人教版初一数学上学期 有理数的乘除法

人教版初一数学上学期 有理数的乘除法

‎2020-2021学年人教版初一数学上学期高频考点05 有理数的乘除法 知识框架 基础知识点 知识点6. 1 有理数的乘法法则 规律：①几个非零数相乘，值为绝对值相乘，符号由负号个数确定（奇数个为负，偶数个为正）‎ ②任何数乘0，积为0‎ 例1.（2020四川绵阳初一月考）计算：‎ ‎（1）－； （2）－|－2.5|×； ‎ ‎（3）； （4）．‎ ‎（5）(-8)×(-5)×(-2)×； （6）(-5)×(-8)×(-10)×(-15)×0．‎ ‎（7）； （8）．‎ ‎【答案】（1）-2；（2）；（3）；（4）．‎ ‎【分析】（1）小括号内小数先化成分数并确定符号，再相乘即可；‎ ‎（2）先按法则去掉绝对值符号和括号，确定符号，再相乘即可；‎ ‎（3）先确定符号，再相乘即可；‎ ‎（4）先把小数化成分数并确定符号，再相乘即可．‎ ‎【解析】（1）－；‎ ‎（2）－|－2.5|×；‎ ‎（3）；‎ ‎（4）．‎ ‎(5)(-8)×(-5)×(-2)×=-25；(6)(-5)×(-8)×(-10)×(-15)×0=0．‎ ‎（7）；‎ ‎（8）．‎ ‎【点睛】本题考查了有理数的乘法，解题的关键是明确有理数乘法运算的法则．‎ 例2.（2020·河北省初一期末）若，则的值是　　‎ A． B．48 C．0 D．无法确定 ‎【答案】B ‎【分析】根据绝对值的性质以及非负数性质可得a+1=0、b-2=0、c+3=0，求得a、b、c的值后代入进行计算即可得答案.‎ ‎【解析】∵|a+1|+|b-2|+|c+3|=0，|a+1|≥0，|b-2|≥0，|c+3|≥0，‎ ‎∴a+1=0、b-2=0、c+3=0，∴a=-1，b=2，c=-3，‎ ‎∴(a-1)(b+2)(c-3)= (-1-1)×(2+2)×(-3-3)=48，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了非负数的性质以及有理数的运算，熟知几个非负数的和为0，那么每个非负数都为0是解题的关键.‎ 例3．（2020·山东省初一期中）已知数a，b在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　）‎ A．a+b＞0 B．a•b＞0 C．b+a＞b D．|a|＞|b|‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 根据数轴的特点，可知a＜0＜b，且|a|＞|b|，根据有理数的加法法则、乘法法则、绝对值的意义，可知a+b＜0，ab＜0，由a＜0可知a+b＜b.‎ 故选：D.‎ 例4．（2019·重庆市清华中学校初一月考）如果有4个不同的正整数、、、满足，那么的最大值为_____．‎ ‎【答案】8078‎ ‎【分析】根据、、、是四个不同的正整数，可知四个括号内是各不相同的整数，结合乘积为8，进行分类讨论．‎ ‎【解析】解：∵、、、是四个不同的正整数， ∴四个括号内是各不相同的整数，‎ 不妨设，‎ 又∵，‎ ‎∴这四个数从小到大可以取以下几种情况：①-4,-1,1,2；②-2,-1,1,4.‎ ‎∵=，‎ ‎∴=8076-，‎ ‎∴当越小，越大，‎ ‎∴当=-4-1+1+2=-2时，‎ 取最大值=8076-(-2)=8078.故答案为：8078.‎ ‎【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，根据题意得出四个括号中的数是解答此题的关键．‎ 例5．（2019·山西省初一月考）已知，为有理数，且，，则下列说法正确的是（ ）‎ A．，中一正一负 B．，都为正数 C．的绝对值更大 D．，都为负数 ‎【答案】D ‎【分析】根据有理数的加减乘除运算法则判断出a和b的正负即可得出答案 ‎【解析】∵， ∴a和b同为负 故答案选择D.‎ ‎【点睛】本题考查的是有理数的运算，比较简单，需要熟练掌握有理数的运算法则.‎ 知识点6. 2 有理数乘法的运算律 ‎1）正数乘法运算定律可推广到有理数中：‎ ①交换律：a×b=b×a ②结合律：a×b×c=a×（b×c） ③分配律：a×（b+c）=a×b+a×c 注：运用运算律时，因数作为一个整体，符号要与因数一同变换[来源:学|科|网Z|X|X|K]‎ ‎2）运用运算律的一些技巧（先当作正数计算出有理数的数值，最后在判断符号）‎ ①运用结合律，将能约分的先结合计算。如：‎ ②小数与分数相乘，一般先将小数化为分数。如：1.2×‎ ③带分数应先化为假分数的形式。如：‎ ④几个分数相乘，先约分，在相乘。如；‎ ⑤一个数与几个数的和相乘，通常用分配律可简化计算。如：12×（）‎ 例1．