- 2021-10-25 发布 |
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文档介绍
新人教版七年级数学下册全册教案+数学教学计划(包含课程时间安排)
新人教版七年级 数学下册全册教案+数学教学计划(包含课程时间安排) 全册教案 第五章 相交线与平行线 5.1.1 相交线 教学目标：1．理解对顶角和邻补角的概念，能在图形中辨认． 2．掌握对顶角相等的性质和它的推证过程． 3.通过在图形中辨认对顶角和邻补角，培养学生的识图能力． 重点：在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角． 难点：在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角． 教学过程 一、创设情境，引入课题 先请同学观察本章的章前图，然后引导学生观察，并回答问题． 学生活动：口答哪些道路是交错的，哪些道路是平行的． 教师导入：图中的道路是有宽度的，是有限长的，而且也不是完全直的，当我们把它们看成 直线时，这些直线有些是相交线，有些是平行线．相交线、平行线都有许多重要性质，并且 在生产和生活中有广泛应用．所以研究这些问题对今后的工作和学习都是有用的，也将为后 面的学习做些准备．我们先研究直线相交的问题，引入本节课题． 二、探究新知，讲授新课 1．对顶角和邻补角的概念 学生活动：观察上图，同桌讨论，教师统一学生观点并板书． 【板书】∠1 与∠3 是直线 AB、CD 相交得到的，它们有一个公共顶点 O，没有公共边， 像这样的两个角叫做对顶角． 学生活动：让学生找一找上图中还有没有对顶角，如果有，是哪两个角？ 学生口答：∠2 和∠4 再也是对顶角． 紧扣对顶角定义强调以下两点： （1）辨认对顶角的要领：一看是不是两条直线相交所成的角，对顶角与相交线是唇齿 相依，哪里有相交直线，哪里就有对顶角，反过来，哪里有对顶角，哪里就有相交线；二看 是不是有公共顶点；三看是不是没有公共边．符合这三个条件时，才能确定这两个角是对顶 角，只具备一个或两个条件都不行． （2）对顶角是成对存在的，它们互为对顶角，如∠1 是∠3 的对顶角，同时，∠3 是∠ 1 的对顶角，也常说∠1 和∠3 是对顶角． 2．对顶角的性质 提出问题：我们在图形中能准确地辨认对顶角，那么对顶角有什么性质呢？ 学生活动：学生以小组为单位展开讨论，选代表发言，井口答为什么． 【板书】∵∠1 与∠2 互补，∠3 与∠2 互补（邻补角定义）， ∴∠l＝∠3（同角的补角相等）． 注意：∠l 与∠2 互补不是给出的已知条件，而是分析图形得到的；所以括号内不填已 知，而填邻补角定义． 或写成：∵∠1＝180°－∠2，∠3＝180°－∠2（邻补角定义）， ∴∠1＝∠3（等量代换）． 学生活动：例题比较简单，教师不做任何提示，让学生在练习本上独立完成解题过程， 请一个学生板演。 解：∠3＝∠1＝40°（对顶角相等）． ∠2＝180°－40°＝140°（邻补角定义）． ∠4＝∠2＝140°（对顶角相等）． 三、范例学习 学生活动：让学生把例题中∠1＝40°这个条件换成其他条件，而结论不变，自编几道题． 变式 1：把∠l＝40°变为∠2－∠1＝40° 变式 2：把∠1＝40°变为∠2 是∠l 的 3 倍 变式 3：把∠1＝40°变为∠1：∠2＝2：9 四、课堂小结 学生活动：表格中的结论均由学生自己口答填出． 五、布置作业：课本 P3 练习 角的名称 特征 性质 相同点 不同点 对顶角 ①两条直线相交面成的角 ②有一个公共顶点 ③没有公共边 对顶角 相等 都是两直线相交 而成的角，都有一 个公共顶点，它们 都是成对出现。 对顶角没有公共边而邻补 角有一条公共边；两条直 线相交时，一个有的对顶 角有一个，而一个角的邻 补角有两个。邻补角 ①两条直线相交面成的角 ②有一个公共顶点 ③有一条公共边 邻补角 互补 5.1.2 垂线(第一课时) 教学目标：1.经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动,进一步发展空间观念,用几何 语言准确表达能力.毛 2.了解垂直概念,能说出垂线的性质“经过一点,能画出已知直线的一条垂线,并且只能画出一 条垂线”,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线. 重点两条直线互相垂直的概念、性质和画法. 教学过程 一、创设问题情境 1.学生观察教室里的课桌面、黑板面相邻的两条边,方格纸的横线和竖线……,思考这些给大家 什么印象? 在学生回答之后,教师指出:“垂直”两个字对大家并不陌生,但是垂直的意义,垂线有什么性质, 我们不一定都了解,这可是我们要学习的内容. 2.学生观察课本 P3 图 5.1-4 思考:固定木条 a,转动木条,当 b 的位置变化时,a、b 所成的角 a 是 如何变化的?其中会有特殊情况出现吗?当这种情况出现时,a、b 所成的四个角有什么特殊关 系? 教师在组织学生交流中,应学生明白:当 b 的位置变化时,角 a 从锐角变为钝角,其中∠a 是直角 是特殊情况.其特殊之处还在于:当∠a 是直角时,它的邻补角,对顶角都是直角,即 a、b 所成的 四个角都是直角,都相等. 3.师生共同给出垂直定义. 师生分清“互相垂直”与“垂线”的区别与联系：“互相垂直”指两条直线的位置关系；“垂线”是 指其中一条直线对另一条直线的命名。如果说两条直线“互相垂直”时，其中一条必定是另一 条的“垂线”，如果一条直线是另一条直线的“垂线”，则它们必定“互相垂直”。 4.垂直的表示法. 垂直用符号“⊥”来表示，结合课本图 5.1－5 说明“直线 AB 垂直于直线 CD，垂足为 O”，则记 为 AB⊥CD,垂足为 O，并在图中任意一个角处作上直角记号,如图. 5.简单应用 (1)学生观察课本 P6 图 5.1-6 中的一些互相垂直的线条,并再举出生活中其他实例. (2)判断以下两条直线是否垂直: ①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角; ②两条直线相交所成的四个角相等; ③两条直线相交,有一组邻补角相等; ④两条直线相交,对顶角互补. 二、画图实践,探究垂线的性质 1.学生用三角尺或量角器画已知直线 L 的垂线. (1)已知直线 L(教师在黑板上画一条直线 L),画出直线 L 的垂线.待学生上黑板画出 L 的垂线后, 教师追问学生:还能画出 L 的垂线吗?能画几条?通过师生交流,使学生明确直线 L 的垂线有无 数多条,即存在,但有不确定性.教师再问:怎样才能确定直线 L 的垂线位置?在学生道出:在直线 L 上取一点 A,过点 A 画 L 的垂线,并且动手画出图形. 教师板书学生的结论:经过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直. (2)经过直线 L 外一点 B 画直线 L 的垂线,这样的垂线能画出几条?从中你又得出什么结论? 教师板书学生的结论:经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 教师让学生通过画图操作所得两条结论合并成一条,并板书: 垂线性质 1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 2.变式训练,巩固垂线的概念和画法,如图根据下列语句画图: (1)过点 P 画射线 MN 的垂线,Q 为垂足; (2)过点 P 画射线 BN 的垂线,交射线 BN 反向延长线于 Q 点; (3)过点 P 画线段 AB 的垂线,交线 AB 延长线于 Q 点. 学生画完图后,教师归结:画一条射线或线段的垂线,就是画它们所在直线的垂线. 三、课堂小结 本节学习了互相垂直、垂线等概念,还学习了过一点画已知直线的垂线的画法,并得出垂线一 条性质,你能说出相关的内容吗? 四、布置作业：课本 P7 练习,P9.3,4,5,9. 5.1.2 垂线(第二课时) 教学目标：1.经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动，进一步发展空间观念，用几 何语言准确表达能力。毛 2.了解垂线段的概念,了解垂线段最短的性质,体会点到直线的距离 的意义,并会度量点到直线的距离. 教学重点:“垂线段最短”的性质,点到直线的距离的概念及其简单应用. 教学难点:对点到直线的距离的概念的理解. 教学过程 一、创设问题情境 1.教师展示课本图 5.1-8,提出问题:要把河中的水引到农田 P 处,如何挖渠能使渠道最短? 学生看图、思考. 2.教师以问题串形式,启发学生思考. (1)问题 1,上学期我们曾经学过什么最短的知识,还记得吗? 学生说出:两点间线段最短. (2)问题 2,如果把渠道看成是线段,它的一个端点自然是 P,那么另一个端点的位置呢?把江河看 成直线 L,那么原问题就是怎么的数学问题. 问题 2 使学生能用数学眼光思考:在连接直线 L 外一点 P 与直线 L 上各点的线段中,哪一条最 短? 3.教师演示教具,给学生直观的感受. 教具如图:在硬纸板上固定木条 L,L 外一点 P,转动的木条 a 一端固定在点 P. 使木条 L 与 a 相交,左右摆动木条 a,L 与 a 的交点 A 随之变化,线段 PA 长度也随之变化.PA 最 短时,a 与 L 的位置关系如何?用三角尺检验. 4.学生画图操作,得出结论. (1)画出直线 L,L 外一点 P; (2)过 P 点出 PO⊥L,垂足为 O; (3)点 A1,A2,A3……在 L 上,连接 PA、PA2、PA3……; (4)用叠合法或度量法比较 PO、PA1、PA2、PA3……长短. 5.师生交流,得出垂线的另一条性质. 教师板书:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短. 简单说成:垂线段最短. 关于垂线段教师可让学生思考: (1)垂线段与垂线的区别联系. (2)垂线段与线段的区别与联系. 二、点到直线的距离 1.师生根据两点间的距离的意义给出点到直线的距离命名. 结合课本图形(图 5.1-9),深入认识垂线段 PO:PO⊥L,∠POA=90°,O 为垂足,垂线段 PO 的长度比 其他线段 PA1、PA2……中是最短的. 按照两点间的距离给点到直线的距离命名,教师板书: 直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离. 在图 5.1-9 中,PO 的长度是点 P 到直线 L 的距离,其余结论 PA、PA2……长度都不是点 P 到 L 的 距离. 2、练习课本 P6 练习 三、课堂小结：通过这节课，我们主要学习了什么呢？ 四、布置作业：课本 P8.6,P10.10,11,12,P10 观察与猜想. 5.1.3 同位角、内错角、同旁内角 教学目标：1、理解同位角、内错角、同旁内角的概念；2、会识别同位角、内错角、同旁内 角. 重点：同位角、内错角、同旁内角的概念与识别； 难点：识别同位角、内错角、同旁内角。 教学过程 一、导入新课 前面我们研究了一条直线与另一条直线相交的情形，接下来，我们进一步研究一条直线分别 与两条直线相交的情形。 二、同位角、内错角、同旁内角 如图，直线 a、b 与直线 c 相交，或者说，两条直线 a、b 被第三条直线 c 所截，得到八个角。 我们来研究那些没有公共顶点的两个角的关系。 c b a 4 3 2 15 6 87 ∠1 与∠2、∠4 与∠8、∠5 与∠6、∠3 与∠7 有什么位置关系？ 在截线的同旁，被截直线的同方向（同上或同下）. 具有这种位置关系的两个角叫做同位角。 同位角形如字母“F”。 ∠3 与∠2、∠4 与∠6 的位置有什么共同的特点？ 在截线的两旁，被截直线之间。 具有这种位置关系的两个角叫做内错角. 内错角形如字母“Z”。 ∠3 与∠6、∠4 与∠2 的位置有什么共同的特点？ 在截线的同旁，被截直线之间。 具有这种位置关系的两个角叫做同旁内角. 同旁内角形如字母“U”。 思考：这三类角有什么相同的地方？ （1）都不相邻即不存在共公顶点；（2）有一边在同一条直线（截线）上。 三、例题 例如图，直线 DE，BC 被直线 AB 所截，（1）∠1 与∠2、∠1 与∠3、∠1 与∠4 各是什么角？ 为什么？（2）如果∠1=∠4，那么∠1 与∠2 相等吗？∠1 与∠3 互补吗？为什么？ 3 1 B D 4 A C E2 解：（1）∠1 与∠2 是内错角，因为∠1 与∠2 在直线 DE，BC 之间，在截线 AB 的两旁；∠1 与∠3 是同旁内角，因为∠1 与∠3 在直线 DE，BC 之间，在截线 AB 的同旁；∠1 与∠4 是 同位角，因为∠1 与∠4 在直线 DE，BC 的同方向，在截线 AB 的同方向。（2）如果∠1=∠4， 又因为∠2=∠4，所以∠1=∠2；因为∠3+∠4=1800，又∠1=∠4，所以∠1+∠3=1800，即∠ 1 与∠3 互补。 四、课堂小结：通过这节课，我们主要学习了什么呢？ 五、布置作业:课本 P7 练习 1、2 题 5.2.1 平行线 教学目标 1.经历观察教具模式的演示和通过画图等操作,交流归纳与活动,进一步发展空间观 念.毛 2.了解平行线的概念、平面内两条直线的相交和平行的两种位置关系,知道平行公理以及平行 公理的推论. 3.会用符号语方表示平行公理推论,会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行 线. 重点:探索和掌握平行公理及其推论. 难点:对平行线本质属性的理解,用几何语言描述图形的性质. 教学过程 一、创设问题情境 1.复习提问:两条直线相交有几个交点?相交的两条直线有什么特殊的位置关系? 学生回答后,教师把教具中木条 b 与 c 重合在一起,转动木条 a 确认学生的回答.教师接着问: 在平面内,两条直线除了相交外,还有别的位置关系吗? 2.教师演示教具. 顺时针转动木条 b 两圈,让学生思考:把 a、b 想像成两端可以无限延伸的两条直线,顺时针转 动 b 时,直线 b 与直线 a 的交点位置将发生什么变化?在这个过程中,有没有直线 b 与 c 木相交 的位置? 3.教师组织学生交流并形成共识. 