线：y＝x2+2x﹣3 而言，下列结论正确的是（ ） A．与 x 轴有两个交点 B．开口向下 C．顶点坐标是（1，﹣2） D．与 y 轴的交点是（0，3） 【分析】根据△的符号，可判断图象与 x 轴的交点情况，根据二次项系数可判断开口方 向，令函数式中 x＝0，可求图象与 y 轴的交点坐标，利用配方法可求图象的顶点坐标． 【解答】解：A、∵△＝22﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，抛物线与 x 轴有两个交点，本选项 正确，符合题意； B、∵二次项系数 1＞0，抛物线开口向上，本选项错误，不符合题意； C、∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣4），本选项错误，不 符合题意； D．、当 x＝0 时，y＝﹣3，抛物线与 y 轴交点坐标为（0，﹣3），本选项错误，不符合题 意； 故选：A． 5．下列函数： ① y＝﹣2x； ② y＝ ； ③ y＝x﹣1； ④ y＝5x2+1，是反比例函数的个数有 （ ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【分析】利用反比例函数定义可得答案． 【解答】解： ① y＝﹣2x 是正比例函数； ② y＝ 是反比例函数； ③ y＝x﹣1 是反比例函数； ④ y＝5x2+1 是二次函数， 反比例函数共 2 个， 故选：C． 6．根据有关测定，当外界气温处于人体正常体温的黄金比值时，人体感到最舒适（人体正 常体温约为 37℃），这个气温大约为（ ） A．23℃ B．28℃ C．30℃ D．37℃ 【分析】根据黄金比的值知，身体感到特别舒适的温度应为 37 度的 0.618 倍． 【解答】解：根据黄金比的值得：37×0.618≈23℃． 故选：A． 7．在下列抛物线中，开口最小的是（ ） A．y＝﹣ x2 B．y＝﹣ x2 C．y＝x2 D．y＝ x2 【分析】根据|a|的绝对值越大，开口越小，绝对值越小，开口越大，可以解答本题． 【解答】解：∵|﹣ |＜|﹣ |＜|1|＜| |， ∴函数 y＝ x2 的图象的开口最小， 故选：D． 8．若方程 ax2+bx+c＝0（a＞0）的两个根是﹣3 和 1，则对于二次函数 y＝ax2+bx+c，当 y ＞0 时，x 的取值范围是（ ） A．﹣3＜x＜1 B．x＜﹣3 或 x＞1 C．x＞﹣3 D．x＜1 【分析】a＞0，故抛物线开口向上，由题意知，抛物线与 x 轴的两个交点坐标为（﹣3， 0）、（1，0），进而求解． 【解答】解：∵a＞0，故抛物线开口向上， 由题意知，抛物线与 x 轴的两个交点坐标为（﹣3，0）、（1，0）， ∴当 y＞0 时，x 的取值范围是 x＜﹣3 或 x＞1， 故选：B． 9．已知点 A（x1，4），B（x2，8）都在反比例函数 y＝﹣ 的图象上，则下列关系式一定正 确的是（ ） A．x1＜x2＜0 B．x1＜0＜x2 C．x2＜x1＜0 D．x2＜0＜x1 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征求出 x1 与 x2，然后对各选项进行判断． 【解答】解：∵点 A（x1，4），B（x2，8）都在反比例函数 y＝﹣ 的图象上， ∴4＝﹣ ，8＝﹣ ， ∴x1＝﹣ ，x2＝﹣ ， ∴x1＜x2＜0． 故选：A． 10．已知抛物线 y＝x2+2x﹣k﹣2 与 x 轴没有交点，则函数 y＝ 的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据抛物线 y＝x2+2x﹣k﹣2 与 x 轴没有交点，得方程 x2+2x﹣k﹣2＝0 没有实数 根，可以得到△＜0，从而可以得到 k 的取值范围，然后即可得到函数 y＝ 的图象在哪 个象限． 【解答】解：∵抛物线 y＝x2+2x﹣k﹣2 与 x 轴没有交点， ∴方程 x2+2x﹣k﹣2＝0 没有实数根， ∴△＝22﹣4×1×（﹣k﹣2）＝4k+12＜0， 解得 k＜﹣3， ∴函数 y＝ 的图象在二、四象限， 故选：B． 11．把抛物线 y＝﹣2x2+4 的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，所得的抛物线 的函数关系式是（ ） A．y＝﹣2（x﹣2）2+7 B．y＝﹣2（x﹣2）2+1 C．y＝﹣2（x+2）2+7 D．y＝﹣2（x+2）2+1 【分析】直接根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可． 【解答】解：由“左加右减”的原则可知，二次函数 y＝﹣2x2+4 的图象向左平移 2 个单 位得到 y＝﹣2（x+2）2 +4， 由“上加下减”的原则可知，将二次函数 y＝﹣2（x+2）2+4 的图象向上平移 3 个单位可 得到函数 y＝﹣2（x+2）2+4+3，即 y＝﹣2（x+2）2+7， 故选：C． 12．抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中： ① b2＜4ac； ② abc＜0： ③ 4a+b＝0； ④ a+b+c＞0 ⑤ 当 y＝2 时，x 只能等于 0．其中结论正确的个数是（ ） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的 关系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断即 可． 【解答】解： ① ∵抛物线与 x 轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，即 b2＞4ac，故错误； ② ∵抛物线的开口向下， ∴a＜0， ∵与 y 轴的交点为（0，2）， ∴c＝2， ∵对称轴为 x＝﹣ ＞0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故正确； ③ ∵与 x 轴的交点为（﹣1，0），（5，0）， ∴对称轴为直线 x＝﹣ ＝ ， ∴﹣b＝4a，即 4a+b＝0，故正确； ④ 当 x＝1 时，y＝a+b+c＞0．故正确； ⑤ ∵（0，2）的对称点为（4，2）， ∴当 y＝2 时，x＝0 或 4，故错误． 故选：B． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分，请将答案填在指定的空格内） 13．已知函数 y＝（2﹣k）x2+kx+1 是二次函数，则 k 满足 k≠2 ． 【分析】利用二次函数定义可得 2﹣k≠0，再解不等式即可． 【解答】解：由题意得：2﹣k≠0， 解得：k≠2， 故答案为：k≠2． 14．已知：x：y＝2：5，那么（x+y）：y＝ 7：5 ． 【分析】直接根据已知用同一未知数表示出各数，进而得出答案． 【解答】解：∵x：y＝2：5， ∴设 x＝2a，则 y＝5a， 那么（x+y）：y＝7：5． 故答案为：7：5． 15．反比例函数 ，当 x＞0 时，y 随 x 增大而减小，k 的取值范围 k＞0 ． 【分析】由 x＞0，y 随 x 增大而减小可得反比例函数的比例系数大于 0． 【解答】解：∵当 x＞0 时，y 随 x 增大而减小， ∴k＞0． 故答案为：k＞0． 16．已知抛物线 y＝x2﹣x﹣1 与 x 轴的一个交点为（a，0），则 a2﹣a+2020＝ 2021 ． 【分析】利用待定系数法以及整体代入的思想解决问题即可； 【解答】解：∵抛物线 y＝x2﹣x﹣1 与 x 轴的一个交点为（a，0）， ∴a2﹣a﹣1＝0， ∴a2﹣a＝1， ∴a2﹣a+2020＝2021， 故答案为：2021． 17．一名男生参加抛实心球测试，已知球的高度 y（m）与水平距离 x（m）之间的关系是 ，则这名男生抛实心球的成绩是 10 m． 【分析】首先使 y＝0，进而得出求出该男生掷实心球的距离，于是得到这名男生抛实心 球的成绩． 【解答】解：∵一名男生参加抛实心球测试，已知球的高度 y（m）与水平距离 x（m） 之间的关系是 ， ∴当 y＝0，则 0＝﹣ x2+ x+ ， 解得：x1＝10，x2＝﹣2， ∴这名男生抛实心球的成绩为 10m， 故答案为：10． 18．过反比例函数 y＝ （k≠0）图象上一点 A，分别作 x 轴和 y 轴的垂线段，垂足分别为 B、C，如果△ABC 的面积是 6，则 k 的值为 ±12 ． 【分析】根据反比例函数 k 的几何意义可求出相应 k 的值． 【解答】解：由题意得，S△ABC＝ |k|＝6， ∴|k|＝12， ∴k＝12 或 k＝﹣12， 故答案为：±12． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（6 分）已知 a：b：c＝3：2：1，且 2a﹣3b+c＝10，求 a+2b﹣3c 的值． 【分析】设 a＝3k，b＝2k，c＝k，根据 2a﹣3b+c＝10，求出 k 的值，从而得出 a、b、c 的值，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案． 【解答】解：设 a＝3k，b＝2k，c＝k， ∵2a﹣3b+c＝10， ∴6k﹣6k+k＝10， ∴k＝10， ∴a＝30，b＝20，c＝10， ∴a+2b﹣3c＝30+40﹣30＝40． 20．（6 分）如图，在△ABC 中，DE∥BC，AB＝15，AE：EC＝3：2，求 DB 的长． 【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解，即可解答． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴ ， 又∵AE：EC＝3：2， ∴ ， ∴ ， 又∵AB＝15， ∴ ， 解得：BD＝6． 21．（6 分）已知抛物线的对称轴是直线 x＝1，函数的最小值是﹣1，且图象经过点（3，1）， 求此抛物线的函数关系式． 