（2020·浙江初一期中）计算下列各式：‎ ‎（1）（﹣4）×1.25×（﹣8）； （2）×（﹣2.4）×；‎ ‎（3）（﹣14）×（﹣100）×（﹣6）×（0.01）； （4）9×15；‎ ‎（5）﹣100×﹣0.125×35.5+14.5×（﹣12.5%）；‎ ‎（6）（1﹣2）×（2﹣3）×（3﹣4）×（4﹣5）×…（19﹣20）．‎ ‎【答案】（1）；（2）-1.2；（3）-84；（4）149；（5）；（6）-1‎ ‎【分析】（1）把带分数化为假分数，小数化为分数，然后根据有理数的乘法法则进行计算即可得解；‎ ‎（2）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解；‎ ‎（3）利用乘法交换结合律进行计算即可得解；‎ ‎（4）把写成，然后利用乘法分配律进行计算即可得解；‎ ‎（5）逆运用乘法分配律进行计算即可得解；‎ ‎（6）先算小括号里面的，再根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．‎ ‎【解析】（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）；‎ ‎（4）；‎ ‎（5）‎ ‎；‎ ‎（6）．‎ ‎【点睛】本题考查有理数的乘法，利用运算定律可以使计算更加简便，计算时要注意运算符号的处理．‎ 例2．（2019·全国初一课时练习）用简便方法计算：‎ ‎（1）19×（-14）； （2）-99×14．‎ ‎【答案】（1）-279；（2）-1398．‎ ‎【分析】（1）把19转化成(20)，再运用乘法分配律计算即可；‎ ‎（2）把-99转化成(-100+)，再运用乘法分配律计算即可．‎ ‎【解析】（1）19×（-14）=(20)×（-14）=20×（-14）-×（-14）=-280＋1=-279；‎ ‎（2）-99×14=(-100+)×14=-1400＋2=-1398．‎ ‎【点睛】本题考查有理数乘法运算，熟练掌握有理数乘法运算法则和有理数乘法运算律是解本题的关键．‎ 例3．（2019·全国初一课时练习）用简便方法计算：‎ ‎（1）()×(-12)； （2）999×998； （3）-5×(-)+13×(- )-3×(- )．‎ ‎【答案】（1）-15；（2）997999；（3）-11‎ ‎【分析】（1）利用乘法的分配律计算即可；‎ ‎（2）把写成()，然后利用分配律计算即可；‎ ‎（3）逆用乘法的分配律，提出()进行计算.‎ ‎【解析】（1）()×(-12)=(-12) ×+(-12)×(-) +(-12)×+(-12)×‎ ‎=-3+10-4-18=-15；‎ ‎（2）999×998=(1000- )×998=1000×998- ×998=998000-1=997999；‎ ‎（3）-5×(-)+13×(- )-3×(- )=(-5+13-3)×(-)=5×(-)=-11．‎ ‎【点睛】本题考查了利用运算律进行有理数的简便运算，熟记分配律法则，认真分析算式是解决此题的关 键，注意运用分配律时各项的符号不变.‎ 例4．（2019·全国初一课时练习）用简便方法计算：‎ ‎（1）（-3.59）×-2.41×+6×； （2）×+（-0.25）×3.5+×2．‎ ‎【答案】（1）0；（2）0．‎ ‎【分析】（1）先确定积的符号，再逆用乘法的分配律计算即可；‎ ‎（2）小数转化成分数，再逆用乘法的分配律计算即可．‎ ‎【解析】（1）（-3.59）×-2.41×+6×=3.59×+2.41×-6×‎ ‎=×（3.59+2.41-6）=×0=0；‎ ‎（2）×+（-0.25）×3.5+×2=‎ ‎==×0=0．‎ ‎【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和乘法运算律是解本题的关键．‎ 例5．（2020·全国初一课时练习）计算：．‎ ‎【答案】‎ ‎【分析】先去括号写成乘法的形式，再约分计算即可.‎ ‎【解析】‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查有历史的乘法，根据式子特点，去括号后约分是解题的关键.‎ 知识点6. 3 倒数的概念 1） 倒数：乘积是1的两个数互为倒数，0无倒数。即a×b=1（a，b0）‎ 注：正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0无倒数。‎ 例1．（2020·全国初一课时练习）下列说法：①如果两个数的和为1，那么这两个数互为倒数；‎ ‎②如果两个数积为0，那么至少有一个数为0；③绝对值是其本身的有理数只有0；‎ ‎④倒数是其本身的数是，0，1；⑤一个数乘就是它的相反数；⑥任何一个有理数a的倒数是．