江苏省苏州市五校2020届高三12月月考 数学文

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江苏省苏州市五校2020届高三12月月考 数 学（理）‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．）‎ ‎1.已知，，则 ▲ ．‎ ‎2.若复数，则复数的模= ▲ ．‎ ‎3.某市有中外合资企业160家，私营企业320家，国有企业240家，其他性质的企业80家，为了了解企业的管理情况，现用分层抽样的方法从这800家企业中抽取一个容量为的样本，已知从国有企业中抽取了12家，那么= ▲ ．‎ ‎4.函数的定义域是 ▲ ．‎ ‎5.如右图所示的流程图的运行结果是▲ ．‎ ‎6.高三（5）班演讲兴趣小组有女生3人，男生2人，现 从中任选2 名学生去参加校演讲比赛 ,则参赛学生恰好为1名男生和1名女生的概率是▲ ． ‎ ‎7.在平面直角坐标系中，直线为双曲线 ‎ 的一条渐近线，则该双曲线的离心率为▲ ．‎ ‎8.已知，，则的值为▲ ．‎ ‎9.设公比不为1的等比数列满足,且成等差数列，则数列的前4项和为▲ ．‎ ‎10.曲线在点处的切线与直线互相垂直，则实数的值为▲ ．‎ ‎·9·‎ ‎11. 已知，且，则的最小值为▲ ．‎ ‎12.已知直线与圆心为C的圆相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数＝▲ ．‎ ‎13.已知平面向量，，满足，，，的夹角等于，且，则的取值范围是▲ ．‎ ‎14.关于的方程有3个不同的实数解，则实数的取值范围为 ▲ ．‎ 二、解答题：（本大题共6小题,共90分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）‎ ‎15. （本小题满分14分）‎ 在三角形中，角所对的边分别为，若，，角为钝角，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求边的长．‎ ‎16. （本小题满分14分）‎ 如图所示，在三棱柱中， 为正方形，是菱形，‎ 平面平面．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎·9·‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 已知椭圆E：的离心率为，且过点．右焦点为F．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）设过右焦点为F的直线与椭圆交于 AB两点，且，‎ 求直线AB的方程．‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 如图，两座建筑物的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10和20，从建筑物的顶部看建筑物的视角．‎ ‎（1）求的长度；‎ ‎（2）在线段上取一点点与点不重合），从点看这两座建筑物的视角分别为问点在何处时，最小？‎ ‎19. （本小题满分16分）‎ 已知数列{}、{}满足：.‎ ‎（1）证明：是等差数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求实数a为何值时恒成立．‎ ‎·9·‎ ‎20. （本小题满分16分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；‎ ‎（2）当时，求证：；‎ ‎（3）设函数，其中为实常数，试讨论函数的零点个数，并证明你的结论．‎ 数 学（正卷）‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．）‎ ‎1. 2. 3.40 4. 5.12 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.‎ 二、解答题：（本大题共6小题,共90分．）‎ ‎15.解：（1）因为角为钝角，，所以，……2分 又，所以，‎ 且， ………………………4分 ‎·9·‎ 所以…………6分 ‎ ． ………………………8分 ‎（2）因为，且，所以，……………………10分 又，……………12分 则，‎ 所以． ……………………14分 ‎16.证明：在菱形中，. ………………………2分 因为 平面，平面，‎ 所以 平面． ……………6分 ‎（2）连接．‎ 在正方形中，． ‎ 因为 平面平面，‎ 平面平面，平面，‎ 所以 平面． ………………………8分 因为 平面， 所以 ． ……10分 在菱形中，．‎ 因为 平面，平面，，‎ 所以 平面． ………12分 ‎ 因为 平面， 所以 ． ………14分 ‎ ‎17．（1）解：因为，所以，b=c， …………2分 ‎·9·‎ 设椭圆E的方程为．将点P的坐标代入得：，‎ ‎………………………4分 所以，椭圆E的方程为． …………………………6分 ‎（2）因为右焦点为F（1,0），设直线AB的方程为：，‎ 代入椭圆中并化简得：， …………………………8分 设，因为，所以，‎ 即， ……………………10分 所以，，‎ 即，解得，所以，…………………………12分 所以直线AB的方程为：或． …………………14分 ‎18．解：（1）作，垂足为，则，，设，‎ 则，………………2分 化简得，解之得，或（舍）…………6分 答：的长度为． ………………………………8分 ‎（2）设，则，‎ ‎………………………10分 设，，‎ 令，因为，得，…………………12分 ‎·9·‎ 当时，，是减函数；‎ 当时，，是增函数，‎ 所以，当时，取得最小值，即取得最小值，‎ ‎………………………14分 因为恒成立，所以，所以，，‎ 因为在上是增函数，所以当时，取得最小值．‎ 答：当为时，取得最小值．………………16分 ‎19.解：（1）∵，…………………2分 ‎∴ ∴． ‎ ‎∴数列{}是以－4为首项，－1为公差的等差数列．……………………4分 ‎∴ ， ‎ ‎∴． ………………………6分 ‎（2）∵． ……………………8分 ‎∴‎ ‎………………………10分 ‎∴． ………12分 由条件可知恒成立即可满足条件，‎ 设，‎ 当时，恒成立, …………………………13分 当时，由二次函数的性质知不可能成立．…………………………14分 当时，对称轴，f(n)在为单调递减函数． ‎ ‎·9·‎ ‎，‎ ‎∴，∴a<1时恒成立． ………………………………15分 综上知：时，恒成立． …………………………16分 ‎20．（1）解：． ………………………………2分 所以过点的切线方程为，所以，‎ 解得或． ………………………………4分 ‎（2）证明：即证，因为，所以即证，‎ 设，则．‎ 令，解得． ………………………………6分 减 极小 增 所以 当时，取得最小值． ………………………8分 ‎ 所以当时， ． …………………………9分 ‎（3）解：等价于，等价于，且．‎ ‎………………………10分 令，则．‎ 令，得或，……………………11分 ‎·9·‎ 减 极小 增 极大 减 ‎ ………………………12分 ‎（I）当时， ，所以无零点，即F(x)定义域内无零点 ‎………………………13分 ‎（II）当即时，若，因为，‎ ‎，所以在只有一个零点，‎ 而当时，，所以F(x) 只有一个零点；……………………14分 ‎（Ⅲ）当即时，由（II）知在只有一个零点，且当时，，所以F(x)恰好有两个零点； ………………………………15分 ‎（Ⅳ）当即时，由（II）、（Ⅲ）知在只有一个零点，在只有一个零点，在时，因为，‎ 只要比较与的大小，即只要比较与的大小，‎ 令，‎ 因为，因为，所以，‎ 所以，‎ 即，所以，即在也只有一解，‎ 所以F(x)有三个零点； ………………………………16分 综上所述：当时，函数F(x)的零点个数为0； 当时，函数F(x)的零点个数为1；当时，函数F(x)的零点个数为2；当时，函数F(x)的零点个数为3． ‎ ‎·9·‎