人教版七年级数学下册期考经典题型汇总:列二元一次方程组解应用题(附答案与全解全析)

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人教版七年级数学下册期考经典题型汇总:列二元一次方程组解应用题(附答案与全解全析)

人教版七年级数学下册期考经典题型汇总:列二元一次方程组解应用题 知识网络 重难突破 知识点一 列二元一次方程组解应用题 列二元一次方程组解应用题的一般步骤:‎ 1. 审:审题,明确各数量之间的关系。‎ 2. 设:设未知数 3. 找:找题中的等量关系 4. 列:根据等量关系列出两个方程,组成方程组 5. 解:解方程组,求出未知数的值 6. 答:检验方程组的解是否符合题意,写出答案。‎ 题型一 二元一次方程组的应用 - 方案问题 典例1 (2020·监利县期中)1400元奖金要分给22名获奖员工,其中一等奖每人200元,二等奖每人50元。试问经理,该怎样分发这1400元奖金?‎ 变式1-1(2018·大石桥市期末)已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨;用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨.某物流公司现有31吨货物,计划同时租用A型车a辆,B型车b辆,一次运完,且恰好每辆车都装满货物.根据以上信息,解答下列问题:‎ ‎①1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨?‎ ‎②请你帮该物流公司设计租车方案.‎ ‎ 28 / 28‎ 变式1-2(2019·贵港市期末)某中学组织学生春游,原计划租用45座客车若干辆,但有15人没有座位;若租用同样数量的60座客车,则多出一辆车,且其余客车恰好坐满,已知45座客车每日每辆租金为220元,60座客车每日每辆租金为300元.试问:‎ ‎(1)春游学生共多少人,原计划租45座客车多少辆?‎ ‎(2)若租用同一种车,要使每位同学都有座位,怎样租车更合算.‎ 题型二 二元一次方程组的应用 – 行程问题 典例2(2018·广州市期末)从甲地到乙地的路有一段上坡与一段平路,如果保持上坡每小时走3km,平路每小时走4km,下坡每小时走5km,那么从甲地到乙地用54分钟,从乙地到甲地用42分钟,甲地到乙地的全程是多少.‎ 变式2-1(2020·辉县市期中)一列快车长230米,一列慢车长220米,若两车同向而行,快车从追上慢车时开始到离开慢车,需90秒钟;若两车相向而行,快车从与慢车相遇时到离开慢车,只需18秒钟,问快车和慢车的速度各是多少?‎ 变式2-2(2019·许昌市期末)为提高学生综合素质,亲近自然,励志青春,某学校组织学生举行“远足研学”活动,先以每小时6千米的速度走平路,后又以每小时3千米的速度上坡,共用了3小时;原路返回时,以每小时5千米的速度下坡,又以每小时4千米的速度走平路,共用了4小时,问平路和坡路各有多远.‎ 题型三 二元一次方程组的应用 – 工程问题 典例3(2020·甘南县期中)一家商店进行装修,若请甲、乙两个装修组同时施工,8天可以完成,需付两组费用共3520元,若先请甲组单独做6天,再请乙组单独做12天可以完成,需付费用3480元,问:‎ ‎(1)甲,乙两组工作一天,商店各应付多少钱?‎ ‎(2)已知甲单独完成需12天,乙单独完成需24天,单独请哪个组,商店所需费用最少?‎ ‎(3)若装修完后,商店每天可贏利200元,你认为如何安排施工更有利于商店?请你帮助商店决策.(可用(1)(2)问的条件及结论)‎ 变式3-1(2020·成都市期末)某汽车制造厂生产一款电动汽车,计划一个月生产200辆.由于抽调不出足够的熟练工来完成电动汽车的安装,工厂决定招聘一些新工人,他们经过培训后上岗,也能独立进行电动汽车的安装.生产开始后,调研部门发现:1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车;2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车.‎ ‎(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车?‎ ‎(2)若工厂现在有熟练工人30人,求还需要招聘多少新工人才能完成一个月的生产计划?‎ 变式3-2(2019·成都市 ‎ 28 / 28‎ 期末)某工程队承包了某标段全长1755米的过江隧道施工任务,甲、乙两个班组分别从东、西两端同时掘进.已知甲组比乙组平均每天多掘进0.6米,经过5天施工,两组共掘进了45米.‎ ‎(1)求甲、乙两个班组平均每天各掘进多少米?‎ ‎(2)为加快工程进度,通过改进施工技术,在剩余的工程中,甲组平均每天能比原来多掘进0.2米,乙组平均每天能比原来多掘进0.3米.按此旄工进度,能够比原来少用多少天完成任务?‎ 题型四 二元一次方程组的应用 – 数字问题 典例 4(2019·靖远县期末)一个两位数,个位数字与十位数字的和为8,个位数字与十位数字互换位置后,所得的两位数比原两位数小18,则原两位数是多少?‎ 变式4-1(2020·海淀区期末)小明和小亮做加减法游戏,小明在一个加数后面多写了一个0,得到的和为242,而小亮在另一个加数后面多写了一个0,得到的和为341。原来两个加数是多少?‎ 变式4-2(2020·阳谷县期中)列二元一次方程组解应用题.‎ 已知一个两位数,它的十位上的数字与个位上的数字的和为12,若对调个位与十位上的数字,得到的新数比原数小18,求原来的两位数.‎ 题型五 二元一次方程组的应用 – 年龄问题 典例5(2019·南阳市期中)一名34岁的男子带着他的两个孩子一同进行晨跑,下面是两个孩子与记者的对话:‎ 根据对话内容,请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄.‎ 变式5-1(2020·江北市期末)4月9日上午8时,2017 徐州国际马拉松赛鸣枪开跑,一名岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛,下面是两个孩子与记者的对话:‎ 根据对话内容,请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄.‎ 变式5-2(2019·绍兴市期末)师生对话,师:我像你这么大的时候,你才1岁,你到我这样大的时候,我已经40岁了,问老师和学生现在各几岁?‎ 题型六 二元一次方程组的应用 – 分配问题 ‎ 28 / 28‎ 典例6(2020·许昌市期末)某校的大学生自愿者参与服务工作,计划组织全校自愿者统一乘车去某地.若单独调配座客车若干辆,则空出个座位,若只调配座客车若干辆,则用车数量将增加辆,并有人没有座位.‎ ‎(1)计划调配座客车多少辆?该大学共有多少名自愿者?(列方程组解答)‎ ‎(2)若同时调配座和座两种车型,既保证每人有座,又保证每车不空座,则两种车型各需多少辆?‎ 变式6-1(2020·宁波市期中)某铁件加工厂用如图所示的长方形和正方形铁片(长方形的宽与正方形的边长相等)加工成如图.所示的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器.(加工时接缝材料不计)‎ ‎(1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各 1 个,则共需要长方形铁片 张,正方形铁片 张. ‎ ‎(2)现 有长方形铁片 2017 张,正方形铁片 1178 张,如果加工成这两种铁容器,刚好铁片全部用完,那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个? ‎ ‎(3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒.现用 35 张铁板做成长方形铁片和正方形铁片,已知每张铁板可做成 3 个长方形铁片或 4 个正方形铁片,也可以将一张铁板裁出 1 个长方形铁片和 2 个正方形铁片.若充分利用这些铁板加工成铁盒,则最多可以加工成多少个铁盒?‎ 变式6-2(2019·泉州市期中)根据小敏、小聪、小东、小强四人的对话内容,请你设计一下,分别安排多少立方米木料做桌面,多少立方米木料做桌腿,才能使得生产出来的桌面和桌腿及库存的桌腿恰好全部配套?‎ ‎ 28 / 28‎ 题型七 二元一次方程组的应用 – 销售、利润问题 典例7(2019·绍兴市期中)现有A,B两种商品,买2件A商品和1件B商品用了90元,买3件A商品和2件B商品用了160元.求A,B两种商品每件各是多少元?‎ 变式7-1(2020·锦州市期末)某校组织“大手拉小手,义卖献爱心”活动,计划购买黑白两种颜色的文化衫进行手绘设计后出售,并将所获利润全部捐给山区困难孩子.已知该学校从批发市场花4800元购买了 黑白两种颜色的文化衫200件,每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表:‎ 批发价(元)‎ 零售价(元)‎ 黑 色 文化衫 ‎25‎ ‎45‎ 白 色 文 化 衫 ‎20‎ ‎35‎ ‎(1)学校购进黑.白文化衫各几件?‎ ‎(2)通过手绘设计后全部售出,求该校这次义卖活动所获利润.‎ 变式7-2(2019·嘉兴市期中)随着中国传统节日“端午节”的临近,东方红商场决定开展“欢度端午,回馈顾客”的让利促销活动,对部分品牌粽子进行打折销售,其中甲品牌粽子打八折,乙品牌粽子打七五折,已知打折前,买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元;打折后,买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元.‎ ‎(1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元?‎ ‎(2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒,乙品牌粽子100盒,问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱?‎ 题型八 二元一次方程组的应用 – 和差倍分问题 典例8(2019·泰安市期末)学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张,并且每买1张办公桌必须买2把椅子,椅子每把100元,若学校购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费24000元;购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费2000元.求甲、乙两种办公桌每张各多少元?‎ 变式8-1(2018·鞍山市期末)某停车场的收费标准如下:小型汽车10元/辆,中型汽车15元/辆,现停车场共有50辆中、小型汽车,共缴纳停车费560元,中、小型汽车各有多少辆?‎ 变式8-2(2019·烟台市期中)某快递公司有甲、乙两个仓库,各存有快件若干件,甲仓库发走80件后余下的快件数比乙仓库原有快件数的2倍少700件;乙仓库发走560件后剩余的快件数比甲仓库余下的快件数的还多210件.求甲、乙两个仓库原有快件各多少件.‎ 题型九 二元一次方程组的应用 – 几何问题 ‎ 28 / 28‎ 典例9(2018·合肥市期中)“光明”中学为了改善校园建设,计划在长方形的校园中间修一个正方形的花坛,预计正方形花坛的边长比场地的长少10米,比它的宽少8米,并且场地的总面积比花坛的面积大116平方米,求长方形的长和宽.‎ 变式9-1(2019·泉州市期末)如图,用10块相同的小长方形地砖拼成一个宽是60厘米的大长方形,用列方程或方程组的方法,求每块小长方形地砖的长和宽分别是多少厘米?‎ 变式9-2(2020·渭南市期末)某居民小区为了绿化小区环境,建设和谐家园,准备将一块周长为76米的长方形空地,设计成长和宽分别相等的9块小长方形,如图所示,计划在空地上种上各种花卉,经市场预测,绿化每平方米空地造价210元,请计算,要完成这块绿化工程,预计花费多少元?