‎ 其中错误的个数是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】D ‎【分析】根据倒数的概念、有理数乘法法则、绝对值的概念，相反数的概念进行判断即可.‎ ‎【解析】解：如果两个数的积为1，那么这两个数互为倒数，①错误；如果两个数积为0，那么至少有一个数为0，②正确；绝对值等于其本身的有理数是0和正有理数，③错误；倒数等于其本身的有理数只有1和，④错误；因为一个数乘后就得到与其本身只有符号不同的另一个数，所以一个数乘就是它的相反数，⑤正确；0没有倒数，⑥错误．错误的有①③④⑥，共4个．故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了倒数的概念，有理数乘法法则和绝对值的概念,相反数的概念，熟记概念和法则是解决此题的关键.‎ 例2．（2019·商水县希望中学初一月考）的相反数的倒数是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【分析】再根据相反数、倒数的定义，即可解答．‎ ‎【解析】-7的相反数为7，7的倒数是，故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了相反数、倒数，解决本题的关键是熟记相反数、倒数的定义．‎ 例3．（2020·全国初一课时练习）的倒数是________，的倒数是_________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【分析】先化简，再根据倒数的定义计算即可.‎ ‎【解析】∵，∴的倒数是．∵，∴的倒数是． ‎ 故答案为：①；②.‎ ‎【点睛】本题考查倒数的定义，熟知倒数的定义是解题的关键.‎ 例4．（2020·北京四中初三月考）如图，数轴上A，B两点所表示的数互为倒数，则关于原点的说法正确的是（　　）‎ A．一定在点A的左侧 B．一定与线段AB的中点重合 C．可能在点B的右侧 D．一定与点A或点B重合 ‎【答案】C ‎【分析】根据倒数的定义可知A，B两点所表示的数符号相同，依此求解即可．‎ ‎【解析】∵数轴上A，B两点所表示的数互为倒数，‎ ‎∴A，B两点所表示的数符号相同，如果A，B两点所表示的数都是正数，那么原点在点A的左侧；‎ 如果A，B两点所表示的数都是负数，那么原点在点B的右侧，∴原点可能在点A的左侧或点B的右侧．故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了数轴，倒数的定义，由题意得到A，B两点所表示的数符号相同是解题的关键．‎ 知识点6. 4 有理数的除法法则 1） 有理数除法法则：①除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数；②符号的判定看负号的数量，奇为负，偶为正。‎ 2） 有理数乘除法运算步骤：①根据负号个数的奇偶判断符号；②绝对值运算数值。‎ 例1.（2019·全国初一课时练习）计算：‎ ‎（1）(-12)÷(-3)； （2）(-42)÷(-6)； （3）(-0.1)÷10；‎ ‎（4）(-25)÷(+5)； （5）0÷(-5)÷100． （6）2÷÷；‎ ‎【答案】（1）4；（2）7；（3） -0.01；（4）-5；（5）0；（6）1．‎ ‎【分析】根据有理数的除法运算法则，分别对每个小题进行计算，即可得到答案．‎ ‎【解析】（1）(－12)÷(3)=4； （2）(－42)÷（－6）=7； （3）（－0.1）÷10=－0.01；‎ ‎（4）()÷(+5)= ； （5）0÷（－5）÷100=0．‎ ‎（6）原式；‎ ‎【点睛】本题考查了有理数的除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数除法的运算法则进行解题．‎ 例2．（2020·成都市初一期末）‎ ‎【答案】1‎ ‎【分析】原式利用除法法则变形，再利用乘法分配律计算即可得到结果．‎ ‎【解析】，‎ ‎．‎ 点睛：此题考查了有理数的除法，熟练掌握除法法则是解本题的关键．‎ 例3．（2020·全国初一课时练习）阅读下列材料：计算[来源:Z*xx*k.Com]‎ 解法一：原式=．‎ 解法二：原式=．‎ 解法三：原式的倒数为 故原式=300．‎ 上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的．‎ 请你选择合适的解法解答下列问题：计算：‎ ‎【答案】一，．‎ ‎【分析】上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，我认为解法一是错误的；利用乘法分配律求出原式倒数的值，即可求出原式的值．‎ ‎【解析】上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，我认为解法一是错误的；‎ 原式的倒数=‎ ‎=，‎ 则原式=．