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文档介绍
江苏省苏州市五校2020届高三12月月考 数学理
·1· 江苏省苏州市五校 2020 届高三 12 月月考 数 学 理（正卷） 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．） 1.已知 ， ，则 ▲ ． 2.若复数 ，则复数 的模 = ▲ ． 3.某市有中外合资企业 160 家，私营企业 320 家，国有企业 240 家，其他性质的企业 80 家，为了了 解企业的管理情况，现用分层抽样的方法从这 800 家企业中抽取一 个容量为 的样本，已知从国有企业中抽取了 12 家，那么 = ▲ ． 4.函数 的定义域是 ▲ ． 5.如右图所示的流程图的运行结果是▲ ． 6.高三（5）班演讲兴趣小组有女生 3 人，男生 2 人，现 从中任选 2 名学生去参加校演讲比赛 ,则参赛学生恰好为 1 名男生和 1 名女生的概率是▲ ． 7.在平面直角坐标系 中，直线 为双曲线 的一条渐近线，则该双曲线的离心率为▲ ． 8.已知 ， ，则 的值为▲ ． 9.设公比不为 1 的等比数列 满足 ,且 成等差数列，则数列 的前 4 项和 为▲ ． 10.曲线 在点 处的切线与直线 互相垂直，则实数 的值为▲ ． ·2· 11. 已知 ，且 ，则 的最小值为▲ ． 12.已知直线 与圆心为 C 的圆 相交于 A，B 两点，且△ABC 为等边 三角形，则实数 ＝▲ ． 13.已知平面向量， ， 满足 ， ， ， 的夹角等于 ，且 ，则 的取值范围是▲ ． 14.关于 的方程 有 3 个不同的实数解，则实数 的取值范围为 ▲ ． 二、解答题：（本大题共 6 小题,共 90 分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15. （本小题满分 14 分） 在三角形 中，角 所对的边分别为 ，若 ， ，角 为钝角， ． （1）求 的值； （2）求边 的长． 16. （本小题满分 14 分） 如图所示，在三棱柱 中， 为正 方形， 是菱形， 平面 平面 ． （1）求证： 平面 ； （2）求证： ； 2 0a b> > 1a b+ = 2 4 2a b b +− b c a b ( ) ( ) 0− ⋅ − =a c b c c x 1|ln | 2x a x+ = a ABC , ,A B C , ,a b c 3sin 5A = 1tan( ) 3A B− = C 5b = sin B c 1 1 1ABC A B C− 1 1AA B B 1 1BB C C 1 1AA B B ⊥ 1 1BB C C //BC 1 1AB C 1B C ⊥ 1AC C B C1 B1 A1A ·3· 17．（本小题满分 14 分） 已知椭圆 E： 的离心率为 ，且过点 ．右焦点为 F． （1）求椭圆 E 的方程； （2）设过右焦点为 F 的直线与椭圆交于 AB 两点，且 ， 求直线 AB 的方程． 18．（本小题满分 16 分） 如图，两座建筑物 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是 10 和 20 ，从建筑物 的顶部 看建筑物 的视角 ． （1）求 的长度； （2）在线段 上取一点 点 与点 不重合），从点 看这两座建筑物的视角分别为 问点 在何处时， 最小？ 19. （本小题满分 16 分） 已知数列{ }、{ }满足： . （1）证明： 是等差数列，并求数列 的通项公式； （2）设 ，求实数 a 为何值时 恒成立． 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 2 2 3( , )2 2P CDAB, AB A CD 60CAD∠ = BC BC (P P CB, P ,, βα =∠=∠ DPCAPB P βα + na nb 1 1 2 1 14 1 n n n n n ba a b b a+= + = = −， ， 1 1nb − { }nb 1 2 2 3 3 4 1...n n nS a a a a a a a a += + + + + 4 n naS b< A B D CP βα ·4· 20. （本小题满分 16 分） 已知函数 ． （1）若曲线 在点 处的切线方程为 ，求 的值； （2）当 时，求证： ； （3）设函数 ，其中 为实常数，试讨论函数 的零点个数，并证明你的结 论． 2020 届高三 12 月联合调研测试 数 学（加试） 每小题 10 分，计 40 分.请把答案写在答题纸的指定区域内，解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤． 21．已知矩阵 ，若矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为 α1＝ , 属于特征值 5 的一个特征向量为 α2= ．求矩阵 A，并写出 A 的逆矩阵． 22.在极坐标系 中，求曲线 与 的交点 的极坐标． 23.