高一数学同步辅导教材(第9讲)

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

高一数学同步辅导教材(第9讲)

高一数学同步辅导教材(第 9 讲) 一、本讲教学进度 2.4 反函数 二、教学内容 1.反函数 2.互为反函数的函数图像间的关系 ★3.常见的几种图形变换 三、重点、难点剖析 1. 反函数 (1) 如函数 y=f(x)存在反函数,则 f(x)对应的映射 f:A→B 必须满足两个条件:① B 中的每一个元 素在 A 中都有原像;② B 中的每一个元素在 A 中的原像只有一个,(即要求映射 f:A→B 是一一映射. (2) 原函数与其反函数互为反函数.如一个函数存在反函数,常常通过求其反函数的定义域来求这 个函数的值域. (3) 求一个函数的反函数一般分为三步:① 用 y 表示 x,将 y=f(x)变形为 x=f -1(y); ② 将 x=f -1(y)中的字母 x、y 互换,改写成 y=f -1(x);③ 由 y=f (x)的值域得 y=f -1(x)的定义域. 例1 给出下列函数的图像,判断其中哪些函数存在反函数: 图 12-1 分析 一个函数是否存在反函数,关键在这个函数是否是一一映射,或者说函数的值域中每一个元 素在定义域中的原像是否唯一,也即对 y=f(x)来讲,必须有“x1≠x2  f(x1)≠f(x2)”.从图像上看,要 求所有与 y 轴垂直的直线和函数的图像最多只有一个公共点. 解 作与 y 轴垂直的直线(图中均用虚线表示),可见(1)、(3)不满足直线与图像最多只有一个公共 点的条件,所以存在反函数的是 y=f2(x)和 y=f4(x). 评析 (1) 有些函数不存在反函数,如 f(x)=x2 (x∈R),但如果适当改变其定义域,变为 g(x)=x2 (x ≥0),则 g(x)存在反函数.但必须注意,这时的函数 g(x)与 f(x)的解析式虽然相同,但定义域不同,它 们已不是同一个函数了. (2) 由上述方法可见,在定义域上单调增(或单调减)的函数一定存在反函数.当然,存在反函数 的函数在其整个定义域上不一定是单调的. O x y f1y = ( )x O x y(1) 1 =y 2f x( ) 2( ) 1 xO y )3f x(=y ( )3 1 xO y )y 4f= (x( )4 1 例2 已知定义在区间(a,b)上的函数 y=f(x)是增函数,求证:(1) f(x)存在反函数;(2) f(x)的反 函数 y=f-1(x)在它的定义域上也是增函数. 证 (1) 假设对于 f(x)的值域中的某个值 y0,在 f(x)的定义域中有两个不同的值 x1、x2 使 f(x1)=f(x2) =y0. ∵ x1≠x2.∴ 必有 x1<x2 或 x1>x2.由 f(x)在定义域上是增函数,得 f(x1)<f(x2)或 f(x1)>f(x2),都 与 f(x1)=f(x2)矛盾.所以对于 f(x)值域中每一个值,在其定义域中只有唯一的一个值与之对应,由此得 f(x)存在反函数. (2) 不妨设 f(x)的值域为(m,n),即 f -1(x)的定义域为(m,n).对于任意的 y1<y2,如 y1、y2∈(m,n),f -1(y1)=x1,f -1(y2)=x2,则 y1=f(x1),y2=f(x2). 如果 x1>x2,由 f(x)是增函数,则 y1>y2,与 y1<y2 矛盾;如果 x1=x2,由函数的定义,必有 y1=y2, 也与 y1<y2 矛盾. 所以当 y1<y2 时,必有 x1<x2,即 f -1(y1)<f -1(y2).也就是说 f -1(x)在它的定义域上也是增函数. 评析 (1)欲证明函数 f(x)存在反函数,也可以证明对于 f(x)定义域中任意的 x1 和 x2,若 x1≠x2 则 f(x1) ≠f(x2). (2) 同本题类似,可以证明在定义域上的减函数一定存在反函数,且其反函数也是减函数. 例3 求下列函数的反函数: 3 1 x , (x<0), (1) f(x)= 2 3 3 4 x -1 (x≥0); (2) f(x)= 2x, (0≤x≤1), x2-2x+3. (x>1). 解 (1) y= -1≥-1 (x≥0). 由 y= -1, 得 2 3 x = 4 3 (y+1), ∵ x≥0, ∴ x= 3 2 )1(4 3     y , ∴ f -1(x)= 3 2 )1(4 3     x (x≥-1). (2) 当 x<0,y= 3 1 x <0, x=y3. ∴ f -1(x)=x3 (x<0). 当 0≤x≤1, y=2x∈[0,2], x= 2 1 y. ∴ f -1(x)= 2 1 x (0≤x≤2). 当 x>1,y=(x-1)2+2>2, (x-1)2=y-2, ∵ x>1, ∴ x=1+ 2y . ∴ f -1(x)=1+ 2x (x>2). x3, (x<0), ∴ f -1(x)= x, (0≤x≤2), 1+ , (x>2). 评析 (1) 按约定,求一个函数的反函数时,必须注明反函数的定义域. (2) 求一个分段函数的反函数,只需分段求出它的反函数,然后再合成. 