‎ ‎【点睛】本题考查有理数的除法；阅读型，正确理解题意是解题关键．‎ 知识点6. 5 有理数四则混合运算 正数四则混合运算法则可推广到有理数中，先算括号里的，再算乘除，最后加减，同级之间从左往右依次计算。‎ 例1．（2020·全国初一课时练习）计算：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【答案】（1）16 （2）[来源:Zxxk.Com]‎ ‎【分析】（1）利用乘法分配律进行计算即可；（2）将除法转化为乘法，再利用乘法分配律逆运算进行计算即可．‎ ‎【解析】（1）原式．‎ ‎（2）原式．‎ ‎【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的乘法运算律进行计算．‎ 例2．（2020·日照市新营中学初一月考）计算：‎ ‎；．‎ ‎【答案】；．‎ 分析：（1）原式变形后，约分即可得到结果；‎ ‎（2）原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可得到结果．‎ ‎【解析】原式；‎ 原式．‎ 点睛：此题考查了有理数的除法，以及有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ 例3．（2020·全国初一课时练习）计算：‎ ‎（1）； （2）．‎ ‎（3）； （4）．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）27；（4）11．‎ ‎【分析】（1）先去括号，再算乘法即可．（2）先去括号，再算乘法，再算加法即可．‎ ‎（3）先转换成假分数的形式，再算乘法即可．（4）根据乘法分配律求解即可．‎ ‎【解析】（1）原式．‎ ‎（2）原式．‎ ‎（3）．‎ ‎（4）‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查了有理数混合运算问题，掌握有理数混合运算法则是解题的关键．‎ 例4．（2019·全国初一课时练习）计算：‎ ‎（1）； （2）；‎ ‎（3）； （4）；‎ ‎（5）； （6）.‎ ‎【答案】（1）1；（2）；（3）；（4）8；（5）-1；（6）1‎ ‎【分析】（1）把小数化为分数，把除法转化为乘法，再根据乘法法则计算；[来源:学科网ZXXK]‎ ‎（2）（3）（5）把带分数化为假分数，把除法转化为乘法，再根据乘法法则计算；‎ ‎（4）把除法转化为乘法，再根据乘法法则计算；‎ ‎（6）先算绝对值，再算乘除法.‎ ‎【解析】（1）原式=； （2）原式=；‎ ‎（3）原式=； （4）原式=；‎ ‎（5）原式=； （6）原式=.‎ ‎【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握混合运算的顺序及运算法则是解答本题的关键.‎ 重难点题型 题型1 有理数乘除法与绝对值的综合应用 性质： 解题技巧：‎ 首先判断绝对值内算式的正负，利用绝对值的性质去绝对值。若绝对值内为正，则直接去绝对值；若绝对值内为负，则去绝对值，并对整体添“﹣”号。当绝对值内为正时，则除以它本身结果为1；若绝对值内为负时，则除以它本身结果为﹣1.‎ 例1．（2019·江苏省苏州工业园区初一一模）如果a，b，c是非零实数，且a＋b＋c＝0，那么的所有可能的值为( )‎ A．0 B．1或－1 C．2或－2 D．0或－2‎ ‎【答案】A ‎【分析】根据a、b、c是非零实数，且a+b+c=0可知a，b，c为两正一负或两负一正，按两种情况分别讨论代数式的可能的取值，再求所有可能的值即可．‎ ‎【解析】由已知可得：a，b，c为两正一负或两负一正．‎ ‎①当a，b，c为两正一负时：＝1，＝−1，所以的＝0；‎ ‎②当a，b，c为两负一正时：：＝-1，＝1，所以的＝0；‎ 由①②知：所有可能的值都为0．故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了分式的化简求值、绝对值及非零实数的性质等知识点，注意分情况讨论未知数的取值，不要漏解．‎ 例2．（2019·四川省初一期中）若|abc|＝－abc，且abc≠0，则＝（　　）‎ A．1或－3 B．－1或－3 C．±1或±3 D．无法判断 ‎【答案】A ‎【分析】利用绝对值的代数意义判断得到a，b，c中负数有一个或三个，即可得到原式的值．‎ ‎【解析】∵|abc|=-abc，且abc≠0，∴abc中负数有一个或三个，‎ 则原式=1或-3，故选A．‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值、有理数的乘法以及有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ 例3．