北师大版七年级上册-第14讲-一元一次方程及其解法（培优）-教案

北师大版七年级上册-第14讲-一元一次方程及其解法（培优）-教案

1 学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级：七年级 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 授课主题 第 14 讲 --- 一元一次方程及其解法 授课类型 T 同步课堂 P 实战演练 S 归纳总结 教学目标 1 了解一元一次方程的概念，理解方程的解的概念； 2 掌握等式的基本性质； 3 熟练掌握解一元一次方程的一般步骤； 授课日期及时段 T（Textbook-Based）——同步课堂 体系搭建 一、知识框架 二、知识概念 （一）一元一次方程及方程的解的概念 1、方程的概念：含有未知数的等式叫做方程。 2、一元一次方程的概念：在一个方程中，只含有一个未知数，而且方程中的代数式都是整式，未知数 的指数都是 1，这样的方程叫做一元一次方程。 3、方程的解：使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。判断一个数是不是方程的解， 只需将这个数代入方程，若方程的左边等于右边，则这个数是方程的解，否则不是。 2 （二）等式的性质 等式基本性质 1：等式两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式 等式的基本性质 2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为 0 的数），所得结果仍是等式。 （三）解一元一次方程 1、移项：方程中的任何一项，都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫移项。 2、解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为 1。但在解题时上 面的步骤不一定全部用到，要结合方程特点灵活掌握选用求解步骤。 典例分析 考点一：一元一次方程 例 1、下列叙述中，正确的是（ ） A．方程是含有未知数的式子 B．方程是等式 C．只有含有字母 x，y 的等式才叫方程 D．带等号和字母的式子叫方程 【解析】根据方程的定义方程是含有未知数的等式，结合选项选出正确答案即可。故选 B 变形名称 具体做法 变形依据 注意的问题 去分母 在方程两边同时乘各分母的最小 公倍数 等式基本性质 2 不要漏乘不含分母的项， 分数线起到括号的作用 去括号 先去小括号，再去中括号，最后 去大括号 去括号法则、分配律 括号前是负号，去括号后， 括号内各项均变号 移项 把含未知数的项移到方程的一 边，其他项都移到方程的另一边 等式基本性质 1 移项要变号 合并同类项 把方程化为 ( 0)ax b a  的形式 合并同类项法则 系数相加，字母及其指数 均不变 未知数的系 数化为 1 在方程两边同除以未知数的系数 a ，得到方程的解 bx a  等式的基本性质 2 分子、分母不要颠倒 3 例 2、若（m+3）x|m|﹣2﹣8=2 是关于 x 的一元一次方程，则 m 的值是（ ） A．3 B．﹣3 C．±3 D．不能确定 【解析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是 1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式 是 ax+b=0（a，b 是常数且 a≠0）． 解：由（m+3）x|m|﹣2﹣8=2 是关于 x 的一元一次方程，得 |m|﹣2=1，且 m+3≠0．解得 m=3，故选：A． 例 3、下列说法： ① 若 a+b=0，且 ab≠0，则 x=1 是方程 ax+b=0 的解； ② 若 a﹣b=0，且 ab≠0，则 x=﹣1 是方程 ax+b=0 的解； ③ 若 ax+b=0，则 x=﹣ ； ④ 若（a﹣3）x|a﹣2|+b=0 是一元一次方程，则 a=1． 其中正确的结论是（ ） A．只有① ② B．只有② ④ C．只有① ③ ④ D．只有① ② ④ 【解析】① ab≠0，所以一次项系数不是 0，则 x=1 是方程 ax+b=0 的解； ② 若 a﹣b=0，且 ab≠0，则 x=﹣1 是方程 ax+b=0 的解； ③ 若 ax+b=0，则 x=﹣ 没有说明 a≠0 的条件 ④ 若（a﹣3）x|a﹣2|+b=0 是一元一次方程，则 a=1 也是正确的.