2020-2021南京南外仙林学校高中必修三数学上期中模拟试卷附答案
2020-2021 南京南外仙林学校高中必修三数学上期中模拟试卷附答案
一、选择题
1．已知某样本的容量为 50，平均数为 70，方差为 75．现发现在收集这些数据时，其中的
两个数据记录有误，一个错将 80 记录为 60，另一个错将 70 记录为 90．在对错误的数据进
行更正后，重新求得样本的平均数为 x ，方差为 2s ，则
A． 270, 75x s B． 270, 75x s C． 270, 75x s D． 270, 75x s
2．一个盒子里装有大小相同的 10 个黑球、 12 个红球、 4 个白球 ,从中任取 2 个,其中白球的
个数记为 X, 则下列概率等于
1 1 2
22 4 22
2
26
C C C
C
的是 ( )
A．P(0
6?.
考点：本小题主要考查程序框图的识别和应用，考查学生读图、识图的能力 .
点评：要分清是当型循环还是直到型循环，要特别注意退出循环的条件的应用，避免多执
行或少执行一步 .
12．C
解析： C
【解析】
由题意
4, 7, 2.4, 7 2.4 4 2.6, 9,? ? ?? ? ? 2.4 9 2.6 19x y b a y bx x y bx a
,故选 C.
二、填空题
13．【解析】【分析】解不等式可得出所求事件的区域长度又可求出所有基本
事件构成的区域长度由几何概型可求出概率【详解】设事件表示由得则即构成
事件的区域的长度为又因为所有的基本事件构成的区域的长度为所以事件的
解析： 3
8
【解析】
【分析】
解不等式 1 1 4
2 2
x
，可得出所求事件的区域长度，又可求出所有基本事件构成的区域
长度，由几何概型可求出概率．
【详解】
设事件 A 表示 1 1| 4
2 2
x
x ，
由 1 1 4
2 2
x
得
2
1 1 1
2 2 2
x
，则 2 1x ，
即构成事件 A的区域的长度为 1 2=3 .
又因为所有的基本事件构成的区域的长度为 5 3=8 ，
所以事件 A的概率 3( )
8
P A .
故答案为 3
8 ．
【点睛】
本题考查了几何概型的概率公式，属基础题．
14．【解析】【分析】根据古典概型概率公式求解【详解】连续抛掷一颗骰子
2 次共有 36 种基本事件其中掷出的点数之和不超过 9 的事件有种故所求概率为
【点睛】本题考查古典概型概率考查基本分析与运算能力属基础题
解析： 5
6
【解析】
【分析】
根据古典概型概率公式求解 .
【详解】
连续抛掷一颗骰子 2 次，共有 36 种基本事件，其中掷出的点数之和不超过 9 的事件有
6 6 6 5 4 3 30 种，故所求概率为
30 5
36 6 .
【点睛】
本题考查古典概型概率，考查基本分析与运算能力，属基础题 .
15．y＝03x－04【解析】由题意知又由此得故所求回归方程为故答案为
解析： y＝0.3x－0.4
【解析】
由题意知
1 1
1 80 1 2010, 8, 2
10 10
n n
i i
i i
n x x y y
n n
，
又 2 2 2
1
720 10 8 80
n
i
i
x nx ，
1
184 10 8 2 24
n
i i
i
x y nxy ，
由此得 24 0.3? ??, 2 0.3 8 0.4
80
b a y bx ，故所求回归方程为 ?y 0.3 0.4x ，
故答案为 ?y 0.3 0.4x .
16．【解析】试题分析：根据题意正方形的面积为而阴影部分由函数与围成其
面积为则正方形中任取一点点取自阴影部分的概率为则正方形中任取一点点取
自阴影部分的概率为考点：定积分在求面积中的应用几何概型点评 : 本题考
解析：
【解析】
试题分析：根据题意，正方形 的面积为
而阴影部分由函数 与 围成，其面积为
，
则正方形 中任取一点 ,点 取自阴影部分的概率为 .
则正方形中任取一点，点取自阴影部分的概率为
考点：定积分在求面积中的应用 几何概型
点评 :本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部
分的面积 .
17．【解析】【分析】连接可求得满足条件的事件是直线 AP 与线段 BC有公共
点根据几何概型的概率公式可得【详解】连接如图所示所以满足条件的事件是
直线 AP 在 ∠CAB内且 AP与 BC相交即直线 AP 与线段 BC有公共点
解析： 1
3
【解析】
【分析】
连接 AC ，可求得 CAB，满足条件的事件是直线 AP 与线段 BC 有公共点，根据几何概型
的概率公式可得 CABP
DAB
.
【详解】
连接 AC ，如图所示， 3tan
3
CBCAB
AB
，所以
π
6
CAB ，
满足条件的事件是直线 AP 在∠ CAB 内且 AP 与 BC 相交，即直线 AP 与线段 BC 有公共
点，所以所求事件的概率
π
16
π 3
2
CABP
DAB
.