（2020·四川省初一期末）如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且OA+OB=OC，则下列结论中：①abc＜0；②a（b+c）＞0；③a﹣c=b；④ ．其中正确的个数有（　　）‎ ‎ ‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】B ‎【分析】根据图示，可得c＜a＜0，b＞0，|a|+|b|=|c|，据此逐项判定即可．‎ ‎【解析】∵c＜a＜0，b＞0，∴abc＞0，∴选项①不符合题意．‎ ‎∵c＜a＜0，b＞0，|a|+|b|=|c|，∴b+c＜0，∴a（b+c）＞0，∴选项②符合题意．‎ ‎∵c＜a＜0，b＞0，|a|+|b|=|c|，∴-a+b=-c，∴a-c=b，∴选项③符合题意．‎ ‎ ∵=-1+1-1=-1，∴选项④不符合题意，∴正确的个数有2个：②、③．故选B．‎ ‎【点睛】此题主要考查了数轴的特征和应用，有理数的运算法则以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握．‎ 例4．（2019·深圳市龙岗区布初一月考）已知，则式子：（ ）‎ A．3 B．或1 C．或3 D．1‎ ‎【答案】C ‎【分析】不妨设a ＜b＜c，分类讨论：①a ＜b＜0＜c，②a＞0，b＞0，c＞0，根据绝对值的定义即可得到结论．‎ ‎【解析】不妨设a ＜b＜c．∵abc＞0，∴分两种情况：‎ ‎①a ＜b＜0＜c，则=－1+（－1）+1=－1；‎ ‎②a＞0，b＞0，c＞0，则1+1+1=3．故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值，有理数的混合运算，解题的关键是讨论字母的取值情况．‎ 题型2 定义新运算 解题技巧：该类题型会定义一种我们未学习过的运算规则，我们只需要照定义的运算规则，将题干写成有理数之间的运算即可。然后在直接按照有理数的运算法则求解最终答案。‎ 例1．（2019·湖北省初一期中）在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的，而后面“六到九”的运算就改用手势了．如计算8×9时，左手伸出3根手指，右手伸出4根手指，两只手伸出手指数的和为7，未伸出手指数的积为2，则8×9=10×7+2=72．那么在计算6×7时，左、右手伸出的手指数应该分别为（ ）‎ A．1，2 B．1，3 C．4，2 D．4，3‎ ‎【答案】A 分析：通过猜想得出数据，再代入看看是否符合即可．‎ ‎【解析】一只手伸出1，未伸出4，另一只手伸出2，未伸出3，‎ 伸出的和为3×10=30，30+4×3=42，故选A．‎ 点评：此题是定义新运算题型．通过阅读规则，得出一般结论．解题关键是对号入座不要找错对应关系．‎ 例2．（2020·常州市第二十四中学初三月考）定义一种新的运算：a•b=，如2•1==2，则（2•3）•1=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【分析】根据，可以求得所求式子的值，本题得以解决．‎ ‎【解析】解：∵，∴（2•3）•1•1=4•1，故选B．‎ ‎【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．‎ 例3．（2019·沈阳市第一二六中学初一月考）定义新运算：对有理数、，有，如 ‎，那么的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【分析】根据新定义列出算式，再利用乘法分配律计算即可．‎ ‎【解析】（﹣2）⊗5=﹣2×（）=1．故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的顺序和法则是解题的关键．‎ 例4．（2019·广东省华南师大附中初一期中）观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算符号），，，，…，那么计算的值是（ ）‎ A．2018 B．2019 C．2020 D．2021‎ ‎【答案】C ‎【分析】原式利用题中的新定义化简，约分即可得到结果．‎ ‎【解析】根据题中的新定义得：原式==2020，故选：C．‎ ‎【点睛】此题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．‎ 例5．（2019·吉林省东北师大附中初一月考）已知、为有理数，现规定一种新运算，满足．（1）_________；（2）求的值．