其中正确的结论是只有① ② ④ 选 D 例 4、有下列结论： ① 若 a+b+c=0，则 abc≠0； ② 若 a（x﹣1）=b（x﹣1）有唯一的解，则 a≠b； ③ 若 b=2a，则关于 x 的方程 ax+b=0（a≠0）的解为 x=﹣ ； ④ 若 a+b+c=1，且 a≠0，则 x=1 一定是方程 ax+b+c=1 的解； 其中结论正确的个数有（ ） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 【解析】各项整理得到结果，即可作出判断． ① 错误，当 a=0，b=1，c=﹣1 时，a+b+c=0+1﹣1=0，但是 abc=0； ② 正确，方程整理得：（a﹣b）x=a﹣b，由方程有唯一解，得到 a﹣b≠0，即 a≠b，此时解为 x=1； 4 ③ 错误，由 a≠0，b=2a，方程解得：x=﹣ =﹣2； ④ 正确，把 x=1，a+b+c=1 代入方程左边得：a+b+c=1，右边=1，故若 a+b+c=1，且 a≠0，则 x=1 一定是 方 程 ax+b+c=1 的解，故选 C 例 5、已知（k2﹣9）y2+（k﹣3）y+2=0 是关于 y 的一元一次方程 （1）求 k 与 y 的值； （2）求代数式（3y+7+2k）×（9009y2﹣2k+1）的值． 【解析】（1）由题意，得 k2﹣9=0 且 k﹣3≠0，解得 k=﹣3，y= ； （2）（3y+7+2k）×（9009y2﹣2k+1）=（1+7﹣6）[（1001﹣2×（﹣3）+1]=2016 考点二： 等式的性质 例 1、己知 a=2b﹣1，下列式子：① a+2=2b+1；② =b；③ 3a=6b﹣1；④ a﹣2b﹣1=0，其中一定成 立的有（ ） A．① ② B．① ② ③ C．① ② ④ D．① ② ③ ④ 【解析】① ∵a=2b﹣1，∴a+2=2b﹣1+2，即 a+2=2b+1，故此小题正确； ②∵a=2b﹣1，∴a+1=2b，∴ =b，故此小题正确； ③∵a=2b﹣1，∴3a=6b﹣3，故此小题错误； ④∵a=2b﹣1，∴a﹣2b+1=0，故此小题错误．所以① ② 成立．故选 A 例 2、用“●” “■” “▲”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，若要使第三架天平也平 衡，那么“？”处应放“■” 5 个． 所有 【解析】设“●” “■” “▲”分别为 x、y、z，根据前两个天平列出等式，然后用 y 表示出 x、z，相加即可． 解：设“●” “■” “▲”分别为 x、y、z， 由图可知，2x=y+z ①，x+y=z ②， ② 两边都加上 y 得，x+2y=y+z ③， 由① ③ 得，2x=x+2y， ∴x=2y，代入②得，z=3y，∵x+z=2y+3y=5y，∴“？”处应放“■”5 个．故答案为：5 5 例 3、有八个球编号是①至⑧，其中有六个球一样重，另外两个球都轻 1 克，为了找出这两个轻球，用天平 称了三次，结果如下：第一次①+②比③+④重，第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻，第三次①+③+⑤和②+④+⑧一样 重．那么，两个轻球的编号是 ． 【解析】∵① +② 比③ +④ 重， ∴③ 与④ 中至少有一个轻球， ∵⑤ +⑥ 比⑦ +⑧ 轻， ∴⑤与⑥ 至少有一个轻球， ∵① +③ +⑤ 和② +④ +⑧一样重可知两个轻球编号是④⑤ 故答案：④ ⑤ 考点三：解一元一次方程 例 1、解方程 （1） = （2） （x﹣6）= ﹣ （x+2） （3） ﹣ =1.6 （4） ﹣ = +1 【解析】（1）x=3 （2）x= （3）x= （4）x=﹣9.2 例 2、解含绝对值的方程 （1）|x+1|+|x﹣3|=4 （2）|x+3|﹣|x﹣1|=x+1 （3）|x﹣1|+|x﹣5|=4 【解析】 （1）x=﹣1 或 x=3 （2）x=3 或 x=﹣5 或 x=﹣1 （3）1≤x≤5 6 例 3、已知方程 与 +1 有相同的解，求 m 的值 【解析】解：由 得：（2m﹣5x）=4（m+5x） 整理得：﹣25x=2m∴x=﹣ 由 +1 解得：x= 根据题意得： ，整理得：﹣83m=550 ∴m=﹣ ，故 m 的值为﹣ 例 4、规定一种新运算： ．如 ．已知 ，求 x 的值． 【解析】解：根据题意得：3（2x﹣1）﹣2（1﹣x）=0，得：x= P(Practice-Oriented)——实战演练 实战演练  课堂狙击 1、下列各式中，不属于方程的是（ ） A．2x+3﹣（x+2） B．3x+1﹣（4x﹣2）=0 C．3x﹣1=4x+2 D．x=7 【解析】本题主要考查的是方程的定义，含有未知数的等式叫方程，据此可得出正确答案 A． 