‎ 题型十 二元一次方程组的应用 – 表格或图示问题 典例10(2019·长春市期末)五月份的第二个星期天是母亲节.如图,母亲节那天,很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒,根其图中提供信息,求每束鲜花和每个礼盒的价格.‎ 变式10-1(2018·南阳市期末)芳芳妈对家里的经济收支情况有记帐的好习惯.下表记录的是她家2018年第一季度水表、电表的读表数和所缴水电费的情况:‎ 时间(月份)‎ 水表读数(吨)‎ 电表读数(度)‎ 水电费(元)‎ ‎2018.1‎ ‎528‎ ‎1235‎ ‎65‎ ‎2018.2‎ ‎538‎ ‎1265‎ ‎59‎ ‎2018.3‎ ‎558‎ ‎1305‎ ‎102‎ ‎ 28 / 28‎ ‎(1)请你根据表中提供的信息求出水、电的收费单价(即每吨水的收费标准和每度电的收费标准);‎ ‎(2)今年4月份芳芳家水表读数为574(吨),电表读数为1340(度),那么芳芳家本月水电费应缴多少元?‎ 变式10-2(2019·濮阳市期中)为鼓励居民节约用电,我市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电价,即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费,第一档为用电量在180千瓦时(含180千瓦时)以内的部分,执行基本价格;第二档为用电量在180千瓦时到450千瓦时(含450千瓦时)的部分,实行提高电价;第三档为用电量超出450千瓦时的部分,执行市场调节价格. 我市一位同学家今年2月份用电330千瓦时,电费为213元,3月份用电240千瓦时,电费为150元.已知我市的一位居民今年4、5月份的家庭用电量分别为160和 410千瓦时,请你依据该同学家的缴费情况,计算这位居民4、5月份的电费分别为多少元?‎ 题型十一 二元一次方程组的应用 – 古代问题 典例11(2019·龙岩市期末)《九章算术》是中国古代数学专著,在数学上有其独到的成就,不仅最早提到了分数问题,也首先记录了“盈不足”等问题.如有一道阐述“盈不足”的问题,原文如下:今有共买鸡,人出九,盈十一;人出六,不足十六.问人数、鸡价各几何?译文为:现有若干人合伙出钱买鸡,如果每人出9文钱,就会多11文钱;如果每人出6文钱,又会缺16文钱.问买鸡的人数、鸡的价格各是多少.请解答上述问题.‎ 变式11-1(2018·南充市期末)“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一.大约在1500年前成书的《孙子算经》中,就有关于“鸡兔同笼”的记载:“今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?”这四句话的意思是:有若干只鸡兔关在一个笼子里,从上面数,有35个头;从下面数,有94条腿.问笼中各有几只鸡和兔?‎ 变式11-2(2019·怀柔区期末)《九章算术》是中国传统数学重要的著作,奠定了中国传统数学的基本框架.它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术.其中方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》中记载:“今有人共买鸡,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数、鸡价各几何?”译文:“今天有几个人共同买鸡,每人出8钱,多余3钱,每人出7钱,还缺4钱.问人数和鸡的价钱各是多少?”请列方程组解决此问题.‎ 题型十二 三元一次方程组的应用 典例12(2019·杭州市期中)小明到某服装商场进行社会调查,了解到该商场为了激励营业员的工作积极性,实行“月总收入=基本工资+计件奖金”的方法,并获得如下信息:‎ 营业员A:月销售件数200件,月总收入3400元;‎ 营业员B:月销售件数300件,月总收入3700元;‎ 假设营业员的月基本工资为x元,销售每件服装奖动y元.‎ ‎ 28 / 28‎ ‎(1)求x和y的值;‎ ‎(2)商场为了多销售服装,对顾客推荐一种购买方式:如果购买甲服装3件,乙服装2件,丙服袋1件共需390元:如果购买甲服装1件,乙服装2件,丙服装3件共需370元.某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件共需多少元?‎ 变式12-1(2019·邢台市期中)小红在学校商店买了3支钢笔,1本练习本,2支中性笔共花13元,小颖买了2支钢笔,4本练习本,3支中性笔共花17元,小明打算在该商店买20支钢笔,20本练习本,20支中性笔寄给四川地震灾区的小朋友,他只有120元的压岁钱,请你帮他算一下,他的钱够吗?‎ 变式12-2(2019·黄冈市期中)某工程由甲乙两队合做6天完成,厂家需付甲乙两队共16800元;乙丙两队合做10天完成,厂家需付乙丙两队共17000元;甲丙两队合做7.5天完成,厂家需付甲丙两队共15750元.‎ ‎(1)求甲、乙、丙三队每天工钱各多少元?‎ ‎(2)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天?‎ ‎(3)若要求不超过15天完成全部工程,问可由哪队单独完成此项工程花钱最少?‎ ‎ 28 / 28‎ 人教版七年级数学下册期考经典题型汇总:列二元一次方程组解应用题 知识网络 重难突破 知识点一 列二元一次方程组解应用题 列二元一次方程组解应用题的一般步骤:‎ 1. 审:审题,明确各数量之间的关系。‎ 2. 设:设未知数 3. 找:找题中的等量关系 4. 列:根据等量关系列出两个方程,组成方程组 5. 解:解方程组,求出未知数的值 6. 答:检验方程组的解是否符合题意,写出答案。‎ 题型一 二元一次方程组的应用 - 方案问题 典例1 (2020·监利县期中)1400元奖金要分给22名获奖员工,其中一等奖每人200元,二等奖每人50元。试问经理,该怎样分发这1400元奖金?