（3）新运算是否满足加法交换律，若满足请说明理由：若不满足，请举出一个反例．‎ ‎【答案】（1）-6；（2）；（3）不满足，举例见解析 ‎【分析】（1）根据新定义列式计算即可；（2）根据新定义分两步列式计算即可；‎ ‎（3）根据新运算可知运用交换律出的结果和原来的结果不同，所以不满足，举例说明即可．‎ ‎【解析】（1）(-2)×4-(-2)=-8+2=-6‎ ‎（2）‎ ‎（3）∵新运算 ∴运用加法加法交换律可得：‎ 假设，则=3×4-3=9‎ ‎=4×3-4=8 ∴不能用交换律．‎ ‎【点睛】本题主要考查有理数的运算，解题关键是掌握新定义规定的运算法则、有理数乘方法则等知识．‎ 题型3. ±1赋值问题 解题技巧：对原本无数量关系的问题巧妙的赋某些特定值，将其转化成数量问题，然后通过对整数的正负号进行讨论，使问题得到解决。‎ 用赋值法解决此类问题时，关键是对操作过程中的某一个量进行赋值（通常为±1），通过对操作过程的量化，讨论理数正负号变化规律，最终求解出具体问题。‎ 例1．（2020·北京中关村中学初三月考）容器中有A，B，C 3种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗B粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子．例如，一颗A粒子和一颗B粒子发生碰撞则变成一颗C粒子．现有A粒子10颗，B粒子8颗，C粒子9颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩1颗粒子．给出下列结论：‎ ‎①最后一颗粒子可能是A粒子；②最后一颗粒子一定是C粒子 ‎③最后一颗粒子一定不是B粒子；④以上都不正确 其中正确结论的序号是( )．(写出所有正确结论的序号)‎ A．① B．②③ C．③ D．①③‎ ‎【答案】D ‎【分析】将问题抽象为有理数的符号法则即可解决.‎ ‎【解析】③∵相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗B粒子；‎ 不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子，‎ ‎∴设B粒子为1，A、C粒子为-1，碰撞为乘法运算，∴=-1，‎ 故最后一颗粒子一定不是B粒子，∴③是正确的；‎ ‎①10颗A粒子，8颗C粒子，8颗B粒子，同种粒子两两碰撞，得到13颗B粒子，‎ 再所有B粒子一一碰撞，得到一颗B粒子，和剩下的1颗C粒子碰撞，得到A粒子，‎ ‎∴最后一颗粒子可能是A粒子；∴①是正确的，②是错的. 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了有理数的符号法则，读懂题意是解题的关键.‎ 例2．（2019·云南省初一期末）如图，桌上有9张卡片，每张卡片的一面写数字1,另一面写数字-1.每次翻动任意2张(包括已翻过的牌)。改变其向上的面，然后计算能看到的所有牌面数字的积请问， 当翻了2019次时牌面数字的积为( )‎ A．1 B．-1 C．2019 D．-2019‎ ‎【答案】A ‎【分析】依照题述翻牌，发现翻牌时-1的个数总保持偶数，故2019次翻牌乘积仍为1.‎ ‎【解析】第一次翻牌时有两张变成-1，其它都为1，故乘积为1:；‎ 第二次翻牌时，有三种可能：①翻到的两张都为未翻到的牌，则有四张-1，其它都为1，乘积为1；②翻到的两张都为翻到的牌，则有0张-1，其它都为1，乘积为1；③翻到的两张一张为翻过的牌，一张为未翻过的牌，则-1有两张，其它都为1，乘积为1.‎ 依次类推，从第二次开始每次翻牌都有三种可能，-1的个数比原来增加2，-1的个数保持不变，-1的个数减少2，总之-1的个数为偶数，其余全是1，故乘积为1.‎ 所以当翻了2019次时牌面数字的积为：1.故选:A.‎ ‎【点睛】本次考查探索与表达规律，多个有理数相乘.解决本题的关键是能找到题中-1个数的变化规律，并根据多个有理数相乘，当负数的个数为偶数时结果为正，当负数的个数为奇数时结果为负，再把绝对值相乘进行计算.‎ 例3.桌上放5个杯子，杯口朝上的有2个，朝下的有3个，每次翻动4个杯子。问能否翻动若干次后，将杯口全部朝上？‎ ‎【答案】不能实现 ‎【解析】设杯口朝上为1，朝下为－1‎ 原来为：1×1×（－1）×（－1）×（－1）=－1‎ 每翻动一个杯子，相当于乘－1‎ 则每次翻动4个杯子，相当于 所以，无论翻动多少次，5个杯子的乘积一定为－1‎ 而杯口全部朝上，则5个杯子的乘积为1，不能实现 ‎【点睛】本次考查探索与表达规律，多个有理数相乘.解决本题的关键是能找到题中-1个数的变化规律，并根据多个有理数相乘，当负数的个数为偶数时结果为正，当负数的个数为奇数时结果为负，再把绝对值相乘进行计算.‎ ‎1．