转动 b 时,直线 b 与 c 的交点从在直线 a 上 A 点向左边距离 A 点很远的点逐步接近 A 点,并垂 合于 A 点,然后交点变为在 A 点的右边,逐步远离 A 点.继续转动下去,b 与 a 的交点就会从 A 点的左边又转动 A 点的左边……可以想象一定存在一个直线 b 的位置,它与直线 a 左右两旁都 没有交点. c b a c b a B A a C B 二、平行线定义表示法 1.结合演示的结论,师生用数学语言描述平行定义:同一平面内,存在一条直线 a 与直线 b 不相 交的位置,这时直线 a 与 b 互相平行.换言之,同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线. 直线 a 与 b 是平行线,记作“∥”,这里“∥”是平行符号. 教师应强调平行线定义的本质属性,第一是同一平面内两条直线,第二是设有交点的两条直 线. 2.同一平面内,两条直线的位置关系 教师引导学生从同一平面内,两条直线的交点情况去确定两条直线的位置关系. 在同一平面内,两条直线只有两种位置关系:相交或平行,两者必居其一.即两条直线不相交就 是平行,或者不平行就是相交. 三、画图、观察、归纳概括平行公理及平行公理推论 1.在转动教具木条 b 的过程中,有几个位置能使 b 与 a 平行? 本问题是学生直觉直线 b 绕直线 a 外一点 B 转动时,有并且只有一个位置使 a 与 b 平行. 2.用直线和三角尺画平行线. 已知:直线 a,点 B,点 C. (1)过点 B 画直线 a 的平行线,能画几条? (2)过点 C 画直线 a 的平行线,它与过点 B 的平行线平行吗? 3.通过观察画图、归纳平行公理及推论. (1)由学生对照垂线的第一性质说出画图所得的结论. (2)在学生充分交流后,教师板书. 平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行. (3)比较平行公理和垂线的第一条性质. 共同点:都是“有且只有一条直线”,这表明与已知直线平行或垂直的直线存在并且是唯一的. 不同点:平行公理中所过的“一点”要在已知直线外,两垂线性质中对“一点”没有限制,可在直线 上,也可在直线外. 4.归纳平行公理推论. (1)学生直观判定过 B 点、C 点的 a 的平行线 b、c 是互相平行. (2)从直线 b、c 产生的过程说明直线 b∥直线 c. (3)学生用三角尺与直尺用平推方验证 b∥c. (4)师生用数学语言表达这个结论,教师板书. 结果两条直线都与第三条直线平行,那么这条直线也互相平行. 结合图形,教师引导学生用符号语言表达平行公理推论: 如果 b∥a,c∥a,那么 b∥c. (5)简单应用. 练习:如果多于两条直线,比如三条直线 a、b、c 与直线 L 都平行,那么这三条直线互相平行吗? 请说明理由. 本练习是让学生在反复运用平行公理推论中掌握平行公理推论以及说理规范. 四、作业：课本 P16.7,P17.11. 5.2.2 平行线的判定（一） 教学目标：经历探索两直线平行条件的过程，理解两直线平行的条件. 重点：探索两直线平行的条件 难点：理解“同位角相等,两条直线平行” 教学过程 c b a 一、情景导入. 装修工人正在向墙上钉木条，如果木条 b 与墙壁边缘垂直，那么木条 a 与墙壁边缘所夹角为 多少度时，才能使木条 a 与木条 b 平行？ 要解决这个问题，就要弄清楚平行的判定。 二、直线平行的条件 以前我们学过用直尺和三角尺画平行线，如图（课本 P13 图 5.2-5）在三角板移动的过程中， 什么没有变？ 三角板经过点 P 的边与靠在直尺上的边所成的角没有变。 简化图 5.2-5，得图 3. G H P F E 2 1 D C B A 图 3 ∠1 与∠2 是三角板经过点 P 的边与靠在直尺上的边所成的角移动前后的位置，显然∠1 与 ∠2 是同位角并且它们相等，由此我们可以知道什么？ 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行. 简单地说:同位角相等,两条直线平行. 符号语言：∵∠1=∠2∴AB∥CD. 如图（课本 P145.2-7），你能说出木工用图中这种叫做角尺的工具画平行线的道理吗？ 用角尺画平行线，实际上是画出了两个直角，根据“同位角相等,两条直线平行.”，可知这样 画出的就是平行线。 如图，（1）如果∠2=∠3，能得出 a∥b 吗？（2）如果∠2＋∠4＝1800，能得出 a∥b 吗？ 3 2 b a c 4 1 （1）∵∠2=∠3（已知）∠3=∠1（对顶角相等） ∴∠1=∠2(等量代换) ∴a∥b（同位角相等,两条直线平行） 你能用文字语言概括上面的结论吗？ 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行. 简单地说：内错角相等,两直线平行. 符号语言：∵∠2=∠3∴a∥b. （2）∵∠4+∠2=180°,∠4+∠1=180°（已知） ∴∠2=∠1（同角的补角相等） ∴a∥b.（同位角相等,两条直线平行） 你能用文字语言概括上面的结论吗？ 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么两条直线平行. 简单地说：同旁内角互补,两直线平行. 符号语言：∵∠4+∠2=180°∴a∥b. 四、课堂练习 1、课本 P15 练习 1，补充（3）由∠A+∠ABC＝1800 可以判断哪两条直线平行？依据是什么？ 2、课本 P162 题。 五、课堂小结：怎样判断两条直线平行？ 六、布置作业：：P16、1、2 题；P174、5、6。 5.2.2 平行线的判定（二） 教学目标 1、掌握直线平行的条件，并能解决一些简单的问题； 2、初步了解推理论证的方法，会正确的书写简单的推理过程。 重点：直线平行的条件及运用 难点：会正确的书写简单的推理过程是 教学过程 一、复习导入 我们学习过哪些判断两直线平行的方法？ （1）平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线平行。 （2）平行公理的推论：如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线也互相平行。 （3）两直线平行的条件：两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行. 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行. 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行. 二、例题 例在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行吗?为什么? 解：这两条直线平行。 ∵b⊥ac⊥a（已知） ∴∠1=∠2=90°（垂直的定义） ∴b∥c（同位角相等，两直线平行） 你还能用其它方法说明 b∥c 吗？ 方法一：如图（1），利用“内错角相等,两直线平行”说明；方法二：如图（2），利用“同 旁内角相等,两直线平行”说明. c b a 2 1 c b a 2 1 （1）（2） 注意：本例也是一个有用的结论。 例 2 如图，点 B 在 DC 上，BE 平分∠ABD,∠DBE=∠A,则 BE∥AC,请说明理由。 A B CD E 分析：由 BE 平分∠ABD 我们可以知道什么？联系∠DBE=∠A，我们又可以知道什么？由此 能得出 BE∥AC 吗？为什么？ 解：∵BE 平分∠ABD ∴∠ABE=∠DBE（角平分线的定义） 又∠DBE=∠A c b a 2 1 ∴∠ABE=∠A（等量代换） ∴BE∥AC(内错角相等，两直线平行) 注意：用符号语言书写证明过程时，要步步有据。 四、课堂练习 1、如图，∠1=∠2=55°，试说明直线 AB，CD 平行？． 3 A B C D E F2 1 d e c b a 3 4 1 2 1 题 2 题 2、如图所示,已知直线 a,b,c,d,e,且∠1=∠2,∠3+∠4=180°,则 a 与 c 平行吗?为什么? 五、布置作业：：课本 P16 第 7 题，P17 第 12 题（提示：画图说明）。 5.3.1 平行线的性质 教学目标：1.经历观察、操作、想像、推理、交流等活动，进一步发展空间观念，推理能力 和有条理表达能力。毛 2.经历探索直线平行的性质的过程,掌握平行线的三条性质,并能用它们进行简单的推理和计 算. 重点:探索并掌握平行线的性质,能用平行线性质进行简单的推理和计算. 难点:能区分平行线的性质和判定,平行线的性质与判定的混合应用. 教学过程 一、引导学生逆向思维 现在同学们已经掌握了利用同位角相等,或者内错角相等,或者同旁内角互补,判定两条直线 平行的三种方法.在这一节课里:大家把思维的指向反过来:如果两条直线平行,那么同位角、内 错角、同旁内角的数量关系又该如何表达? 二、实践探究 1.学生画图活动:用直尺和三角尺画出两条平行线 a∥b,再画一条截线 c 与直线 a、b 相交,标 出所形成的八个角(如课本 P21 图 5.3-1). 2.学生测量这些角的度数,把结果填入表内. 角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8 度数 3.学生根据测量所得数据作出猜想. （1）图中哪些角是同位角?它们具有怎样的数量关系?（2）图中哪些角是内错角?它们具有 怎样的数量关系? （3）图中哪些角是同旁内角?它们具有怎样的数量关系? 4.学生验证猜测. 学生活动:再任意画一条截线 d,同样度量并计算各个角的度数,你的猜想还成立吗? 5.师生归纳平行线的性质,教师板书. 平行线具有性质: 性质 1:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,简称为两直线平行,同位角相等. 性质 2:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等,简称为两直线平行,内错相等. 性质 3:两条直线按被第三条线所截,同旁内角互补,简称为两直线平行,同旁内角互补. 教师让学生结合右图,用符号语言表达平行线的这三条性质,教师同时板书平行线的性质和平 行线的判定. 平行线的性质平行线的判定 因为 a∥b,因为∠1=∠2, 所以∠1=∠2 所以 a∥b. 因为 a∥b,因为∠2=∠3, 所以∠2=∠3,所以 a∥b. 因为 a∥b,因为∠2+∠4=180°, 所以∠2+∠4=180°,所以 a∥b. 6.教师引导学生理清平行线的性质与平行线判定的区别. 学生交流后,师生归纳:两者的条件和结论正好相反: 由角的数量关系(指同位角相等,内错角相等,同旁内角互补),得出两条直线平行的论述是平行 线的判定,这里角的关系是条件,两直线平行是结论. 由已知的两条直线平行得出角的数量关系(指同位角相等,内错角相等,同旁内角互补)的论述 是平行线的性质,这里两直线平行是条件,角的关系是结论. 7.进一步研究平行线三条性质之间的关系. 教师:大家能根据性质 1,推出性质 2 成立的道理吗? 结合上图,教师启发分析:考察性质 1、性质 2 的结论发生了什么变化?学生回答∠1 换成∠3, 教师再问∠1 与∠3 有什么关系?并完成说理过程,教师纠正学生错误,规范地给出说理过程. 因为 a∥b,所以∠1=∠2(两直线平行,同位角相等); 又∠3=∠1(对顶角相等),所以∠2=∠3. 教师说明:这是有两步的说理,第一步推理根据平行线性质 1,第二步推理的条件不仅有∠1=∠ 2,还有∠3=∠1.∠2=∠3 是根据等式性质.根据等式性质得到的结论可以不写理由. 学生仿照以下说理,说出如何根据性质 1 得到性质 3 的道理. 8.平行线性质应用. 讲解课本 P23 例题 三、巩固练习：课本练习(P22). 四、作业：课本 P22.1,2,3,4,6. 5.3.2 命题、定理 教学目的：1、知识与技能：了解命题的概念，并能区分命题的题设和结论. 2、经历判断命题真假的过程，对命题的真假有一个初步的了解. 3、初步培养学生不同几何语言相互转化的能力. 重点：命题的概念和区分命题的题设与结论. 难点：区分命题的题设和结论. 教学过程 一、创设情境复习导入 教师出示下列问题： 1.平行线的判定方法有哪些? 2.平行线的性质有哪些. 学生能积极的思考教师所出示的各个问题复习巩固有关的知识点为本节课的学习打下良好 的基础.(注意:平行线的判定方法三种,另外还有平行公理的推论) 二、尝试活动探索新知 c b a 4 3 2 1 教师给出下列语句, ①如果两条直线都与第三条直线平行,那么这条直线也互相平行; ②等式两边都加同一个数,结果仍是等式; ③对顶角相等; ④如果两条直线不平行,那么同位角不相等. 学生学生能由教师的引导分析每个语句的特点.思考：你能说一说这 4 个语句有什么共同点 吗？并能耐总结出这些语句都是对某一件事情作出“是”或“不是”的判断.初步感受到有些数 学语言是对某件事作出判断的. 教师给出命题的定义. 判断一件事情的语句,叫做命题. (3)命题的组成. ①命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项. ②命题的形成，可以写成“如果……，那么……”的形式。 真命题与假命题： 教师出示问题： 如果两个角相等，那么它们是对顶角. 如果 a＞b.b＞c 那么 a=b 如果两个角互补，那么它们是邻补角. 三、尝试反馈理解新知 明确命题有正确与错误之分： 命题的正确性是我们经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理，作为真命题，定理也可 以作为继续推理的依据. 1.“等式两边乘同一个数，结果仍是等式”是命题吗？它们题设和结论分别是什么？ 2.命题“两条平行线被第三第直线所截，内错角相等”是正确的？命题“如果两个角互补，那么 它们是邻补角”是正确吗？再举出一些命题的例子，判断它们是否正确. 四、总结拓展：教师引导学生完成本节课的小结，强调重要的知识点. 五、布置作业：习题 5.3 第 11 题. 5.4 平移 教学目标：1、了解平移的概念，会进行点的平移，理解平移的性质，能解决简单的平移问 题 2、培养学生的空间观念，学会用运动的观点分析问题. 