2. 互为反函数的函数图像间的关系 在求一个函数的反函数时,按习惯字母 x 表示自变量,y 表示自变量的函数,因此在第二步时将字 母 x、y 互换,由此得反函数 y=f -1(x).如注意到在直角坐标平面中,若将 x 轴和 y 轴互换,可以看成是 整个坐标平面绕直线y=x翻转 180o 而得,从这个角度考虑,就不难理解函数y=f(x)和它的反函数y=f -1(x) 的图像关于直线 y=x 对称. 例4 求证:函数 f(x)= 42 74   x x 的图像关于直线 y=x 对称. 分析 证明一个函数的图像关于直线 y=x 对称,只要证明图像上任意一点 P 关于直线 y=x 的对称 点 P也在图像上,或证明函数 y=f(x)的反函数 f -1(x)即 f(x)本身. 证1 设 y=f(x)的图像上有一点 P(a,b),则 b=f(a)= 42 74   a a .P 点关于直线 y=x 的对称点为 P(b,a). ∵ 2ab-4b=4a-7, ∴ a= 42 74   b b , 即 a=f(b). 由此点 P(b,a)也在函数 y=f(x)的图像上,所以函数 y=f(x)的图像关于直线 y=x 对称. 证 2 由 f(x)= (x≠2), ∵ y=2+ 42 1 x , ∴ y≠2. 又 y-2= 42 1 x , 2x-4= 2 1 y ,x= 2 1 ( 2 1 y +4)= 42 74   y y , ∴ f -1(x)= (x≠2), f -1(x)=f(x). ∵ y=f(x)与 y=f -1(x)的图像关于直线 y=x 对称. ∴ y=f(x)的图像关于直线 y=x 对称. 例5 (1) 已知 f(x-2)=x2-4x+6 (x≤2),求 f -1(3); (2) 已知点(2,3)在函数 f(x)= bax  的图像上,又在其反函数的图像上,求 f(x)的解析式. 解 (1) ∵ f(x-2)=(x-2)2+2, x≤2. ∴ f(x)=x2+2 (x≤0). 设 f -1(3)=x,则 f(x)=3. x2+2=3, x2=1. ∵ x≤0, ∴ x=-1,即 f -1(3)=-1. 3= ba 2 , 2a+b=9, 2= ba 3 , 3a+b=4. ∴ a=-5,b=19, f(x)= x519 . 评析 (1) 本题(1)也可以先求出 f -1(x)=- 2x ,再计算 f -1(3)=- 23 =-1. (2) 本题(2)中(2,3)在 f -1(x)的图像上,即 f -1(2)=3,由此得出 f(3)=2. *3. 常见的几种图像变换 (1) 平移变换 ① y=f(x-a)的图像,当 a>0 时,可以由 y=f(x)的图像向右平移 a 个单位得到;当 a<0 时,可以 由 y=f(x)的图像向左平移|a|个单位得到. ② y=f(x)+b 的图像,当 b>0 时,可以由 y=f(x)的图像向上平移 b 个单位得到;当 b<0 时,可 以由 y=f(x)的图像向下平移|b|个单位得到. (2) 对称变换 ① y=-f(x)的图像与 y=f(x)的图像关于 x 轴对称; ② y=f(-x)的图像与 y=f(x)的图像关于 y 轴对称; ③ y=-f(-x)的图像与 y=f(x)的图像关于原点对称; ④ 若 f -1(x)存在,y=f -1(x)的图像与 y=f(x)的图像关于直线 y=x 对称; ⑤ 若对于定义域中的一切 x,有 f(a-x)=f(a+x),y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称; ⑥ y=|f(x)|的图像,是使 y=f(x)的图像在 x 轴上方部分及 x 轴上的点保持不变,将其在 x 轴下方 部分以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方; ⑦ y=f(|x|)的图像,是除去 y=f(x)的图像在 y 轴左边部分,使该图像在 y 轴右边部分和 y 轴上的 点保持不变,并根据偶函数的性质,再将 y=f(x)的图像在 y 轴右边部分以 y 轴为对称轴翻折到 y 轴左边. (2) 由已知,得 例6 已知 f(x)=x2-2x,画出下列函数的图像:(1) y=f(x+1); (2) y=f(x)+1; (3) y=f(- x); (4) y=-f(-x); (5) y=|f(x)|; (6) y=f(|x|). 分析 当然可以分别求出这些函数的解析式再画图像,这里运用图像变换画出它们的图像. 解 f(x)=(x-1)2-1,其图像是顶点在(1,-1),开口向上的一条抛物线. 图 12-2 练 习 一、选择题 1. 