（2019·全国初一课时练习）如果五个有理数的积为负数，那么其中的负因数有(　　)‎ A．1个 B．3个 C．5个 D．1个或3个或5个 ‎【答案】D ‎【分析】根据有理数的乘法法则解答即可．‎ ‎【解析】∵五个有理数的积为负数，∴其中负因数的个数一定为奇数．‎ ‎∴负因数的个数只可能是1、3、5个．故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了有理数的乘法法则：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．‎ ‎2．（2020·河北省初一期末）下列说法正确的是（ ）‎ A．几个有理数相乘，当因数有奇数个时，积为负；‎ B．几个有理数相乘，当正因数有奇数个时，积为负；‎ C．几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负；‎ D．几个有理数相乘，当积为负数时，负因数有奇数个；‎ ‎【答案】D ‎【分析】根据有理数的乘法运算法则解答即可.‎ ‎【解析】A.几个有理数相乘，当因数有奇数个时，积为负说法错误，如若因数都是正的，积为正;‎ B.几个有理数相乘，当正因数有奇数个时，积为负，说法错误，因为积为负时负因数的个数是奇数个;‎ C.几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负，说法错误，当因数中有0时，积为0;‎ D.几个有理数相乘，当积为负数时，负因数有奇数个，说法正确.故选: D.‎ ‎【点睛】本题考查了有理数的乘法法则，解题的关键是熟练使用运算法则进行计算.‎ ‎3．（2019·深圳市龙岗区布吉街道可园学校初一月考）已知，则式子：（ ）‎ A．3 B．或1 C．或3 D．1‎ ‎【答案】C ‎【分析】不妨设a ＜b＜c，分类讨论：①a ＜b＜0＜c，②a＞0，b＞0，c＞0，根据绝对值的定义即可得到结论．‎ ‎【解析】不妨设a ＜b＜c．∵abc＞0，∴分两种情况：‎ ‎①a ＜b＜0＜c，则=－1+（－1）+1=－1；‎ ‎②a＞0，b＞0，c＞0，则1+1+1=3．故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值，有理数的混合运算，解题的关键是讨论字母的取值情况．‎ ‎4．（2019·四川省资阳市雁江区中和中学初一期中）已知a，b，c为有理数，且a+b-c=0，abc＜0，则=_____________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【分析】根据有理数的乘法法则判断出a、b、c三个数中有奇数个负数，再表示出b-c，a-c，a+b，然后分情况去绝对值符号，求解即可．‎ ‎【解析】∵abc＜0，∴a、b、c三个数中有奇数个负数， ∵a+b-c=0，∴b-c=-a，a-c=-b，a+b=c， ∴ ， 若c是正数，则a、b有一个是负数，不妨设a是负数， 原式= =1-1+1=1， 若c是负数，则a、b都是负数， 原式= =1+1-1=1， 综上所述，代数式的值为1．故答案为：1．‎ ‎【点睛】此题考查化简绝对值，解题关键在于掌握有理数的乘法法则，绝对值的性质，难点在于从c的正负情况讨论．‎ ‎5．（2019·沭阳县修远中学初一月考）已知a、b互为相反数且a≠0，c、d互为倒数，m的绝对值是最小的正整数，则的值为________.‎ ‎【答案】0或-2‎ ‎【分析】a、b互为相反数且a≠0，c、d互为倒数，m的绝对值是最小的正整数，可分别求得a+b=0，cd=1，m=±1，代入求值即可．‎ ‎【解析】∵a、b互为相反数且a≠0，∴a+b=0，‎ 又∵c、d互为倒数，m的绝对值是最小的正整数，∴cd=1，m=±1，‎ ‎∴∴原式=0或-2.故填0或-2.‎ ‎【点睛】本题考查代数式求值, 相反数, 绝对值, 倒数.能根据互为相反数的数和为0，互为倒数的两个数积为1，得出a+b=0，cd=1，能根据绝对值的定义求出m是解决本题的关键.‎ ‎6．（2019·重庆实验外国语学校初一期中）如果a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是3，则m2﹣2019a+5cd﹣2019b的值是____．‎ ‎【答案】14．‎ ‎【分析】直接利用互为相反数以及互为倒数、绝对值的性质分别得出各式的值，进而将原式变形代入即可．‎ ‎【解析】∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是3，∴a+b=0，cd=1，m=±3，‎ 则m2﹣2019a+5cd﹣2019b=9﹣2019(a+b)+5cd=9﹣0+5=14．故答案为：14．