【推荐】沪科版七年级数学下册总复习

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- 1 - 七年级下期末复习讲义 范桥中心学校 张建华 第六章 实 数 一、知识总结 （一）平方根与立方根 1、平方根 （1）定义：一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根，也叫做二 次方根。 （2）表示：非负数 a 的平方根记作± a ，读作“正负根号 a”，（ a叫做被开方数） （3）性质： 正数的平方根有两个， 且互为相反数； 0 的平方根为 0；负数的没有平方根。 （4）开平方：求平方根的运算叫做开平方。 Ⅰ、平方根是开平方的结果；Ⅱ、 开平方与平方互为逆运算。 2、算术平方根 （ 1） 定义：正数 a 的正的平方根 a 叫做 a的算术平方根， 0 的算术平方根是 0。 （ 2）性质： （1）一个数 a 的算术平方根具有 非负性 ； 即： a ≥0 恒成立 。 （2）正数的算术平方根只有 1 个，且为正数； 0 的算术平方根是 0； 负数的没有算术平方根。 3、立方根： （1）定义：一般地，如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根，也叫做三 次方根。 （2）表示： a 的立方根记作 3 a ，读作“三次根号 a”（a 叫做被开方数， 3 叫根指数） （3）性质：正数的立方根是 1 个正数；负数的立方根是 1 个负数； 0 的立方根是 0。 （二）实数 1、无理数：无限不循环的小数。（一个无理数与若干有理数之间的运算结果还是无理数） 2、实数： 有理数和无理数统称为实数。 3、实数分类： （1）按定义分（略） （2）按正负性分（略） 4、实数与数轴上的点一一对应。 5、实数的 相反数、绝对值、倒数 ：（与有理数的相反数、绝对值、倒数意义类似） 6、实数的运算 ：实数与有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数及零 可以进行开平方运算， 任意一个实数可以进行开立方运算， 而且 有理数的运算法则和运 算律对于实数仍然适用 。 7、实数大小 ：（1） 正数 > 0 > 负数； （2）两个负数相比，绝对值大的反而小；绝对值 小的反而大。 （3）数轴上不同的点表示的数，右边点表示的数总比左边的点表示的数大。 实数比较大小的方法： 作差法、平方法、作商法、倒数法、估值法· ····· 二、解题实用 - 2 - 1 、 1.414212 1.7323 2.2365 2 、 aa 2 a 2 a aa 333 3a 3 、 abba b a b aba 0b 三、典题练习 1、 16 的平方根是 ； 23- 的算术平方根是 ； 23- 的立方根是 。 2、如果一个有理数的算术平方根与立方根相同，那么这个数是 ；如果一个 有理数的平方根与立方根相同，那么这个数是 。 3、一个自然数的算术平方根是 x，则与他相邻的下一个自然数的算术平方根是 。 4、下列各数中一定为正数的是 （填序号） ① x ② 1x ③ 2x ④ 1x3 ⑤ 1x 5、当 x<-1 时， 2x ，-x , 3x- 和 x 1 的大小关系 。 6、比较下列各组数的大小 2-23-21 与 7 5 412 与 112533 与 7 1- 2 1-4 与 7、 2-7 的绝对值为 ，相反数为 ，倒数为 。 8、已知 3x ，y 为 4 的平方根， 0xy ，求 x+y 的值。 9、已知 02-3x y ，求 x2+y 的平方根。 10、 如果一个非负数的平方根为 2a-1 和 a-5 ，则这个数是 。 11、 a 为 5 的整数部分， b 为 5 的小数部分，则 a+2b 的值为 。 12、 若 aa 2012-a-2011 ，试求 22011-a 的值。（提示：找出题中的隐含条件） 第七章 一元一次不等式与不等式组 一、知识总结 （一）不等式及其性质 1、不等式： （ 1）定义用“＜” ( 或“≤” ) ，“＞” (或“≥” ) 等不等号表示大小关系的式子，叫做 不等式 . 用“≠”表示不等关系的式子也是不等式 . （ 2）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 - 3 - （ 3）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解 集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。 不等式的解集与不等式的解的 区别： 解集是能使不等式成立的未知数的取值范围 , 是所有解的集合 , 而不等式的解是使不等式成立的未知数的值。 二者的关系是： 解集包括解 , 所有的解组成了解集。 （4）解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式。 2、不等式的基本性质 性质 1：不等式的两边都加上 ( 或减去 ) 同一个整式，不等号的方向不变。 即：如果 ba ，那么 cbca . 性质 2：不等式的两边都乘上 ( 或除以 ) 同一个正数，不等号的方向不变。 即：如果 ba ，并且 0c ，那么 bcac ； c b c a . 性质 3：不等式的两边都乘上 ( 或除以 ) 同一个负数，不等号的方向 改变 。 即：如果 ba ，并且 0c ，那么 bcac ； c b c a . 