湖南省邵阳市第六中学2020届高三综合质量检测数学（理）试卷
湖南省邵阳市第六中学2020届
高三第二次综合质量检测数学（理）试卷
本试卷共23题，满分150分，共5页．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．的展开式中的系数为
A． B． C． D．
3．已知向量,，则的面积为
A．5 B．10 C．25 D．50
4．平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则
A． B． C． D．
5．音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”
经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；……．依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得
A．“宫、商、角”的频率成等比数列 B．“宫、徵、商”的频率成等比数列
C．“商、羽、角”的频率成等比数列 D．“徵、商、羽”的频率成等比数列
6．函数的图象不可能是
A． B． C． D．
7．已知，，，则
A． B． C． D．
8．如图，网格纸上小正方形的边长为１，粗实线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图是等边三角形，则该几何体的外接球的表面积为
A． B．
C． D．
9．每年的台风都对泉州地区的渔业造成较大的经济损失．某保险公司为此开发了针对渔船的险种，并将投保的渔船分为I，II两类，两类渔船的比例如图所示．经统计，2019年I，II两类渔船的台风遭损率分别为和．
2020年初，在修复遭损船只的基础上，对I类渔船中的进一步改造．保险公司预估这些经过改造的渔船2020年的台风遭损率将降为，而其他渔船的台风遭损率不变．假设投保的渔船不变，则下列叙述中正确的是
A．2019年投保的渔船的台风遭损率为
B．2019年所有因台风遭损的投保的渔船中，I类渔船所占的比例不超过
C．预估2020年I类渔船的台风遭损率会小于II类渔船的台风遭损率的两倍
D．预估2020年经过进一步改造的渔船因台风遭损的数量少于II类渔船因台风遭损的数量
10．已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为．点在的渐近线上，，，则的离心率为
A． B． C． D．
11．若，函数（）的值域为，则的取值范围是
A． B． C． D．
12．以为顶点的多面体中，，，，，，则该多面体的体积的最大值为
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置．
13．在复平面中，复数对应的点分别为．设的共轭复数为，则_______．
14．已知点，，过的直线与抛物线相交于两点．若为中点，则_______．
15．中，角所对的边分别为，，．若点在边上，且，则的最大值是_______．
16．若存在过点的直线与函数，的图象都相切，则_______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
记为数列的前项和，且，．
（1）求；
（2）若，数列的前项和为，证明：．
18．（12分）
如图，四棱锥的底面为菱形，，．平面平面，，，分别是，的中点．
（1）求证：//平面；
（2）若直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值．
19．（12分）
已知圆，直线与圆相切于点，直线垂直轴于点，且．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）直线与相交于两点，若的面积是的面积的两倍，求直线的方程．
20．（12分）
“业务技能测试”是量化考核员工绩效等级的一项重要参考依据．某公司为量化考核员工绩效等级设计了A,B两套测试方案，现各抽取名员工参加A,B两套测试方案的预测试，统计成绩（满分分），得到如下频率分布表．
成绩频率
方案A
方案B
（1）从预测试成绩在的员工中随机抽取人，记参加方案A的人数为，求的最有可能的取值；
（2）由于方案A的预测试成绩更接近正态分布，该公司选择方案A进行业务技能测试．测试后，公司统计了若干部门测试的平均成绩与绩效等级优秀率，如下表所示：
根据数据绘制散点图，初步判断，选用作为回归方程．令，经计算得，，．
（ⅰ）若某部门测试的平均成绩为，则其绩效等级优秀率的预报值为多少？
（ⅱ）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，求某个部门绩效等级优秀率不低于的概率为多少？
参考公式与数据：（1），，．
（2）线性回归方程中，，．
（3）若随机变量，则，，．
21．（12分）
已知函数．
（1）若在单调递增，求的值；
（2）当时，设函数的最小值为，求函数的值域．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．［选修4—4：坐标系与参数方程］（10分）
直角坐标系中，圆（为参数）上的每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到曲线．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）设与两坐标轴分别相交于两点，点在上,求的面积的最大值．
23．［选修4—5：不等式选讲］（10分）
已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当时，证明：．
高中毕业班第二次质量检查
理科数学试题答案及评分参考
评分说明：
1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制定相应的评分细则．
