2019七年级数学下册 培优新帮手 专题02 数的整除性试题 (新版)新人教版

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2019七年级数学下册 培优新帮手 专题02 数的整除性试题 (新版)新人教版

‎02 数的整除性 阅读与思考 ‎ 设,是整数,≠0,如果一个整数使得等式=成立,那么称能被整除,或称整除,记作|,又称为的约数, 而称为的倍数.解与整数的整除相关问题常用到以下知识:‎ ‎1.数的整除性常见特征:‎ ‎①若整数的个位数是偶数,则2|;‎ ‎②若整数的个位数是0或5,则5|;‎ ‎③若整数的各位数字之和是3(或9)的倍数,则3|(或9|);‎ ‎④若整数的末二位数是4(或25)的倍数,则4|(或25|);‎ ‎⑤若整数的末三位数是8(或125)的倍数,则8|(或125|);‎ ‎⑥若整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数,则11|.‎ ‎2.整除的基本性质 设,,都是整数,有:‎ ‎①若|,|,则|;‎ ‎②若|,|,则|(±);‎ ‎③若|,|,则[,]|;‎ ‎④若|,|,且与互质,则|;‎ ‎⑤若|,且与互质,则|.特别地,若质数|,则必有|或|.‎ 例题与求解 ‎【例1】在1,2,3,…,2 000这2 000个自然数中,有_______个自然数能同时被2和3整除,而且不能被5整除.‎ ‎ (“五羊杯”竞赛试题)‎ 解题思想:自然数能同时被2和3整除,则能被6整除,从中剔除能被5整除的数,即为所求.‎ 11‎ ‎【例2】已知,是正整数(>),对于以下两个结论:‎ ‎①在+,,-这三个数中必有2的倍数;‎ ‎②在+,,-这三个数中必有3的倍数.其中 ( )‎ ‎ A.只有①正确 B.只有②正确 ‎ ‎ C.①,②都正确 D.①,②都不正确 ‎ (江苏省竞赛试题)‎ 解题思想:举例验证,或按剩余类深入讨论证明.‎ ‎【例3】已知整数能被198整除,求,的值.‎ ‎ (江苏省竞赛试题)‎ 解题思想:198=2×9×11,整数能被9,11整除,运用整除的相关特性建立,的等式,求出,的值.‎ ‎【例4】已知,,都是整数,当代数式7+2+3的值能被13整除时,那么代数式5+7-22的值是否一定能被13整除,为什么?‎ ‎ (“华罗庚金杯”邀请赛试题)‎ 解题思想:先把5+7-22构造成均能被13整除的两个代数式的和,再进行判断.‎ 11‎ ‎【例5】如果将正整数M放在正整数左侧,所得到的新数可被7整除,那么称M为的“魔术数”(例如:把86放在415左侧,得到86 415能被7整除,所以称86为415的魔术数),求正整数的最小值,使得存在互不相同的正整数,,…,,满足对任意一个正整数,在,,…,中都至少有一个为的“魔术数”.‎ ‎ (2013年全国初中数学竞赛试题)‎ 解题思想:不妨设(=1,2,3,…,;=0,1,2,3,4,5,6)至少有一个为的“魔术数”.根据题中条件,利用(是的位数)被7除所得余数,分析的取值.‎ ‎【例6】一只青蛙,位于数轴上的点,跳动一次后到达,已知,满足|-|=1,我们把青蛙从开始,经-1次跳动的位置依次记作:,,,…,.‎ 11‎ ‎⑴ 写出一个,使其,且++++>0;‎ ‎⑵ 若=13,=2 012,求的值;‎ ‎⑶ 对于整数(≥2),如果存在一个能同时满足如下两个条件:①=0;②+++…+=0.求整数(≥2)被4除的余数,并说理理由.‎ ‎ (2013年“创新杯”邀请赛试题)‎ 解题思想:⑴.即从原点出发,经过4次跳动后回到原点,这就只能两次向右,两次向左.为保证++++>0.只需将“向右”安排在前即可.‎ ‎⑵若=13,=2 012,从经过1 999步到.不妨设向右跳了步,向左跳了步,则,解得可见,它一直向右跳,没有向左跳.‎ ‎⑶设同时满足两个条件:①=0;②+++…+=0.由于=0,故从原点出发,经过(-1)步到达,假定这(-1)步中,向右跳了步,向左跳了步,于是=-,+=-1,则+++…+=0+()+()+…()=2(++…+)-[()+()+…+()]=2(++…+)-.由于+++…+=0,所以(-1)=4(++…+).即4|(-1).‎ 11‎ 能力训练 A级 ‎1.