在三棱锥 S—ABC 中,底面是边长为 的正三角形，点 S 在 底面 ABC 上的射影 O 恰是 BC 的中点,侧棱 SA 和底面成 45°角． ( ) ln xf x x = ( )y f x= 0 0( , ( ))x f x 2x y a+ = 0x 1x > ( ) lnf x x> ( ) ( ) lnF x f x b x= − b ( )F x = 41 baA −1 3 1 1 ( ) (0 2π)ρ θ θ <≤, 2sinρ θ= cos 1ρ θ = Q ·5· (1) 若 D 为侧棱 SA 上一点，当 为何值时，BD⊥AC； (2) 求二面角 S—AC—B 的余弦值大小． 24.已知 （其中 ） ⑴当 时，计算 及 ； ⑵记 ，试比较 与 的大小，并说明理由． 2 3 0 1 2 3( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ... ( 1) ,n n nx a a x a x a x a x+ = + − + − + − + + − *n N∈ 6n = 0a 1 3 5a a a+ + nS 2( 2)2 2nn n− + ·6· 数 学（正卷） 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．） 1. 2. 3.40 4. 5.12 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 二、解答题：（本大题共 6 小题,共 90 分．） 15.解：（1）因为角 为钝角， ，所以 ，……2 分 又 ，所以 ， 且 ， ………………………4 分 所以 …………6 分 ． ………………………8 分 （2）因为 ，且 ，所以 ，……………………10 分 又 ，……………12 分 则 ， 所以 ． ……………………14 分 16.证明：在菱形 中， . ………………………2 分 14 4 6+ 4 15± 11 ln2 2a− < < C 3sin 5A = 2 4cos 1 sin 5A A= − = 1tan( ) 3A B− = 0 2A B π< − < 1 3sin( ) ,cos( ) 10 10 A B A B− = − = sin sin[ ( )] sin cos( ) cos sin( )B A A B A A B A A B= − − = − − − 3 3 4 1 1 5 510 10 10 = × − × = sin 3 10 sin 5 a A b B = = 5b = 3 10a = 9cos cos( ) cos cos sin sin 5 10 C A B A B A B= − + = − + = − 2 2 2 92 cos 90 25 2 3 10 5( ) 169 5 10 c a b ab C= + − = + − × × − = 13c = 1 1BB C C //BC ·7· 因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ． ……………6 分 （2）连接 ． 在正方形 中， ． 因为 平面 平面 ， 平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ． ………………………8 分 因为 平面 ， 所以 ． ……10 分 在菱形 中， ． 因为 平面 ， 平面 ， ， 所以 平面 ． ………12 分 因为 平面 ， 所以 ． ………14 分 17．（1）解：因为 ，所以 ，b=c， …………2 分 设椭圆 E 的方程为 ．将点 P 的坐标代入得： ， ………………………4 分 所以，椭圆 E 的方程为 ． …………………………6 分 （2）因为右焦点为 F（1,0），设直线 AB 的方程为： ， 代入椭圆中并化简得： ， …………………………8 分 设 ，因为 ，所以 ， 即 ， ……………………10 分 所以 ， ， 即 ，解得 ，所以 ，…………………………12 分 所以直线 AB 的方程为： 或 ． …………………14 分 18．解：（1）作 ，垂足为 ，则 ， ，设 ， 1 1AB C 1 1AB C //BC 1 1AB C 2 2e = 2a c= 2 2 2 2 12 x y b b + = 2 1 3 14 4b = + = 2 2 12 x y+ = 1x my= + 2 2( 2) 2 1 0m y my+ + − = 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 3AF FB= 1 1 2 2(1 , ) 3( 1, )x y x y− − = − 1 23y y= − 1 2 22 2 22 my y ym + = − = −+ 2 1 2 22 1 32y y ym ⋅ = − = −+ 2 2 2 13( )2 2 m m m =+ + 2 1m = 1m = ± 1 0x y+ − = 1 0x y− − = AE ⊥ CD E 10CE = 10DE = BC x= C B C1 B1 A1A ·8· 则 ，………………2 分 化简得 ，解之得， 或 （舍）…………6 分 答： 的长度为 ． ………………………………8 分 （2）设 ，则 ， ………………………10 分 设 ， ， 令 ，因为 ，得 ，…………………12 分 当 时， ， 是减函数； 当 时， ， 是增函数， 所以，当 时， 取得最小值，即 取得最小值， ………………………14 分 因为 恒成立，所以 ，所以 ， ， 因为 在 上是增函数，所以当 时， 取得最小值． 