故答案为： 1
3
.
【点睛】
本题考查几何概型的概率计算，考查学生的计算能力与推理能力，属于基础题 .
18．30【解析】时继续时继续时停止输出点睛 :本题考查的是算法与流程图算法
与流程图的的考查侧重于对流程图循环结构的考查先明晰算法及流程图的相关
概念包括选择结构循环结构伪代码其次要重视循环起点条件循环次数循
解析： 30
【解析】
3i 时， 0 2 3 6S ，继续，
5i 时， 6 2 5 16S ，继续，
7i 时， 16 2 7 30S ，停止，
输出 30S ．
点睛 :本题考查的是算法与流程图 . 算法与流程图的的考查，侧重于对流程图循环结构的考
查. 先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环
起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，
是求和还是求项 .
19．【解析】分析：先求 A∪BA∩B 再根据集合元素个数利用古典概型公式求结
果详解：因为所以因此概率是点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1) 列举
法 (2) 树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求对
解析： 1
3
.
【解析】
分析：先求 A∪B，A∩B，再根据集合元素个数，利用古典概型公式求结果 .
详解：因为 2,8,14,20,26,32 , 1,2,4,8,16,32A B ，
所以 2,8,32 , 1,2,4,8,14,16,20,26,32A B A B
因此概率是 3 1.
9 3 ，
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法
(1) 列举法 .
(2) 树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求 . 对于基本事件有“有序”与
“无序”区别的题目，常采用树状图法 .
(3) 列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题
目具体化 .
(4) 排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目 .
20．36【解析】执行程序可得；不满足条件执行循环体不满足条件执行循环体
满足条件推出循环输出故答案为【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结
构流程图属于中档题解决程序框图问题时一定注意以下几点： (1) 不要
解析： 36
【解析】
执行程序，可得 0A ， 1S ； 1k ， 0 1 1A ， 1 1 1S ，
不满足条件 4k ，执行循环体， 3k ， 1 3 4A ， 1 4 4S ，不满足条件
4k ，执行循环体， 5k ， 4 5 9A ， 4 9 36S ，满足条件 4k ，推出循
环，输出 36S ,故答案为 36．
【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题 . 解决程序框图问题时
一定注意以下几点： (1) 不要混淆处理框和输入框； (2) 注意区分程序框图是条件分支结构
还是循环结构； (3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构； (4) 处理循环结构的问题时
一定要正确控制循环次数； (5) 要注意各个框的顺序 ,（6）在给出程序框图求解输出结果的
试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可 .
三、解答题
21． （1）120960；（ 2） 2
11
.
【解析】
【分析】
（1）分布计算出语、数、英、综合四门学科安排在上午第一场和其余 7 门学科的安排方
法，根据分步乘法计数原理计算可得结果；
（2）分别计算出所有安排方法和数学、化学在同一天考的安排方法的种数，根据古典概型
概率公式计算可得结果 .
【详解】
（1）语、数、英、综合四门学科安排在上午第一场，共有 4
4 24A 种排法；
其余 7 门学科共有 7
7 5040A 种排法，
“考试日程安排表”共有 5040 24 120960种不同的安排方法 .
（2）各科考试顺序不受限制时，共有 11
11A 种安排方法；
数学和化学在同一天考共有： 2 9 1 2 9
2 9 3 3 9A A C A A 种安排方法，
数学、化学在同一天考的概率
2 9 1 2 9
2 9 3 3 9
11
11
2 3 6 2
11 10 11
A A C A AP
A
.
【点睛】
本题考查排列组合计数问题、古典概型概率问题的求解，涉及到分类加法和分步乘法计数
原理的应用，考查学生的分析和解决问题的能力 .
22． （I）6 人， 9 人， 10 人；
（II）（ i）见解析；（ ii） 11
15
.
【解析】
【分析】
（I）根据题中所给的老、中、青员工人数，求得人数比，利用分层抽样要求每个个体被抽
到的概率是相等的，结合样本容量求得结果；
（II）（ I）根据 6 人中随机抽取 2 人，将所有的结果一一列出；
（ii ）根据题意，找出满足条件的基本事件，利用公式求得概率 .
【详解】
（I）由已知，老、中、青员工人数之比为 6:9:10 ，
由于采取分层抽样的方法从中抽取 25 位员工，
因此应从老、中、青员工中分别抽取 6 人， 9 人， 10 人.
（II）（ i）从已知的 6 人中随机抽取 2 人的所有可能结果为
, , , , , , , , ,A B A C A D A E A F , , , , , , , ,B C B D B E B F ,
, , , , ,C D C E C F , , , , , ,D E D F E F ,共 15 种；
（ii ）由表格知，符合题意的所有可能结果为
, , , , , , ,A B A D A E A F , , , , , ,B D B E B F , , , ,C E C F , , , ,D F E F ,
共 11 种，
所以，事件 M 发生的概率 11( )
15
P M .
【点睛】
本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型即其概率
计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力 .
