《同步导学案》人教七年级数学（下册）第五章 第二课时 垂线

《同步导学案》人教七年级数学（下册）第五章 第二课时 垂线

第二课时 垂线 ‎1．理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线．‎ ‎2．掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离．‎ ‎3．掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理． ‎ ‎4.重难点：垂线的定义、性质和画法，垂线段性质及其简单应用. ‎ 知识导入 前面我们学习了两条相交直线所成的角，如果两条直线相交成特殊角直角时，这两条直线有怎样特殊的位置关系呢？日常生活中有没有这方面的实例呢？下面我们就来研究这个问题。‎ 知识讲解 知识点一：垂线的认识 垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。‎ 例 结合图5.1-15，（1）当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，直线AB和直线CD是什么关系？‎ ‎（2）若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，∠AOD的度数是多少？那么∠AOC、∠BOC、∠BOD的度数呢？并尝试用数学上常用的“因为”“所以”的形式书写出来．‎ 分析 分清题目（1）中是由角度为90°判断直线的位置关系的．题目（2）中是由两直线垂直判断角度的数量关系的．用“⊥”和直线字母表示垂直．‎ 解析 （1）因为∠AOD=90°（已知）‎ 所以AB⊥CD（垂直的定义）‎ ‎（2）因为 AB⊥CD （已知）‎ 所以 ∠AOD=90° （垂直的定义）‎ 应用垂直的定义：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°‎ 点拨 从垂直的定义可知，判断两条直线互相垂直的关键：只要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角即可．由数量关系得到了两直线的位置关系-----垂直，即为本题中的（1）所述；同样我们也可由两直线的位置关系----垂直，得到角的数量关系，即角度为90°．本题中(2)所示．‎ 知识点二：垂线的画法 例 如图5.1-16，已知△ABC．‎ ‎　　（1）画出点A到线段BC所在直线的垂线段AD；‎ ‎　　（2）在AB上找一点P，使CP最短；‎ 分析　　垂线、垂线段、中垂线都要与已知直线垂直．怎样画垂线？工具是三角尺或量角器，下面以三角尺为工具说明垂线的画法．过直线上一点作已知直线的垂线．‎ ‎　一靠：三角尺的直角边落在已知直线上．‎ ‎　二过：直角顶点过已知点P，在直角边上再取点M；‎ ‎　三画线：过点M，P画直线a，则a⊥l．（如图5.1-17）‎ 四标：标出直角标号“┓”‎ ‎　　过直线外一点作已知直线的垂线的画法与过直线上一点作已知直线的垂线的画法相同，都是“一靠，二过，三画线，四标”（如图5.1-18）‎ ‎　　根据：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说：垂线段最短．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．过点C作出AB的垂线段即可．‎ 解析　（1）如图5.1-19中1；（2）如图5.1-19中2；‎ ‎　点拨 　会画垂线段及距离是垂线段的长度是解决本题的关键．‎ ‎　　知识探究 ‎1.垂线相关的概念：‎ ‎(1)定义：当两条直线相交的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线是互相垂直的，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．‎ ‎(2)相关概念：过直线外一点向这条直线作垂线．这一点和垂足间的线段叫做垂线段．‎ 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．‎ 例 判断下列语句是否正确，如果是错误的，请说明理由．‎ ‎　　（1）过点A作AP⊥l，则AP就是垂线段．‎ ‎　　（2）过点A与直线l相交的各条直线中，垂线最短；‎ ‎　　（3）从直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点的这条直线的距离；‎ 分析 这是一组几何概念的判断题，要正确的判断必须弄清所涉及的概念垂线、垂线段，垂线段的长度是三个互相联系又各不相同的概念．