性质 4：如果 ba ，那么 ab . （对称性） 性质 5：如果 ba , cb , 那么 ca . （传递性） （二）一元一次不等式 1、定义：含有 一个未知数 ，未知数的 次数是 1，且不等号两边 都是整式 的不等式， 叫做一元一次不等式。 2. 一元一次不等式的解法： 根据是不等式的基本性质；一般步骤为： (1) 去分母； (2) 去括号； (3) 移项； (4) 合并同类项； (5) 系数化为 1. 解不等式应 注意：① 去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ② 移项时不要忘记变号； ③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； ④ 在不等式两边都乘 ( 或除以 ) 同一个负数时，不等号的方向要改变。 3. 不等式的解集在数轴上表示： （ 1）边界：有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈； （2） 方向：大向右，小向左 （三）一元一次不等式组 1 、定义： 有几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组， 叫做一元一次不 等式组 2 、（一元一次） 不等式组的解集： 这几个不等式解集的公共部分， 叫做这个 （一元一次） 不等式组的解集。 3 、解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。 4 、一元一次不等式组的解法 1 ）分别求出不等式组中各个不等式的解集 2 ）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。 由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集可归纳为下面四种情况： - 4 - 不等式组 ba 解集 口诀记忆 a bx x bx 同大取大 ax bx ax 同小取小 a bx x bxa 大小小大中间找 a bx x 无解 大大小小则无解 （四）一元一次不等式（组）解决实际问题 解题的步骤： ⑴审题，找出不等关系→ ⑵设未知数→ ⑶列出不等式（组）→ ⑷求出不等式的解集→ ⑸找出符合题意的值→ ⑹作答。 二、解题技巧 一、有解无解问题： （1） a bx x b b a a 有解： 无解： （2） a x x b b ba a有解： 无解： （3） a bx x b ba a有解： 无解： 2、特征解问题： 解题步骤： 把原式中的要求的量（以下简记为 m ) 当作已知数，去解原式——→得 到原式的解（含 m ) ——→根据解的特征列出式子（关于 m的式子 ) ——→解出 m 的值。 例： 已知 12a xx 的解集为 1x ，求 a 的值。 解：解不等式 12a xx ······ 把 a 当作已知数，去解原式 得 1x a ······ 得到原式的解（含 a ) 则 11-a ······根据解的特征列出式子 解得 2a ······ 解出 a 的值 三、典题练习 1、若关于 x 的不等式 1x 12 m mx 有解，则 m的取值范围是？若无解呢？ 2、已知关于 x ， y 的方程组 my yx 1x2 22 的解满足 0x y ，求 m 的取值范围。 3、适当选择 a 的取值范围，使 1.7＜x＜a 的整数解： （1）x 只有一个整数解； （2）x 一个整数解也没有。 4、解不等式（组） - 5 - （1） 32 2 ,352 xx xx （ 2） .3273 ,4536 ,7342 xx xx xx （3） .1)]3(2[ 2 1 , 3 12 2 33 xx xxx （4）－5＜6－2x＜3 （ 5） .1 7 )10(2 3 83 yyy 5、若 m、n 为有理数，解关于 x 的不等式 (－m2－1)x＞ n． 6、已知关于 x， y 的方程组 134 ,123 pyx pyx 的解满足 x＞y，求 p 的取值范围。 7、已知关于 x 的不等式组 0x 542 b x 的整数解共有 3 个，求 b 的取值范围。 8、已知 A＝2x2＋3x＋2，B＝2x2－ 4x－5，试比较 A 与 B 的大小。 9、已知 a 是自然数，关于 x 的不等式组 02 ,43 x ax 的解集是 x＞2，求 a 的值。 10、某种商品进价为 150 元， 出售时标价为 225 元， 由于销售情况不好， 商品准备降价出售， 但要保证利润不低于 10％，那么商店最多降价多少元出售商品 ? 11、 某零件制造车间有 20 名工人，已知每名工人每天可制造甲种零件 6 个或乙种零件 5 个，且每制造一个甲种零件可获利 150 元，每制造一个乙种零件可获利 260 元。在这 20 名工人中，车间每天安排 x 名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件。 （1）若此车间每天所获利润为 y(元 ) ，用 x 的代数式表示 y。 （2）若要使每天所获利润不低于 24000 元，至少要派多少名工人去制造乙种零件 ? 12、 某学校计划组织 385 名师生租车旅游，现知道出租公司有 42 座和 60 座客车， 42 座 客车的租金为每辆 320 元， 60 座客车的租金为每辆 460 元。 （1）若学校单独租用这两种客车各需多少钱 ? （2）若学校同时租用这两种客车 8 辆 (可以坐不满 )，而且比单独租用一种车辆节省 租金，请选择最节省的租车方案。 