人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习：解一元一次不等式组（解析版）

人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习：解一元一次不等式组（解析版）

1 / 26 人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习： 解一元一次不等式组 知识网络 重难突破 知识点一 解一元一次不等式组 一元一次不等式组的解集：一般地，几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做它们所组成的不等式组的 解集。 不等式组解集的确定方法： 2 / 26 【注意】 1.在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来确定不等式组的解集。 2.利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分。 解一元一次不等式组的一般步骤： 1.求出不等式组中各不等式的解集 2.将各不等式的解决在数轴上表示出来。 3.在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。 【考查题型汇总】 考查题型一 求不等式组的解集 典例 1（2019·洛阳市期中）已知关于 x 的不等式 3x﹣m+1＞0 的最小整数解为 2，则实数 m 的取值范围是 （　　） A．4≤m＜7 B．4＜m＜7 C．4≤m≤7 D．4＜m≤7 【答案】A 【详解】 解:解不等式 3x﹣m+1＞0，得：x＞ ， ∵不等式有最小整数解 2， ∴1≤ ＜2， 解得：4≤m＜7， 故选 A． 1 3 m − 1 3 m − 3 / 26 变式 1-1（2020·和平县期中）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 解不等式 x+2＞0，得：x＞-2， 解不等式 2x-4≤0，得：x≤2， 则不等式组的解集为-2＜x≤2， 将解集表示在数轴上如下： 故选 C． 变式 1-2（2020·沈阳市期中）下列四个不等式组中，解集在数轴上表示如图所示的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由解集在数轴上的表示可知，该不等式组为 ， 故选 D． 变式 1-3（2019·南通市期中）已知点 P（1﹣a，2a+6）在第四象限，则 a 的取值范围是（　　） A．a＜﹣3 B．﹣3＜a＜1 C．a＞﹣3 D．a＞1 【答案】A 【详解】 解：∵点 P（1﹣a，2a+6）在第四象限， 2 0 2 4 0 x x + >  − ≤ 2 3 x x ≥  > − 2 3 x x ≤  < − 2 3 x x ≥  < − 2 3 x x ≤  > − 2 3 x x ≤  −  4 / 26 ∴ 解得 a＜﹣3． 故选 A． 变式 1-4（2019 长沙市期中）已知三个非负数 a、b、c 满足 若 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D．－1 【答案】B 【详解】 解：联立 ，得 . 由题意知：a，b，c 均是非负数， 则 ， 解得 m=3a+b−7c=3(−3+7c)+(7−11c)−7c=−2+3c， 当 时,m 有最小值,即 当 时,m 有最大值,即 故选 B. 考查题型二 解特殊不等式组 典例 2（2019·遂宁市期末）已知 0≤a–b≤1 且 1≤a+b≤4，则 a 的取值范围是( ) A．1≤a≤2 B．2≤a≤3 C． ≤a≤ D． ≤a≤ 【答案】C 【详解】 解：0≤a－b≤1，① 1≤a＋b≤4，② ①＋②，得 1≤2a≤5， 1 0 2 6 0 a a − >  + < 3 2 5,2 3 1,a b c a b c+ + = + − = 3 7m a b c= + − m 1 11 − 5 7 − 7 8 − 3 2 5 2 3 1 a b c a b c + + =  + − = 3 7 7 11 , a c b c = − +  = − 3 7 0 7 11 0 a c b c = − + ≥  = − ≥ 3 7 7 11c≤ ≤ ， 3 7c = 3 52 3 7 7m = − + × = − ； 7 11c = 7 12 3 .11 11m = − + × = − 1 2 5 2 3 2 5 2 5 / 26 解得： ≤a≤ . 