垂线、垂线段均与已知直线垂直，垂线是直线，垂线段是垂线上的一部分，是线段．线段可以度量，所以垂线段有长度，垂线段长度就是点到直线的距离．所以距离是一个量数．它是通过线段的长度来表现的．弄清了相近概念的联系与区别，就能对变成的各种说法正确与否作出判断．‎ 解析 （1）错误．AP⊥l．p不一定是垂足，只有当p是垂足时，AP 才是垂线段．‎ ‎　　（2）错误，垂线是直线．直线不能度量，也就无所谓“长”“短”．‎ ‎　　（3）错误．“距离”是一个数量．是用长度来“刻画”的．垂线段是一个图形，是直线外一点和垂足间的线段．‎ ‎2.垂线的画法：‎ 过直线外一点作已知直线的垂线的画法与过直线上一点作已知直线的垂线的画法相同，都是“一靠，二过，三画线．”‎ 例 如图5.1-20，过点A、B分别画OB、OA的垂线．‎ 分析 画线段或射线的垂线，就是画这条线段或射线所在直线的垂线，本题中的垂足分别在OB的反向延长线上和OA的延长线上．‎ 解析 如图5.1-21所示，直线AE为过点A的OB的垂线，垂足为E; 直线BD为过点B的OA垂线，垂足为D．‎ ‎3.垂线的性质：‎ ‎①性质1 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．‎ ‎②性质2 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.‎ 简单说成： 垂线段最短.‎ 例 ‎ 图 5.1-22，在高速光缆主干道L的同侧有一城市A和宽带运营公司B.现要将光缆从主干道L经运营公司B铺设到城市A，在主干道L上要设一接口D，为了节约,所铺设的光缆应尽可能的短.问接口D应建在何处，应沿怎样的路线来铺设光缆? 在图中画出来.‎ 分析 要使光缆最短，则接口D与宽带运营公司B间的路程应最短，城市A和宽带运营公司B的路程应最短.需要运用“垂线段最短”和“两点间线段最短”的数学原理．‎ 解析 如图5.1-23所示，过点B画L的垂线，则垂足D为接口的位置．连接AB．沿D-B-A的路线铺设光缆，可使所用的光缆最短．‎ ‎4.点到直线的距离：‎ 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．‎ 例 如图5.1-24，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，小明、小颖、小涵三人各抒己见，你认为哪个说法正确?‎ 小明说：BD、DC、AD分别表示点A到BC、点D到AC、AB的距离．‎ 小颖说：DA、DE、DF分别表示点A到BC、点D到AC、AB的距离．‎ 小涵说：DA、DE、DF的长度分别表示点A到BC，点D到AC、AB的距离．‎ 分析 要判断三人说法是否正确，深刻理解点到直线的距离的含义是解题的关键．‎ 线段BD、DC的长度是点D分别到点B、C的距离，是两点间的距离，AD的长才是点A到BC的距离，因此小明的说法是错误的.DA、DE、DF指的是垂线段,是几何图形．而不是距离，因此小颖的说法是错误的.根据点到直线的距离的概念，小涵的说法是正确的．‎ 解析 小涵的说法是正确的．‎ 易错辨析 题1 在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD，当∠AOC=30°时，∠BOD的度数是（　　）‎ A、60° B、120° C、60°或90° D、60°或120° ‎ 错解 A.‎ 辨析 此题可分两种情况，即OC，OD在AB的同一侧时和在AB的两侧时，分别求解．如图5.1-25. ‎ ‎①当OC、OD在AB的同一侧时，因为OC⊥OD，所以∠COD=90°.又∠AOC=30°，‎ 所以∠BOD=180°-∠COD-∠AOC=60°；‎ ‎ ‎ ‎②当OC、OD在AB的两侧时，因为OC⊥OD，∠AOC=30°，‎ 所以∠AOD=90°-30°=60°，所以∠BOD=180°-∠AOD=120°．故选D． ‎ 正解 D．‎ 题2 如图5.1-26，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为D，则能表示点到直线（或线段）的距离的线段有____条.‎ 错解 4条 辨析 AB表示点A到直线BC的距离；‎ DB表示点B到直线AC的距离；‎ CB表示点C到直线AB的距离；‎ AD表示点A到直线BD的距离；‎ CD表示点C到直线BD的距离；‎ 故表示点到直线（或线段）的距离的线段有5条．‎ 正解 5条 ‎1． 如图5.1-27，∠BAC=90°，AD⊥BC,垂足为D,则下列结论：‎ ‎（1）AB与AC互相垂直；（2）AD与AC互相垂直；‎ ‎（3）点C到AB的垂线段是线段AB；（4）点A到BC的距离是线段AD;‎ ‎（5）线段AB的长度是点B到AC的距离；（6）线段AB是点B到AC的距离。