2017-2018学年江西省南康中学高二下学期第三次月考数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年江西省南康中学高二下学期第三次月考数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年江西省南康中学高二下学期第三次月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．设全集U是实数集R，M＝{x|x2＞4}，N＝{x|1＜x＜3}，则图中阴影部分表示的集合是 A、{x|－2≤x＜1} B、{x|1＜x≤2}‎ C、{x|－2≤x≤2} D、{x|x＜2}‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：图中阴影部分表示的是，，，‎ ‎，所以 ‎【考点】1．韦恩图表示集合；2．集合的运算．‎ ‎2．若i为虚数单位，已知(a，b∈R)，则点(a，b)与圆x2＋y2＝2的关系为（ ）‎ A． 在圆外 B． 在圆上 C． 在圆内 D． 不能确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意分子、分母同乘以，再进行化简并且整理出实部和虚部，求出和，再求出，故判断出点在圆外．‎ ‎【详解】‎ 由题意知，‎ ‎∵，∴点在圆外． 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两个复数代数形式的乘除法，以及虚数单位的幂运算性质，还涉及了点与圆的位置关系的判断，两个复数相除时，一般分子和分母同时除以分母的共轭复数，再进行化简．‎ ‎3．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为k:5:3，现用分层抽样方法抽出一个容量为120的样本，已知A种型号产品共抽取了24件，则C种型号产品抽取的件数为（ ）‎ A． 24 B． 30 C． 36 D． 40‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：因,故,应选C.‎ ‎【考点】抽样方法及计算．‎ ‎4．一次考试中，某班学生的数学成绩近似服从正态分布，则该班数学成绩的及格率可估计为（成绩达到分为及格）（参考数据：）（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先求出，再求出，最后根据正态分布求出该班数学成绩的及格率.‎ 详解：由题得 ‎∵‎ ‎∴.‎ ‎∴‎ ‎∵,‎ ‎∴该班数学成绩的及格率可估计为0.34+0.5=0.84.‎ 故选D.‎ 点睛：本题主要考查正态分布及其计算，对于这些计算，千万不要死记硬背，要结合正态分布的图像理解掌握，就能融会贯通.‎ ‎5．若成等差数列，成等比数列，且，则m 的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得，联立可求代入已知不等式即可求解的范围 ‎【详解】‎ ‎∵成等差数列， ，即 ① ∵成等比数列， ② 由①②得．‎ ‎，即m 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列及等比数列的性质及对数不等式的求解，属于知识的简单应用．‎ ‎6．已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,其正视图与俯视图如图所示,则其侧视图的面积为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：：∵边长为1的正三角形的高为∴侧视图的底边长为，又侧视图的高等于正视图的高， 故所求的面积为： ‎ ‎【考点】三视图 ‎7．将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将函数的图象向左平移个单位使其等于，然后根据二倍角公式和两角和与差的正弦公式化简整理可求得到 的关系式，再由平移的知识得到的解析式，最后根据微积分的知识得到函数的解析式．‎ ‎【详解】‎ 函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，又因为 ‎ ‎ ，。‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的平移、二倍角公式、两角和与差的正弦公式和微积分的有关知识．考查综合运用能力．‎ ‎8．把不超过实数的最大整数记为，则函数称作取整函数，又叫高斯函数，在 上任取，则的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把的范围分类，结合定义求出满足]的的范围，由测度比为长度比得答案．‎ ‎【详解】‎ 当时， 则 满足； 当时， 则 ，满足； 当时， 则 不满足； 当时， 则 ，不满足． 综上，满足的，则的概率为 ‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查几何概型概率的求法，考查运用求解能力，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．‎ ‎9．已知点是双曲线的左、右焦点，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若的面积为4，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得以为直径的圆的方程为，再由 ，求出点的纵坐标，再根据三角形的面积公式即可求出 的值，再根据渐近线的定义即可求出．‎ ‎【详解】‎ 点是双曲线的左、右焦点， ， 则以为直径的圆的方程为，由，解得 的面积为4， ∴ ‎ 解得 ， ∴双曲线C的渐近线方程.‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的简单性质和渐近线方程，考查了转化能力和运算能力，属于中档题 ‎10．在中，，，边的四等分点分别为， 靠近，执行下图算法后结果为（ ）‎ A． 6 B． 7 C． 8 D． 9‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图进行运行，得到不满足条件的取值，即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ ‎∵中，，，， ‎ 则由余弦定理可得 ‎ 则 ， ∴三次运行的结果是 ‎ ‎ ‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查程序框图的应用和识别，根据向量积的定义和运算性质，以及余弦定理是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．‎ ‎11．任取集合中三个不同数且满足则选取这样的三个数的方法种数共有（ ）‎ A． 27 B． 30 C． 35 D． 48‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为当的值确定后，的值就比较好找，所以可按之差分类讨论，每类里面先确定的值，再确定的值，把各类方法数确定后，再相加，就是总的方法数．‎ ‎【详解】‎ 第一类，的值有5种情况则只有1种情况，共有种情况， 第二类， 的值有4种情况则有2种情况，共有种情况， 第三类，的值有3种情况则有3种情况，共有种情况， 第四类，的值有2种情况则有4种情况，共有种情况， 第五类，的值有1种情况则有5种情况，共有种情况， 则选取这样的三个数方法种数共有， ‎ 故选C.．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分类计数原理在求完成一件事情的方法数时的应用，注意分类要不重不漏，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．‎ ‎12．已知函数，若的图像与轴有个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数的零点问题转化为与的图象的交点问题，借助于函数图象来处理．‎ ‎【详解】‎ 由于函数的图像与轴有个不同的交点，则方程有三个根， 故函数与的图象有三个交点． 由于函数，则其图象如图所示， 从图象可知，当直线位于图中两虚线之间时两函数有三个交点， 因为点能取到，则4个选项中区间的右端点能取到，排除BC， ‎ ‎∴只能从中选，故只要看看选项区间的右端点是选还是选， 设图中切点的坐标为，则斜率， 又满足：，解得， ∴斜率， 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，画出函数f（x）的图象是解题的关键，这里运用了数形结合的思想．‎ 二、填空题 ‎13．若，则=__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据组合数的性质解答即可.‎ ‎【详解】‎ 或，解得 或.‎ 故答案为4,或6‎ ‎【点睛】‎ 本题考查组合数的性质，属基础题 ‎14．若展开式中的常数项为，则____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于0，求得的值，即可求得常数项的值，再根据常数项为-160，求得的值．‎ ‎【详解】‎ 二项式 展开式中的通项公式为 ， 令，可得，故常数项为-，‎ 解得 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题.‎ ‎15．随机地向区域内投点，点落在区域的每个位置是等可能的，则坐标原点与该点连线的倾斜角小于的概率为_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出区域的面积，及倾斜角小于的区域的面积，利用几何概型计算公式进行解答．‎ ‎【详解】‎ 作出平面区域，如图在第一象限（包括轴）， 作出直线与在第一象限的部分，如右图， 可行域的面积为 ‎ 由 ，可得阴影部分的面积为 ， 即有所求概率为 ． 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查几何概率的求法，注意运用定积分计算面积，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎16．如图，等腰梯形中，且，，（）．以 为焦点，且过点的双曲线的离心率为；以为焦点，且过点的椭圆的离心率为，则的取值范围为_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据余弦定理表示出，进而根据双曲线的性质可得到的值，再由可表示出，同样表示出椭圆中的和表示出的关系式，然后利用换元法求出的取值范围即可．‎ ‎【详解】‎ 在等腰梯形中，‎ ‎ = ， 由双曲线的定义可得 ； 由椭圆的定义可得 ‎ 则 ， 令 则在 上递减， 则e ， 则有的取值范围为． 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的简单性质、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．已知函数.‎ ‎ (1)当时，求函数的最小值和最大值 ‎ (2)设△ABC的对边分别为，且，,若，求的值.‎ ‎【答案】（1）最小值为，最大值为0；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由的范围求出的范围，利用正弦函数的值域即可确定出的最小值和最大值； （2）由，以及（1）确定的函数解析式，求出的度数，利用正弦定理化简，得到，再利用余弦定理列出关系式，将，，以及的值代入求出的值即可．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)‎ 由， ‎ 的最小值为 ‎(2)由即得，而又，‎ 则， ，则由 解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．‎ ‎18．甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中的环数都稳定在7，8，9，10环，且每次射击成绩互不影响．射击环数的频率分布条形图如下：‎ 若将频率视为概率，回答下列问题：‎ ‎(1)求甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上(含9环)的概率；‎ ‎(2)若甲、乙两运动员各自射击1次，表示这2次射击中击中9环以上(含9环)的次数，求的分布列及期望．