答：当 为 时， 取得最小值．………………16 分 19.解：（1）∵ ，…………………2 分 ∴ ∴ ． 2 2tantan tan(2 ) 1 tan CAECAD CAE CAE ∠∠ = ∠ = − ∠ 2 20 31001 x x = = − 23 20 100 3 0x x− − = 10 3x = 10 3 x = − BC 10 3m BP t= 10 3 (0 10 3)CP t t= − < < 2 2 10 20 100 3 10 10(10 3 )10 3tan( ) 10 20 10 3 200 10 3 2001 10 3 + + ++ + + t tt t t t t t t t α β −= = = − − − −− ⋅ − 2 10 3( ) 10 3 200 + + tf t t t = − − 2 2 2 20 3 500( ) ( 10 3 200)+ t tf t t t + −′ = − − ( ) 0f t′ = 0 10 3t< < 20 2 10 3t = − (0,20 2 10 3)t ∈ − ( ) 0f t′ < ( )f t (20 2 10 3,10 3)t ∈ − ( ) 0f t′ > ( )f t 20 2 10 3t = − ( )f t tan( )α β+ 2 10 3 200 0+t t− − < ( ) 0f t < tan( ) 0α β <+ ( , )2 α β π∈ π+ tany x= ( , )2 π π 20 2 10 3t = − α β+ BP 20 2 10 3t = − cm α β+ 1 1 (1 )(1 ) (2 ) 2 n n n n n n n n b bb a a b b b+ = = =− − −＋ 1 11 12n n b b+ − = −− 1 21 111 1 1 n n n n b b b b+ −= = − +− − − ·9· ∴数列{ }是以－4 为首项，－1 为公差的等差数列．……………………4 分 ∴ ， ∴ ． ………………………6 分 （2）∵ ． ……………………8 分 ∴ ………………………10 分 ∴ ． ………12 分 由条件可知 恒成立即可满足条件， 设 ， 当 时， 恒成立, …………………………13 分 当 时，由二次函数的性质知不可能成立．…………………………14 分 当 时，对称轴 ，f(n)在 为单调递减函数． ， ∴ ，∴a<1 时 恒成立． ………………………………15 分 综上知： 时， 恒成立． …………………………16 分 20．（1）解： ． ………………………………2 分 所以过点 的切线方程为 ，所以 ， 解得 或 ． ………………………………4 分 （2）证明：即证 ，因为 ，所以即证 ， 1 1nb − 1 4 ( 1) 31n n nb = − − − = − −− 1 21 3 3n nb n n += − =+ + 11 3n na b n = − = + 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 4 5 5 6 ( 3)( 4) 4 4 4( 4)n n n nS a a a a a a n n n n+= + +⋅⋅⋅+ = + +⋅⋅⋅ = − =× × + + + + 22 ( 1) (3 6) 84 4 3 ( 3)( 4)n n an n a n a naS b n n n n + − + − −− = − =+ + + + 2( 1) (3 6) 8 0a n a n− + − − < 2( ) ( 1) 3( 2) 8f n a n a n= − + − − 1a = ( ) 3 8 0f n n= − − < 1a > 1a < 3 2 3 1(1 ) 02 1 2 1 a a a −− ⋅ = − − <− − [1, )+∞ (1) ( 1) (3 6) 8 4 15 0f a a a= − + − − = − < 15 4a < 4 naS b< 1a ≤ 4 naS b< 2 ln 1'( ) ln xf x x −= 0 0( , ( ))x f x 2x y a+ = 0 2 0 ln 1 2ln x x − = − 0x e= 0 1x e = 2lnx x> 1x > lnx x> ·10· 设 ，则 ． 令 ，解得 ． ………………………………6 分 减 极小 增 所以 当 时， 取得最小值 ． ………………………8 分 所以当 时， ． …………………………9 分 （3）解： 等价于 ，等价于 ， 且 ． ………………………10 分 令 ，则 ． 