北师大版七年级上册-第02讲-有理数及其运算(提高)-教案

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北师大版七年级上册-第02讲-有理数及其运算(提高)-教案

1 学科教师辅导讲义 学员编号: 年 级:七年级 课 时 数:3 学员姓名: 辅导科目:数学 学科教师: 授课主题 第 02讲---有理数及其运算 授课类型 T 同步课堂 P 实战演练 S 归纳总结 教学目标 1 掌握有理数的乘方; 2 掌握有理数的混合运算并能灵活运用。 授课日期及时段 T(Textbook-Based)——同步课堂 体系搭建 一、知识框架 二、知识概念 1、有理数的定义及分类 (1)有理数:整数与分数统称为有理数。有理数按照符号分类可以分为正有理数、0、负有理数;按 照定义分类可以分为整数、分数。 2、数轴、相反数和绝对值 2 (1)数轴的概念:画一条水平直线,在直线上取一点表示 0(叫做原点),选取某一长度作为单位长度, 规定直线上向右的方向为正方向,这样的直线叫做数轴,如下图所示: 数轴三要素:原点、正方向、单位长度。三者缺一不可。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来 表示。 (2)相反数的概念:如果两个数只有符号不同,那么称其中一个数为另一个数的相反数,也称这两个 数互为相反数。特别地,0 的相反数为 0。两个数互为相反数,那么这两个数之和为 0。 (3)绝对值的概念:在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。一个数的绝对 值可以表示为下式,可以看出绝对值的一个重要性质就是非负性,对于任意实数 a,有 |a|≥0 3、倒数 倒数的概念:乘积为 1 的两个有理数,那么就称其中的一个数是另一个数的倒数,也称这两个有理数 互为倒数。0 没有倒数。 4、有理数的运算法则 (1)加、减法运算 加法运算:同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;异号两数相加,绝对值相等时和为 0;绝 对值不相等时,取绝对值较大数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。一个数同 0 相加,仍得这个 数。 减法运算:减去一个数等于加上这个数的相反数。 (2)乘、除法运算 乘法运算:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。任何数与 0 相乘,积仍为 0 除法运算:除以一个等于乘这个数的倒数. (3)乘方及混合运算 ①一般的,任意多个相同的有理数相乘,我们通常记作: 读作:a的 n次方(或 a的 n 次幂)其中 a代表相乘的因数,n代表相乘因数的个数,即: ... n a na a a a a    6444447444448个 ②有理数的混合运算: 3 混合运算法则:先算乘方,再算乘除,最后算加减;如果有括号,先算括号里面的。 注意:怎样算简单,怎样算准确,是数学计算最重要的原则。 5、科学计数法 (1)一般地,一个大于 10 的数可以表示成 10na  的形式,其中1 10a  ,n是正整数,这种记 数方法叫做科学记数法。注意以下几点: ①科学记数法的形式是由两个数的乘积组成的。其中一个因数为 a(1 10a  ),另一个因数为10n , n的值等于整数部分的位数减 1; ②用科学记数法表示数时,不改变数的符号,只是改变数的书写形式而已。小于 1 的正数也可以用科 学记数法表示。例如: 50.00001 10 ; 典例分析 考点一:有理数、数轴、绝对值 例 1、下列说法正确的是( ) A.非负数包括零和整数 B.正整数包括自然数和零 C.零是最小的整数 D.整数和分数统称为有理数 【解析】根据有理数的分类,利用排除法求解。非负数包括零和正数,A 错误;正整数指大于 0 的整数,B 错误;没有最小的整数,C 错误;整数和分数统称为有理数,这是概念,D正确。故选 D 例 2、在实数 ,0, ,﹣1.414,有理数有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】根据有理数是有限小数或无限循环小数,可得答案. ,0,﹣1.414,是有理数,故选:C 例 3、有理数 a,b在数轴上对应点的位置如图所示,下列各式正确的是( ) A.a+b<0 B.a﹣b<0 C.a•b>0 D. >0 【解析】根据 a,b两数在数轴的位置依次判断所给选项的正误即可.