【分析】根据题意抛物线的顶点为（1，﹣1），设出抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2 ﹣1，再把（3，1）代入，求出 a 的值，即可得出二次函数的解析式． 【解答】解：设此函数解析式为 y＝a（x+h）2+k， 由题意知函数图象的顶点坐标为（1，﹣1）， ∴y＝a（x﹣1）2﹣1， 又∵图象经过点（3，1）， ∴1＝a（3﹣1）2﹣1， ∴ ， ∴此函数解析式为： ． 22．（8 分）已知 y 与 x+1 成反比例，且当 x＝1 时，y＝2，求当 x＝0 时，y 的值． 【分析】利用 y 与 x+1 成反比例设 y＝ （k≠0），再把 x＝1，y＝2 代入求出 k 得到 y ＝ ，然后计算自变量为 0 所对应的函数值． 【解答】解：根据题意得，设 y＝ （k≠0）， ∵x＝1，y＝2， ∴2＝ ， ∴k＝4， ∴y＝ ， 当 x＝0 时，y＝ ＝4． 23．（8 分）已知：在△ABC 中，CD 为∠C 的平分线． 求证： ． 【分析】过点 B 作 BE∥CD，交 CD 的延长线于点 E，根据平行线的性质得到∠ACD＝∠ E，根据角平分线的定义得到∠ACD＝∠DCB，由相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】证明：过点 B 作 BE∥CD，交 CD 的延长线于点 E， 则有∠ACD＝∠E， ∵CD 为∠C 的平分线 ∴∠ACD＝∠DCB， ∴∠BCD＝∠E， ∴CD＝BE， ∵AC∥BE， ∴△ACD∽△BED， ∴ ＝ ， ∴ ． 24．（10 分）已知反比例函数 y1＝ 与一次函数 y2＝k2x 的图象如图所示． （1）求点 B 的坐标； （2）请直接写出 y1＞y2 时，x 的取值范围． 【分析】（1）根据反比例函数与正比例函数的性质即可判断 A，B 两点关于原点对称，由 A 的坐标，即可得到点 B 的坐标； （2）根据图象即可求得． 【解答】解：（1）∵反比例函数 y1＝ 与一次函数 y2＝k2x 的图象交于 A，B 两点，A（1， 2）， ∴A，B 两点关于原点对称， ∴点 B 的坐标为（﹣1，﹣2）； （2）由图象可知，y1＞y2 时，x 的取值范围 x＜﹣1 或 0＜x＜1． 25．（10 分）某水果商销售每箱进价为 40 元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于 55 元．市 场调查显示，若每箱以 50 元的价格销售，平均每天可销售 90 箱，价格每提高 1 元，则 平均每天少销售 3 箱． （1）求平均每天销售利润 w（元）与销售价 x（元箱）之间的函数关系式，并直接写出 自变量 x 的取值范围． （2）当每箱的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大是多少元？ 【分析】（1）根据平均每天的销售利润 w（元）＝每箱的销售利润×每天的销售量即可 得到结论； （2）根据题中所给的自变量的取值得到二次的最值问题即可． 【解答】解（1）w＝（x﹣40）[90﹣3（x﹣50）]＝（x﹣40）（240﹣3x） ＝﹣3x2+360x﹣9600，（50≤x≤55）； （2）由（1）得 w＝3x2+360x﹣9600 （50≤x≤55）， 则 w＝3（x﹣60）2+1200， ∵﹣3＜0， ∴抛物线开口向下， ∵当 x＜60 时，w 随着 x 的增大而增大， ∴当 x＝55 时，w 有最大值．w 最大值＝﹣3（55﹣60）2+1200＝1125（元）， 答：当每箱的售价为 55 元时，可以获得最大利润，最大是 1125 元． 26．（12 分）如图，抛物线 y＝x2+bx+c 经过坐标原点，并与 x 轴交 F 点 A（4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 为抛物线上任意一点，是否存在点 P 使得△AOP 的面积为 4？若存在，求出 点 P 的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）利用交点式写出抛物线解析式； （2）设 P（x，x2﹣4x），利用三角形面积公式 ×4×|x2﹣4x|＝4，然后分别解方程 x2﹣ 4x＝2 和 x2﹣4x＝﹣2 得 P 点坐标． 【解答】解：（1）抛物线解析式为 y＝x（x﹣4）， 即 y＝x2﹣4x； （2）存在． 设 P（x，x2﹣4x）， ∵△AOP 的面积为 4， ∴ ×4×|x2﹣4x|＝4， 解方程 x2﹣4x＝2 得 x1＝2+ ，x2＝2﹣ ，此时 P 点坐标为（2+ ，2）或（2﹣ ， 2）； 解方程 x2﹣4x＝﹣2 得 x1＝2+ ，x2＝2﹣ ，此时 P 点坐标为（2+ ，﹣2）或（2 ﹣ ，﹣2）． 综上所述，P 点坐标为（2+ ，2）或（2﹣ ，2）或（2+ ，﹣2）或（2﹣ ，﹣2）．