‎ ‎【答案】一等奖2人,二等奖20人 ‎【详解】‎ 解:设一等奖x人,二等奖y人,由题意可得:‎ ‎,‎ ‎ 28 / 28‎ 解得:,‎ 答:一等奖2人,二等奖20人即可分发这1400元奖金.‎ 变式1-1(2018·大石桥市期末)已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨;用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨.某物流公司现有31吨货物,计划同时租用A型车a辆,B型车b辆,一次运完,且恰好每辆车都装满货物.根据以上信息,解答下列问题:‎ ‎①1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨?‎ ‎②请你帮该物流公司设计租车方案.‎ ‎【答案】(1)1辆A型车一次可运货3吨,一辆B型车一次可运货4吨;(2)三种方案:①A型车1辆;B型车7辆;②A型车5辆;B型车4辆;③A型车9辆;B型车1辆.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨,y吨,‎ 根据题意得:,解得:.‎ 答:1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨,4吨.‎ ‎(2)由题意可得:3a+4b=31,‎ ‎∴b=.‎ ‎∵a,b均为整数,‎ ‎∴有、和三种情况.‎ 故共有三种租车方案,分别为:①A型车1辆,B型车7辆;‎ ‎②A型车5辆,B型车4辆;③A型车9辆,B型车1辆.‎ 变式1-2(2019·贵港市期末)某中学组织学生春游,原计划租用45座客车若干辆,但有15人没有座位;若租用同样数量的60座客车,则多出一辆车,且其余客车恰好坐满,已知45座客车每日每辆租金为220元,60座客车每日每辆租金为300元.试问:‎ ‎(1)春游学生共多少人,原计划租45座客车多少辆?‎ ‎(2)若租用同一种车,要使每位同学都有座位,怎样租车更合算.‎ ‎【答案】(1)春游学生共240人,原计划租45座客车5辆;(2)租用4辆60座客车更合算.‎ ‎ 28 / 28‎ ‎【详解】‎ 解:(1)设参加春游的学生共x人,原计划租用45座客车y辆.‎ 根据题意,得 ‎,‎ 解这个方程组,得 ‎.‎ 答:春游学生共240人,原计划租45座客车5辆;‎ ‎(2)租45座客车:240÷45≈5.3(辆),所以需租6辆,租金为220×6=1320(元),‎ 租60座客车:240÷60=4(辆),所以需租4辆,租金为300×4=1200(元).‎ 答:租用4辆60座客车更合算.‎ 题型二 二元一次方程组的应用 – 行程问题 典例2(2018·广州市期末)从甲地到乙地的路有一段上坡与一段平路,如果保持上坡每小时走3km,平路每小时走4km,下坡每小时走5km,那么从甲地到乙地用54分钟,从乙地到甲地用42分钟,甲地到乙地的全程是多少.‎ ‎【答案】3.1‎ ‎【详解】‎ 解:设从甲地到乙地的上坡路为xkm,平路为ykm, ‎ 依题意得, ‎ 解之得,‎ ‎∴x+y=3.1km, ‎ 答:甲地到乙地的全程是3.1km.‎ 变式2-1(2020·辉县市期中)一列快车长230米,一列慢车长220米,若两车同向而行,快车从追上慢车时开始到离开慢车,需90秒钟;若两车相向而行,快车从与慢车相遇时到离开慢车,只需18秒钟,问快车和慢车的速度各是多少?‎ ‎ 28 / 28‎ ‎【答案】快车的速度是15米/秒,慢车的速度是10米/秒.‎ ‎【详解】‎ 设快车的速度是x米/秒,慢车的速度是y米/秒,‎ ‎,‎ 解得,‎ 答:快车的速度是15米/秒,慢车的速度是10米/秒.‎ 变式2-2(2019·许昌市期末)为提高学生综合素质,亲近自然,励志青春,某学校组织学生举行“远足研学”活动,先以每小时6千米的速度走平路,后又以每小时3千米的速度上坡,共用了3小时;原路返回时,以每小时5千米的速度下坡,又以每小时4千米的速度走平路,共用了4小时,问平路和坡路各有多远.‎ ‎【答案】平路有千米,坡路有千米 ‎【详解】‎ 解:设平路有x千米,坡路有y千米.‎ 由题意可知 解得 答:平路有千米,坡路有千米 题型三 二元一次方程组的应用 – 工程问题 典例3(2020·甘南县期中)一家商店进行装修,若请甲、乙两个装修组同时施工,8天可以完成,需付两组费用共3520元,若先请甲组单独做6天,再请乙组单独做12天可以完成,需付费用3480元,问:‎ ‎(1)甲,乙两组工作一天,商店各应付多少钱?‎ ‎(2)已知甲单独完成需12天,乙单独完成需24天,单独请哪个组,商店所需费用最少?‎ ‎(3)若装修完后,商店每天可贏利200元,你认为如何安排施工更有利于商店?请你帮助商店决策.(可用(1)(2)问的条件及结论)‎ ‎【答案】(1)甲、乙两组工作一天,商店各应付300元和140元;(2)单独请乙组需要的费用少;(3)甲乙合作施工更有利于商店.‎ ‎【详解】‎ ‎ 28 / 28‎ 解:(1)设:甲组工作一天商店应付x元,乙组工作一天商店付y元.‎ 由题意得:‎ 解得:‎ 答:甲、乙两组工作一天,商店各应付300元和140元 ‎(2)单独请甲组需要的费用:300×12=3600元.‎ 单独请乙组需要的费用:24×140=3360元.‎ 答:单独请乙组需要的费用少.‎ ‎(3)请两组同时装修,理由:‎ 甲单独做,需费用3600元,少赢利200×12=2400元,相当于损失6000元;‎ 乙单独做,需费用3360元,少赢利200X24=4800元,相当于损失8160元;‎ 甲乙合作,需费用3520元,少赢利200×8=1600元,相当于损失5120元;‎ 因为5120<6000<8160,所以甲乙合作损失费用最少,‎ 答:甲乙合作施工更有利于商店.‎ 变式3-1(2020·成都市期末)某汽车制造厂生产一款电动汽车,计划一个月生产200辆.由于抽调不出足够的熟练工来完成电动汽车的安装,工厂决定招聘一些新工人,他们经过培训后上岗,也能独立进行电动汽车的安装.生产开始后,调研部门发现:1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车;2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车.