重点:平移的概念和作图方法. 难点:平移的作图. 教学过程 一.观察图形形成印象 生活中有许多美丽的图案，他们都有着共同的特点，请同学们欣赏下面图案. 观察上面图形,我们发现他们都有一个局部和其他部分重复,如果给你一个局部,你能复制他 们吗?学生思考讨论,借助举例说明. 二.提出新知实践探索 平移:(1)把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大 小完全相同.(2)新图形中的每一点,都是由原图形中的某一个点移动后得到的,这两个点是对 应点.(3)连接各组对应的线段平行且相等.图形的这种变换,叫做平移变换,简称平移 探究:设计一个简单的图案,利用一张半透明的纸附在上面,绘制一排形状,大小完全一样的图 案 引导学生找规律,发现平移特征 三.典例剖析深化巩固 例如图,(1)平移三角形 ABC,使点 A 运动到 A`,画出平移后的ΔABC 先观察探讨,再通过点的平移,线段的平移总结规律,给出定义 探究活动可以使学生更进一步了解平移 四、巩固练习课本 33 页:1,2,4,5,6,7 五、小结：在平移过程中,对应点所连的线段也可能在一条直线上,当图形平移的方向是沿着 一边所在直线的方向时,那么此边上的对应点必在这条直线上。2 利用平移的特征,作平行线, 构造等量关系是接 7 题常用的方法. 六、作业课本 P30 页习题 5.4 第 3 题 第五章小结 教学目标：1.经历对本章所学知识回顾与思考的过程,将本章内容条理化,系统化,梳理本章的 知识结构.毛 2.通过对知识的疏理,进一步加深对所学概念的理解,进一步熟悉和掌握几何语言,能用语言说 明几何图形. 3.使学生认识平面内两条直线的位置关系,在研究平行线时,能通过有关的角来判断直线平行 和反映平行线的性质,理解平移的性质,能利用平移设计图案. 重点:复习正面内两条直线的相交和平行的位置关系,以及相交平行的综合应用. 难点:垂直、平行的性质和判定的综合应用. 教学过程 一、复习提问 本章相交线、平行线中学习了哪些主要问题?教师根据学生的回答,逐步形成本章的知识结构 图,使所学知识系统化. 二、回顾与思考 平移 判定 性质 同位角,内错角,同旁内角 点到直线的距离 垂线及其性质 对顶角相等 邻补角,对顶角 平行公理 两三 条条 直直 线线 被所 第截 两线 条相 直交 平 行 相 交 平线 面的 内位 两置 条关 直系 1.对顶角、邻补角。 (1)教师提出问题①两条直线相交、构成哪两种特殊位置关系的角？指出图(1)中具有这两种 位置的角. O D C B A O D C B A c b a 4 3 2 1 (1) (2) (3) ②如图(2)中,若∠AOD=90°,那么直线 AB,CD 的位置关系如何? ③如图(3)中,∠1 与∠2,∠2 与∠3,∠3 与∠4 是怎么位置关系的角? (2)学生回答. (3)教师强调:对顶角、邻补角是由两条相交面而成的具有特殊位置关系的角，要抓住对顶角 的特征，有公共顶角，角的两边互为反向延长线；邻补角的特征：有公共顶有一条公共边， 另一边互为反向延长线。 (4)对顶角有什么性质?(对顶角相等)如果两个对顶角互补或邻补角相等,你得到什么结论? 让学生明确,对顶角总是相等,邻补角一定互补,但加上其他条件如对顶角或邻补角相等后,那 么问题中每个角的度数就随之确定,为 90°角,这时两条直线互相垂直. 2.垂线及其性质.(1)复习时教师应强调垂线的定义即可以作垂线的制定方法用,也可以作垂线 性质用. 作判定用时写成:如图(2),因为∠AOD=90°,所以 AB⊥CD,这是一个角的“数”到两直线垂直的 “形”的判断。 作为性质用时写成：如图(2)，因为 AB⊥CD,所以∠AOD=90°。这是由“形”到“数”的说理。 (2)如图(4),直线 AB、CD、EF 相交于点 O,CD⊥EF,∠1=35°,求∠2 的度数. F E 2 1 D C B A l C B A D C B A (4) (5) (6) 鼓励学生用不同方法求解. (3)垂线性质 1 和性质 2. 让学生叙述垂线的性质,懂得分清这两个命题的题设和结论,垂线性质一说得过一点已知直线 的垂线存在并且唯一的. 学生思考:①请回忆一下后体育课测跳远成绩时,教师是怎样测量的? 如图(5),AB⊥L,BC⊥L,B 为重足,那么 A、B、C 三点在同一条直线上吗? ②为什么? ③点到直线的距离、两条平行线的距离. 初中阶级学习了三种距离,即是距离,就要懂得的共同点:距离都是线段的长度,又要懂得区别: 两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段 的长度,平行线间的距离是某条直线上的一点到另一点平行线的距离. 学生练习:①如图(6),四边形 ABCD,AD∥BC,AB∥CD,过 A 作 AE⊥BC,过 A 作 AF⊥CD,垂足分别是 E、F,量出点 A 到 BC 的距离和 AB、CD 平行线间的距离. ②请归纳一下与垂直有关的知识中,有哪些重要结论? 如垂线的性质 1、2,又如两种直线都垂直于第三条直线,这两条直线平行,一条 直线与平行线中一条垂直,也与另一条垂直…… 3.同位角、内错角、同旁内角. 只要求学生从图形中找出同位角,内错角,同旁内角. 练习:如图(7),找出∠1、∠2、∠3 中哪两个是同位角、内错角、同旁内角. 4.平行线判定与性质 (1)怎样判别两条直线是否平行. (2)平行线有什么特征? (3)对比平行线的性质和直线平行的条件,它们有什么异同? (4)为什么研究平面内两直线的位置关系总是与角联系起来?围绕这些问题展开讨论,交流. 教师使学生进一步明确:平行线的判定也是由“数”即角与角的关系到“形”的判断，而性质则是 “形”到“数”的说理，在研究两条直线的垂直或平行时共同点是把研究它们的位置关系转化为 研究角或角之间的关系。 学生练习:①填空:如图(8),当_______时,a∥c,理由是________;当______时,b∥c,理由是 _________;当 a∥b,b∥c 时,______∥______,理由是_________. c b a 3 2 1 图（7） c b d a 4 3 2 1 D C B A B ' D C B A (8) (9) (10) ②如图(9),AB∥CD,∠A=∠C,试判断 AD 与 BC 的位置关系?为什么? 教师根据学生情况酌情给予引导. 5.关于平移,让学生思考: (1)图形平移时,连接对应点有什么关系?(2)如何确定图形平移的方向和平移的距离? (3)你能用平移设计一些图案吗? 练习:如图(10),平移四边形 ABCD,使点 B 移动到点 B′,画出平移后的四边形 A′B′C′D′. 三、作业课本:P35 第六章 实数 6.1.1 平方根 第一课时 【教学目标】 知识与技能： 通过实际生活中的例子理解算术平方根的概念，会求非负数的算术平方根并会用符号表 示； 过程与方法： 通过生活中的实例，总结出算术平方根的概念，通过计算非负数的算术平方根，真正掌 握算术平方根的意义。 情感态度与价值观： 通过学习算术平方根，认识数与人类生活的密切联系，建立初步的数感和符号感，发展 抽象思维，为学生以后学习无理数做好准备。 教学重点：算术平方根的概念和求法。 教学难点：算术平方根的求法。 教具准备: 三块大小相等的正方形纸片；学生计算器。 教学方法: 自主探究、启发引导、小组合作 【教学过程】 一、情境引入： 问题：学校要举行美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为 225dm 的正方形 画布，画上自己得意的作品参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？ 二、探索归纳： 1.探索： 学生能根据已有的知识即正方形的面积公式：边长的平方等于面积，求出正方形画布的 边长为 dm5 。 接下来教师可以再深入地引导此问题： 如果正方形的面积分别是 1、9、16、36、 25 4 ，那么正方形的边长分别是多少呢？ 学生会求出边长分别是 1、3、4、6、 5 2 ，接下来教师可以引导性地提问：上面的问题 它们有共同点吗？它们的本质是什么呢？这个问题学生可能总结不出来，教师需加以引导。 上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题。 2.归纳： ⑴算术平方根的概念： 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2=a 那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根。 ⑵算术平方根的表示方法： a 的算术平方根记为 a ，读作“根号 a”或“二次很号 a”，a 叫做被开方数。 三、应用： 例 1、 求下列各数的算术平方根： ⑴100 ⑵ 64 49 ⑶ 9 71 ⑷ 0001.0 ⑸ 0 解：⑴因为 ,100102 所以100 的算术平方根是10 ，即 10100 ； ⑵因为 64 49)8 7( 2 ，所以 64 49 的算术平方根是 8 7 ，即 8 7 64 49 ； ⑶因为 9 16)3 4(,9 16 9 71 2 ，所以 9 71 的算术平方根是 3 4 ，即 3 4 9 16 9 71 ； ⑷因为 0001.001.0 2 ，所以 0001.0 的算术平方根是 01.0 ，即 01.00001.0 ； ⑸因为 002 ，所以 0 的算术平方根是 0 ，即 00 。 注：①根据算术平方根的定义解题，明确平方与开平方互为逆运算； ②求带分数的算术平方根，需要先把带分数化成假分数，然后根据定义去求解； ③0 的算术平方根是 0。 由此例题教师可以引导学生思考如下问题： 你能求出－1,－36,－100 的算术平方根吗？任意一个负数有算术平方根吗？ 归纳：一个正数的算术平方根有 1 个；0 的算术平方根是 0；负数没有算术平方根。 即：只有非负数有算术平方根，如果 ax 有意义，那么 0,0 xa 。 注： 0a 且 0a 这一点对于初学者不太容易理解，教师不要强求，可以在以后 的教学中慢慢渗透。 例 2、 求下列各式的值： （1） 4 （2） 81 49 （3） 2)11( （4） 26 分析：此题本质还是求几个非负数的算术平方根。 解：（1） 24 （2） 9 7 81 49 （3） 1111)11( 22 （4） 662 例 3、 求下列各数的算术平方根： ⑴ 23 ⑵ 34 ⑶ 2)10( ⑷ 610 1 解：(1)因为 932 ，所以 3932 ； ⑵因为 23 8644 ，所以 86443 ； ⑶因为 22 10100)10( ，所以 10100)10( 2 ； ⑷因为 63 10 1 10 1 ，所以 36 10 1 10 1 。 根据学生的学习能力和理解能力可进行如下总结： 1、由 332 ， 662 ，可得 )0(2 aaa 2、由 11)11( 2 ， 10)10( 2 ，可得 )0(2 aaa 教师需强调 0a 时对两种情况都成立。 四、随堂练习： 1、算术平方根等于本身的数有＿＿＿＿＿。 2、求下列各式的值： 1 ， 25 9 ， 25 ， 2)7( 3、求下列各数的算术平方根： 0025.0 ， 121， 24 ， 2)2 1( ， 16 91 4、已知 ,011 ba 求 ba 2 的值。 五、课堂小结 1、这节课学习了什么呢？ 2、算术平方根的具体意义是怎么样的？ 3、怎样求一个正数的算术平方根？ 六、布置作业 课本第 44 页习题第 1、2 题 教学反思 6.1.2 平方根 第 2 课时 【教学目标】 知识与技能： 会用计算器求算术平方根；了解无限不循环小数的特点；会用算术平方根的知识解决实 际问题。 过程与方法： 通过折纸认识第一个无理数 2 ，并通过估计它的大小认识无限不循环小数的特点。用 计算器计算算术平方根，使学生了解利用计算器可以求出任意一个正数的算术平方根，再通 过一些特殊的例子找出一些数的算术平方根的规律，最后让学生感受算术平方根在实际生活 中的应用。 情感态度与价值观： 通过探究 2 的大小，培养学生的估算意识，了解两个方向无限逼近的数学思想，并且 锻炼学生克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情。 教学重点： ①认识无限不循环小数的特点，会估算一些数的算术平方根。 ②会用算术平方根的知识解决实际问题。 教学难点： 认识无限不循环小数的特点，会估算一些数的算术平方根。 教学方法: 自主探究、启发引导、小组合作 教学过程： 一、通过实验引入： 怎样用两个面积为 1 的小正方形拼成一个面积为 2 的大正方形？ 如图，把两个小正方形沿对角线剪开，将所得的 4 个直角三角形拼在一起，就得到一个 面积为 2 的大正方形。你知道这个大正方形的边长是多少吗？ 设大正方形的边长为 x ，则 22 x ，由算术平方根的意义可知 2x ， 所以大正方形的边长为 2 。 二、讨论 2 的大小： 由上面的实验我们认识了 2 ，它的大小是多少呢？它所表示的数有什么特征呢？下面 我们讨论 2 的大小。 因为 ,42,11 22 21 ＜ 2 ＜ 22 ，所以1＜ 2 ＜ 2 . 因为 96.14.1 2 ， 25.25.1 2 ，所以 4.1 ＜ 2 ＜ 5.1 。 因为 9881.141.1 2 ， 0164.242.1 2 ，所以 41.1 ＜ 2 ＜ 42.1 因为 999396.1414.1 2 ， 002225.2415.1 2 ，所以 414.1 ＜ 2 ＜ 415.1 …… 如此进行下去，我们发现它的小数位数无限，且小数部分不循环，像这样的数我们成为 无限不循环小数。 2 = 41421356.1 …… 注：这种估算体现了两个方向向中间无限逼近的数学思想，学生第一次接触，不好理解， 教师在讲解时速度要放慢，可能需要讲两遍。 2 = 41421356.1 ……，是个无限不循环小数， 但是很抽象，没有办法全部表示出来它的大小，类似这样的数还有很多，比如 7,5,3 等， 圆周率π也是一个无限不循环小数。 三、用计算器求算术平方根： 大多数计算器都有“ ”键，用它可以求出一个有理数的算术平方根或近似值。 