故选 C. 变式 2-1（2018·许昌市期末）若关于 x 的不等式组式 的整数解为 x=1 和 x=2，则满足这个不等 式组的整数 a，b 组成的有序数对（a，b）共有（ ）对 A．0 B．1 C．3 D．2 【答案】D 【详解】 由①得： 由②得： 不等式组的解集为： ∵整数解为为 x=1 和 x=2 ∴ ， 解得： ， ∴a=1，b=6,5 ∴整数 a、b 组成的有序数对（a,b）共有 2 个 故选 D 变式 2-2（2019·北京市期中）三角形的三个内角分别为 x,y,z，且 ， ，则 y 的取值范围是 __________ 【答案】36°≤y≤ 【解析】 ∵三角形的三个内角分别为 x，y，z， ∴x+y+z=180°， ∵ ， ， ∴ ， 1 2 5 2 0 2 0 x a x b − ≥  − < 0 2 0 x a x b − ≥  − < ① ② x a≥ 2 bx < 2 ba x≤ < 0 1a< ≤ 2 32 b< ≤ 0 1a< ≤ 4 6b< ≤ x y z≤ ≤ 3z x= 540 7  x y z≤ ≤ 3z x= 3x y x≤ ≤ 6 / 26 ∴y 最小=x，y 最大=3x， 当 y 最小=x 时，有 x+x+3x=180°，解得：x=36°，此时 y 最小=36°； 当 y 最大=3x 时，有 x+3x+3x=180°，解得：x= ，此时 y 最大= ； ∴y 的取值范围是： . 故答案为： . 考查题型三 求一元一次不等式组的整数解 典例 3（2018·泉州市期中）若关于 x 的不等式 的整数解共有 4 个，则 m 的取值范围是（　　） A．6＜m＜7 B．6≤m＜7 C．6≤m≤7 D．6＜m≤7 【答案】D 【详解】 解： 由（1）得，x＜m， 由（2）得，x≥3， 故原不等式组的解集为：3≤x＜m， ∵不等式的正整数解有 4 个， ∴其整数解应为：3、4、5、6， ∴m 的取值范围是 6＜m≤7． 故选：D． 变式 3-1（2019·泉州市期中）不等式组 的最小整数解是（ ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【详解】 ， 180 7  540 7  54036 7y≤ ≤   54036 7y≤ ≤   0 7 2 1 x m x − <  − ≤ 0(1) 7 2 1(2) x m x − <  − ≤ 2 2 3 1 4 x x x − ≥ −  − > − 2 2 3 1 4 x x x − ≥ −  − > − ① ② 7 / 26 解不等式①得，x≤2， 解不等式②得，x>-1， 所以不等式组的解集是：-1 + m 8 / 26 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解不等式 x−m<0，得：x2(x+1)，得：x>3， ∵不等式组无解， ∴m⩽3， 故选：D 变式 4-1（2020·洛阳市期中）关于 x 的不等式组 的解集为 x＜3，那么 m 的取值范围为（ ） A．m=3 B．m＞3 C．m＜3 D．m≥3 【答案】D 【详解】 解不等式组得： ， ∵不等式组的解集为 x＜3 ∴m 的范围为 m≥3， 故选 D． 变式 4-2（2019·安陆市期末）若不等式组 无解，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解不等式 ，得：x＞8， ∵不等式组无解， ∴4m≤8， 解得 m≤2， 故选 A． 3 4m≤ < 3 4m< ≤ 3m < 3m ≤ 3 1 4( 1){ x x x m − > − < 3{x x m < < 1 13 2 4 x x x m + < −  < m 2m ≤ 2m < 2m ≥ 2m > 1 13 2 x x+ < − 9 / 26 变式 4-3（2019·石家庄市期末）不等式组 的解集是 x＞1，则 m 的取值范围是（　　） A．