‎ ‎(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车?‎ ‎(2)若工厂现在有熟练工人30人,求还需要招聘多少新工人才能完成一个月的生产计划?‎ ‎【答案】(1)每名熟练工每月可以按装4辆电动汽车,每名新工人每月可以按装2辆电动汽车;(2)40名 ‎【详解】‎ 解:(1)设每名熟练工每月可以按装x辆电动汽车,每名新工人每月可以按装y辆电动汽车,‎ 依题意,得:,‎ 解得:.‎ 答:每名熟练工每月可以按装4辆电动汽车,每名新工人每月可以按装2辆电动汽车.‎ ‎ 28 / 28‎ ‎(2)设还需要招聘m名新工人才能完成一个月的生产计划,‎ 依题意,得:4×30+2m=200,‎ 解得:m=40.‎ 答:还需要招聘40名新工人才能完成一个月的生产计划.‎ 变式3-2(2019·成都市期末)某工程队承包了某标段全长1755米的过江隧道施工任务,甲、乙两个班组分别从东、西两端同时掘进.已知甲组比乙组平均每天多掘进0.6米,经过5天施工,两组共掘进了45米.‎ ‎(1)求甲、乙两个班组平均每天各掘进多少米?‎ ‎(2)为加快工程进度,通过改进施工技术,在剩余的工程中,甲组平均每天能比原来多掘进0.2米,乙组平均每天能比原来多掘进0.3米.按此旄工进度,能够比原来少用多少天完成任务?‎ ‎【答案】(1)甲班组平均每天掘进4.8米,乙班组平均每天掘进4.2米;‎ ‎(2)少用10天完成任务.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设甲、乙班组平均每天掘进x米,y米,‎ 得,解得.‎ ‎∴甲班组平均每天掘进4.8米,乙班组平均每天掘进4.2米.‎ ‎(2)设按原来的施工进度和改进施工技术后的进度分别还需a天,b天完成任务,则 a=(1755﹣45)÷(4.8+4.2)=190(天)‎ b=(1755﹣45)÷(4.8+0.2+4.2+0.3)=180(天)‎ ‎∴a﹣b=10(天)‎ ‎∴少用10天完成任务.‎ 题型四 二元一次方程组的应用 – 数字问题 典例 4(2019·靖远县期末)一个两位数,个位数字与十位数字的和为8,个位数字与十位数字互换位置后,所得的两位数比原两位数小18,则原两位数是多少?‎ ‎【答案】原两位数是53.‎ ‎【详解】‎ 解:设原两位数的个位数字为x,十位数字为y,‎ ‎ 28 / 28‎ 根据题意得:解得:‎ ‎∴10y+x=53.‎ 答:原两位数是53.‎ 变式4-1(2020·海淀区期末)小明和小亮做加减法游戏,小明在一个加数后面多写了一个0,得到的和为242,而小亮在另一个加数后面多写了一个0,得到的和为341。原来两个加数是多少?‎ ‎【答案】21,32;‎ ‎【解析】‎ 设一个加数为x,另一个加数为y. 根据题意得 解得. 答:原来两个加数分别是21,32.‎ 变式4-2(2020·阳谷县期中)列二元一次方程组解应用题.‎ 已知一个两位数,它的十位上的数字与个位上的数字的和为12,若对调个位与十位上的数字,得到的新数比原数小18,求原来的两位数.‎ ‎【答案】原来的两位数为75.‎ ‎【解析】‎ 设个位数字为,十位数字为. ‎ 根据题意得: ‎ 解得: ‎ 答:原来的两位数为75. ‎ 题型五 二元一次方程组的应用 – 年龄问题 典例5(2019·南阳市期中)一名34岁的男子带着他的两个孩子一同进行晨跑,下面是两个孩子与记者的对话:‎ ‎ 28 / 28‎ 根据对话内容,请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄.‎ ‎【答案】妹妹的年龄是6岁,哥哥的年龄是10岁.‎ ‎【详解】‎ 解:设妹妹的年龄是x岁,哥哥的年龄是y岁,‎ 依题意,得: ,‎ 解得: .‎ 答:妹妹的年龄是6岁,哥哥的年龄是10岁.‎ 变式5-1(2020·江北市期末)4月9日上午8时,2017 徐州国际马拉松赛鸣枪开跑,一名岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛,下面是两个孩子与记者的对话:‎ 根据对话内容,请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄.‎ ‎【答案】今年妹妹6岁,哥哥10岁.‎ ‎【详解】‎ 试题分析:设今年妹妹的年龄为x岁,哥哥的年龄为y岁,根据两个孩子的对话,即可得出关于x、y的二元一次方程组,解之即可得出结论.‎ 试题解析:设今年妹妹的年龄为x岁,哥哥的年龄为y岁,‎ 根据题意得:‎ ‎ 解得: .‎ 答:今年妹妹6岁,哥哥10岁.‎ 变式5-2(2019·绍兴市期末)师生对话,师:我像你这么大的时候,你才1岁,你到我这样大的时候,我已经40岁了,问老师和学生现在各几岁?‎ ‎【答案】老师和学生现在的年龄分别为27岁和14岁 ‎【详解】‎ ‎ 28 / 28‎ 设老师的年龄是x岁,学生的年龄是y岁,由题意得:根据题意列方程组得:‎ ‎,解得.‎ 答:老师和学生现在的年龄分别为27岁和14岁.‎ 题型六 二元一次方程组的应用 – 分配问题 典例6(2020·许昌市期末)某校的大学生自愿者参与服务工作,计划组织全校自愿者统一乘车去某地.若单独调配座客车若干辆,则空出个座位,若只调配座客车若干辆,则用车数量将增加辆,并有人没有座位.‎ ‎(1)计划调配座客车多少辆?该大学共有多少名自愿者?(列方程组解答)‎ ‎(2)若同时调配座和座两种车型,既保证每人有座,又保证每车不空座,则两种车型各需多少辆?‎ ‎【答案】(1)计划调配36座客车6辆,该大学共有210名自愿者;(2)需调配36座新能源客车4辆,22座新能源客车3辆 ‎【详解】‎ 解:(1)设计划调配36座新能源客车辆,该大学共有名自愿者,则根据题意得 ‎,解得:.‎ 答:计划调配36座新能源客车6辆,该大学共有210名自愿者。‎ ‎(2)设需调配36座新能源客车辆,22座新能源客车辆,根据题意得 ‎,∴.‎ 又∵为正整数,∴.‎ 答:需调配36座新能源客车4辆,22座新能源客车3辆。