第八章 整式乘除与因式分解 一、知识总结 （一）幂的运算： 1、同底数幂乘法 ：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 nmnm aaa 2、同底数幂除法 ：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 nmnm aaa 3、幂的乘方 ：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 mnnm aa 4、积的乘方 ：积的乘方等于各因式乘方的积。 mmm baab - 6 - 注：（1）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于 1； 10a 0a （2）任何一个不等于零的数的 -p （p 为正整数）指数幂， 等于这个数的 p 指数幂的倒数。 p p a a 1 0a （3）科学记数法： na 10c 或 na -10c 10a1 绝对值小于 1 的数可记成 n-10a 的形式，其中 10a1 ，n 是正整数， n 等于原 数中第一个有效数字前面的零的个数（包括小数点前面的一个零） 。 （二）整式乘法： 1、单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于 只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 2、单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别 相乘，再把所得的积相加。 3、多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一 个多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。 （三） 、完全平方公式与平法差公式 1、完全平方公式： 222 2aba bab 222 2--a babab 两个数的和 （或 差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的两倍。 2、平法差公式： babab --a 22 两个数的平方之差等于这两个数的和 与这两个数的差之积。 （四） 、整式除法 （1）单项式的除法法则： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对 于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 （ 2）多项式除以单项式的除法法则： 单项式与多项式相除，先把多项式的每一项除以这 个单项式再把所得的商相加。 （五） 、因式分解 1、定义： 把一个多项式化为几个因式的乘积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项 式分解因式。 2、分解因式的基本方法： （1）提公因式法 （2）公式法： 运用完全平方公式和平法差公式 （3）对于二次三项式的因式分解的方法： 1 ）配方法， 2）十字相乘法： 公式 bxaxabxbax2 例：将 342 xx 因式分解。 方法一： 配方法： 原式 = 34-442 xx = 1-2 2 x = 31 xx 方法二： 十字相乘法： 342 xx = 31 xx - 7 - （4）分组分解法 3、分解因式的技巧： (1) 因式分解时，有公因式要先提公因式，然后考虑其他方法； (2 ） 因式分解时，有时项数较多时，看看分组分解法是否更简洁 (3) 变形技巧： ①符号变形 Ⅰ、 xyy ---x Ⅱ、当 n 为奇数时， nn xyy ---x Ⅲ、当 n 为偶数时， nn xyy --x ②增项变形： 例： 2242244 4-1444-41414x xxxxxx ③拆项变形： 例 11-11-1-1-2x 222322323 xxxxxxxxxxx 二、典题练习 1、计算题 (1) 52 -22b-a ab （ 2) x32x (3) 32-a m (4) ma 25a (5) 325 10 3 1103 (6) 234 22--2x yxyxy 2、快速计算： （1） 97103 （2） 2102 （3） 299 3、 42 m ， 164 n ，求 n-2m2 的值。 4、如果 642 2mn nx 成立，那么 m , n 。 5、在括号内填上指数和底数 （1） 28 23 （2） 2339 6、化简求值：已知 32-x 2 x ，求 1-3-3-31-x 2 xxxx 的值。 7、已知 45y2x ，再求 y324 x 的值。 8、已知 3ba ， 5-ab ，求代数式的值： （1） 22a b （2） 2b-a 9、因式分解： 1） 6-5-2 23 xxx 2 ） ayaxyx 22 - 3 ） 44 4ba 10、 比较 2999699939999 与 的大小。 11、 不解不等式组 62 13- nm nm ，求 32 -32-3-7 mnnmn 的值。 - 8 - 第九章 分 式 一、知识总结 （一）分式及其性质 1 、分式 （ 1）定义：一般的，如果 a，b 表示两个整式，并且 b 中含有字母，那么式子 b a 叫做分 式；其中 a 叫做分式的分子， b 叫做分式的分母。 （ 2）有理式：整式和分式统称为有理式。 （ 3）分式 =0 分子 =0，且分母≠ 0 （分式有意义，则分母≠ 0） （ 4）最简分式：分子和分母没有公因式的分式。 