m≥1 B．m≤1 C．m≥0 D．m≤0 【答案】D 【详解】 解：不等式整理得： ，由不等式组的解集为 x＞1，得到 m+1≤1，解得：m≤0. 故选 D. 考查题型五 不等式组与方程组相结合的问题 典例 5（2019·南阳市期末）在关于 x、y 的方程组 中，未知数满足 x≥0，y＞0，那么 m 的 取值范围在数轴上应表示为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ，解方程组得： ， ∵x≥0，y＞0， ∴ ， ∴－2≤m＜3. 故选 C. 变式 5-1（2019·洛阳市期中）已知方程组 的解满足 ，则( ). A． >-1 B． >1 C． <-l D． <1 【答案】C 【详解】 5 5 1 1 x x x m + < +  − > 1 1 x x m >  > + 2 7 2 8 x y m x y m + = +  + = − 2 7 2 8 x y m x y m + = +  + = − ① ② 2 3 x m y m = +  = − 2 0 3 0 m m + ≥  − ＞ 2 1 3 2 1 x y m x y m + = +  + = − x+y<0 m m m m 10 / 26 把方程组 的两式相加，得 3x+3y=2+2m 两边同时除以 3，得 x+y= 所以 ＜0 即 m＜-1．故选 C 变式 5-2（2019·安岳县期中）已知实数 x，y，m 满足 ，且 y 为负数，则 m 的取值 范围是（ ） A．m＞6 B．m＜6 C．m＞﹣6 D．m＜﹣6 【答案】A 【解析】 根据非负数的性质列出方程求出 x、y 的值，然后根据 y 是负数即可得到一个关于 m 的不等式，从而求得 m 的范围： 根据算术平方根和绝对值的非负数性质，得： ，解得： ． ∵y 为负数，∴6﹣m＜0，解得：m＞6． 故选 A． 变式 5-3（2019·合肥县期中）关于 ， 的方程组 的解满足 ，则 的取值范 围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ①-②，得 2x+3y=3m+6 ∵2x+3y>7 ∴3m+6>7 ∴m> 变式 5-4（2018·合肥市期中）若关于 的二元一次方程组 的解满足 ,则 的 2 1 3 2 1 x y m x y m + = +  + = − 2 2 3 m + 2 2 3 m + x 2 | 3x y m | 0+ + + + = x 2{y 6 m = − = − x y 3 2 4 5 1 x y m x y m + = +  − = − 2 3 7x y+ > m 1 4m < − 0m < 1 3m > 7m > 3 2 4 5 1 x y m x y m + = +  − = − ① ② 1 3 x y、 3 1 3 1 x y a x y + = +  + = 505x y+ < a 11 / 26 取值范围是( )． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 两式相加得 ， ， ∵ x+y<505， ∴ ， 解得 ． 故选： . 变式 5-5（2018·重庆市期末）关于 的方程 的解为正数，且关于 的不等式组 有解，则符合题意的整数 有（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】 ∵关于 x 的方程 的解为正数, ∴2-(x+m)=2(x-2), 解得:x= , 则 6-m>0, 故 m<6, ∵关于 y 的不等式组 有解, ∴m+2≤y≤3m+4, 且 m+2≤3m+4, 解得:m≥-1, 故 m 的取值范围是:-1≤m<6, 2018a > 2018a < 505a > 505a < 4( ) 2x y a+ = + 2 4 ax y ++ = 2 5054 a+ < 2018a < B x 2 22 2 x m x x ++ =− − y ( ) 2 2 2 y m y m m − ≥  − ≤ + m 2 22 2 x m x x ++ =− − 6 3 m- 2 2( 2) y m y m m − ≥  − ≤ + 12 / 26 ∵x-2≠0, ∴x≠2, ∴ , m≠0, 则符合题意的整数 m 有:-1,1,2,3,4,5,共 6 个. 