∵﹣1<a<0,b>1,∴A、a+b>0, 故错误,不符合题意;B、a﹣b<0,正确,符合题意;C、a•b<0,错误,不符合题意;D、 <0,错误不 符合题意;故选 B 4 例 4、﹣ 的相反数是( ) A.2 B.﹣2 C. D.﹣ 【解析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答。﹣ 的相反数是 。故选 C 例 5、若|m﹣2|+|n+3|=0,求 m+n 的值 【解析】根据非负数的性质:有限个非负数的和为零,那么每一个加数也必为零。可求出 m、n 的值,再将 它们代入代数式中求解即可。由题意得,m﹣2=0,n+3=0,解得,m=2,n=﹣3,则 m+n=﹣1。 例 6、已知 + =0,则 的值为 . 【解析】先判断出 a、b异号,再根据绝对值的性质解答即可.∵ + =0,∴a、b异号,∴ab<0, ∴ = =﹣1.故答案为:﹣1 考点二:有理数的加减运算 例 1、比﹣3大 2的数是( ) A.﹣5 B.﹣1 C.1 D.5 【解析】有理数运算中加法法则:异号两数相加,取绝对值较大数的符号,并把绝对值相减。 ﹣3+2=﹣(3﹣2)=﹣1.故选 B. 例 2、计算: (1) 8+(﹣26)+13+(﹣8)+0 (2) (-14)+(+19)+(-6)+(+31)+(-19) (3)(-1.5)+〔2.5+(-7.5)+4.5+(-1)〕 (4) 【解析】(1)-13 (2)11 (3)-3 (4)﹣5 5 例 3、计算 3 5- + - 8 8 ( 2 )的值为 _____ 【解析】根据原式= 3 52 8 8    ,然后计算同分母的分数的加减,最后进行加减运算即可. 原式= 3 52 8 8    =﹣1﹣2=﹣3.故答案是:﹣3 例 4、计算 (1)﹣3+8﹣7﹣15 (2)(﹣1 )﹣(+6 )﹣2.25+ (3)﹣ +[ ﹣( ﹣ )] (4)(﹣1 )﹣|(﹣4 )﹣(﹣2 )| 【解析】(1)﹣3+8﹣7﹣15=﹣3﹣7﹣15+8=﹣25+8=﹣17; (2)(﹣1 )﹣(+6 )﹣2.25+ =﹣1 ﹣6 ﹣2.25+ =﹣1 ﹣2.25﹣6 + =﹣4﹣3=﹣7; (3)﹣ +[ ﹣( ﹣ )]=﹣ +[ ﹣ ]=﹣ + =﹣ ; (4)(﹣1 )﹣|(﹣4 )﹣(﹣2 )|=﹣1 - =﹣ 41 12 考点三:有理数的乘除运算 例 1、(1)3×(-4) (2)(-6)×(-2) (3) 2 3( ) 3 4   (4)(-0.5)×(-8) 【解析】(1)异号得负,原式= -12 (2)同号得正,原式= 12 (3)异号得负,原式= - 1 2 (4)同号得正,原式= 4 例 2、简便计算: 1 3 1 48 6 4 12         1 5 5 1 5 51 2 2 7 7 2 2 7                  【解析】分析:根据乘法分配律展开,然后根据有理数乘法的运算法则进行计算. 解:(1) 1 3 1 48 6 4 12         1 3 1= 48 48 48 8 36 4 24 6 4 12                       6 (2)提取 5 7 ,逆运用乘法分配律进行计算即可得解. 解: 1 5 5 1 5 51 2 2 7 7 2 2 7                  = 1 5 5 1 5 51 + 2 2 7 7 2 2 7          = 5 1 1 51 2 7 2 2 2        5 3= 7 2  15= 14 例 3、﹣ 1 2013 的倒数为( ) A. 1 2013 B.﹣ 1 2013 C.2013 D.﹣2013 【解析】分析:根据乘积是 1 的两个数叫做互为倒数解答. 解:∵(﹣ 1 2013 )×(﹣2013)=1,∴﹣ 1 2013 的倒数为﹣2013.故选 D. 例 4、若 a与 b互为倒数,则 3﹣5ab= . 【解析】分析:根据互为倒数的两个数的积为 1,直接求出 ab的值,从而得到 3﹣5ab的值. 解:∵ab=1,∴3﹣5ab=3﹣5×1=﹣2.故答案为﹣2. 