‎ ‎【答案】（1）0.992；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（（1）设甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上（含9环）为事件，结合次独立重复试验中恰好发生次的概率公式即可求甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上（含9环）的概率． （2）根据题意，表示这2次射击中击中9环以上（含9环）的次数的取值是0、1、2，根据互斥事件和相互独立事件同时发生的概率做出结果分布列和期望．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设事件表示“甲运动员射击一次，恰好命中环以上（含环，下同）”，‎ 则.‎ 甲运动员射击次，均未击中环以上的概率为 ‎.‎ 所以甲运动员射击次，至少次击中环以上的概率 ‎. ‎ ‎ （2）记事件表示“乙运动员射击一次，击中环以上”，‎ 则.‎ 因为表示2次射击击中9环以上的次数，所以的可能取值是0,1,2.‎ 因为 ‎ 所以的分布列是 ‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0．05‎ ‎0．35‎ ‎0．6‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．‎ ‎19．等边三角形的边长为3,点、分别是边、上的点,且满足(如图1).将沿折起到的位置,使二面角为直二面角,连结、 (如图2).‎ ‎（1）求证:平面;‎ ‎（2）在线段上是否存在点,使直线与平面所成的角为?若存在,求出线段的长; 若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）等边中，根据,得到,.，由余弦定理算出，从而得到，所以．结合题意得平面平面，利用面面垂直的性质定理，可证出平面;； （2）以为坐标原点,以射线、、分别为轴、轴、轴的正半轴,建立空间直角坐标系如图．根据直线与平面所成的角为，利用空间向量可得在线段上存在点使直线与平面所成的角为,此时 .‎ ‎【详解】‎ 证明:(1)因为等边△的边长为3,且, ‎ 所以,. 在△中,, ‎ 由余弦定理得. 因为, ‎ 所以. ‎ ‎ ‎ 折叠后有,因为二面角是直二面角,‎ 所以平面平面 ,又平面平面,‎ 平面,, 所以平面.‎ ‎(2)由(1)的证明,可知,平面. ‎ 以为坐标原点,以射线、、分别为轴、轴、轴的正半轴,建立空间直角坐标系如图 ,设, 则,, ‎ 所以,,,所以 ,‎ 因为平面, 所以平面的一个法向量为 , ‎ 因为直线与平面所成的角为, 所以, 解得 ,即,满足,符合题意,所以在线段上存在点 使直线与平面所成的角为,此时 .‎ ‎【点睛】‎ 本题给出平面翻折问题，求证直线与平面垂直并探索了直线与平面所成角的问题，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和利用空间向量求直线与平面所成角等知识，属于中档题．‎ ‎20．已知椭圆的离心率为，椭圆过点 ‎⑴求椭圆的标准方程；‎ ‎⑵过点作圆的切线交椭圆于两点，记(为坐标原点)的面积为，将表示的函数，并求的最大值 ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知条件设椭圆的方程为，再由椭圆过点，能求出椭圆C的标准方程． （2）由题意知．设设切线的方程为 由，得，利用韦达定理结合题设条件能求出的最大值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）椭圆C的离心率为，则，设椭圆C的方程为 ‎∵椭圆C过点，∴，∴，‎ ‎∴椭圆C的标准方程为 ‎ ‎（2）由题意知，.‎ 易知切线的斜率存在,设切线的方程为 由得 设A、B两点的坐标分别为，则 ‎ ‎ 又由l与圆相切,所以 ‎ 所以 ‎ ‎,‎ ‎(当且仅当时取等号)‎ 所以当时，的最大值为1.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆标准方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理、均值不等式的合理运用．‎ ‎21．设函数，，其中．‎ ‎（1）若函数图象恒过定点,且点在的图象上,求的值；‎ ‎（2）当时,设,讨论的单调性；‎ ‎（3）在(1)的条件下,设,曲线上是否存在两点、 ,使 (为原点)是以为直角顶点的直角三角形,且该三角形斜边的中 点在轴上?如果存在,求的取值范围;如果不存在,说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（ 1 ）点与的取值无关，令即可求点，代入，可得值； （2）时，求出 ，在定义域内按 两种情况讨论解不等式即可； （3）由（1）知，先曲线上存在两点、满足题意,则、两点只能在轴两侧 ，由此可设,则 ，由题意知，即．分 时两种情况进行讨论，此时可知表达式，分离出参数 后构造函数，转化为求函数值域可以解决；‎ ‎【详解】‎ ‎(1)令,则,即函数的图象恒过定点, ‎ 则，∴ ．‎ ‎(2),定义域为, ‎ ‎ == ‎ ‎,则 ‎ 当时, 此时在上单调递增, ‎ 当时,由得 ,由得, ‎ 此时在上为增函数, 在为减函数, ‎ 综上当时,在上为增函数； ‎ 时,在上为增函数,在为减函数． ‎ ‎(3)由条件(1)知 ‎ 假设曲线上存在两点、满足题意,则、两点只能在轴两侧 ‎ 设,则 ‎ 因为是以为直角顶点的直角三角形, ‎ 所以， ① ‎ 当时,，‎ 此时方程①为,化简得． ‎ 此方程无解,满足条件的、两点不存在 ‎ 当时,,方程①为,即 ‎ 设,则 ‎ 显然当时，即在上为增函数, ‎ 所以的值域为,即,所以，即．‎ 综上所述,如果存在满意条件的、,则的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的极值及单调性，解题时若含有参数，要对参数的取值进行讨论，而分类讨论的思想也是高考的一个重要思想，要注意体会其在解题中的运用．‎