2、若 3x2m﹣3+7=1 是关于 x 的一元一次方程，则 m 的值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是 1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式 是 ax+b=0（a，b 是常数且 a≠0）．则 x 的次数是 1，即可得到关于 m 的方程，即可求解． 解：根据题意得：2m﹣3=1，解得：m=2．故选 B． 3、若（m﹣2）x|2m﹣3|=6 是一元一次方程，则 m 等于（ ） A．1 B．2 C．1 或 2 D．任何数 7 【解析】根据一元一次方程的特点可得 ，解得 m=1．故选 A． 4、若方程 2x﹣kx+1=5x﹣2 的解为﹣1，则 k 的值为（ ） A．10 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8 【解析】依题意，得 2×（﹣1）﹣（﹣1）k+1=5×（﹣1）﹣2，即﹣1+k=﹣7，解得，k=﹣6．故选：C． 5、 20 4 2x x x  是一元一次方程m +m 的解，则m= 【解析】将 x=0 带入方程得 2 4m  ， 2m   ，注意到是一元一次方程， 2 0, 2m m   故 6、下列变形：①如果 a=b，则 ac2=bc2；②如果 ac2=bc2，则 a=b；③如果 a=b，则 3a﹣1=3b﹣1；④如果 ， 则 a=b，其中正确的是（ ） A．① ② ③ ④ B．① ③ ④ C．① ③ D．② ④ 【解析】解：① 如果 a=b，则 ac2=bc2，正确； ② 如果 ac2=bc2，则 a=b（c≠0），故此选项错误； ③ 如果 a=b，则 3a﹣1=3b﹣1，正确； ④ 如果 ，则 a=b，正确．故选：B． 7、a，b，c，d 为实数，规定一种新的运算： =ad﹣bc，那么 =2011 时，x= ． 【解析】∵ =ad﹣bc，∴ =2×5﹣3（1﹣x）． ∴2×5﹣3（1﹣x）=2011，解得：x=668．故答案为：668 8、解下列方程 （1）2x﹣4（x﹣5）=3﹣5x （2） ﹣ =1 （3）2（5y﹣7）+6=3（2y﹣1） （4） ﹣1= ﹣ （5）|4x+3|=2x+9 （6）|3x﹣2|﹣|x+1|=x+2 8 【解析】（1）x=﹣ （2）x=0.2 （3）y=1.25 （4）x=0.5 （5）x=3 ，x=﹣2 （6）x=﹣ ，x=5 9、根据流程右边图中的程序，当输出数值 y 为 1 时，输入数值 x 为（ ） A．﹣8 B．8 C．﹣8 或 8 D．不存在 【解析】∵输出数值 y 为 1， ∴ x+5=1 时，解得 x=﹣8，﹣ x+5=1 时，解得 x=8， ∵﹣8＜1，8＞1，都不符合题意，故不存在．故选 D．  课后反击 1、在下列方程中①x2+2x=1，② ﹣3x=9，③ x=0，④3﹣ =2 ，⑤ =y+ 是一元一次方程的有（） 个 A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】根据一元一次方程的定义，即可解答． ① x2+2x=1，是一元二次方程； ② ﹣3x=9，是分式方程；③ x=0，是一元一次方程； ④ 3﹣ =2 ，是等式；⑤ =y+ 是一元一次方程；一元一次方程的有 2 个，故选：B 2、若（m+2）x ﹣2m=1，是关于 x 的一元一次方程，则 m=（ ） A．±2 B．2 C．﹣2 D．1 【解析】根据一元一次方程的定义列出方程，解方程即可。 由题意得，m2﹣3=1，m+2≠0，解得，m=2．故选：B 3、对于 ax+b=0（a，b 为常数），表述正确的是（ ） A．当 a≠0 时，方程的解是 x= B．当 a=0，b≠0 时，方程有无数解 C．当 a=0，b=0，方程无解 D．以上都不正确 【解析】A、当 a≠0 时，方程的解是 x=﹣ ，故错误 B、当 a=0，b≠0 时，方程无解，故错误； C、当 a=0，b=0，方程有无数解，故错误； D、以上都不正确． 故本题选 D． 4、已知 x=﹣1 是关于 x 的方程 7x3﹣3x2+kx+5=0 的解，则 k3+2k2﹣11k﹣85= ．版权所有 9 【解析】根据方程解的定义，将方程的解代入方程可得关于字母系数 k 的一元一次方程，从而可求出 k 的 值，然后将其代入求值式即可得到答案． 解：将 x=﹣1 代入方程得：﹣7﹣3﹣k+5=0，解得：k=﹣5． ∴k3+2k2﹣11k﹣85=（﹣5）3+2×（﹣5）2﹣11×（﹣5）﹣85=﹣125+50+55﹣85=﹣105．