2020学年七年级数学上册 勾股定理及其逆定理讲义 （新版）鲁教版

2020学年七年级数学上册 勾股定理及其逆定理讲义 （新版）鲁教版

勾股定理及其逆定理（讲义）‎ Ø 课前预习 1. 请你回顾直角三角形的性质：‎ 边：直角三角形斜边长 任意一条直角边长；角：直角三角形两锐角 ；‎ 2. 请同学们计算并背诵下列数的平方：‎ ‎112= ， 122= ， 132= ， 142= ，‎ ‎152= ， 162= ， 172= ， 182= ，‎ ‎192= ．‎ 3. 想一想：如图是由边长为 1 的正方形组成的网格，直角三角形的顶点在网格的格点上．分别以直角三角形的三边为边， 向外作正方形，请你分别求出这三个正方形的面积 SA，SB， SC，并思考 SA，SB，SC 之间的数量关系．‎ C A B 6‎ Ø 知识点睛 背 记 11—19 的 平 方 ： 112=121，122=144，132=169，‎ ‎142=196，152=225，162=256，‎ ‎172=289，182=324，192=361．‎ 1. 勾股定理：‎ 如果用 a，b 和 c 分别表示直角三角形的两条直角边和斜边， 那么 a2+b2=c2．‎ A B C A c b c a B a b C 外弦图 2. 勾股定理的验证：‎ 内弦图 勾股定理：‎ 角（Rt△）→边（a2+b2=c2） 勾股定理逆定理：‎ 边（a2+b2=c2）→角（Rt△）‎ 3. 勾股定理逆定理：‎ 如果 ，那么这个三角形是 ．‎ 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．‎ 4. 勾股数：满足 a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数．常见勾股数有 ； ； ；‎ ‎ ； ； ．‎ Ø 精讲精练 1. 一个直角三角形两直角边长分别为 3 和 4，下列说法正确的是 ‎（ ）‎ A．斜边长为 25 B．三角形的周长为 25‎ C．斜边长为 5 D．三角形的面积为 20‎ 6‎ 1. 如图，在 Rt△ABC 和Rt△ACF 中，BC 长为 ‎3cm，AB 长为 ‎4cm‎，AF 长为 ‎12cm，则正方形 CDEF 的面积为 ．‎ B C F E A S2‎ B S1‎ S3‎ A C D 第 2 题图 第 3 题图 2. 如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，分别以 BC，AB，AC 为边向外作正方形，面积分别记为 S1，S2，S3．若 S2=4，S3=6， 则 S1= ．‎ 3. 如图，已知 Rt△ABC 的两直角边长分别为 6 和 8，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 ．‎ 4. 等面积法是几何中一种常见的证明方法，可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”．例如，著名的赵爽弦图（如图 1，其中四个直角三角形较长的直角边长都为 a，较短的直角边长都为 b，斜边长都为 c），大正方形的面积可以表示为 c2，‎ 也可以表示为4 ´ 1 ab + (a - b)2 ．由此推导出重要的勾股定 ‎2‎ 理：如果直角三角形两条直角边长为 a，b，斜边长为 c，那 么 a2+b2=c2．图 2 为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证 图1‎ c c 法”，请你利用图 2 推导勾股定理． C D a b A a E b B 图2‎ 6‎ 1. 如图，直线 l 上有三个正方形 a，b，c，若 a，c 的面积分别为 5 和 11，则 b 的面积为 ．‎ A E c a b D l C B 第 6 题图 第 7 题图 2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，以斜边 AB 为边向外作正方形 ABDE，已知正方形 ABDE 的面积为 100，BC 的长为8，则点 E 到直线 BC 的距离为 ．‎ 3. 如 图 ， 在 △ABC 中 ，AD⊥BC 于 点 D， 若 AB=‎13cm，BD=‎5cm， CD=‎9cm，求线段 AD，AC 的长． A B D C 4. 小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结， 然后将绳子拉到离旗杆底端 ‎5 米处，发现此时绳子底端距离打结处 ‎1 米．请设法算出旗杆的高度．‎ 5. 6‎ 1. 下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（ ）‎ A．0.3，0.4，0.5 B．7，12，15‎ C．11，60，61 D．9，40，41‎ 2. 如图，在单位正方形组成的网格图中有 AB，CD，EF，GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）‎ 6‎ A．CD，EF，GH B．AB，EF，GH C．AB，CD，GH D．AB，CD，EF ‎C E B A H F D G 6‎ 3. 若三角形的三边长分别是2n +1，2n2 + 2n，2n2 + 2n +1（n 为正 整数），则三角形的最大内角等于 度．‎ 4. 三边长分别是 15，36，39 的三角形是 三角形．‎ 5. 五根小木棒，其长度分别为 7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形中正确的是（ ）‎ ‎24‎ ‎25‎ ‎7‎ 6‎ ‎25 24 20‎ ‎20‎ ‎25 24‎ ‎‎ ‎15‎ ‎20 24‎ ‎7 20‎ 6‎ ‎7 15‎ ‎15‎ ‎7 15 25‎ 6‎ A． B． C． D．‎ 6. 一个零件的形状如图 1 所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角．工人师傅量得这个零件各边长如图 2 所示，这个零件符合要求吗？请说明理由．‎ ‎13‎ ‎5‎ ‎12‎ C C D D ‎4‎ A B A 3 B 图1 图2‎ 6‎ ‎【参考答案】‎ Ø 课前预习 ‎1. 大于，互余 ‎2. 121，144，169，196，225，256，289，324，361‎ ‎3. SA=16，SB=9，SC=25 SA+SB=SC Ø 知识点睛 1. 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．‎ 2. 略 3. 三角形两边的平方和等于第三边的平方，直角三角形．‎ ‎4. 3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41；‎ ‎11，60，61．‎ Ø 精讲精练 ‎1. C ‎2. ‎169 cm2‎ ‎3. 2‎ ‎4. 24‎ ‎5. 略 ‎6. 16‎ ‎7. 14‎ ‎8. AD=‎12 cm，AC=‎15 cm 9. ‎‎12 米 10. B 11. B 12. 90‎ 13. 直角 14. C 15. 符合要求，理由略 6‎