‎ ‎【点睛】此题主要考查了相反数、倒数、绝对值的应用，正确把握相关定义是解题关键．‎ ‎7．（2020·山东省青岛第四中学初一月考）计算： ______ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【分析】根据题意，把分母利用乘法分配律逆运算计算得，=‎ ‎，然后分子、分母约分即可．‎ ‎【解析】原式=，故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了乘法分配律的逆运算，分数的约分，掌握乘法分配律的逆运算法则是解题的关键．‎ ‎8．（2019·山西省初一期中）若，则=__________.‎ ‎【答案】- ‎ 分析：由绝对值和平方的非负性结合已知条件求得a、b的值，再代入ab中计算即可.‎ ‎【解析】∵，∴，‎ ‎∴，∴.故答案为.‎ 点睛：（1）一个代数式的绝对值和平方都是非负数；（2）两个非负数的和为0，则这两个数都为0.‎ ‎9．（2020·湖北省初一月考）已知是有理数，表示不超过的最大整数，如，，，等，那么______.‎ ‎【答案】-6‎ ‎【分析】原式根据题中的新定义化简，计算即可得到结果．‎ ‎【解析】解：∵表示不超过的最大整数，∴==；‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】此题考查了有理数的混合运算，新定义的运算，以及有理数的大小比较，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎10．（2020·青岛超银中学初一月考）在学习了《有理数及其运算》以后，小明和小亮一起玩“24点”游戏，规则如下：从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为24或-24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，分别代表11、12、13.现在小亮抽到的扑克牌代表的数分别是：3、-4、-6、10，请你帮助他写一个算式，使其运算结果等于24或-24__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【分析】根据有理数的混合运算法则进行计算即可解答.‎ ‎【解析】=-24 故答案为：=-24（答案不唯一）‎ ‎【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握计算法则是解题关键.‎ ‎11．（2020·全国初一课时练习）运用运算律作较简便的计算：‎ ‎（1）-1.25×（-5）×3×（-8）；‎ ‎（2）（）×（-12）；‎ ‎（3）．‎ ‎【答案】（1）－150；（2）﹣4；（3）．‎ ‎【分析】（1）（2）（3）借助乘法结合律和乘法分配律进行运算即可.‎ ‎【解析】解：原式 ‎ 原式 原式 ‎12．（2019·全国初一课时练习）用简便方法计算：‎ ‎（1）（-3.59）×-2.41×+6×；‎ ‎（2）×+（-0.25）×3.5+×2．‎ ‎【答案】（1）0；（2）0．‎ ‎【分析】（1）先确定积的符号，再逆用乘法的分配律计算即可；‎ ‎（2）小数转化成分数，再逆用乘法的分配律计算即可．‎ ‎【解析】（1）（-3.59）×-2.41×+6×=3.59×+2.41×-6×‎ ‎=×（3.59+2.41-6）=×0=0；‎ ‎（2）×+（-0.25）×3.5+×2‎ ‎===×0=0．[来源:学科网ZXXK]‎ ‎【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和乘法运算律是解本题的关键．‎ ‎13．（2019·全国初一课时练习）用简便方法计算：‎ ‎（1）()×(-12)；‎ ‎（2）999×998；‎ ‎（3）-5×(-)+13×(- )-3×(- )．‎ ‎【答案】（1）-15；（2）997999；（3）-11‎ ‎【分析】（1）利用乘法的分配律计算即可；‎ ‎（2）把写成()，然后利用分配律计算即可；‎ ‎（3）逆用乘法的分配律，提出()进行计算.‎ ‎【解析】解：（1）()×(-12)‎ ‎=(-12) ×+(-12)×(-) +(-12)×+(-12)×‎ ‎=-3+10-4-18‎ ‎=-15；‎ ‎（2）999×998‎ ‎=(1000- )×998‎ ‎=1000×998- ×998‎ ‎=998000-1‎ ‎=997999；‎ ‎（3）-5×(-)+13×(- )-3×(- )‎ ‎=(-5+13-3)×(-)‎ ‎=5×(-)‎ ‎=-11．‎ ‎【点睛】本题考查了利用运算律进行有理数的简便运算，熟记分配律法则，认真分析算式是解决此题的关键，注意运用分配律时各项的符号不变.‎