某班学生不到50人,在一次测验中,有的学生得优,的学生得良,的学生得及格,则有________人不及格.‎ ‎2.从1到10 000这1万个自然数中,有_______个数能被5或能被7整除.‎ ‎ (上海市竞赛试题)‎ ‎3.一个五位数能被11与9整除,这个五位数是________.‎ ‎4.在小于1 997的自然数中,是3的倍数而不是5的倍数的数的个数是( )‎ ‎ A.532 B.‎665 ‎ C.133 D.798‎ ‎5.能整除任意三个连续整数之和的最大整数是( )‎ ‎ A.1 B.‎2 ‎ C.3 D.6‎ ‎ (江苏省竞赛试题)‎ ‎6.用数字1,2,3,4,5,6组成的没有重复数字的三位数中,是9的倍数的数有( )‎ ‎ A.12个 B.18个 C.20个 D.30个 ‎ (“希望杯”邀请赛试题)‎ ‎7.五位数是9的倍数,其中是4的倍数,那么的最小值为多少?‎ ‎ (黄冈市竞赛试题)‎ ‎8.1,2,3,4,5,6每个使用一次组成一个六位数字,使得三位数,,,能依次被4,5,3,11整除,求这个六位数.‎ ‎ (上海市竞赛试题)‎ 11‎ ‎9.173□是个四位数字,数学老师说:“我在这个□中先后填入3个数字,所得到的3个四位数,依次可被9,11,6整除.”问:数学老师先后填入的这3个数字的和是多少?‎ ‎ (“华罗庚金杯”邀请赛试题)‎ B级 ‎1.若一个正整数被2,3,…,9这八个自然数除,所得的余数都为1,则的最小值为_________,的一般表达式为____________.‎ ‎ (“希望杯”邀请赛试题)‎ ‎2.已知,都是正整数,若1≤≤≤30,且能被21整除,则满足条件的数对(,)共有___________个.‎ ‎ (天津市竞赛试题)‎ ‎3.一个六位数能被33整除,这样的六位数中最大是__________.‎ ‎4.有以下两个数串同时出现在这两个数串中的数的个数共有( )个.‎ ‎ A.333 B.‎334 ‎ C.335 D.336‎ 11‎ ‎5.一个六位数能被12整除,这样的六位数共有( )个.‎ ‎ A.4 B.‎6 ‎ C.8 D.12‎ ‎6.若1 059,1 417,2 312分别被自然数除时,所得的余数都是,则-的值为( ).‎ ‎ A.15 B.‎1 ‎ C.164 D.174‎ ‎7.有一种室内游戏,魔术师要求某参赛者相好一个三位数,然后,魔术师再要求他记下五个数:,,, ,,并把这五个数加起来求出和N.只要讲出的大小,魔术师就能说出原数是什么.如果N=3 194,请你确定.‎ ‎ (美国数学邀请赛试题)‎ ‎8.一个正整数N的各位数字不全相等,如果将N的各位数字重新排列,必可得到一个最大数和一个最小数,若最大数与最小数的差正好等于原来的数N,则称N为“拷贝数”,试求所有的三位“拷贝数”.‎ ‎ (武汉市竞赛试题)‎ 11‎ ‎9.一个六位数,如将它的前三位数字与后三位数字整体互换位置,则所得的新六位数恰为原数的6倍,求这个三位数.‎ ‎ (“五羊杯”竞赛试题)‎ ‎10.一个四位数,这个四位数与它的各位数字之和为1 999,求这个四位数,并说明理由.‎ ‎ (重庆市竞赛试题)‎ ‎11.从1,2,…,9中任取个数,其中一定可以找到若干个数(至少一个,也可以是全部),它们的和能被10整除,求的最小值.‎ ‎ (2013年全国初中数学竞赛试题)‎ 11‎ 专题02 数的整除性 例1 267 提示:333-66=267.‎ 例‎2 C 提示:关于②的证明:对于a,b若至少有一个是3的倍数,则ab是3的倍数.若a,b都不是3的倍数,则有:(1)当a=‎3m+1,b=3n+1时,a-b=3(m-n);(2)当a=‎3m+1,b=3n+2时,a+b=3(m+n+1);(3)当a=‎3m+2,b=3n+1时,a+b=3(m+n+1);(4)当a=‎3m+2,b=3n+2时,a-b=3(m-n).‎ 例‎3 a=8.b=0提示:由9|(19+a+b)得a+b=8或17;由11|(3+a-b)得a-b=8或-3.‎ 例4 设x,y,z,t是整数,并且假设‎5a+7b-‎22c=x(‎7a+2b+‎3c) +13(ya+zb+tc).比较上式a,b,c的系数,应当有,取x=-3,可以得到y=2,z=1,t=-1,‎ 则有13 (‎2a+b-c)-3(‎7a+2b+‎3c)=‎5a+7b-‎22c.