故选 C.. 知识点二 列一元一次不等式（组）解应用题 列一元一次不等式（组）解应用题的一般步骤： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系，要抓住题设中的关键“字眼”， 如“大于”“小于”“不小于”“不大于”“至少”“最多”等. （2）设：设出适当的未知数,并用含未知数的代数式表示出题目中涉及的量. （3）列：根据题中的不等关系，列出不等式. （4）解：解出所列不等式的解集. （5）验：检验答案是否符合题意. （6）答：写出答案. 在以上步骤中，审题是基础，根据题意找出不等关系是关键，而根据不等关系列出不等式又是解题难 点.以上过程可简单表述为: . 【考查题型汇总】 考查题型六 列一元一次不等式组 典例 6（2019·安陆市期末）如果点 P（2x＋6，x－4）在平面直角坐标系的第四象限内，那么 x 的取值范围 在数轴上可表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由点 P（2x＋6，x－4）在平面直角坐标系的第四象限内，得 ． 解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同 大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）．因此， 6 23 m− ≠ → →分析 求解 抽象 检验问题 不等式 解答 2x 6>0 x 4<0 +  − 13 / 26 ． 变式 6-1（2019·青岛市期末）如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是 ，则物体 的质量 的取值 范围，在数轴上可表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ∵由图可知，1g0 x> 3 3 1 5 1 3 x x − <  + > x-1 5 x+1 3 <  > 21 / 26 的解集为（ ） A．x≥﹣1 B．x＜2 C．﹣1≤x≤2 D．﹣1≤x＜2 【答案】D 【解析】 由数轴可知，该不等式组的解集为﹣1≤x<2 ，故选 D. 6．（2018·静宁县期末）若不等式组 3＜x≤a 的整数解恰有 4 个，则 a 的取值范围是（　 ） A．a＞7 B．7＜a＜8 C．7≤a＜8 D．7＜a≤8 【答案】C 【详解】 解：不等式组 3＜x≤a 的整数解恰有 4 个，则整数解是： 4，5，6，7． 故 7≤a＜8． 故选：C． 7．（2018·长沙市期末）不等式组 的解集是(　　) A．1＜x＜3 B．x＞3 C．x＞1 D．x＜1 【答案】B 【详解】 解不等式①得：x＞3， 解不等式②得：x＞1，在数轴上表示两个不等式的解集得： ， ∴原不等式组的解集为 x＞3 故选 B． 8．（2018·大连市期末）把不等式组 的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A． B． 1 2 1 x x − >  > 22 / 26 C． D． 【答案】D 【详解】 解： 解不等式①得：x＞-1， 解不等式②得：x≤1， 所以不等组的解集为：-1＜x≤1， 在数轴上表示为： ， 故选 D. 9．（2017·无锡市期中）晓明家到学校的路程是 3 500 米，晓明每天早上 7∶30 离家步行去上学，在 8∶10 （含 8∶10）至 8∶20（含 8∶20）之间到达学校。如果设晓明步行的速度为 x 米/分，则晓明步行的速度范 围是（　 　） A．70≤x≤87.5 B．x≤70 或 x≥87.5 C．x≤70 D．. x≥87.5 【答案】A 【解析】依题意得：晓明到学校所用的时间为 40 分到 50 分之间，路程为 3500 米，设晓明步行的速度为 x 米/分， ，解得：70≤x≤87.5； 故选 A。 10．（2018·池州市期中）某学校组织员工去公园划船，报名人数不足 50 人，在安排乘船时发现，每只船坐 6 人，剩下 18 人无船可乘；每只船坐 10 人，那么其余的船坐满后，有一只船不空也不满，参加划船的员工 共有（　　） A．