若 f(x)=x2+2x+4 的定义域是[0,+∞),则 f -1(x)的定义域是( ) A. [4,+∞) B. [3,+∞) C. [0,+∞) D. [-1,+∞) xO y 1 -1 (x)y f=f=y )x+1( )(1 y -1 O ( x1 y =f )x 1 1 )y f= x( +1(2) 1 y fy = 3( ) -1 O ( x1 y=f x) 1 ( )4 -1 O 1 y x x (=fy ) -1 (y -f= )-x 5( ) ) O -1 1 1 y x y f= x( x(= fy ) 1 fy = ( )6 -1 O 1 y x x (=fy ) ( x ) (-x) 2. 下列函数中,存在反函数的是( ) A. y= 1 1 2 x B.y=2- 12 x C. x2+1, (x≥0), D.y=5 x -3 2x+3,( x<0) 3. 函数 f(x)= 4 12 x +3 (x≥1)的反函数是( ) A.y= 2 1 (x-3)4+ 2 1 (x≥4) B.y= (x-3)4+ (x≥3) C.y= (x-3)2+1 (x≥4) D.y= (x-3)4+1 (x≥3) 4. 已知函数 y=f(x)存在反函数,则下列命题中假命题是( ) A. 函数 y=f(x)与 x=f -1(y)是同一个函数 B. 若 y=f(x)是奇函数,则 y=f -1(x)也是奇函数 C. y=f(x)与 x=f(y)的图像关于直线 y=x 对称 D. 若 y=f(x)在[0,+∞)上是增函数,则 y=f -1(x)在[0,+∞)上也是增函数 5. 已知函数 y=f(x)的反函数为 y=g(x),函数 y=(x)的图像与 y=g(x)的图像关于 原点对称,则 y=(x)的图像与 y=f(x)的图像( ) A. 关于直线 x-y=0 对称 B. 关于直线 x+y=0 对称 C. 关于 x 轴对称 D. 关于 y 轴对称 6. y= 1 12   x x 的图像可以由函数 y= x 1 的图像经过下面的变换得到( ) A. 沿 x 轴向右平移 1 个单位,再沿 y 轴向上平移 2 个单位 B. 沿 x 轴向右平移 1 个单位,再沿 y 轴向下平移 2 个单位 C. 沿 x 轴向左平移 1 个单位,再沿 y 轴向上平移 2 个单位 D. 沿 x 轴向左平移 1 个单位,再沿 y 轴向下平移 2 个单位 二、填空题 7. 若 y=x+a 与 y=bx-2 互为反函数,则 a= ,b= . 8. 若 y=g(x)的图像与函数 f(x)= x x 2 1 的图像关于直线 y=x 对称,则 g(x)= . 9. 函数 f(x)= 3 1x -2 (x≤0)的反函数是 . 10. 若点(-1,0)在函数 f(x)=(x+a)2+b(x≤-a)的图像上,又在它的反函数的图像 上,则 f(x)= . 三、解答题 11. 已知函数 y=f(x)的图像如图 12-3 所示. 求:(1) 函数 y=f(x)的解析式;(2) 函 数 y=f -1(x)的解析式;(3) y=f -1(x)的 定义域和值域. 图 12-3 12. 已知 f(x)= 1 12   x x (x≠-1),求:(1) f -1(1),f -1(3); (2) f[f -1(3)],f -1[f(3)]; (3) f [f -1(x)],f -1[f(x)]. 1 O 1 x y 2 2 y= 答 案 与 提 示 [答案] 一、 A D A D B A 二、 7. 2, 1 8. x21 1  9. f -1(x)=(x+2)3-1 (x≤-1) 10. x2-1 (x≤0) 三、11. 2 1 x, (-2≤x<0), 2x, (-1≤x<0), 2-2x, (0≤x≤1), 1- x,(0≤x≤2). (3) 定义域为[-1,2],值域为[-2,1]. 12. (1) f -1(1)=0, f -1(3)=-2; (2) f[f -1(3)]=3, f -1[f(3)]=3; (3) f[f -1(x)]=x (x≠2), f -1[f(x)]=x (x≠1). [提示] 一、 1. f(x)=(x+1)2+3≥4 (x≥0). 4. y=f -1(x)在[0,+∞)上不一定都有意义. 二、 9. f(x)= 3 1x -2≤-1 (x≤0). 10. 将(-1,0)和(0,-1)分别代入 y=(x+a)2+b. 三、11. (2) 可以作出 y=f -1(x)的图像再求 f -1(x),也可以分段求出 f -1(x)再合成. 12. (1) 1= 1 12   x x ,x=0,f -1(1)=0. 3= ,x=-2,f -1(3)=-2.或求出 f -1(x)= x x   2 1 再求值. (3) y=2- 1 1 x ≠2, x= y y   2 1 , f -1(x)= (x≠2). f[f -1(x)]= 1)( 1)(2 1 1     xf xf = 12 1 12 12     x x x x = )2()1( )2()1(2 xx xx   =x (x≠2). f -1[f(x)]= )(2 1)( xf xf   = 1 122 11 12     x x x x = )12()1(2 )1()12(   xx xx =x (x≠-1). (1) f(x)= (2) f -1(x)=
查看更多

相关文章

您可能关注的文档