例 1、 用计算器求下列各式的值： 3136)1( ； 2)2( （精确到 )001.0 解：（1）依次按键 3136 ，显示：56.所以 563136 （2）依次按键 2=，显示： 414213562.1 ，这是一个近似值。所以 .414.12 注：不同品牌的计算器，按键的顺序可能有所不同。 四、探索规律： （1）利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律？ … … … … (2)用计算器计算 3 （结果保留 4 个有效数字），并利用你发现的规律写出 03.0 ， 300 ， 30000 的近似值。你能根据 3 的值求出 30 的值吗？ 学生通过计算器可求出（1）的答案，依次是： 250,1.79,25,91.7,5.2,791.0,25.0 。从 运算结果可以发现，被开方数扩大或缩小 100 倍时，它的算术平方根就扩大或缩小 10 倍。 由 732.13 可得 2.17330000,32.17300,1732.003.0 ，由 3 的值不能 求出 30 的值，因为规律是被开方数扩大或缩小 100 倍时，它的算术平方根才扩大或缩小 10 倍，而 3 到 30 扩大的是 10 倍，所以不能由此规律求出。 此题学生可独立完成。 五、实际应用： 例 1、小丽想用一块面积为 2400cm 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 2300cm 的长方形纸片，使它的长与宽之比为3 ：2 ，不知道能否裁出来，正在发愁，小明见了 说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片。”你同意小明的说法吗？ 小丽能否用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？ 分析：学生一般认为一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片。通过计算和讲 解纠正这种错误的认识。 解：设长方形纸片的长为 xcm3 ，宽为 xcm2 。 根据边长与面积的关系可得： 30023 xx ， 3006 2 x ， 502 x ， 50x ∴长方形纸片的长为 cm503 。因为50 ﹥ 49 ，所以 50 ﹥ 7 ，从而 503 ﹥ 21 即长方形纸片的长应该大于 cm21 ，而已知正方形纸片的边长只有 cm20 ，这样长方形 纸片的长将大于正方形纸片的边长。 答：不能同意小明的说法。小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片。 六、随堂练习： 1.用计算器求下列各式的值： （1） 1369 （2） 2036.101 （3） 5 （精确到 01.0 ） 2、估计大小： （1） 140 与12 （2） 2 15 与 5.0 3、已知 414.12 ，求 02.0 ， 0002.0 ， 200 ， 20000 的值。 七、课堂小结 1、被开方数增大或缩小时，其相应的算术平方根也相应地增大或缩小，因此我们可以 利用夹值的方法来求出算术平方根的近似值； 2、利用计算器可以求出任意正数的算术平方根的近似值； 3、被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律是怎样的呢？ 4、怎样的数是无限不循环小数？ 八、布置作业 课本第 47 页习题 6、1 第 3、5 题 教学反思： 6.1.3 平方根 第三课时 【教学目标】 知识与技能 了解平方根的概念，会用根号表示正数的平方根； 了解开平方与平方互为逆运算，会 用平方运算求某些非负数的平方根 过程与方法 通过学习平方根，进一步建立数感和符号感，发展抽象思维。通过对正数平方根特点的 探究，了解平方根与算术平方根的区别和联系，体验类比、化归等问题解决数学思想方法的 运用，提高学生对问题的迁移能力。 情感、态度与价值观 通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的。通过探究 活动培养动手能力和锻炼克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情。 教学重点: 了解开方和乘方互为逆运算，弄懂平方根与算术平方根的区别和联系。 教学难点:平方根与算术平方根的区别和联系。 教学方法: 自主探究、启发引导、小组合作 教学过程 一、情境导入 如果一个数的平方等于 9，这个数是多少？ 讨论：这样的数有两个，它们是 3 和－3.注意 93 2 中括号的作用． 又如： 25 42 x ，则 x 等于多少呢？ 二、探索归纳： 1、平方根的概念：如果一个数的平方等于 a，那么这个数就叫做 a 的平方根．即：如 果 2x =a，那么 x 叫做 a 的平方根． 求一个数的平方根的运算，叫做开平方． 例如： 3 的平方等于 9，9 的平方根是 3，所以平方与开平方互为逆运算． 2、观察：课本 P73 的图 14.1-2. 图 14.1-2 中的两个图描述了平方与开平方互为逆运算的运算过程，揭示了开平方运算 的本质．并根据这个关系说出 1,4,9 的平方根． 例 4 求下列各数的平方根。 （1） 100 （2） 16 9 （3） 0.25 3、按照平方根的概念，请同学们思考并讨论下列问题： 正数的平方根有什么特点？0 的平方根是多少？负数有平方根吗？ 一个是正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果，一个是负数没有平方根， 即负数不能进行开平方运算，符号：正数 a 的算术平方根可用 a 表示；正数 a 的负的平方 根可用- a 表示． 例 5 求下列各式的值。 （1） 144 ， （2）－ 81.0 ， （3） 196 121 （4） 256 ， 2 56 归纳：平方根和算术平方根两者既有区别又有联系．区别在于正数的平方根有两个，而 它的算术平方根只有一个；联系在于正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的 算术平方根可以立即写出它的负平方根。 三、 课本 P４６小练习 1、2、3 四、小结： 1、什么叫做一个数的平方根？ 2、正数、0、负数的平方根有什么规律？ 3、怎样求出一个数的平方根？数 a 的平方怎样表示？ 五、作业 P４７－４８习题６、１第 4、7、8 题。 教学反思 6.2 立方根 【教学目标】 知识与技能： 1 了解立方根的概念和表示方法，并会求一个数的立方根； 2 会用计算器求一个数的立方根。 过程与方法： 从具体的计算出发归纳出立方根的概念，然后讨论立方与开立方的关系，研究立方根的 特征，最后介绍实用计算器求立方根的方法。 情感态度与价值观： 通过探索立方根的特征，培养学生独立思考和小组交流的能力；通过立方根与平方根的 比较使学生学会类比学习的数学思想；通过探讨一个数的立方根与它的相反数的立方根的关 系，可以将求负数的立方根转化为求正数的立方根的问题，培养学生的转化思想。 教学重点：立方根的概念和求法 教学难点：立方根的求法。 教学过程： 一、情景引入： 要制作一种容积为 327m 的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？ 二、探索归纳： 1.探索：设这种包装箱的边长为 xm ，则 273 x ， 这就是要求一个数，使它的立方等于 27. 因为 2733 ，所以 3x ，即这种包装箱的边长应为 m3 。 2.归纳： 1 立方根的概念： 一般地，如果一个数的立方等于 a ，那么这个数叫做 a 的立方根或三次方根。 2 立方根的表示方法： 如果 ax 3 ，那么 x 叫做 a 的立方根。记作 3 ax ， 3 a 读作三次根号 a 。 其中 a 是被开方数，3 是根指数， 3 a 中的根指数 3 不能省略。 3 开立方的概念： 求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方互为逆运算，可以根据这种关系 求一个数的立方根。 3、探索立方根的特点： 根据立方根的意义填空，思考正数、0、负数的立方根各有什么特点？ （1）因为 823 ，所以 8 的立方根是（ ）； （2）因为 ( 125.0)3 ，所以 125.0 的立方根是（ ） ； （3）因为 ( 0)3 ，所以 0 的立方根是（ ）； （4）因为 ( 8)3 ，所以 8 的立方根是（ ）； （5）因为 ( 27 8)3 ，所以 27 8 的立方根是（ ）。 学生独立完成后，教师要引导学生从正、负数和零三方面去归纳总结立方根的特点。 归纳：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0 的立方根是 0. 4.探究互为相反数的两个数的立方根的关系： 填空：因为 3 8 ＿＿＿， 3 8 ＿＿＿，所以 3 8 ＿＿＿ 3 8 ； 因为 3 27 ＿＿＿， 3 27 ＿＿＿，所以 3 27 ＿＿＿ 3 27 由上面两个例子可归纳出：一般地， 33 aa 。 注：这个关系对于正数、负数、零都成立。求负数的立方根时，可以先求出这个负数的 绝对值的立方根，然后再确它的相反数。 三、应用： 例 1、 求下列各式的值： （1） 3 64 （2） 3 125 （3） 3 64 27 分析：根据立方根的意义求解。 解：（1） 4643 （2） 51253 （3） 4 3 64 273 例 2、 求下列各式中 x 的值： （1） 008.03 x （2） 8 333 x （3） 8)1( 3 x 分析：此题的本质还是求立方根。 解：（1）∵ 008.03 x ∴ 3 008.0x ∴ 2.0x （2）∵ 8 333 x ∴ 8 273 x ∴ 2 3x （3）∵ 8)1( 3 x ∴ 21 x ∴ 3x 例 3、用计算器计算 3 310 ， 3 610 ， 3 910 ， 3 310 ， 3 610 的值，你发现了什么？ 并总结出来。利用你前面发现的规律填空：已知 62163 ，则 3 000216.0 ＿＿＿＿， 3 216000 ＿＿＿＿。 分析：在用计算器求立方根时按键顺序是： 3 、被开立方的数字、=， 这样即可显示出计算结果 解： 10103 3 ， 23 6 1010 ， 33 9 1010 ， 13 3 1010 ， 23 6 1010 由此发现：一个数扩大或缩小 1000 倍时，它的立方根扩大或缩小 10 倍。 3 000216.0 06.0 ， 602160003 。 四、随堂练习： 1、 立方根等于本身的数是＿＿＿，如果 ,113 aa 则 a ＿＿＿。 2、 64 的立方根是＿＿＿＿， 3)4( 的立方根是＿＿＿＿。 3、已知 163 x 的立方根是 4，求 42 x 的算术平方根。 4、已知 43 x ，求 3 3)10( x 的值。 5、比较大小：（1） 3 2.1 ＿＿ 3 1.2 ，（2） 3 3 2 ＿＿ 3 4 3 ，（3）3＿＿ 3 7 五、课堂小结 1.立方根和开立方的定义． 2.正数、0、负数的立方根的特征． 3.立方根与平方根的异同． 六、布置作业 课本第５１－５２页习题６.2 第 1、3、5、6 题； 教学反思： 6.3.1 实数 第一课时 【教学目标】 知识与技能： 1 了解无理数和实数的概念以及实数的分类； 2 知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系。 过程与方法： 在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数的范围扩充到实数的范围，从 而总结出实数的分类，接着把无理数在数轴上表示出来，从而得到实数与数轴上的点是一一 对应的关系。 情感态度与价值观： 1 通过了解数系扩充体会数系扩充对人类发展的作用； 2 敢于面对数学活动中的困难，并能有意识地运用已有知识解决新问题。 教学重点： 1 了解无理数和实数的概念； 2 对实数进行分类。 教学难点：对无理数的认识。 【教学过程】 一、复习引入无理数： 利用计算器把下列有理数 9 5,11 9,8 47,5 3,3 写成小数的形式，它们有什么特征？ 发现上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式 即： 5.09 5,18.011 9,875.58 47,6.05 3,0.33 归纳：任何一个有理数（整数或分数）都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式， 反过来，任何有限小数或者无限循环小数也都是有理数。 通过前面的学习，我们知道有很多数的平方根或立方根都是无限不循环小数， 把无限不循环小数叫做无理数。 比如 3 3,5,2 等都是无理数。 14159265.3 …也是无理数。 二、实数及其分类： 1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数。 2、实数的分类： 按照定义分类如下： 实数 数）无理数（无限不循环小 小数）（有限小数或无限循环 分数 整数有理数 按照正负分类如下： 实数 负无理数 负有理数负实数 零 负无理数 正有理数正实数 3、实数与数轴上点的关系： 我们知道每个有理数都可以用数轴上的点来表示。物理是合乎是否也可以用数轴上的点 表示出来吗？ 活动 1：直径为 1 个单位长度的圆其周长为π，把这个圆放在数轴上，圆从原点沿数轴 向右滚动一周，圆上的一点由原点到达另一个点，这个点的坐标就是π，由此我们把无理数 π用数轴上的点表示了出来。 活动 2：在数轴上，以一个单位长度为边长画一个正方形，则其对角线的长度就是 2 以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示 2 ，与负半轴的交点 就是 2 。事实上通过这种做法，我们可以把每一个无理数都在数轴上表示出来，即数轴 上有些点表示无理数。 归纳：①实数与数轴上的点是一一对应的。即没一个实数都可以用数轴上的点来表示； 反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。 ②对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。 三、应用： 例 1、下列实数中，无理数有哪些？ 2 ， 17 2 ， 37.0 ， 14.3 ， 3 5 ， 0 ， 11121211211121.10 ，π， 2)4( 。 解：无理数有： 2 ， 3 5 ，π 注：①带根号的数不一定是无理数，比如 2)4( ，它其实是有理数 4； ②无限小数不一定是无理数，无限不循环小数一定是无理数。 比如 11121211211121.10 。 O A C B … … 有理数集合 无理数集合 例 2、把无理数 5 在数轴上表示出来。 分析：类比 2 的表示方法，我们需要构造出长度为 5 的线段，从而以它为半径画弧， 与数轴正半轴的交点就表示 5 。 解：如图所示， ,1,2 ABOA 由勾股定理可知： 5OB ,以原点O 为圆心，以OB 长度为半径画弧， 与数轴的正半轴交于点C ,则点 C 就表示 5 。 四、随堂练习： 1、判断下列说法是否正确： ⑴无限小数都是无理数； ⑵无理数都是无限小数； ⑶带根号的数都是无理数； ⑷所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数； ⑸所有实数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上的所有的点都表示实数。 2、把下列各数分别填在相应的集合里： ,7 22 1415926.3 ， 7 ， 8 ， 3 2 ， 6.0 ， 0 ， 36 ， 3 ， 313113111.0 。 3、比较下列各组实数的大小： （1） 4 ， 15 （2）π， 1416.3 （3） 2 3,23 （4） 3 3,2 2 五、课堂小结 1、无理数、实数的意义及实数的分类. 2、实数与数轴的对应关系 . 六、布置作业 P５７习题６.3 第 1、2、3 题； 教学反思： 6.3.2 实数 第二课时 【教学目标】 知识与技能： 1 掌握实数的相反数和绝对值； 2 掌握实数的运算律和运算性质. 过程与方法： 通过复习有理数的相反数、绝对值、运算律、运算性质，引出实数的相反数、绝对值、 运算律、运算性质，并通过例题和练习题加以巩固，适当加深对它们的认识。 情感态度与价值观： 通过建立有理数的一些概念和运算在实数范围里也成立的意识，让学生了解在这种数的 扩充中所体现的一致性，让学生充分感受数的不断发展。 教学重点： 1 会求实数的相反数和绝对值； 2 会进行实数的加减法运算； 3 会进行实数的近似计算。 教学难点： 认识和理解有理数的一些概念和运算在实数中仍适用的这种扩充。 【教学过程】 一、复习引入：有理数的一些概念和运算性质运算律： 1、相反数：有理数 a 的相反数是 a 。 2、绝对值：当 a ≥0 时， aa ，当 a ≤0 时， aa 。 3、运算律和运算性质：有理数之间可以进行加、减、乘、除（除数不为 0）、乘方、非 负数的开平方、任意数的开立方运算，有理数的运算中还有交换律、结合律、分配律。 二、实数的运算： 1.实数的相反数：数 a 的相反数是 a 。 2.一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0. 3、实数之间可以进行加、减、乘、除（除数不为 0）、乘方、非负实数的开方运算，还 有任意实数的开立方运算，在进行实数的运算中，交换律、结合律、分配律等运算性质也适 用。 三、应用： 例 1、（1）求 3 64 的绝对值和相反数； （2）已知一个数的绝对值是 3 ，求这个数。 解：（1）因为 4643 ，所以 44643 ， 4)4(643 （2）因为 33,33 ，所以绝对值为 3 的数是 3 或 3 。 例 2、计算下列各式的值： （1） 2)23( ； （2） 3233 。 分析：运用加法的结合律和分配律。 解：（1） 303)2_2(32)23( ； （2） 353)23(3233 例 3、计算： （1） 5 （精确到 01.0 ） （2） 23 （结果保留 3 个有效数字） 解：（1） 38.5142.3236.25 ； （2） 45.2414.1732.123 。 四、随堂练习： 1、计算： （1） 2624 ； （2） )23(3 ； （3） 3253 ； （4） 23 )5 4(198 。 2、计算： （1） 322 （精确到 0.01）； （2） 3422 5 、 （精确到十分位）。 3、在平面内有四个点，它们的坐标分别是 )2,2(),2,5(),22,5(),22,2( DCBA 。 （1）依次连接 DCBA 、、、 ，围成的四边形是一个什么图形？ （2）求这个四边形的面积。 （3）将这个四边形向下平移 2 个单位长度，四个顶点的坐标变为多少？ 五、课堂小结 1、实数的运算法则及运算律。 2、实数的相反数和绝对值的意义 六、布置作业 课本 P５７习题６.3 第 4、5、6、7 题； 教学反思： 第六章复习 本章的知识网络结构： 知识梳理 一．数的开方主要知识点： 【1】平方根： 1.如果一个数 x 的平方等于 a，那么，这个数 x 就叫做 a 的平方根；也即，当 )0(2 aax 时，我们称 x 是 a 的平方根，记做： )0( aax 。因此： 2.当 a=0 时，它的平方根只有一个，也就是 0 本身； 3.当 a＞0 时，也就是 a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做： ax 。 当 a＜0 时，也即 a 为负数时，它不存在平方根。 例 1. （1） 的平方是 64，所以 64 的平方根是 ； （2） 的平方根是它本身。 （3）若 x 的平方根是±2，则 x= ； 16 的平方根是 （4）当 x 时， x23－ 有意义。 （5）一个正数的平方根分别是 m 和 m-4，则 m 的值是多少？这个正数是多少？ 【算术平方根】： 1.如果一个正数 x 的平方等于 a，即 ax 2 ，那么，这个正数 x 就叫做 a 的算术平方 根，记为：“ a ”，读作，“根号 a”，其中，a 称为被开方数。特别规定：0 的算术平方根 仍然为 0。 2.算术平方根的性质：具有双重非负性，即： )0(0 aa 。 3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共 同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为： a ；而平 方根具有两个互为相反数的值，表示为： a 。 例 2. （1）下列说法正确的是 （ ） A．1 的立方根是 1 B． 24 C. 81 的平方根是 3 D.0 没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ） A. 981 B. 14.314.3 C. 3927 D. 235 （3） 2)3( 的算术平方根是 。 （4）若 xx 有意义，则 1x ___________。 （5）已知△ABC 的三边分别是 ,,, cba 且 ba, 满足 0)4(3 2 ba ，求 c 的取值 范围。 （6）已知：A= yx yx 3 是 3 yx 的算术平方根，B= 32 2 yx yx 是 yx 2 的立 方根。求 A－B 的平方根。 （7）（提高题）如果 x、y 分别是 4－ 3 的整数部分和小数部分。求 x－y 的值. 【立方根】 1.如果 x 的立方等于 a，那么，就称 x 是 a 的立方根，或者三次方根。记做： 3 a ，读 作，3 次根号 a。注意：这里的 3 表示的是开根的次数。一般的，平方根可以省写根的次数， 但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略。 2.平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每 个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。 例 3. （1）64 的立方根是 （2）若 9.28,89.2 33 aba ，则 b 等于（ ） A. 1000000 B. 1000 C. 10 D. 10000 （3）下列说法中：① 3 都是 27 的立方根，② yy 3 3 ，③ 64 的立方根是 2， ④ 483 2 。 其中正确的有 （ ） A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 【无理数】 1.无限不循环小数的小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条 件。在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率 以及含有 的一些数，如：2- ，3 等；（2）开方开不尽的数，如: 3 9,5,2 等；（3） 特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01…（两个 1 之间依次多 1 个 0）等。应当要注意 的是：带根号的数不一定是无理数，如： 9 等；无理数也不一定带根号，如： 2. 有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则 是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为 1 的分 数），而无理数则不能写成分数形式。 例 4.（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③ 75 、④π、⑤ 252. 、 ⑥ 3 2 、⑦0.3030003000003……（相邻两个 3 之间 0 的个数逐次增加 2）、其中是有理数的 有＿＿＿＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿＿＿＿＿。（填序号） （2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,- , 4 , 3 2 其中无理数有 ( )个 A 2 B 3 C 4 D 5 【实数】 1.有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对 值最小的实数是 0，最大的负整数是-1。 2.实数的性质：实数 a 的相反数是-a；实数 a 的倒数是 a 1 （a≠0）；实数 a 的绝对值 |a|= )0( )0( aa aa ，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。 3.实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数 大于 0，0 大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的 反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通 过比较它们的平方或者立方的大小。 4.实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算 法则和运算顺序与有理数的一致。 例 5. （1）下列说法正确的是（ ）； A、任何有理数均可用分数形式表示 ； B、数轴上的点与有理数一一对应 ； C、1 和 2 之间的无理数只有 2 ； D、不带根号的数都是有理数。 （2）a，b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( ) A、 ba B、 ab C、 ba D、 ab （3）比较大小(填“>”或“<”). 3 10 ， 3 3 20 ， 76______67 ， 2 15 2 1 ， （4）数 7, 2, 3 的大小关系是 ( ) A. 7 3 2 B. 3 7 2 C. 2 7 3 D. 3 2 7 （ 5 ） 将 下 列 各 数 ： 51,3,8,2 3 ， 用 “ ＜ ” 连 接 起 来 ； ______________________________________。 （6）若 2,3 ba ，且 0ab ，则： ba = 。 a 0 b （7）计算： 32 27 8115.04 1 3 2 3 8 1 16 13125.0 （8）已知： 064.01,1217 32 yx ，求代数式 3 245102 yyxx 的值。 6.（提高题）观察下列等式：回答问题： ① 2 1111 1 1 11 2 1 1 11 22 ② 6 1112 1 2 11 3 1 2 11 22 ③ 12 1113 1 3 11 4 1 3 11 22 ，…… （1）根据上面三个等式的信息，请猜想 22 5 1 4 11 的结果； （2）请按照上式反应的规律，试写出用 n 表示的等式，并加以验证。 a，求 x+y 的值. 第七章 平面直角坐标系 7.1．1 有序数对 教学目标：1、理解有序数对的应用意义，了解平面上确定点的常用方法 培养学生用数学的意识，激发学生的学习兴趣. 重点:有序数对及平面内确定点的方法. 难点:利用有序数对表示平面内的点. 教学过程 一.问题探知 1．一位居民打电话给供电部门：“卫星路第 8 根电线杆的路灯坏了，”维修人员很快修好了 路灯同学们欣赏下面图案. 2．地质部门在某地埋下一个标志桩，上面写着“北纬 44.2°东经 125.7°”。 3．某人买了一张 8 排 6 号的电影票，很快找到了自己的座位。 分析以上情景，他们分别利用那些数据找到位置的。 你能举出生活中利用数据表示位置的例子吗？ 二.概念确定 有序数对：用含有两个数的词表示一个确定的位置，其中各个数表示不同的含义，我们把这 种有顺序的两个数 a 与 b 组成的数对，叫做有序数对（orderedpair）,记作（a,b）。利用有序 数对，可以很准确地表示出一个位置。 