故答案为﹣105 5、如图，下列四个天平中，相同形状的物体的重量是相等的，其中第①个天平是平衡的，根据第①个天平， 后三个天平仍然平衡的有（ ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【解析】解：因为第①个天平是平衡的，所以一个球的重量=两个圆柱的重量； ② 中 2 个球的重量=4 个圆柱的重量，根据等式 1，即可得到①的结果； ③ 中，一个球的重量=两个圆柱的重量； ④ 中，一个球的重量=1 个圆柱的重量；综上所述，故选 C． 6、下列变形正确的是（ ） A．若 3x﹣1=2x+1，则 3x+2x=﹣1+1 B．若 ，则 2﹣3x﹣1=2x C．若 3（x+1）﹣5（1﹣x）=2，则 3x+3﹣5﹣5x=2 D．若 ，则 6﹣10x﹣1=2（2x+1） 【解析】A、若 3x﹣1=2x+1，则 3x﹣2x=1+1，故本选项错误； B、 ，则 2﹣3x+1=2x，故本选项错误； C、若 3（x+1）﹣5（1﹣x）=2，则 3x+3﹣5+5x=2，故本选项错误； D、 ，则 6﹣10x﹣1=2（2x+1），故本选项正确；故选 D． 7、下列等式的变形中，正确的是（ ） ① 若 x+3=16，则 x+6=19 ② 若 a+b=c+d，则 a+2b+c=b+2c+d ③ 若 3a=4b，则 3ac=4bc ④ 若 3a=4b，则 = ． A．① B．① ③ C．① ③ ④ D．① ② ③ ④ 【解析】① 若 x+3=16，两边都加 3，x+16=19，故① 正确； 10 ② a+b=c+d，两边都加（b+c），a+2b+c=b+2c+d，故② 正确； ③ 若 3a=4b，两边都乘以 c，3ac=4bc，故③ 正确； ④ 若 3a=4b，两边都除以（x2+1）， = ，故④ 正确；故选：D． 8、解方程： （1） （2） （3）3（5x﹣7）﹣4（8x+3）=1 （4） （5） （6） 【解析】（1）x= （2）x=5 （3）x=﹣2 （4）x=﹣3 （5）x=1 （6）x= 9、解方程： （1）|x﹣3|+|x|=|3x﹣4| （2） |= （3）|2x﹣1|+|x﹣2|=|x+1| 【解析】（1）x=1 （2）x= 或 x=﹣ （3） ≤x≤2 10、有关 x 的方程|x+1|+|x+5|=a 无解，求 a 的取值范围 【解析】当 x＜﹣5 时，原方程等价于﹣x﹣1﹣x﹣5=a．解得 x= ，由方程无解，得 ≥﹣5， 解得 a≤4； 当﹣5≤x＜﹣1 时，原方程等价于﹣1﹣x+x+5=a，由方程无解，得 a＞4 或 a＜4； 当 x≥﹣1 时，原方程等价于 x+1+x+5=a，解得 x= ，由方程无解，得 ＜﹣1，解得 a＜4； 综上所述：a 必须同时满足以上三种情况，故 a＜4 11 直击中考 1、【2015•大连】方程 3x+2（1﹣x）=4 的解是（ ） A．x= B．x= C．x=2 D．x=1 【解析】解：去括号得：3x+2﹣2x=4，解得：x=2，故选 C． 2、【2015•济南】若代数式 4x﹣5 与 的值相等，则 x 的值是（ ） A．1 B． C． D．2 【解析】解：根据题意得：4x﹣5= ，去分母得：8x﹣10=2x﹣1，解得：x= ，故选 B． 3、【2008•武汉】已知关于 x 的方程 4x﹣3m=2 的解是 x=m，则 m 的值是（ ） A．2 B．﹣2 C． D．﹣ 解：由题意得：x=m，∴4x﹣3m=2 可化为：4m﹣3m=2，可解得：m=2．故选：A． S(Summary-Embedded)——归纳总结 重点回顾 1、一元一次方程的概念：在一个方程中，只含有一个未知数，而且方程中的代数式都是整式，未知数的指 数都是 1，这样的方程叫做一元一次方程。 2、解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为 1。但在解题时上面 的步骤不一定全部用到，要结合方程特点灵活掌握选用求解步骤。 名师点拨 1、解方程步骤 变形名称 具体做法 变形依据 注意的问题 去分母 在方程两边同时乘各分母的最小 公倍数 等式基本性质 2 不要漏乘不含分母的项， 分数线起到括号的作用 去括号 先去小括号，再去中括号，最后 去大括号 去括号法则、分配律 括号前是负号，去括号后， 括号内各项均变号 12 学霸经验  本节课我学到了  我需要努力的地方是 移项 把含未知数的项移到方程的一 边，其他项都移到方程的另一边 等是基本性质 1 移项要变号 合并同类项 把方程化为 ( 0)ax b a  的形式 合并同类项法则 系数相加，字母及其指数 均不变 未知数的系 数化为 1 在方程两边同除以未知数的系数 a ，得到方程的解 bx a  等式的基本性质 2 分子、分母不要颠倒