例 5、计算: 1 (﹣16.8)÷(﹣3) ② 1 1+5 3 3 3             ③ 5 4 4 5              ④     5+1.25 0.5 8         ⑤﹣18÷(+3.25)÷ 12 4      ⑥ 3 1 1( ) ( 3 ) ( 1 ) 3 5 2 4       【解析】分析:①②③根据有理数的除法运算法则:两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除; ④⑤几个数相除,先把除法化为乘法,再按乘法法则进行计算. 解答:①原式=16.8÷3=16.8× 1 3 =5.6; ②原式= 5 4 5 5 25= = 4 5 4 4 16   ; ③原式= 16 10 16 3 8 3 3 3 10 5       ; ④原式=1.25÷0.5÷ 5 8 = 5 82 4 5   =4; 7 ⑤原式=18÷3.25÷ 12 4 = 4 418 13 9   = 32 13 ⑥原式=- 3 5 ×(- 7 2 )×(- 4 5 )× 1 3 = - 3 5 × 7 2 × 4 5 × 1 3 = - 14 25 例 6、已知|x|=3,|y|=7,且 xy<0,则 x+y的值等于( ) A. 10 B. 4 C.﹣4 D. 4或﹣4 【解析】分析:首先根据绝对值的性质可得 x=±3,y=±7,再根据条件 xy<0可得此题有两种情况∴①x=3, y=﹣7,②x=﹣3,y=7,再分别计算出 x+y即可. 解:∵|x|=3,|y|=7,∴x=±3,y=±7, ∵xy<0,∴①x=3,y=﹣7,x+y=﹣4;②x=﹣3,y=7,x+y=4,故选 D 考点四:有理数的乘方及其混合运算 例 1、计算 (1) 3 2 11       (2)  33 131  (3)  342 55 4 14       (4)      332 20132  【解析】(1) 8 27 (2)2 (3)-59 (4)-1 例 2、关于﹣(﹣a)2的相反数,有下列说法:①等于 a2;②等于(﹣a)2;③值可能为 0;④值一定是正 数.其中正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个菁优网版权所有 【解析】依据相反数和平方的概念及性质进行判断。 ①∵﹣(﹣a)2=﹣a2,∴它的相反数是 a2.显然是正确的 ②∵(﹣a)2=a2,∴也是正确的. ③当 a=0时,a2=0,∴原式的值可能为 0,也是正确的 ④是错误的,没有考虑 0. 故有 3个是正确的.故选 C 例 3、现规定一种新的运算“※”:a ※ abb  ,如 3※2= 32 =8,则 3※ 等于( ) A. B. 8 C. D. 【解析】A 8 例 4、若   021 2  ba ,则  2012ba  的值是( ) A.﹣1 B. 1 C. 0 D. 2012 【解析】B 例 5、已知     0532 22  cba ,求 22 cba  值. 【解析】平方和绝对值都有非负性,几个非负数之和为 0,那么这几个非负数都为 0。a=2,b=-3,c=5,原式 =2-2×(-3)+5×5=33 例 6、如图是某种细胞分裂示意图,这种细胞每过 30分钟便由 1个分裂成 2个.根据此规律可得: (1)这样的一个细胞经过第四个 30分钟后可分裂成 个细胞; (2)这样的一个细胞经过 3小时后可分裂成 个细胞; (3)这样的一个细胞经过 n(n为正整数)小时后可分裂成 个细胞. 【解析】(1)16;(2)64;(3) n22 考点五:科学计数法 例 1、在“十二•五”期间,达州市经济保持稳步增长,地区生产总值约由 819亿元增加到 1351亿元,年均增 长约 10%,将 1351亿元用科学记数法表示应为( ) A、1.351×1011 B、13.51×1012 C、1.351×1013 D、0.1351×1012 【解析】A 例 2、在日本核电站事故期间,我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘﹣131,其浓度为 0.000 0963 贝克/立方米.数据“0.000 0963”用科学记数法可表示为( ) A、9.63×10﹣5 B、96.3×10﹣6 C、0.963×10﹣5 D、963×10﹣4 【解析】A 例 3、地球绕太阳公转的速度用科学记数法表示为 1.1×105km/h,把它写成原数是( ) A 、1100000km/h B、 110000km/h C、 11000km/h D、 0.000011km/h 【解析】B 9 P(Practice-Oriented)——实战演练 实战演练  课堂狙击 1、下列说法中,正确的是( ) A.