与 3 大道例 1 如图，点 A 表示 3 街与 5 大道的十字路口，点 B 表示 5 街与 3 大道的十字路 口，如果用（3，5）（4，5）→（5，5）→（5，4）→（5，3）表示由 A 到 B 的一条路径， 那么你能用同样的方法写出由 A 到 B 的其他几条路径吗？ 6 大道 5 大道 A 4 大道 3 大道 B 2 大道 1 大道 1 街 2 街 3 街 4 街 5 街 6 街 分析：图中确定点用前一个数表示大街，后一个数表示大道。 解：其他的路径可以是： （3，5）→（4，5）→（4，4）→（5，4）→（5，3）； （3，5）→（4，5）→（4，4）→（4，3）→（5，3）； （3，5）→（3，4）→（4，4）→（5，4）→（5，3）； （3，5）→（3，4）→（4，4）→（4，3）→（5，3）； （3，5）→（3，4）→（3，3）→（4，3）→（5，3）； 1．在教室里，根据座位图，确定数学课代表的位置 2．教材 65 页练习 三.方法归类 常见的确定平面上的点位置常用的方法 （1）以某一点为原点（0，0）将平面分成若干个小正方形的方格，利用点所在的行和列的 位置来确定点的位置。 （2）以某一点为观察点，用方位角、目标到这个点的距离这两个数来确定目标所在的位置。 1．如图，A 点为原点（0，0），则 B 点记为（3，1） 2．如图，以灯塔 A 为观测点，小岛 B 在灯塔 A 北偏 东 45，距灯塔 3km 处。 例 2 如图是某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图 ，对我方舰艇来说： 1）北偏东方向上有哪些目标？要想确定 敌舰 B 的位置，还需要什么数据？ （2）距我方潜艇图上距离为 1cm 处的敌 舰有哪几艘？ （3）要确定每艘敌舰的位置，各需要几个数据？ 四、课堂小结 1.为什么要用有序数对表示点的位置，没有顺序可以吗？ 2.几种常用的表示点位置的方法. 五、作业布置教科书 68 页:1 题 7.1．2 平面直角坐标系 教学目标：1、认识平面直角坐标系，了解点的坐标的意义，会用坐标表示点，能画出点的 坐标位 渗透对应关系，提高学生的数感. 重点:平面直角坐标系和点的坐标. 难点:正确画坐标和找对应点. 一.利用已有知识，引入 1．如图，怎样说明数轴上点 A 和点 B 的位置， A（灯塔） B（小岛） 北 45° B A -1 1 -4 -3 -2 0 2 3 2．根据下图，你能正确说出各个象棋子的位置吗？ 二.明确概念 平面直角坐标系：平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系.水平的 数轴称为 x 轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴为 y 轴或纵轴，正方向；两个坐 标轴的交点为平面直角坐标系的原点。 点的坐标：我们用一对有序数对表示平面上的点，这对数叫坐标。表示方法为（a,b）.a 是 点对应横轴上的数值，b 是点在纵轴上对应的数值。 例 1 写出图中 A、B、C、D 点的坐标。 建立平面直角坐标系后，平面被坐标轴分成四部分， 分别叫第一象限，第二象限，第三象限和第四象限。 你能说出例 1 中各点在第几象限吗？ 例 2 在平面直角坐标系中描出下列各点。 A（3，4）；B（-1，2）；C（-3，-2）；D（2，-2） 问题 1：各象限点的坐标有什么特征？练习：教材 43 页：练习 1，2。 三.深入探索 识别坐标和点的位置关系，以及由坐标判断两点的关系以及两点所确定的直线的位置关系。 四、巩固练习：教材 44 页习题 6.1——第 1 题；教材 45 页——第 2，4，5，6。 五、课堂小结 1.平面直角坐标系；2.点的坐标及其表示；3.各象限内点的坐标的特征；4.坐标的简单应用 六、作业布置：课本 P66 第 3 题 7．2．1 用坐标表示地理位置 教学目标：1．了解用平面直角坐标系来表示地理位置的意义及主要过程；培养学生解决实 际问题的能力． 2．通过学习如何用坐标表示地理位置，发展学生的空间观念． 3．通过学习，学生能够用坐标系来描述地理位置． 4．通过用坐标系表示实际生活中的一些地理位置，培养学生的认真、严谨的做事态度． 重点：利用坐标表示地理位置． 难点：建立适当的直角坐标系，利用平面直角坐标系解决实际问题． 教学过程 O C A B D 一、创设问题情境 观察：教材第 63 页图 7．2-1． 今天我们学习如何用坐标系表示地理位置，首先我们来探究以下问题． 二、师生互动，探究用坐标表示地理位置的方法 活动 1： 根据以下条件画一幅示意图，指出学校和小刚家、小强家、小敏家的位置． 小刚家：出校门向东走 150 米，再向北走 200 米． 小强家：出校门向西走 200 米，再向北走 350 米，最后再向东走 50 米． 小敏家：出校门向南走 100 米，再向东走 300 米，最后向南走 75 米． 问题：如何建立平面直角坐标系呢？以何参照点为原点？如何确定 x 轴、y 轴？如何选比例 尺来绘制区域内地点分布情况平面图？ 小刚家、小强家、小敏家的位置均是以学校为参照物来描述的，故选学校位置为原点．根据 描述，可以以正东方向为 x 轴，以正北方向为 y 轴建立平面直角坐标系，并取比例尺 1：10000 （即图中 1cm 相当于实际中 10000cm，即 100 米）． 由学生画出平面直角坐标系，标出学校的位置，即（0，0）． 引导学生一同完成示意图． 问题：选取学校所在位置为原点，并以正东、正北方向为 x 轴、y 轴的正方向有什么优点？ 可以很容易地写出三位同学家的位置． 活动 2：归纳利用平面直角绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程． 经过学生讨论、交流，教师适当引导后得出结论： （1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定 x 轴、y 轴的正方向； （2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度； （3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称． 应注意的问题： 用坐标表示地理位置时，一是要注意选择适当的位置为坐标原点，这里所说的适当，通常要 么是比较有名的地点，要么是所要绘制的区域内较居中的位置；二是坐标轴的方向通常是以 正北为纵轴的正方向，这样可以使东西南北的方向与地理位置的方向一致；三是要注意标明 比例尺和坐标轴上的单位长度． 有时，由于地点比较集中，坐标平面又较小，各地点的名称在图上可以用代号标出，在图外 另附名称． 活动 3：进一步理解如何用坐标表示地理位置． 展示问题：（教材第 82 页活动 1，公园平面图） 让学生分别画出直角坐标系，标出其他景点的位置． 三、课堂小结：让学生归纳说出如何利用坐标表示地理位置． 四、课后作业：第 79 页第 5 题、第 8 题． 7．2．2 用坐标表示平移 教学目标：1．掌握坐标变化与图形平移的关系；能利用点的平移规律将平面图形进行平移； 会根据图形上点的坐标的变化，来判定图形的移动过程． 2．发展学生的形象思维能力，和数形结合的意识． 3．用坐标表示平移体现了平面直角坐标系在数学中的应用． 4．培养学生探究的兴趣和归纳概括的能力，体会使复杂问题简单化． 重点：掌握坐标变化与图形平移的关系． 难点：利用坐标变化与图形平移的关系解决实际问题． 教学过程 一、引言 上节课我们学习了用坐标表示地理位置，本节课我们继续研究坐标方 法的另一个应用． 二、新课 展示问题：教材第 75 页图． （1）如图将点 A（－2，－3）向右平移 5 个单位长度，得到点 A1， 在图上标出它的坐标，把点 A 向上平移 4 个单位长度呢？ （2）把点 A 向左或向下平移 4 个单位长度，观察他们的变化，你能 从中发现什么规律吗？ （3）再找几个点，对他们进行平移，观察他们的坐标是否按你发现 的规律变化？ 规律：在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移 a 个单位长度，可以得到对应 点（x+a，y）（或（，））；将点（x，y）向上（或下）平移 b 个单位长度，可以得到对应点（x， y+b）（或（，））． 教师说明：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来， 从图形上的点的坐标的某种变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移． 例如图（1），三角形 ABC 三个顶点坐标分别是 A（4，3），B（3，1），C（1，2）． （1）将三角形 ABC 三个顶点的横坐标后减去 6，纵坐标不变，分别得到点 A1、B1、C1，依 次连接 A1、B1、C1 各点，所得三角形 A1B1C1 与三角形 ABC 的大小、形状和位置上有什么 关系？ （2）将三角形 ABC 三个顶点的纵坐标都减去 5，横坐标不变，分别得到点 A2、B2、C2，依 次连接 A2、B2、C2 各点，所得三角形 A2B2C2 与三角形 ABC 的大小、形状和位置上有什么 关系？ 引导学生动手操作，按要求画出图形后，解答此例题． 解：如图（2），所得三角形 A1B1C1 与三角形 ABC 的大小、形状完全相同，三角形 A1B1C1 可以看作将三角形 ABC 向左平移 6 个单位长度得到．类似地，三角形 A2B2C2 与三角形 ABC 的大小、形状完全相同，它可以看作将三角形 ABC 向下平移 5 个单位长度得到． 课本 P77 思考题：由学生动手画图并解答． 归纳： 三、练习：教材第 78 页练习；习题 7．2 中第 1、2、4 题． 四、作业布置 第 78 页第 3 题． 第七章 平面直角坐标系 小结 一、本章知识结构图： 二、平面直角坐标系 1、平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴，构成平面直角坐标系.平面直角坐标系，水平 的数轴叫做 x 轴或横轴 (正方向向右)，铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴(正方向向上)，两轴交点 O 是原点．这个平面叫做坐标平面． x 轴和 y 把坐标平面分成 四个象限(每个象限都不包括坐标轴上的点)，要注意象限的编 号顺序及各象限内点的坐标的符号：由坐标平面内一点向 x 轴作垂线，垂足在 x 轴上的坐标 叫做这个点的横坐标，由这个点向 y 轴作垂线，垂足在 y 轴上的坐标叫做这个点的纵坐标， 这个点的横坐标、纵坐标合在一起叫做这个点的坐标（横坐标在前，纵坐标在后)．一个点 的坐标是一对有序实数，对于坐标平面内任意一点，都有唯一一对有序实数和它对应，对于 任意一对有序实数，在坐标平面都有一点和它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序实数 对是一一对应的. 2、不同位置点的坐标的特征： （1）、各象限内点的坐标有如下特征： 点 P（x, y）在第一象限 x ＞0，y＞0； 点 P（x, y）在第二象限 x＜0，y＞0； 点 P（x, y）在第三象限 x＜0，y＜0； 点 P（x, y）在第四象限 x＞0，y＜0. （2）、坐标轴上的点有如下特征： 点 P（x, y）在 x 轴上 y 为 0，x 为任意实数. 点 P（x，y）在 y 轴上 x 为 0，y 为任意实数. 3、点 P（x, y）坐标的几何意义： （1）点 P（x, y）到 x 轴的距离是| y |； （2）点 P（x, y）到 y 袖的距离是| x |； （3）点 P（x, y）到原点的距离是 4、关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征： （1）点 P（a, b）关于 x 轴的对称点是 ； （2）点 P（a, b）关于 x 轴的对称点是 ； （3）点 P（a , b）关于原点的对称点是 ； 〖考查重点与常见题型〗 1、考查各象限内点的符号，有关试题常出选择题，如：若点 P（a，b）在第四象限，则点 M（b－a，a－b）在（ ） （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 2、考查对称点的坐标，有关试题在中考试卷中经常出现，习题类型多为填空题或选择题， 如：点 P（－1，－3）关于 y 轴对称的点的坐标是（ ） （A）（－1，3） （B）（1，3） （C）（3，－1） （D）（1，－3） 3、考查自变量的取值范围，有关试题出现的频率很高，重点考查的是含有算术平方根中自 变量的取值范围，题型多为填空题，如：2x－3 的自变量 x 的取值范围是 4、取值范围： (1)1x－1 中自变量 x 的取值范围是 (2)x＋2＋ 5－x 中自变量 x 的取值范围是 (3)x－2(2－x)2－1 中自变量 x 的取值范围是 5、已知点 P(a,b)，a·b>0，a＋b<0，则点 P 在（ ） （A）第一象限（B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 6、在直角坐标系中，点 P（－1，－12 ）关于 x 轴对称的点的坐标是（ ） （A）（－1，－12 ）（B）（1，－12 ）（C）（1，12 ）（D）（－1，12 ） 7、已知点 P(x,y)的坐标满足方程|x＋1|＋y－2 =0,则点 P 在（ ） （A）第一象限（B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 考点训练： 1、点 A(x,y)是平面直角坐标系中的一点，若 xy<0，则点 A 在 象限；若 x=0 则点 A 在 ； 若 x<0，y≠0 则点 A 在 ; 若 xy>0，且 x=y, 则点 A 在 2、已知点 A(a,b), B(a,－b), 那么点 A,B 关于 对称，直线 AB 平行于 轴 3、点 P(－4,－7)到 x 轴的距离为 ，到 y 轴的距离为 ，到原点距离为 4、已知 P 是第二象限内坐标轴夹角平分线上一点，点 P 到原点距离为 4，那么点 P 坐标为 5、某音乐厅有 20 排座位，第一排有 18 个座位，后面每排比前一排多一个座位，每排座位 数 m 与这排的排数 n 的函数关系是 ，自变量 n 的取值范围是 6、求下列函数中自变量的取值范围： (1)y= 132x+1 ( ) (2)y=--3x--1∣x∣--2 ( ) 解题指导 1、点 P(x,y)在第二象限，且│x│=2 , │y│=3 ，则点 P 的坐标是 ，点 P 到原点 O 的距离 OP= . 