‎ 其中正确的有（ ）‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎2．如图5.1-28，Ｏ是直线AB上的一点，OC⊥OD.以下两个结论:①∠AOC与∠BOD互为余角，②∠AOC、∠COD、∠BOD互为补角，其中（ ）‎ Ａ.①②都正确; Ｂ.①正确，②不正确; Ｃ.①不正确，②正确; Ｄ.①②都不正确 ‎3．如图5.1-29，OD⊥BC，垂足为D，BD=6厘米，OD=8厘米，OB=10厘米,那么点B到OD的距离为________，点O到BC的距离为________，O、B两点间的距离为________．‎ ‎4．如图5.1-30，已知OA⊥OB，OC⊥OD，O为垂足，若∠AOD=140°，求∠BOC的度数．‎ ‎5．一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧的两个学校，如图5.1-31.‎ ‎(1)汽车行驶时，会对公路两旁的学校都造成一定的影响，当汽车行驶到何处时，分别对两个学校影响最大?在图中标出来；‎ ‎(2)当汽车从A向B行驶时，在哪一段上对两个学校影响越来越大? 在哪一段上对两个学校影响越来越小? 在哪一段上对M学校影响逐渐减小而对N学校影响逐渐增大?‎ 如图5.1-32，点O为直线AB上一点，OC为一射线，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC(1)若∠BOC=50°，试探究OE、OF的位置关系；‎ ‎(2)若∠BOC=α(0°＜x＜180°)，(1)中OE、OF的位置关系是否仍成立?请说明理由，由此你发现了什么规律?‎ 分析 要探究OE、OF的位置关系，可先用三角尺或量角器检测∠EOF的大小来判断OE、OF的关系，再通过计算加以说明；第(2)问用代数代表示∠EOF，再归纳出结论.‎ 解析 (1)由量角器测得∠EOF=90°,因此OE⊥OF.‎ 由邻补角的定义，可得∠AOC=180°－∠BOC=130°.‎ 由OE平分∠AOC，OF平分∠BOC可得∠COF=∠BOC=25°，‎ ‎∠COE=∠AOC=65°.‎ 所以∠EOF=∠COF+∠COE=90°.‎ 因此OE⊥OF.‎ ‎(2)OE⊥OF仍成立.‎ 因为∠AOC=180°－α，∠COF=α，‎ ‎∠COE=(180°－α)=90°－α.‎ 所以∠EOF=∠COF+∠COE=α+(90°－α)=90°.‎ 由此发现:无论∠BOC度数是多少，∠EOF总等于90°.即邻补角的平分线互相垂直.‎ 点拨 本题考查角的计算，注意掌握互为邻补角的两个角的角平分线互相垂直.由数量关系判断位置关系．‎ 练习 　1．如图5.1-33，已知AOB为直线，OC平分∠BOD，EO⊥OC于O．试说明：OE平分∠AOD.请在括号中写出所依据的定理或定义．‎ 解：因为∠AOB是直线（已知），‎ 所以∠BOC+∠COD+∠DOE+∠EOA=180°（ ）.‎ 又因为EO⊥OC于O（已知），‎ 所以∠COD+∠DOE=90°( )，‎ 所以∠BOC+∠EOA=90°（ ），‎ 又因为OC平分∠BOD（已知），‎ 所以∠BOC=∠COD（ ），‎ 所以∠DOE=∠EOA（ ），‎ 所以OE平分∠AOD（ ）. ‎ ‎2.将一张长方形的白纸，按如图5.1-34方式进行折叠，使D到D',E到E'处，并且BD'与BE'在同一条直线上，那么AB与BC的位置关系是怎么的？‎ 参考答案 课时检测 1. A ‎ 2. B ‎ ‎3. 6厘米 8厘米 10厘米 ‎4.解：因为OA⊥OB，OC⊥OD所以∠AOB=90°，∠COD=90°‎ 所以∠AOC=∠AOD-∠COD=140°-90°=50°．‎ 所以∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-50°=40°‎ ‎5. (1)作MC⊥AB于C，ND⊥AB于D，所以在C处对M学校的影响最大，在D处对N学校影响最大；(2)由A向C行驶时，对两学校影响逐渐增大；由D向B行驶时，对两学校的影响逐渐减小；由C向D行驶时，对M学校的影响减小，对N学校的影响增大.‎ 拓展提升 ‎1.平角的定义 垂直的定义 等量减等量，差相等 角平分线的定义 ‎ ‎ 等量减等量，差相等 角平分线的定义 ‎2. 解：AB与BC的位置关系是互相垂直 理由：因为AB平分∠E'BD,BC平分∠E'BE 所以∠ABE'=∠E'BD， ∠CBE'=∠E'BE 所以∠ABC=∠ABE'+∠CBE'=∠E'BD+∠E'BE= (∠E'BD+∠E'BE)‎ ‎=x180°=90°‎