2 、分式的性质 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变 即： mb ma mb ma b a （a，b，m 都是整式，且 0m ） 分式的性质是分式化简和运算的依据。 3 、约分： 把一个式子的分子分母的公因式约去叫做约分。 注：约分的结果应为最简分式或整式。 约分的方法 ： 1） 若分子、分母均为单项式：先找分子、分母系数的最大公约数， 再找相同字母最低次幂； 2）若分子、 分母有多项式： 先把多项式因式分解， 再找分子、 分母的公因式。 （二）分式运算 1、分式的乘除 1）分式乘法法则： 两分式相乘， 用分子的积做分子， 分母的积做分母； 即： bd ac d c b a 2）分式除法法则：两分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘； 即： bc ad c d b a d c b a 3）分式乘方法则： 分式的乘方就是分子分母分别乘方。 即： n nn b a b a ， n n ab b 1a 2 、分式的加减 1）同分母分式加减：分母不变分子相加减；即： b ca b c b a 0b 2）异分母分式加减：先通分，变为同分母的分式相加减， 即： bd bcad bd bc bd ad d c b a 0bd （三）分式方程 1、定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2、解法： 1）基本思路 ：分式方程 转化 整式方程 - 9 - 2）转化方法： 方程两边都乘以各个分式最简公分母，约去分母。 3）一般步骤： 分式方程 通过转化方法 整式方程 解整式方程 检验 注： 检验的是必不可缺的关键步骤，检验的目的是看是否有增根存在。 （四）分式应用 列分式方程解决实际问题的 一般步骤 ：审题 设未知数，找等量关系 列方程 检验（ ①是否有增根， ②是否符合题意） 得出答案 二、分式解题中常用的数学思想和技巧 1、已知 511 yx ，求 yxyx yxyx 2 23-2 的值。 （整体思想、构造法） 2、已知 3 4 y x ，求 22 22 5-32 25-3 yxyx yxyx 的值。 （整体思想、构造法） 3、已知 1abc ，求 cac c bcb b aba a 111 的值。 4、已知 6 111 ba ， 9 111 cb ， 15 11 c 1 a ，求 acbcab abc 。 （先得到 cba 111 的值，然后按第 1 题方法做） 5、已知 412 x x ，求 2 2 1 x x 的值。 （提示： x x x x 112 ） 6、已知 c ba b ac a cb ，求 cacbba abc 的值。 （提示：参数法） 7、已知 1 1-2 xx x ，求 124 2 xx x 的值。 （倒数求值法） 8、已知 015-2 xx ，求 4 4 1 x x 的值。 （提示：由 015-2 xx 得 51 x x ） 9、已知 06-3-4 zyx ， 07-2 zyx ，求 222 222 10-3-2 -25 zyx zyx 的值。 （提示：消元代入法，把其中一个未知数看成常数，用它表示其它的未知数） 10、 计算： 1） 2-20023-20022002 120022-2002 23 23 （提示：用字母代替数） 2） 42 1 4 1 2 1 1 -1 1 xxxx （提示：局部通分） - 10 - 3） 4- 5- 3- 4-- 2 3- 1 2 x x x x x x x x ( 提示：假分式可先变形 1 11 1 2 xx x ） 三、典题练习 1、如果分式 2 | | 5 5 x x x 的值为 0，那么 x 的值是 。 2、在比例式 9:5=4:3x 中， x=_________________ 。 3、计算 : 1 1 1 1x x =_______________ 。 4、当分式 2 2 2 3 2 1 1 x x x x x 与分式 的值相等时， x 须满足 。 5、把分式 2 2x y x y 中的 x，y 都扩大 2 倍， 则分式的值 。（填扩大或缩小的倍数） 6、下列分式中，最简分式有 个。 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2, , , , 3 1 2 a x y m n m a ab b x x y m n m a ab b 7、分式方程 2 1 1 4 3 3 9x x x 的解是 。 8、若 2x+y=0 ，则 2 2 22 x xy y xy x 的值为 。 9、当 x 为何值时，分式 2 1 2 2 xx x 有意义？ 10、 当 x 为何值时，分式 2 1 2 2 xx x 的值为零？ 11、已知分式 2 1 2 x x :当 x= 时，分式没有意义；当 x= _______ 时，分式的值为 0；当 x= －2 时，分式的值为 _______。 12、 当 a=____________时，关于 x 的方程 2 3ax a x = 5 4 的解是 x=1 。 13、一辆汽车往返于相距 a km 的甲、乙两地，去时每小时行 m km，返回时每小时行 n km， 则往返一次所用的时间是 _____________。 14、 某班 a 名同学参加植树活动，其中男生 b 名(b

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