2、已知点 P(x,4), Q(--3,y).若 P,Q 关于 y 轴对称，则 x= , y= ；若 P,Q 关于 x 轴对称，则 x= , y= ；若 P,Q 关于原点 O 对称，则 x= , y= . 3．以 A(0,2), －4,0), C(3,0)为三个顶点画三角形，则 S△ABC= . 4、依此连结 A(－6,－1), B(－3,－4), C(2,1), D(－1,4)四点，则四边形 ABCD 是 形. 5、当 x=－2 时，则 2x--1x+1 的值是 ； 6、--xx--1 中 x 的取值范围是 . 7、等腰三角形的底角的度数为 x，顶角的度数为 y，写出以 x 表示 y 的关系式 ， 并指出自变量 x 的取值范围 . 8、多边形的内角和 a 与边数 n(n≥3)的关系式是 ；多边形的对角线条数 m 与 边数 n(n≥3)的关系式是 独立训练 1、已知 A(－3 ,2 )与点 B 关于 y 轴对称，则点 B 的坐标是 ，与点 B 关于原点对称的 点 C 的坐标是 ，这时点 A 与点 C 关于 对 称. 2、在 xx2--1 中，自变量 x 的取值范围是 . 3、若点 M(a,b)在第二象限，则点 N(a-1,b)在第 象限. 4、所有横坐标为零的点都在 上，所有纵坐标为零的点都 上 5、若点 P(a,--3)在第三象限内两条坐 标轴夹角的平分线上，则 a= 6、若 A(a,b), B(b,a)表示同一点，则这一点在 7、求下列 x 的取值范围： (1)3x－1x－2 （ ） (3) 32+x－1 （ ）2x－3 +9－3x （ ） 三、坐标方法的简单应用 （一）、表示地理位置：（注意点） 1、建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定 x 轴、y 轴的正方向.（说清楚以什么 为原点，什么所在的方向为 x 轴的正方向，什么所在的方向为 y 轴的正方向）. 2、根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度.（比例尺不能漏，单位 长 度不要忘记）. 3、在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个点的名称. （二）、用坐标表示平移 1、图形的平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离，这种图形的运动称为平 移. 2、图形的移动引起坐标变化的规律： （1）、将点（x，y）向右平移 a 个单位长度，得到的对应点的坐标是：（x+a，y） （2）、将点（x，y）向左平移 a 个单位长度，得到的对应点的坐标是：（x-a，y） （3）、将点（x，y）向上平移 b 个单位长度，得到的对应点的坐标是：（x，y+b） （4）、将点（x，y）向下平移 b 个单位长度，得到的对应点的坐标是：（x，y-b） 3、点的变化引起图形移动的规律： （1）、将点（x，y）的横坐标加上一个正数 a，纵坐标不变，即（x+a，y），则其新图形就是 把原图形向右平移 a 个单位. （2）、将点（x，y）的横坐标减去一个正数 a，纵坐标不变，即（x-a，y），则其新图形就是 把原图形向左平移 a 个单位. （1）、将点（x，y）的纵坐标加上一个正数 b，横坐标不变，即（x，y+b），则其新图形就 是把原图形向上平移 a 个单位. （1）、将点（x，y）的纵坐标加上一个正数 b，横坐标不变，即（x，y+b），则其新图形就 是把原图形向下平移 b 个单位. 4、平移的性质： （1）、平移后，对应点所连的线段平行且相等； （2）、平移后，对应线段平行且相等； （3）、平移后，对应角相等； （4）、平移后，只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小. 5、 决定平移的因素：平移的方向和距离. 6、画平移图形，必须找出平移的方向和距离、画平移图形的依据是平移的性质. 7、在实际生活中，同一个图案往往可以由不同的基本图案经过平移形成的，选取了不同的 基本图案之后，分析这个图案的形成过程就有所不同. 第八章 二元一次方程组 8.1 二元一次方程组 教学目标： 1.认识二元一次方程和二元一次方程组. 2.了解二元一次方程和二元一次方程组的解，会求二元一次方程的正整数解. 教学重点：理解二元一次方程组的解的意义. 教学难点：求二元一次方程的正整数解. 教学过程： 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得 2 分.负一场得 1 分，某队为了争取较 好的名次，想在全部 22 场比赛中得到 40 分，那么这个队胜负场数分别是多少？ 思考：这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件？设胜的场数是 x，负的场数是 y，你能 用方程把这些条件表示出来吗？ 由问题知道，题中包含两个必须同时满足的条件： 胜的场数＋负的场数＝总场数，胜场积分＋负场积分＝总积分. 这两个条件可以用方程 x＋y＝22 2x＋y＝40 表示. 上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数（x 和 y），并且未知数的指数都是 1，像这样 的方程叫做二元一次方程. 把两个方程合在一起，写成 x＋y＝22 2x＋y＝40 像这样，把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 探究： 满足方程①，且符合问题的实际意义的 x、y 的值有哪些？把它们填入表中. x y 上表中哪对 x、y 的值还满足方程② 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 例 1 （1）方程（a＋2）x+(b-1)y=3 是二元一次方程，试求 a、b 的取值范围. （2）方程 x∣a∣–1+(a-2)y=2 是二元一次方程，试求 a 的值. 例 2 若方程 x2m–1+5y3n–2=7 是二元一次方程.求 m、n 的值 例 3 已知下列三对值： x＝－6 x＝10 x＝10 y＝－9 y＝－6 y＝－1 哪几对数值使方程 2 1 x－y＝6 的左、右两边的值相等？ 哪几对数值是方程组 的解？ 例 4 求二元一次方程 3x＋2y＝19 的正整数解. 课堂练习：教科书第 94 页练习 作业布置：教科书第 95 页 3、4、5 题 8．2 消元（第一课时） 教学目标：1．会用代入法解二元一次方程组. 2．初步体会解二元一次方程组的基本思想――“消元”. 3．通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探究精神. 重点：用代入消元法解二元一次方程组. 难点：探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程. 教学过程： 一、知识回顾 1、什么是二元一次方程及二元一次方程的解？ 2、什么是二元一次方程组及二元一次方程组的解？ 二、提出问题，创设情境 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得 2 分.负一场得 1 分，某队为了争取较 好的名次，想在全部 22 场比赛中得到 40 分，那么这个队胜负场数分别是多少？ 在上述问题中，我们可以设出两个未知数，列出二元一次方程组. 这个问题能用一元一次方程解决吗？ 三、讲授新课 1、那么怎样求解二元一次方程组呢?上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系? 2、提出问题：从上面的学习中体会到代入法的基本思路是什么？主要步骤有哪些呢？ 归纳:基本思路： “消元”——把“二元”变为“一元”。 主要步骤是：将其中的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表现出来，并 代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。这种解方程 2 1 x－y＝6 2x＋31y＝－11 组的方法称为代入消元法，简称代入法。 3、把下列方程写成用含 x 的式子表示 y 的形式： （1）2x－y＝3 （2）3x＋y－1＝0 （3）5x-3y = x + y (4)-4x+y = -2 4、例题分析：例 1 例 2 5、课堂练习：教科书 P98 第 2 题 四、课堂小结 问题 1、解方程组的基本思路是什么？ 问题 2、解方程组的方法是什么？ 五、作业布置：教科书 P90 第 3、4 题 P111 第 1、2 题 8．2 消元（第二课时） 教学目标：1.用代入法、加减法解二元一次方程组.毛 2.了解解二元一次方程组时的“消元思想”,“化未知为已知”的化归思想. 教学重点：用代入法、加减法解二元一次方程组. 教学难点：会用二元一次方程组解决实际问题 教学过程 一、创设情境，导入新课 甲、乙、丙三位同学是好朋友，平时互相帮助。甲借给乙 10 元钱，乙借给丙 8 元钱，丙又 给甲 12 元钱，如果允许转帐，最后甲、乙、丙三同学最终谁欠谁的钱，欠多少？ 二、师生互动，课堂探究 （一）提高问题，引发讨论 我们知道，对于方程组 22 2 40 x y x y , 可以用代入消元法求解。 这个方程组的两个方程中，y 的系数有什么关系？利用这种关系你能发现新的消元方法 吗？ （二）导入知识，解释疑难 1.问题的解决 上面的两个方程中未知数 y 的系数相同，②－①可消去未知数 y，得(2x+y)-(x+y)=40-22 即 x=18, 把 x=18 代入①得 y=4。另外，由①－②也能消去未知数 y，得(x+y)-(2x+y)=22-40 即-x=-18,x=18, 把 x=18 代入①得 y=4. 2.想一想：联系上面的解法，想一想应怎样解方程组 4 10 3.6 15 10 8 x y x y 分析：这两个方程中未知数 y 的系数互为相反数，因此由①＋②可消去未知数 y，从而求 出未知数 x 的值。 解：由①＋②得 19x=11.6x= 58 95 把 x= 58 95 代入①得 y=- 9 95 ∴这个方程组的解为 58 95 9 95 x x ① ② ① ② 3.加减消元法的概念 从上面两个方程组的解法可以发现，把两个二元一次方程的两边分别进行相加减，就可以消 去一个未知数，得到一个一元一次方程。 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减， 就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。 4.例题讲解 用加减法解方程组 3 4 16 5 6 33 x y x y 分析：这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相同，直接加减两个方程不能消元，试 一试，能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同。 议一议：本题如果用加减法消去 x 应如何解？解得结果与上面一样吗？ 5.做一做 解方程组 2 3 2 3 74 3 2 3 2 3 83 2 x y x y x y x y 分析：本题不能直接运用加减法求解，要进行化简整理后再求解。 6.想一想 (1)加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么? (2)用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些? 师生共析: (1)用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”. (2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤: 第一步:在所解的方程组中的两个方程,如果某个未知数的系数互为相反数,可以把这两个方 程的两边分别相加,消去这个未知数;如果未知数的系数相等,可以直接把两个方程的两边相 减,消去这个未知数. 第二步:如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等,那么应选出一组系数(选最小公 倍数较小的一组系数),求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍,该系数 即为最小公倍数),然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数 的最小公倍数),再加减消元. 第三步:对于较复杂的二元一次方程组,应先化简(去分母,去括号,合并同类项等),通常要把每 个方程整理成含未知数的项在方程的左边,常数项在方程的右边的形式,再作如上加减消元 的考虑. (三)归纳总结,知识回顾 本节课,我们主要是学习了二元一次方程组的另一解法──加减法.通过把方程组中的两个方 程进行相加或相减,消去一个未知数,化“二元”为“一元”. 作业：P93 练习 8．2 消元（第三课时） 一、创设情境,导入新课 七年级(3)班在上体育课时,进行投篮比赛,体育老师做好记录,并统计了在规定时间内投进 n 个球的人数分布情况,体育委员在看统计表时,不慎将墨水沾到表格上(如下表). ① ② ① ② 进球数 n 0 1 2 3 4 5 投进球的人数 1 2 7 ● ● 2 同时,已知进球 3 个和 3 个以上的人平均每人投进 3.5 个球;进球 4 个和 4个以下的人平均每 人投进 2.5 个球,你能把表格中投进 3 个球和投进 4 个球对应的人数补上吗? 