‎ 变式6-1(2020·宁波市期中)某铁件加工厂用如图所示的长方形和正方形铁片(长方形的宽与正方形的边长相等)加工成如图.所示的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器.(加工时接缝材料不计)‎ ‎(1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各 1 个,则共需要长方形铁片 张,正方形铁片 张. ‎ ‎(2)现 有长方形铁片 2017 张,正方形铁片 1178 张,如果加工成这两种铁容器,刚好铁片全部用完,那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个? ‎ ‎(3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒.现用 35‎ ‎ 28 / 28‎ ‎ 张铁板做成长方形铁片和正方形铁片,已知每张铁板可做成 3 个长方形铁片或 4 个正方形铁片,也可以将一张铁板裁出 1 个长方形铁片和 2 个正方形铁片.若充分利用这些铁板加工成铁盒,则最多可以加工成多少个铁盒?‎ ‎【答案】(1)7,3 (2)加工的竖式铁容器有100个,横式铁容器各有539个 (3)最多可加工铁盒19个 ‎【详解】‎ ‎(1)如图,加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张,正方形铁片1 张;加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张,正方形铁片2 张.‎ 故如果加工竖式铁容器与横式铁容器各 1 个,则共需要长方形铁片7张,正方形铁片3 张.‎ ‎(2)设加工的竖式铁容器有x个,横式铁容器各有y个,由题意得 解得 故加工的竖式铁容器有100个,横式铁容器各有539个.‎ ‎(3)设做长方形铁片的铁板m张,做正方形铁片的铁板n张,由题意得 解得 ‎∴在这35张铁板中,25张做长方形铁片可做(片),9张做正方形铁片可做(片),剩1张可裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片 共可做长方形铁片(片),正方形铁片(片)‎ ‎∴可做铁盒(个)‎ 答:最多可加工铁盒19个.‎ 变式6-2(2019·泉州市期中)根据小敏、小聪、小东、小强四人的对话内容,请你设计一下,分别安排多少立方米木料做桌面,多少立方米木料做桌腿,才能使得生产出来的桌面和桌腿及库存的桌腿恰好全部配套?‎ ‎ 28 / 28‎ ‎【答案】应安排3.5立方米木料做桌面,2立方米木料做桌腿,才能使得生产出来的桌面和桌腿及库存的桌腿恰好全部配套.‎ ‎【详解】‎ 解:设安排立方米木料做桌面,立方米木料做桌腿,依题意得:,解得:.‎ 答:应安排3.5立方米木料做桌面,2立方米木料做桌腿,才能使得生产出来的桌面和桌腿及库存的桌腿恰好全部配套.‎ 题型七 二元一次方程组的应用 – 销售、利润问题 典例7(2019·绍兴市期中)现有A,B两种商品,买2件A商品和1件B商品用了90元,买3件A商品和2件B商品用了160元.求A,B两种商品每件各是多少元?‎ ‎【答案】A种商品每件20元,B种商品每件50元;‎ ‎【详解】‎ 解:设A商品1件x元,B商品1件y元,‎ 由题意得:,解得:,‎ 答:A种商品每件20元,B种商品每件50元;‎ 变式7-1(2020·锦州市期末)某校组织“大手拉小手,义卖献爱心”活动,计划购买黑白两种颜色的文化衫进行手绘设计后出售,并将所获利润全部捐给山区困难孩子.已知该学校从批发市场花4800元购买了 黑白两种颜色的文化衫200件,每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表:‎ ‎ 28 / 28‎ 批发价(元)‎ 零售价(元)‎ 黑 色 文化衫 ‎25‎ ‎45‎ 白 色 文 化 衫 ‎20‎ ‎35‎ ‎(1)学校购进黑.白文化衫各几件?‎ ‎(2)通过手绘设计后全部售出,求该校这次义卖活动所获利润.‎ ‎【答案】(1)学校购进黑文化衫160件,白文化衫40件;(2)该校这次义卖活动共获得3800元利润.‎ ‎(2)根据总利润=每件利润×数量,即可求出结论.‎ ‎【详解】‎ 解:(1)设学校购进黑文化衫x件,白文化衫y件,‎ 依题意,得:,解得:. ‎ 答:学校购进黑文化衫160件,白文化衫40件.‎ ‎(2)(45-25)×160+(35-20)×40=3800(元).‎ 答:该校这次义卖活动共获得3800元利润.‎ 变式7-2(2019·嘉兴市期中)随着中国传统节日“端午节”的临近,东方红商场决定开展“欢度端午,回馈顾客”的让利促销活动,对部分品牌粽子进行打折销售,其中甲品牌粽子打八折,乙品牌粽子打七五折,已知打折前,买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元;打折后,买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元.‎ ‎(1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元?‎ ‎(2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒,乙品牌粽子100盒,问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱?‎ ‎【答案】(1)打折前甲品牌粽子每盒70元,乙品牌粽子每盒80元.(2)打折后购买这批粽子比不打折节省了3120元.‎ ‎【解析】‎ ‎1)设打折前甲品牌粽子每盒x元,乙品牌粽子每盒y元,‎ 根据题意得:‎ ‎,解得:.‎ ‎ 28 / 28‎ 答:打折前甲品牌粽子每盒40元,乙品牌粽子每盒120元.‎ ‎(2)80×40+100×120-80×0.8×40-100×0.75×120=3640(元).‎ 答:打折后购买这批粽子比不打折节省了3640元.