48 人 B．45 人 C．44 人 D．42 人 【答案】A 【分析】 假设共安排 x 艘船．根据报名人数不足 50 人，在安排乘船时发现，每只船坐 6 人，就剩下 18 人无船可乘， 3500 3500 50 40x≤ ≤ 23 / 26 则可知划船报名人数是 6x＋18 且 6x＋18＜50； 若每只船坐 10 人，那么其余的船坐满后有一只船不空也不满，则 10（x−1）＋1≤6x＋18＜10x，解得 x 代 入 6x＋18 即是划船的员工数． 【详解】 设共安排 x 艘船． 根据题意得 6x＋18＜50① 10（x−1）＋1≤6x＋18＜10x② 由①得 x＜ ③ 由②得 ＜ x≤ ④ 由③④得 x＝5 划船人数为 48 故选：A． 二、 填空题（共 5 小题） 11．（2018·长沙市期末）已知不等式组 的解集是 2＜x＜3，则 a+b 的值是_____． 【答案】3 【分析】 根据不等式组的解集即可得出关于 a、b 而愿意方程组，解方程组即可得出 a、b 值，将其代入计算可得． 【详解】 解不等式 x+1＜2a，得：x＜2a-1， 解不等式 x-b＞1，得：x＞b+1， 所以不等式组的解集为 b+1＜x＜2a-1， ∵不等式组的解集为 2＜x＜3， ∴b+1=2、2a-1=3， 解得：a=2、b=1， ∴a+b=3， 故答案为 3． 12．（2019·北京市期中）在平面直角坐标系中，点(-7+m,2m+1) 在第三象限，则 m 的取值范围是_________. 16 3 9 2 27 4 1 2 1 x a x b + <  − > 24 / 26 【答案】-0.5  < − 3x < m 4m≥ 9 4 1 x x x m + >  < − ① ② 2 0, 3 0 x x − <  − ≥ 2 0, 3 0 x x − <  − ≥ 0 3 x x >  ≤ 25 / 26 15．（2019·济南市期末）不等式组 的解集为__________． 【答案】 【解析】 由①得：x>2, 由②得：x<6, 所以不等式组的解集为 2 − < 2 6x< < 6 2 {1 32 x x x − > − < ① ② 1 2 02 51 12 x x x  + ≥ + − < − − 1 2 02 51 12 x x x  + ≥ + − − − ① ＜ ② 4 1x− ≤ ＜ 26 / 26 17．（2019·济南市期末）某校九年级举行数学竞赛，学校准备购买甲、乙、丙三种笔记本奖励给获奖学生， 已知甲种笔记本单价比乙种笔记本单价高 10 元，丙种笔记本单价是甲种笔记本单价的一半，单价和为 80 元． （1）甲、乙、丙三种笔记本的单价分别是多少元？ （2）学校计划拿出不超过 950 元的资金购买三种笔记本 40 本，要求购买丙种笔记本 20 本，甲种笔记本超 过 5 本，有哪几种购买方案？ 【答案】(1) 甲种笔记本的单价为 36 元，乙种为 26 元，丙种为 18 元 ;(2)见解析. 【分析】 （1）设甲种笔记本的单价为 x 元，乙种为（x-10）元，丙种为 元，根据“单价和为 80 元”列出方程并解答； （2）设购买甲种笔记本 y 本，根据“不超过 950 元的资金购买三种笔记本 40 本，要求购买丙种笔记本 20 本，甲种笔记本超过 5 本”列出不等式组并解答． 【详解】 解：（1）设甲种笔记本的单价为 x 元，乙种为（x﹣10）元，丙种为 元，根据题意得 x+（x﹣10）+ =80，解得 x=36， 乙种单价为 x﹣10=36﹣10=26 元，丙种为 = =18 元． 答：甲种笔记本的单价为 36 元，乙种为 26 元，丙种为 18 元． （2）设购买甲种笔记本 y 本，由题意得 解得 5＜y≤7， 因为 y 是整数， 所以 y=6 或 y=7 则乙种笔记本购买 14 本或 13 本， 所以，方案有 2 种： 方案一：购买甲种笔记本 6 本，乙种笔记本 14 本，丙种笔记本 20 本； 方案二：购买甲种笔记本 7 本，乙种笔记本 13 本，丙种笔记本 20 本． 2 x x 2 x 2 x 2 36 2 36y 26 20 y 18 20 950 y>5 （ ）+ − + × ≤  