正整数、负整数统称为整数 B.正分数和负分数统称为分数 C.0 既是正整数又是负整数 D.正数和负数统称为有理数 【解析】按照有理数的分类做出判断。A.整数包括正整数、负整数和零,故此选项错误;B.分数包括正 分数和负分数,故此选项正确;C.0 是整数,但既不是正的,也不是负的,故此选项错误;D.有理数包括 正有理数、负有理数和零,故此选项错误;故选 B 2、若|y+3|的相反数是|2x﹣4|,则 x﹣y= . 【解析】根据绝对值的相反数是绝对值,可得两个绝对值都等于 0,再根据绝对值可得 x,y,可得答案, ∵|y+3|的相反数是|2x﹣4|,∴y+3=0,2x﹣4=0,∴y=﹣3,x=2,x﹣y=2﹣(﹣3)=5,故答案为:5. 3、若有理数 x,y 满足|x|=7,|y|=4,且|x+y|=x+y,则 x﹣y= . 【解析】∵|x|=7,|y|=4, ∴x=±7,y=±4, 而|x+y|=x+y, ∴x=7,y=4或 x=7,y=﹣4, ∴x﹣y=7﹣4=3或 x﹣y=7﹣(﹣4)=11 故答案为 3或 11 4、﹣ 的相反数是( ) A.﹣ B.﹣ C. D. 【解析】C 5、有理数 a、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|b﹣a|﹣b的结果为( ) A.a﹣2b B.﹣a C.﹣2b﹣a D.2b﹣a 10 【解析】先根据数轴确定出 a、b的正负情况,然后求出 b﹣a>0,根据绝对值的性质去掉绝对值号,再合 并同类项即可得解.由数 a、b在数轴上的位置可以得到 a<0,b>0,∣a∣<∣b∣,b﹣a>0, 所以∣b-a∣﹣b=b﹣a﹣b=﹣a,故选择 B. 6、已知 a、b互为相反数,m、n互为倒数,x绝对值为 2,求﹣2mn+ a b m n   ﹣x的值. 【解析】解:∵a、b互为相反数,∴a+b=0; ∵m、n互为倒数,∴mn=1;∵x的绝对值为 2,∴x=±2. 1 当 x=2 时,原式=﹣2+0﹣2=﹣4; ② 当 x=﹣2时,原式=﹣2+0+2=0. 7、计算:(1)      342810 2  (2)           9 163249 2 (3)  2 22 3 2 3     (4)    2 2 3 318 5 2532       【解析】(1)-20;(2)23 (3)0 (4)-54 8、下列式子中正确的是( ) A.    324 222  B.    243 222  C.    234 222  D.     432 232  【解析】C 9、我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量,相当于燃烧 130 000 000kg的煤所产生的能量.把 130 000 000kg用科学记数法可表示为( ) A、13×107kg B、0.13×108kg C、1.3×107kg D、1.3×108kg 【解析】D 10、王老师为调动学生参加班级活动的积极性,给每位学生设计了一个如图所示的面积为 1的圆形纸片, 若在活动中表现优胜者,可依次用色彩纸片覆盖圆面积的 , , ….请你根据数形结合的思想,依据图 形的变化,推断当 n为整数时,  n2 1... 8 1 4 1 2 1 _____________. 11 【解析】 n2 11 11、若 2b 与  21a 互为相反数,求 ba  的值. 【解析】3  课后反击 1、已知,如图,则下列式子正确的是( ) A. ab>0 B. |a|>|b| C. a+b<0 D. a﹣b<0 【解析】解:根据数轴可知 b<﹣1<0<a<1.∴ab<0,|a|<|b|,a+b<0,a﹣b>0.故正确的只有 C. 2、如果 a+b>0,a<0,ab<0.那么( ) A. a,b异号.且 a>b B. a,b同号,且 a<b C. a,b异号,且|a|>|b| D.a,b异号,且|a|<|b| 【解析】解:∵ab<0,∴a,b为异号,∵a<0,∴b>0,∵a+b>0,∴|b|>|a|.故选:D. 3、已知|a|=3,|b|=4,ab>0,则 a﹣b= ﹣1或 1 . 