23． （1）见解析；（ 2）见解析；（ 3）预测 2019 年我国艾滋病感染累积人数为 87.93万
人
【解析】
【分析】
（1）由所给的数据绘制折线图即可；（ 2）由题意计算相关系数来说明变量之间的相关关
系即可；（ 3）首先求得回归方程，然后利用回归方程的预测作用进行预测即可．
【详解】
解：（ 1）我国艾滋病病毒感染人数的折线图如图所示
92 , 56.2
2
x yQ ，
1 1
8 8
( ) 8 296.3
i i
i i i ix x y y x y xy ，
1 12 2
8 8
( ) ( ) 42 46.2 299.376
i i
i ix x y y ，
1
2 2
1 1
( ) 0.99
( ) ( )
n
i i i
n n
i i i i
x x y yr
x x y y
．
故具有强线性相关关系．
1
2
1
( ) 296.33 7.05
( ) 42
n
i i i
n
i i
x x y y
b
x x
$
Q ，
56.2 7.05 4.5 24.48a y b x
$ $
，
7.05 24.48y x
$
．
当 9x 时， 7.05 9 24.48 87.93y ．
故预测 2019 年我国艾滋病感染累积人数为 87.93万人．
【点睛】
本题主要考查线性回归方程的求解与预测作用，相关系数的计算与含义等知识，意在考查
学生的转化能力和计算求解能力．
24． (1) y=0.7x+0.35；(2) 19.65 吨．
【解析】
【分析】
（1）利用回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程 .（2）令 100x ，求得改造后的
能耗，用原来的能耗减去改造后的能耗，求得生产能耗比技改前降低的标准煤吨数 .
【详解】
（1）由对照数据，计算得
24 4
1 186, 66.5i i ii ix x y ， x =4.5 ， y =3.5 ，
∴回归方程的系数为
^
2
66.5 4 4.5 3.5
86 4 4.5
b =0.7 ，
^ ^
a y b x =3.5- 0.7 ×4.5=0.35 ，
∴所求线性回归方程为 y=0.7x+0.35；
（2）由（ 1）求出的线性回归方程，
估计生产 100 吨甲产品的生产能耗为 0.7 ×100+0.35=70.35 （吨），
由 90-70.35=19.65 ，
∴生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低 19.65 吨．
【点睛】
本小题主要考查回归直线方程的计算，考查用回归直线方程进行预测，考查运算求解能
力，属于基础题 .
25． （1） 18 30?
7 7
y x ；（ 2）见解析
【解析】
【分析】
1 根据数据求出 x ， y 以及 ?b ， ?a 的值，即可求出 y 关于 x 的线性回归方程；
2 分别计算出 1 月份和 6 月份对应的预测值，和 22 作差，进行比较即可得到结论．
【详解】
1 由表中 2 月至 5 月份的数据，
得 1 4411 13 12 8 11
4 4
x ，
1 9625 29 26 16 24
4 4
y ，
故有
5
2
( ) 0 1 2 5 1 2 3 8 36i i
i
x x y y ，
5
2 2 2 2 2
2
( ) 0 2 1 ( 3) 14i
i
x x ，
由参考公式得 ? 18
7
b ，由 ??a y bx 得 ? 30
7
a ，
∴y 关于 x 的线性回归方程 18 30
7 7
?? ?y bx a x ．
2 由 1 月份数据得当 10x 时，
18 30 15010?
7 7 7
y ．
150 422 2
7 7
，
由 6 月份数据得当 6x 时， 18 30 786
7
?
7 7
y ．
78 622 2
7 7
，
则该小组所得线性回归方程是理想的．
【点睛】
本题主要考查线性回归方程的求解，根据条件求出 x ， y 以及 ?b ， ?a 的值是解决本题的关
键 .考查学生的运算能力．
26．（1）
11 1,
19 5
（2） 0 1x 或 0 2x
【解析】
【分析】
⑴当 0
49
65
x 时，可以求出 1
11
19
x ，满足条件 ix D ，执行循环体，依此类推，而
1 D ，不满足于条件，终止循环，解出 ix 的所有项即可
⑵要使输出的所有 ix 都相等，根据程序框图可得
0
0
0
4 2
1
xx
x ，解方程求出初始值 0x 的值
即可
【详解】
(1) 当 x 0＝ 时， x 1＝f(x 0) ＝f ＝ ，x2＝f(x 1) ＝ f ＝ ，
x3＝f(x 2) ＝f ＝－ 1，终止循环．∴输出的数为 ， .
(2) 要使输出的所有 x i 都相等，则 x i ＝f(x i －1) ＝x i －1，此时有 x1＝f(x 0) ＝x 0，即 ＝
x0，解得 x0＝1 或 x 0＝2，∴当输入的初始值 x 0＝1 或 x0＝2 时，输出的所有 xi 都相等．
【点睛】
本题是一道关于程序框图和函数的综合题，需要理清题中程序框图的逻辑关系，属于中档
题．
