数学理卷·2019届湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高二下学期期中考试（2018-04）

数学理卷·2019届湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高二下学期期中考试（2018-04）

‎2018年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”‎ 高二期中联考 数学试题（理科）‎ 命题学校：襄阳五中 命题人：曹标平 审题人：刘军、闫小东 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 点M(－8,6,1)关于x轴的对称点的坐标是(　　)‎ A．(－8，－6，－1) B．(8，－6，－1) C．(8，－6, 1) D．(－8，－6, 1)‎ ‎2. 命题“”的否定为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 下列说法中正确的是（　　）‎ A. 先把高二年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的学生中随机抽取1名学生，其编号为m，然后抽取编号为m+50，m+100，m+150，……的学生，这种抽样方法是分层抽样法. B. 线性回归直线不一定过样本中心. C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1. D. 若一组数据的平均数是5，则该组数据的方差也是5.‎ ‎4. 某学校的一个班共有100名学生，一次考试后数学成绩ξ(ξ∈N)服从正态分布N(100，102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为(　　)‎ A．20 B. 10 C. 14 D. 21‎ ‎5. 双曲线的顶点到渐近线的距离为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响. 部分统计数据如下表：‎ 使用智能手机 不使用智能手机 合计 学习成绩优秀 ‎4‎ ‎8‎ ‎12‎ 学习成绩不优秀 ‎16‎ ‎2‎ ‎18‎ 合计 ‎20‎ ‎10‎ ‎30‎ 附表：‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 经计算，则下列选项正确的是(　　)‎ A．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响 B．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响 C．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响 D．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响 ‎7. 下图是把二进制数11111(2)化成十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎8. 已知是所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9. 若的展开式中的系数为30，则等于(　　)‎ A. B．2 C．1 D．‎ ‎10. 若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数为“十全十美数”，如208,136都是“十全十美数”，则这样的“十全十美数”共有(　　)个 A. 32 B. 64 C. 54 D.96‎ ‎11. 如图，设椭圆的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限上的点，直线BO交椭圆E于点C，若直线BF平分线段AC于M，则椭圆的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 已知双曲线的离心率的e=2，其左、右焦点分别为，，若是该双曲线右支上一点，则的最大值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知，且，则_____.‎ ‎14. 抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在18次试验中成功次数的均值为_________.‎ ‎15. 已知圆锥曲线的离心率为，则的值为_____.‎ ‎16. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且 ‎，则△的面积为________. ‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，过点作抛物线准线的垂线，垂足为.‎ ‎（1）若线段的长为8，求直线的方程；‎ ‎（2）求证：、、三点共线.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥面ABCD，AD∥BC，∠BAD＝90°，‎ AC⊥BD，BC＝1，AD＝PA＝2，E，F分别为PB，AD的中点.‎ ‎ （1） 证明：AC⊥EF；‎ ‎（2）求直线EF与平面PCD所成角的正弦值．‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ ‎“中国人均读书本（包括络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家”，这个论断被各种媒体反复引用.出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：后得到如图所示的频率分布直方图.问： （1）估计在40名读书者中年龄分布在的人数； （2）求40名读书者年龄的平均数和中位数； （3）若从年龄在的读书者中任取2名，求这两名读书 者年龄在的人数X的分布列及数学期望．‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数与烧开一壶水所用时间的一组数据，且作了一定的数据处理(如下表)，得到了散点图(如下图).‎ ‎1.47‎ ‎20.6‎ ‎0.78‎ ‎2.35‎ ‎0.81‎ ‎−19.3‎ ‎16.2‎ 表中.‎ ‎（1）根据散点图判断，与哪一个更适宜作烧水时间关于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型?(不必说明理由)‎ ‎（2）根据判断结果和表中数据，建立关于的回归方程；‎ ‎（3）若单位时间内煤气输出量与旋转的弧度数成正比，那么，利用第（2）问求得的回归方程知为多少时，烧开一壶水最省煤气?‎ 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的 最小二乘法估计值分别为 ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知圆和定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，设动点的轨迹为． （1） 求动点的轨迹方程；‎ ‎（2） 设曲线与轴交于两点，点是曲线上异于的任意一点，记直线的斜率分别为，．证明：是定值；‎ ‎（3） 设点是曲线上另一个异于的点，且直线与的斜率满足，试探究：直线是否经过定点？如果是，求出该定点，如果不是，请说明理由．‎ ‎22. （本小题满分10分）‎ 已知，设命题成立,‎ 命题方程表示双曲线.‎ 如果“∨”为真，“∧”为假，求的取值范围. ‎ 高二下期中七校联考理科数学试题答案 一、选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ A A D A D A C C B C C B 二、填空题 ‎13. 4 14.10 15. 16. 8‎ 三、解答题 ‎17. 解： 由题知直线的斜率存在，抛物线C的焦点，‎ 设直线l的方程为，‎ ‎…………………………………………………………………………4分 ‎（1）‎ 直线的方程为或.…………………………………………………………8分 ‎（2），‎ ‎， 、、三点共线.………………………………………………………12分 ‎18. 解：(1)易知AB，AD，A P两两垂直．‎ 如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．‎ 设AB＝t，则相关各点的坐标为：A(0,0,0)，B(t,0,0)，C(t,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，‎ E(，0,1)，F(0,1,0)．从而＝(－，1，－1)，＝(t,1,0)，＝(－t,2,0)．‎ 因为AC⊥BD，所以·＝－t2＋2＋0＝0.解得t＝或t＝－(舍去)．………………… 3分 于是＝(－，1，－1)，＝(，1,0)．‎ 因为·＝－1＋1＋0＝0，所以⊥，即AC⊥EF. ………………………………………… 5分 ‎(2) 由(1)知，＝(，1，－2)，＝(0,2，－2)．‎ 设n＝(x，y，z)是平面PCD的一个法向量，则 令z＝，则n＝(1，，)．………………………………………………………… 10分 设直线EF与平面PCD所成角为θ，‎ 则sinθ＝|cos＜n，＞|＝.即直线EF与平面PCD所成角的正弦值为.……………… 12分 ‎19. 解：（1）由频率分布直方图知年龄在的频率为， 所以40 名读书者中年龄分布在的人数为．………………………………2‎ ‎（2）40 名读书者年龄的平均数为 ‎．…………………………4分 设中位数为x， ，解得.‎ 即 40名读书者年龄的中位数为55．………………………………………………………………6分 （3）年龄在的读书者有2人，年龄在的读书者有4人，‎ 所以X的所有可能取值是0， 1，2.  ，，． X 的分布列如下：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎ ……………………………………………10分 数学期望．…………………………………………12分 ‎20. 解：（1）更适宜作烧水时间关于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型.‎ ‎……………………………2分 ‎（2）由公式可得：‎ ‎，‎ 所以所求回归方程为.………………………………………………………………7分 ‎（3）设，则煤气用量，‎ 当且仅当时取“=”，即时，煤气用量最小.………………………………12分 ‎21. 解：（1）依题意可知圆的标准方程为，‎ 因为线段的垂直平分线交 于点，所以，‎ 动点始终满足，故动点满足椭圆的定义,‎ 因此，解得， 椭圆的方程为.……………………………………………………………………3分 ‎ ‎（2）），设，则 ‎…………………………………………………………6分 （3），由（2）中的结论可知，‎ 所以 ，即，………………………………………………………………7分 当斜率存在时，设的方程为，‎ ‎，可得，‎ 则（），‎ ‎， 将（）式代入可得，即，‎ 亦即……………………………………………………………………9分 当时，，此时直线恒过定点（舍）；‎ 当时，，此时直线恒过定点；……………10分 当斜率不存在时，设，‎ 则，，也过点.…………11分 综上所述，直线恒过定点.……………………………………………………12分 ‎22．解：若p为真：对∀x∈[－1,1]，4m2－8m≤x2－2x－2恒成立，‎ 设f(x)＝x2－2x－2，配方得f(x)＝(x－1)2－3，‎ ‎∴f(x)在[－1,1]上的最小值为－3，‎ ‎∴4m2－8m≤－3，解得≤m≤， ‎ ‎∴p为真时：≤m≤；………………………………………………………………………………2分 若q为真, 则…………………………………………………4分 ‎∵“p∨q”为真，“p∧q”为假，∴p与q一真一假，…………………………………………5分 当p真q假时，……………………………………………………7分 当p假q真时，…………………………………………………9分 综上所述，m的取值范围是………………………………………………………10分