‎ 题型八 二元一次方程组的应用 – 和差倍分问题 典例8(2019·泰安市期末)学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张,并且每买1张办公桌必须买2把椅子,椅子每把100元,若学校购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费24000元;购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费2000元.求甲、乙两种办公桌每张各多少元?‎ ‎【答案】甲400元,乙600元 ‎【详解】‎ 解:设甲种办公桌每张x元,乙种办公桌每张y元,‎ 根据题意,得:,‎ 解得:,‎ 答:甲种办公桌每张400元,乙种办公桌每张600元;‎ 变式8-1(2018·鞍山市期末)某停车场的收费标准如下:小型汽车10元/辆,中型汽车15元/辆,现停车场共有50辆中、小型汽车,共缴纳停车费560元,中、小型汽车各有多少辆?‎ ‎【答案】小型车有38辆,中型车有12辆 ‎【详解】‎ 解:设小型车有x辆,中型车有y辆,‎ 根据题意得:‎ 解得:,‎ 答:小型车有38辆,中型车有12辆.‎ 变式8-2(2019·烟台市期中)某快递公司有甲、乙两个仓库,各存有快件若干件,甲仓库发走80件后余下的快件数比乙仓库原有快件数的2倍少700件;乙仓库发走560件后剩余的快件数比甲仓库余下的快件数的还多210件.求甲、乙两个仓库原有快件各多少件.‎ ‎【答案】甲仓库原有快件1480件、乙仓库原有快件1050件.‎ ‎【详解】‎ ‎ 28 / 28‎ 解:设甲、乙两个仓库原有快件分别有x件和y件.‎ 由题意 ,解得,‎ 答:甲、乙两个仓库原有快件分别有1480件1050件.‎ 题型九 二元一次方程组的应用 – 几何问题 典例9(2018·合肥市期中)“光明”中学为了改善校园建设,计划在长方形的校园中间修一个正方形的花坛,预计正方形花坛的边长比场地的长少10米,比它的宽少8米,并且场地的总面积比花坛的面积大116平方米,求长方形的长和宽.‎ ‎【答案】长方形的长是12米,宽是10米 ‎【详解】‎ 设长方形的长和宽分别为米,米,根据题意得:‎ 解得 答:长方形的长是12米,宽是10米.‎ 变式9-1(2019·泉州市期末)如图,用10块相同的小长方形地砖拼成一个宽是60厘米的大长方形,用列方程或方程组的方法,求每块小长方形地砖的长和宽分别是多少厘米?‎ ‎【答案】小长方的长为,小长方的宽为.‎ ‎【详解】‎ 解:设小长方形的长为,小长方的宽为 依题意,得∴‎ 答:小长方的长为,小长方的宽为.‎ 变式9-2(2020·渭南市期末)某居民小区为了绿化小区环境,建设和谐家园,准备将一块周长为76米的长方形空地,设计成长和宽分别相等的9块小长方形,如图所示,计划在空地上种上各种花卉,经市场预测,绿化每平方米空地造价210元,请计算,要完成这块绿化工程,预计花费多少元?‎ ‎ 28 / 28‎ ‎【答案】要完成这块绿化工程,预计花费75600元.‎ ‎【详解】‎ 设小长方形的长为x米,宽为y米,‎ 由题意得,‎ ‎,解得:,‎ 则大长方形的长为20米,宽为18米,面积为:20×18=360平方米,‎ 预计花费为:210×360=75600(元),‎ 答:要完成这块绿化工程,预计花费75600元.‎ 题型十 二元一次方程组的应用 – 表格或图示问题 典例10(2019·长春市期末)五月份的第二个星期天是母亲节.如图,母亲节那天,很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒,根其图中提供信息,求每束鲜花和每个礼盒的价格.‎ ‎【答案】每束鲜花元,每个礼盒元.‎ ‎【详解】‎ 解: 设每束鲜花元,每个礼盒元.‎ 依题意 得解这个方程组得 ‎ 经检验,符合题意 答:每束鲜花元,每个礼盒元.‎ 变式10-1(2018·南阳市期末)芳芳妈对家里的经济收支情况有记帐的好习惯.下表记录的是她家2018年第一季度水表、电表的读表数和所缴水电费的情况:‎ ‎ 28 / 28‎ 时间(月份)‎ 水表读数(吨)‎ 电表读数(度)‎ 水电费(元)‎ ‎2018.1‎ ‎528‎ ‎1235‎ ‎65‎ ‎2018.2‎ ‎538‎ ‎1265‎ ‎59‎ ‎2018.3‎ ‎558‎ ‎1305‎ ‎102‎ ‎(1)请你根据表中提供的信息求出水、电的收费单价(即每吨水的收费标准和每度电的收费标准);‎ ‎(2)今年4月份芳芳家水表读数为574(吨),电表读数为1340(度),那么芳芳家本月水电费应缴多少元?‎ ‎【答案】(1)水3.5元/吨,电0.8元/度;(2)84元 ‎【详解】‎ ‎(1)由图表可知,2月份的所用水:538-528=10吨;所用电为:1265-1235=30度;‎ ‎3月份的所用水:558-538=20吨;所用电为:1305-1265=40度;‎ 设水元/吨,电元/度,‎ 则,解得:;‎ 答:水、电的收费单价分别是3.5元和0.8元;‎ ‎(2) 4月芳芳家的水电费:元,‎ 答:4月芳芳家的水电费为84元.‎ 变式10-2(2019·濮阳市期中)为鼓励居民节约用电,我市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电价,即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费,第一档为用电量在180千瓦时(含180千瓦时)以内的部分,执行基本价格;第二档为用电量在180千瓦时到450千瓦时(含450千瓦时)的部分,实行提高电价;第三档为用电量超出450千瓦时的部分,执行市场调节价格. 我市一位同学家今年2月份用电330千瓦时,电费为213元,3月份用电240千瓦时,电费为150元.已知我市的一位居民今年4、5月份的家庭用电量分别为160和 410千瓦时,请你依据该同学家的缴费情况,计算这位居民4、5月份的电费分别为多少元?‎ ‎【答案】96,269.