既然3(‎7a+2b+‎3c)和13(‎2a+b-c)都能被13整除,则‎5a+7b-‎22c就能被13整除.‎ 例5 考虑到“魔术数”均为7的倍数,又a1,a2,…,an互不相等,不妨设a1 <a2<…<an,余数必为1,2,3,4,5,6,0,设ai=ki+t(i=1,2,3,…,n;t=0,1,2,3,4,5,6),至少有一个为m的“魔术数”,因为ai·10k+m(k是m的位数),是7的倍数,当i≤b时,而ai·t除以7的余数都是0,1,2,3,4,5,6中的6个;当i=7时,而ai·10k除以7的余数都是0,1,2,3,4,5,6这7个数字循环出现,当i=7时,依抽屉原理,ai·10k与m二者余数的和至少有一个是7,此时ai·10k+m被7整除,即n=7.‎ 例6 (1)A5:0,1,2,1,0.(或A5:0,1,0,1,0) (2)a1000=13+999=1 012. (3)n被4除余数为0或1.‎ A级 ‎1.1 2.3 143 3.39 798 4.A 5.C 6.B ‎7.五位数=10×+e.又∵为4的倍数.故最值为1 000,又因为为9的倍数.故1+0+0+0+e能被9整除,所以e只能取8.因此最小值为 10 008.‎ ‎8.324 561提示:d+f-e是11的倍数,但6≤d+f≤5+6=11,1≤e≤6,故0≤d+f-e≤10,因此d+f-e=0,即5+f=e,又e≤d,f≥1,故f=l,e=6,‎ 11‎ ‎9.19 提示:1+7+3+□的和能被9整除,故□里只能填7,同理,得到后两个数为8,4.‎ B级 ‎1.2 ‎521 a=2 520n+1(n∈N+) ‎ ‎2.57‎ ‎3.719 895提示:这个数能被33整除,故也能被3整除.于是,各位数字之和(x+1+9+8+9+y)也能被3整除,故x+y能被3整除.‎ ‎4.B ‎ ‎5.B ‎6.A提示:两两差能被n整除,n=179,m=164.‎ ‎7.由题意得++++=3 194,两边加上.得222(a+b+c)=3194+ ∴222(a+b+c) =222×14+86+.则+86是222的倍数.‎ 且a+b+c>14.设+86=222n考虑到是三位数,依次取n=1,2,3,4.分别得出的可能值为136,358,580,802,又因为a+b+c>14.故=358.‎ ‎8.设N为所求的三位“拷贝数”,它的各位数字分别为a,b,c(a,b,c不全相等).将其数码重新排列后,设其中最大数为,则最小数为.故N= -=(‎100a+10b+c)- (‎100c+10b+a)=99(a-c).‎ 可知N为99的倍数.这样的三位数可能是198,297,396,495,594,693,792,891,990.而这9个数中,只有954- 459=495.故495是唯一的三位“拷贝数”.‎ ‎9.设原六位数为,则6×=,即6×(1000×+)=1000×+,所以994×-5 999×,即142×=857×, ∵(142,857)=1,∴ 142|,857|,而,为三位数,∴=142,=857,故=142857.‎ ‎10.设这个数为,则1 0‎00a+100b+‎10c+d+a+b+c+d=1 999,即1 ‎001a+101b+‎11c+2d=1 999,得a=1,进而101b+‎11c+2d=998,101b≥998-117-881,有b=9,则‎11c+2d=89,而0≤2d≤18,71≤‎11c≤89,推得c=7,d=6,故这个四位数是1 976.‎ ‎11.当n=4时,数1,3,5,8中没有若干个数的和能被10整除.当n=5时,设a‎1a2,…,a5是1,2,…,9中的5个不同的数,若其中任意若干个数,它们的和都不能被10整除,则中不可能同时出现1和9,2和8,3和7,4和6,于是中必定有一个为5,若 11‎ 中含1,则不含9,于是,不含,故含6;不含,故含7;不含,故含8;但是5+7+8=20是10的倍数, 矛盾. 若中含9, 则不含1, 于是不含故含4; 不含故含3; 不含故含2; 但是是10的倍数, 矛盾. 综上所述,n的最小值为5‎ 11‎
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