【解析】若 a,b都大于 0则:a=3,b=4,a﹣b=﹣1;若 a,b都小于 0,则 a=﹣3,b=﹣4,a﹣b=1. 4、 的倒数是( ) A. B. C. D. 【解析】解:﹣1 =﹣ ,∵(﹣ )×(﹣ )=1,∴﹣1 的倒数是﹣ .故选 C. 12 5、计算:(1) (2)﹣32× (3)(﹣ )×(﹣ )×0× (4)( ﹣ ﹣ )×(﹣24) (5) (6) 1 1 9 12 3 1 1 3 2 12 6               【解析】(1)原式=[(﹣5)×(﹣ 4 5 )]×6× 1 4 =(4× 1 4 )×6=1×6=6 (2)﹣ ×(32﹣11﹣21)=0 (3)原式=0 (4)原式= ×(﹣24)﹣ ×(﹣24)﹣ ×(﹣24)=﹣20+18+8= (5)﹣1.53×0.75+1.53× 1 4+ 2 5 ×1.53=1.53×(﹣0.75+0.5+0.8), =1.53×(1.3﹣0.75)=1.53×0.55=0.8415; (6) 1 1 9 12 3 1 1 3 2 12 6               = 7 7 21 6 3 2 12 7               = 7 6 7 6 21 6 3 7 2 7 12 7                         =﹣2+3 3 2  =3﹣ 13 2 =﹣ . 6、已知 a、b互为相反数,m、n互为倒数,x绝对值为 2,求﹣2mn+ a b m n   ﹣x的值. 【解析】解:∵a、b互为相反数,∴a+b=0; ∵m、n互为倒数,∴mn=1;∵x的绝对值为 2,∴x=±2. 2 当 x=2 时,原式=﹣2+0﹣2=﹣4; ② 当 x=﹣2时,原式=﹣2+0+2=0. 7、若   023 2  nm ,则 nm 2 的值为( ) A.﹣4 B.﹣1 C.0 D.4 【解析】B 13 8、国家卫生和计划生育委员会公布 H7N9禽流感病毒直径约为 0.0000001m,则病毒直径 0.0000001m用科 学记数法表示为( )(保留两位有效数字)。 A、0.10×10﹣6m B、1×10﹣7m C、1.0×10﹣7m D、0.1×10﹣6m 【解析】C 9、下面一组按规律排列的数:1,2,4,8,16,…,第 2002个数应是( ) A. 20022 B. 122002  C. 20012 D.以上答案不对 【解析】C 10、小刚学习了有理数运算法则后,编写了一个计算程序,当他输入任意一个有理数时,显示屏上出现的 结果总等于所输入有理数的平方与 1的和,当他第一次输入 2,然后又将所得结果再次输入后,显示屏上出 现的结果应是______。 【解析】26 11、图中是一幅“苹果图”,第一行有 1个苹果,第二行有 2个,第三行有 4个,第四行有 8个,…,你是否 发现苹果的排列规律?猜猜看,第六行有 个苹果、第十行有 个.(可用乘方形式表示) 【解析】 95 2,2 直击中考 1、如果实数 a,b满足   013 2  ba ,那么 ab 等于( ) A. 1 B.﹣1 C.﹣3 D. 3 【解析】B 2、计算 7的正整数次幂:71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,76=117649,77=823543,78=5764801… 归纳各计算结果中的个位数字规律,可得 20097 的个位数字为 . 【解析】7 14 3、观察下列等式:31﹣1=2,32﹣1=8,33﹣1=26,34﹣1=80,35﹣1=242,….通过观察,用你所发现的规 律确定 32008﹣1的个位数字是 . 【解析】0 4、定义一种新的运算 a﹠b=ab,如 2﹠3=23=8,那么请试求(3﹠2)﹠2= . 【解析】8。 S(Summary-Embedded)——归纳总结 重点回顾 1、有理数的定义及分类 2、数轴、相反数和绝对值 3、有理数的运算法则及混合运算 名师点拨 1、有理数的分类。:整数与分数统称为有理数。有理数按照符号分类可以分为正有理数、0、负有理数;按 照定义分类可以分为整数、分数。 2、数轴、相反数和绝对值及倒数的定义,一定要清楚明白,不能混淆。 3、有理数的运算法则及混合运算 学霸经验  本节课我学到了 15  我需要努力的地方是
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