‎ ‎【详解】‎ 解:设基本电价为x元/千瓦时,提高电价为y元/千瓦时,‎ 由题意得, ,解得: ,‎ ‎ 28 / 28‎ 则四月份电费为:160×0.6=96(元),‎ 五月份电费为:180×0.6+230×0.7=108+161=269(元).‎ 答:这位居民四月份的电费为96元,五月份的电费为269元.‎ 题型十一 二元一次方程组的应用 – 古代问题 典例11(2019·龙岩市期末)《九章算术》是中国古代数学专著,在数学上有其独到的成就,不仅最早提到了分数问题,也首先记录了“盈不足”等问题.如有一道阐述“盈不足”的问题,原文如下:今有共买鸡,人出九,盈十一;人出六,不足十六.问人数、鸡价各几何?译文为:现有若干人合伙出钱买鸡,如果每人出9文钱,就会多11文钱;如果每人出6文钱,又会缺16文钱.问买鸡的人数、鸡的价格各是多少.请解答上述问题.‎ ‎【答案】合伙买鸡者有9人,鸡的价格为70文钱 ‎【详解】‎ 解:设合伙买鸡者有x人,鸡的价格为y文钱,‎ 根据题意得: ,解得: ‎ 答:合伙买鸡者有9人,鸡的价格为70文钱.‎ 变式11-1(2018·南充市期末)“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一.大约在1500年前成书的《孙子算经》中,就有关于“鸡兔同笼”的记载:“今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?”这四句话的意思是:有若干只鸡兔关在一个笼子里,从上面数,有35个头;从下面数,有94条腿.问笼中各有几只鸡和兔?‎ ‎【答案】鸡23只,兔12只 ‎【详解】‎ 设笼中各有x只鸡,y只兔,根据题意得 解得 ‎∴笼中各有12只鸡,23只兔 变式11-2(2019·怀柔区 ‎ 28 / 28‎ 期末)《九章算术》是中国传统数学重要的著作,奠定了中国传统数学的基本框架.它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术.其中方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》中记载:“今有人共买鸡,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数、鸡价各几何?”译文:“今天有几个人共同买鸡,每人出8钱,多余3钱,每人出7钱,还缺4钱.问人数和鸡的价钱各是多少?”请列方程组解决此问题.‎ ‎【答案】人数为7人,鸡的价钱为53钱 ‎【详解】‎ 解:设人数为x人,鸡的价钱为y钱,根据题意,列方程组得: ‎ ‎.解方程组得.‎ 答:人数为7人,鸡的价钱为53钱.‎ 题型十二 三元一次方程组的应用 典例12(2019·杭州市期中)小明到某服装商场进行社会调查,了解到该商场为了激励营业员的工作积极性,实行“月总收入=基本工资+计件奖金”的方法,并获得如下信息:‎ 营业员A:月销售件数200件,月总收入3400元;‎ 营业员B:月销售件数300件,月总收入3700元;‎ 假设营业员的月基本工资为x元,销售每件服装奖动y元.‎ ‎(1)求x和y的值;‎ ‎(2)商场为了多销售服装,对顾客推荐一种购买方式:如果购买甲服装3件,乙服装2件,丙服袋1件共需390元:如果购买甲服装1件,乙服装2件,丙服装3件共需370元.某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件共需多少元?‎ ‎【答案】(1) x的值为2800,y的值为3;(2) 190元.‎ ‎【详解】‎ 解:(1)由题意,得,‎ 解得,‎ 即x的值为2800,y的值为3; ‎ ‎(2)设一件甲服装为a元,一件乙服装为b元,一件丙服装为c元,‎ 则,‎ 将两方程相加得,4a+4b+4c=760,‎ 则a+b+c=190,‎ ‎ 28 / 28‎ 即购买一件甲、一件乙、一件丙服装共需190元.‎ 变式12-1(2019·邢台市期中)小红在学校商店买了3支钢笔,1本练习本,2支中性笔共花13元,小颖买了2支钢笔,4本练习本,3支中性笔共花17元,小明打算在该商店买20支钢笔,20本练习本,20支中性笔寄给四川地震灾区的小朋友,他只有120元的压岁钱,请你帮他算一下,他的钱够吗?‎ ‎【答案】120元的压岁钱够购买20支钢笔,20本练习本,20支中性笔. ‎ ‎【解析】‎ 设钢笔每支元,练习本元,中性笔元,则 ‎ ,‎ ‎①+②得, ‎ 所以,(元),即120元的压岁钱够购买20支钢笔,20本练习本,20支中性. ‎ 变式12-2(2019·黄冈市期中)某工程由甲乙两队合做6天完成,厂家需付甲乙两队共16800元;乙丙两队合做10天完成,厂家需付乙丙两队共17000元;甲丙两队合做7.5天完成,厂家需付甲丙两队共15750元.‎ ‎(1)求甲、乙、丙三队每天工钱各多少元?‎ ‎(2)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天?‎ ‎(3)若要求不超过15天完成全部工程,问可由哪队单独完成此项工程花钱最少?‎ ‎【答案】(1)甲、乙、丙三队每天工钱分别为1600元、12000元和500元;‎ ‎(2)甲、乙、丙各队单独完成全部工程分别需要10天、15天、30天;‎ ‎(3)甲队能在规定时间内完工并且花费最少.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设甲、乙、丙三队每天工钱分别为a元,b元,c元,‎ 依题意得,,‎ 解得, ,‎ ‎ 28 / 28‎ 答:甲、乙、丙三队每天工钱分别为1600元、12000元和500元;‎ ‎(2)设甲、乙、丙各队单独完成全部工程分别需要x天,y天,z天,‎ 依题意得, ,‎ 解得, ,‎ 经检验,是原方程组的解.‎ 答:甲、乙、丙各队单独完成全部工程分别需要10天、15天、30天;‎ ‎(3)甲队单独完成需付工钱1600×10=16000(元),‎ 乙队单独完成需付工钱1200×15=18000(元),‎ 丙队不能在规定时间内完工,‎ 因此,甲队能在规定时间内完工并且花费最少.‎ ‎ 28 / 28‎
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