令 ，得 或 ，……………………11 分 减 极小 增 极大 减 ………………………12 分 （I）当 时， ，所以 无零点，即 F(x)定义域内无零点 ………………………13 分 （II）当 即 时，若 ，因为 ， ，所以在 只有一个零点， 而当 时， ，所以 F(x) 只有一个零点；……………………14 分 ( ) ln ( 1)g x x x x= − > 1 1 2'( ) 22 xg x x xx −= − = '( ) 0g x = 4x = x (1,4) 4 (4, )+∞ ( )g x′ 0 + ( )g x 2 ln 4− 4x = ( )g x 2 ln 4 0- > 1x > ( ) lnf x x> ( ) 0F x = ( ) ln 0f x b x− = 21 ln x b x = 0x > 1x ≠ 2ln( ) xH x x = 2 2 2ln ln( ) x xH x x −′ = 2 2 2ln ln( ) 0x xH x x −′ = = 1x = 2x e= x (0,1) 1 2(1, )e 2e 2( , )e +∞ ( )H x′ 0 + 0 ( )H x 0 2 4 e 0b ≤ ( ) 0H x > ( )H x 2 1 4 b e > 2 0 4 eb< < (0,1)x∈ 1(1) 0H b = < 1 1 12 1 ln 1 1( ) b b b b eH e eb be − − − = = ⋅ > (0,1) 1x > 2 4 1( )H x e b ≤ < ·11· （ Ⅲ ） 当 即 时 ， 由 （ II ） 知 在 只 有 一 个 零 点 ， 且 当 时 ， ，所以 F(x)恰好有两个零点； ………………………………15 分 （Ⅳ）当 即 时，由（II）、（Ⅲ）知在 只有一个零点，在 只有一个零点， 在 时，因为 ， 只要比较 与 的大小，即只要比较 与 的大小， 令 ， 因为 ，因为 ，所以 ， 所以 ， 即 ，所以 ，即在 也只有一解， 所以 F(x)有三个零点； ………………………………16 分 综上所述：当 时，函数 F(x)的零点个数为 0； 当 时，函数 F(x)的零点个数为 1； 当 时，函数 F(x)的零点个数为 2；当 时，函数 F(x)的零点个数为 3． 数 学（加试） 21.解：由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为 α1＝ 可得， ＝ ，即 ； ………3 分 由矩阵 A 属于特征值 5 的一个特征向量为 α2＝[1 1 ]，可得 ＝5 ， 即 ， ………………………………6 分 解得 即 A＝ ， …………………………8 分 2 1 4 b e = 2 4 eb = (0,1) 2x e= 2 2 4 1( )H e e b = = 2 1 40 b e < < 2 4 eb > (0,1) 2(1, )e 2( , )e +∞ 2 2 3 2 2 2 ln 1 4( ) b b b b e bH e e b e = = ⋅ 2be 34b 2b ln 4 3lnb+ ( ) 2 ln 4 3lnT b b b= − − 3( ) 2T b b ′ = − 2 1 40 b e < < 2 2 3 2 12( ) 2 0eT b b e −′ = − > > 2 2 2 2 ( ) ( ) ln 4 3ln 6 2ln 4 04 2 4 2 e e e eT b T> = − − = − + > 2be > 34b 3 2 2 1 4 1( )b b bH e b e b = ⋅ < 2( , )e +∞ 0b ≤ 2e0 4b< < 2e 4b = 2e 4b > −1 3 41 ba −1 3 −1 3 33 =− ba 41 ba 1 1 1 1 5=+ ba = = 3 2 b a 4 3 1 2 ·12· A 的逆矩阵是 …………………………10 分 22.将直线 与圆 分别化为普通方程得， 直线 与圆 ， ………………………………4 分 易得直线 与圆 切于点 Q ， ………………………………6 分 所以交点 Q 的极坐标是 ． ………………………………10 分 23.以 O 点为原点,OC 为 x 轴,OA 为 y 轴,OS 为 z 轴建立空间直角坐标系．因为 是边长为 的正三角形，又 与底面所成角为 ，所以∠ ，所以 ． 所以 O(0,0,0)，C( ,0,0)，A(0,3,0)，S(0,0,3)，B(－ ,0,0)．…………2 分 /（1）设 AD=a，则 D(0,3－ a, a)，所以 =( ,3－ a, a)， =( ,－3,0)．若 BD⊥AC，则 =3－3(3－ a)=0， 解得 a=2 ，而 AS=3 ，所以 SD= ， 所以 ．………………………5 分 (2)因为 =(0,－3,3)， =( ,-3,0) 设平面 ACS 的法向量为 n1=(x,y,z), 则 令 z=1，则 x= ，y=1，所以 n1=( ,1,1)………………………………………7 分 而平面 ABC 的法向量为 n2=(0,0,1), ………………………………………8 分 − − 5 2 5 3 5 1 5 4 cos 1ρ θ = 2sinρ θ= 1x = 2 2( 1) 1x y+ − = 1x = 2 2( 1) 1x y+ − = ( )1 1， ( )π2 4， ABC∆ 32 SO °45 °= 45SAO 3== AOSO 3 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 1 22 2 SD DA = = 3 3 3 ·13· 所以 cos查看更多