二、师生互动,课堂探究 (一)指出问题,引发讨论 你能不能用二元一次方程组,帮助体育委员把表格中的两个数字补上呢? (经过学生思考、讨论、交流) (二)导入知识,解释疑难 1.例题讲解(见 P101) 分析:如果 1 台大收割机和 1 台小收割机每小时各收割小麦 x 公顷和 y 公顷,那么 2 台大收割 机和 5 台小收割机 1 小时收割小麦______公顷,3 台大收割机和 2台小收割机 1 小时收割小 麦_______公顷. 解:设 1 台大收割机和 1 台小收割机 1 小时各收割小麦 x 公顷和 y 公顷.根据两种工作方式中 的相等关系,得方程组 2(2 5 ) 3.6 5(3 2 ) 8 x y x y 去括号,得 4 10 3.6 15 10 8 x y x y ②-①,得 11x=4.4 解这个方程,得 x=0.4 把 x=0.4 代入①,得 y=0.2 这个方程组的解是 0.4 0.2 x y 答:1 台大收割机和 1 台小收割机 1 小时各收割小麦 0.4 公顷和 0.2 公顷. 2.上面解方程组的过程可以用下面的框图表示: 解得x 一元一次方程 11x=4.4 两方程相减、 消去未知数y ②-① x=0.4 y=0.2 15x+10y=7 ② 4x+10y=3.6 ① 二 元 一 次 方 程 组 3.练一练:P102 练习第 2、３题. (三)归纳总结,知识回顾 这节课我们经历和体验了列方程组解决实际问题的过程,体会到方程组是刻画现实世界的 有效模型,从而更进一步提高了我们应用数学的意识及解方程组的技能. 布置作业 P111 6、7、9 题 8.3 实际问题与二元一次方程组（一） ① ② 教学目标： 1.使学生会借助二元一次方程组解决简单的实际问题，让学生再次体会二元一次方程组与现 实生活的联系和作用 2.通过应用题教学使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中 等量关系，体会代数方法的优越性。 重点：能根据题意列二元一次方程组；根据题意找出等量关系； 难点：正确发找出问题中的两个等量关系 教学过程： 一、复习 列方程解应用题的步骤是什么？ 审题、设未知数、列方程、解方程、检验并答 新课： 看一看 课本 99 页探究 1 问题： 1 题中有哪些已知量？哪些未知量？ 2 题中等量关系有哪些？ 3 如何解这个应用题？ 本题的等量关系是（1）30 只母牛和 15 只小牛一天需用饲料为 675kg （2）（30+12 只母牛和（15+5）只小牛一天需用饲料为 940 练一练： 1、某所中学现在有学生 4200 人，计划一年后初中在样生增加 8%，高中在校生增加 11%， 这样全校学生将增加 10%，这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数各是多少人？ 2、有大小两辆货车，两辆大车与 3 辆小车一次可以支货 15。50 吨，5 辆大车与 6 辆小车一 次可以支货 35 吨，求 3 辆大车与 5 辆小车一次可以运货多少吨？ 3、某工厂第一车间比第二车间人数的 5 4 少 30 人，如果从第二车间调出 10 人到第一车间， 则第一车间的人数是第二车间的 4 3 ，问这两车间原有多少人？ 4、某运输队送一批货物，计划 20 天完成，实际每天多运送 5 吨，结果不但提前 2 天完成任 务并多运了 10 吨，求这批货物有多少吨？原计划每天运输多少吨？ 8.3 实际问题与二元一次方程组（二） 教学目标：通过学生积极思考，互相讨论，经历探索事物之间的数量关系，形成方 程模型，解方程和运用方程解决实际问题的过程进一步体会方程是刻划现实世界的有效数学 模型 重点：让学生实践与探索，运用二元一次方程解决有关配套与设计的应用题 难点：寻找等量关系 教学过程： 看一看：课本 99 页探究 2 问题：1“甲、乙两种作物的单位面积产量比是 1：1.5”是什么意思？ 2、“甲、乙两种作物的总产量比为 3：4”是什么意思？ 3、本题中有哪些等量关系？ 提示：若甲种作物单位产量是 a，那么乙种作物单位产量是多少？ 思考：这块地还可以怎样分？ 练一练 一、某农场 300 名职工耕种 51 公顷土地，计划种植水稻、棉花、和蔬菜，已知种植植物每 公顷所需的劳动力人数及投入的设备奖金如下表： 农作物品种 每公顷需劳动力 每公顷需投入奖金 水稻 4 人 1 万元 棉花 8 人 1 万元 蔬菜 5 人 2 万元 已知该农场计划在设备投入 67 万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职 工都有工作，而且投入的资金正好够用？ 问题：题中有几个已知量？题中求什么？分别安排多少公顷种水稻、棉花、和蔬菜？ 8.3 实际问题与二元一次方程组（三） 教材 106 页：探究 3：如图，长青化工厂与 A、B 两地有公路、铁路相连，这家工厂从 A 地 购买一批每吨 1000 元的原料运回工厂，制成每吨 8000 元的产品运到 B 地。公路运价为 1.5 元/（吨·千米）,铁路运价为 1.2 元/（吨·千米），这两次运输共支出公路运费 15000 元， 铁路运费 97200 元。这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？ 例：甲运输公司决定分别 运给 A 市苹果 10 吨、B 市苹果 8 吨，但现在仅有 12 吨苹果，还需从乙运输公司调运 6 吨，经协 商，从甲运输公司运 1 吨苹果到 A、B 两市的运费分别为 50 元和 30 元，从乙运输公司运 1 吨苹果到 A、B 两市的运费分别为 80 元和 40 元，要求总运费为 840 元，问如何进行调运？ 练习： 某山区有 23 名中、小学生因贫困失学要捐助。资助一名中学生的学习费用需要 a 元，一名 小学生的学习费用需要 b 元。某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其捐助贫困 中学生和小学生的部分情况如下表： 捐款数额 （元） 捐助贫困中学生人数 （名） 捐助贫困小学生人数 （名） 初一年级 4000 2 4 初二年级 4200 3 3 初三年级 7400 求 a、b 的值。 初三学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，请将初三年级学生可捐助的贫困中、 小学生人数直接填入上表中（不必写出计算过程）。 某公园的门票价格如下表所示： 购票人数 1 人～50 人 51～100 人 100 人以上 票价 10 元/人 8 元/人 5 元/人 某校八年级甲、乙两个班共 100 多人去该公园举行游园联欢活动，其中甲班有 50 多人，乙 班不足 50 人。如果以班为单位分别买票，两个班一共应付 920 元；如果两个班联合起来作 为一个团体购票，一共只要付 515 元。问：甲、乙两个班分别有多少人？ 作业：教材 102 页 5、7。 8.4 三元一次方程组解法举例 教学目标：1.了解三元一次方程组的概念.2.会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程 组． 3.掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元的思路． 教学重点： （1）使学生会解简单的三元一次方程组．（2）通过本节学习，进一步体会“消 元”的基本思想． 教学难点：针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法． 教学过程： 一、创设情景，导入新课 前面我们学习了二元一次方程组的解法，有些实际问题可以设出两个未知数，列出二元 一次方程组来求解。实际上，有不少问题中会含有更多的未知数，对于这样的问题，我们将 如何来解决呢？ 【引例】小明手头有 12 张面额分别为 1 元，2 元，5 元的纸币，共计 22 元，其中 1 元纸币 的数量是 2 元纸币数量的 4 倍，求 1 元，2 元，5 元纸币各多少张． 提出问题：1．题目中有几个条件？2．问题中有几个未知量？3．根据等量关系你能列出方 程组吗？ 【列表分析】 （师生共同完成） （三个量关系） 每张面值 × 张数 = 钱数 1 元 x x 2 元 y 2y 5 元 z 5z 合 计 12 22 注 1 元纸币的数量是 2 元纸币数量的 4 倍，即 x=4y 解：（学生叙述个人想法，教师板书） 设 1 元，2 元，5 元的张数为 x 张，y 张，z 张. 根据题意列方程组为： 12, 2 5 22, 4 . x y z x y z x y 【得出定义】 （师生共同总结概括） 这个方程组有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 1，并且一共有三个 方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． 二、探究三元一次方程组的解法 【解法探究】怎样解这个方程组呢？能不能类比二元一次方程组的解法，设法消去一个或两 个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程呢？(展开思路，畅所欲言) 例 1 .解方程组 ③ ② ① yx zyx zyx 4 2252 12 分析 1：发现三个方程中 x 的系数都是 1，因此确定用减法“消 x”. 分析 2：方程③是关于 x 的表达式，确定“消 x”的目标. 【方法归纳】根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为： 类型一：有表达式，用代入法. 针对上面的例题进而分析，例 1 中方程③中缺 z,因此利用①、②消 z,可达到消元构成二元一 次方程组的目的. 根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组 类型二：缺某元，消某元. 教师提示：当然我们还可以通过消掉未知项 y 来达到将“三元”转化为“二元”目的，同学 可以课下自行尝试一下. 三、课堂小结 1.解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二 元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程． 即三元一次方程组 消元 二元一次方程组 消元 一元一次方程 2.解题要有策略，今天我们学到的策略是：有表达式，用代入法；缺某元，消某元. 四、布置作业 解方程组 ③ ② ① 21 19 20 zx zy yx 你能有多少种方法求解它？ 本题方法灵活多样，有利于学生广开思路进行解法探究。 教材 106 页练习 1（1），2；习题 8.4—1. 本章小结 一、知识结构 二、回顾与思考 1、什么是二元一次方程？什么是二元一次方程组？什么是二元一次方程的解？什么是 二元一次方程组的解？ 2、什么是消元的思想？解二元一次方程组消元的途径有哪些？ 3、列二元一次方程组解应用题与列一元一次方程解应用题有什么相同之处？有什么不 同之处？ 三、例题导引 例 1 已知方程组 15,(1) 4 2.(2) ax y x by 甲由于看错了方程（1）中的 a，得到方程组的解为 3 1 x y ，乙由于看错了方程(2)中的 b，得到方程组的解为 4, 3. x y ，若按正确的计算，求 x ＋6y 的值。 例 2 甲、乙两件服装的成本共 500 元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按 50﹪ 的利润定价，乙服装按 40﹪的利润定价。在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按 9 折 出售，这样商店共获利 157 元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？ 例 3 据研究，一般洗衣粉含量以 0.2％～0.5％为宜，即 100 千克洗衣水里含 200～500 克的洗衣粉比较合适，因为这时表面活性最大，去污效果最好。现在，洗衣缸里放了两汤匙 洗衣粉（一汤匙约 0.02 千克），4 千克衣服，若要使洗衣粉的含量为 0.4％（放入衣服之后）， 容量达到 15 千克，还需加多少洗衣粉，添多少水才合适？ 三、练习升华 课本 111－112 面 第九章 不等式与不等式组 9.1.1 不等式及其解集 教学目标 1、感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式和一元一次不等式的意义，通 过解决简单的实际问题，使学生自发地寻找不等式的解，会把不等式的解集正确地表示到数 轴上； 2、经历由具体实例建立不等模型的过程，经历探究不等式解与解集的不同意义的过程，渗 透数形结合思想； 3、通过对不等式、不等式解与解集的探究，引导学生在独立思考的基础上积极参与对数学 问题的讨论，培养他们的合作交流意识；让学生充分体会到生活中处处有数学，并能将它们 应用到生活的各个领域。 实际问题 设未知数，列方程 二元或三元一次方程组 解 方 程 组 代 入 法 、 加 减 法 二元或三元一次方程组的解实际问题的答案 检验 教学重点：建立方程解决实际问题，会解“ax＋b=cx+d”类型的一元一次方程 教学难点：正确理解不等式、不等式解与解集的意义，把不等式的解集正确地表示到数轴上。 教学过程 1、两个体重相同的孩子正在跷跷板上做游戏．现在换了一个小胖子上去，跷跷板发生了倾 斜，游戏无法继续进行下去了．这是什么原因呢？ 2、一辆匀速行驶的汽车在 11：20 时距离 A 地 50 千米。要在 12：00 以前驶过 A 地，车速 应该具备什么条件？若设车速为每小时 x 千米，能用一个式子表示吗？ 探究新知 （一）不等式、一元一次不等式的概念 在学生充分发表自己意见的基础上，师生共同归纳得出：用“＜”或“＞”表示大小关系的 式子叫做不等式；用“并”表示不等关系的式子也是不等式。 2、下列式子中哪些是不等式？ （1）a＋b=b+a（2）－3＞－5（3）x≠l（4）x 十 3>6（5）2m查看更多
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