2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可 视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解 答有较严重的错误，就不再给分．
3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4. 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、单项选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．A 2．D 3．A 4．D 5．A 6．C
7．B 8．B 9．D 10．B 11．D 12．C
2
1．【解析】解法一：集合 A = {x -x + 1≥0} = (-¥,1] ， B = {x 2x2 - x -1≤0}= [- 1 ,1] ，
则 A U B = (-¥,1] ．故选 A．
解法二：如图，分别作出函数 y = -x + 1， y = 2x2 - x -1 的图象， 由图可知， A U B =
(-¥,1] ．故选 A．
7 7 7 7
2．【解析】将(x - 2)7 展开，得C 0 x7 (-2)0 + C1 x6 (-2)1 + C 2 x5 (-2)2 + × × × + C 7 x0 (-2)7 ，
5
7 7
则原展开式中含 x6 的项为(-1) × C1 x6 (-2)1 + x × C 2 x5 (-2)2 ，整理可知其系数为98 ．故选 B．
5
3. 【解析】因为 AB =
5，AC = 2
，又因为 AB × AC = 0 ，所以ÐBAC = 90o ，
所以 S
DABC
= 1 ´
2
5 ´ 2
= 5 ．故选 A．
3. 【解析】由题意，角a 的终边过点 M (-3,4) ，求得 OM =
（- 3）2 + 42
由三角函数的定义得cos a = - 3 ， sin a = 4 ，
= 5 ，
5 5
所以sin(p - 2a) = sin 2a = 2 sin a cos a = 2 ´ 4 ´ (- 3) = - 24 ．故选 D．
5 5 25
3
3. 【解析】设“宫”的频率为 a ，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率是 a ；“徵”经过一次“益”，可得“商”
2
的频率是 9 a ，“商”经过一次“损”，可得“羽”的频率是 27 a ；最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频
率是 81 a
64
8
，由于 a, 9
8
a, 81
64
16
a 成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列．故选 A．
3. 【解析】因为 A、B 选项中，图像关于原点对称，所以 f ( x ) 为奇函数， f ( x ) + f (-x ) = 0 ，
x2 +1
即ln（
-
kx）+ ln（
x2 +1 + kx）= 0 ， ln（x2 +1 - k 2 x2）= ln 1， (1- k 2 ) x2 =0 ，
所以 k = ±1 ．当 k = 1 ， f ( x ) 的图像为选项 A；当 k = -1 ， f ( x ) 的图像为选项 B． 而 C、D 选项中，图像关于 y 轴对称，所以 f ( x ) 为偶函数， f ( x ) = f (-x ) ，
x2 +1
即ln（
-
kx）=ln（
x2 +1 + kx）， kx=0 ，所以 k = 0 ．
当 k = 0 ， f ( x ) ³ 0 ，故 f ( x ) 的图像为选项 D，故 f ( x ) 的图像不可能为 C．故选 C．
7．【解析】因为 π < 2 < 3π ，所以 2 < sin 2 < 1 ，故0 < a < 1， b > 1， 0 < c < 1．
2 4 2
æ 2 ö2 1 2 1
又 a = (sin 2)2 > ç ÷ = ， c = log (sin 2) < log ( ) = ，所以b > a > c ．故选 B．
1 1
è 2 ø 2
2 2 2 2
8. 【解析】解法一：由三视图可得该几何体为四棱锥 B - ACDE ，平面 ABC ^ 平面 ACDE ．
设等边DABC 的外接圆圆心为O1 ，正方形 ACDE 的外接圆圆心为O2 ，过O1 作直线l1 垂直平面
ABC ，过O2 作直线l2 垂直平面 ACDE ，设l1 I l2 = O ，则O 为该几何体外接球的球心．
取 AC 中点 M ，易得四边形OO1MO2 为矩形， OO1 = O2 M = 1 ，
r = O B = 2 ´
3 ´ 2 = 2
，设所求外接球的半径为 R ，在 RtDOO B
3
1 2 3 3 1
中， R2 = r 2 + OO2 = 7 ， S = 4pR2 = 28p ．故选 B．
1 3 3
解法二：由三视图可得该几何体为四棱锥 B - ACDE ，平面 ABC ^ 平面
ACDE ，该几何体可补形为棱长均为 2 的正三棱柱 ABC - EPD ，设等边
DABC 的外接圆圆心为O1 ，几何体外接球球心为O ，易得OO1 = 1 ，同解法一，可求得
S = 4pR2 = 28p ．故选 B．
3
8. 【解析】设全体投保的渔船为t 艘．
2019 年投保的渔船的台风遭损率为60% ×15%+40% × 5%=11% ，故 A 错；
60% ×15%
2019 年所有因台风遭损的投保的渔船中，I 类渔船所占的比例为
= 9 > 8 ， 故
B 错；
60% ×15%+40% ×5% 11 10
预估 2020 年 I 类渔船的台风遭损率 20% × 3%+80% ×15%=12.6%>2（×
5%），故 C 错；
预估 2020 年经过进一步改造的渔船因台风遭损的数量t × 60% × 20% × 3% 少于 II 类渔船因台风遭损的数量t × 40% × 5% ．故选 D．
8. 【解析】不妨设 P 是渐近线在第一象限上的点，
因为 PF × PF
= 0 ，所以ÐF PF
= 90o ,
PO = OF2
= c ．
1 2 1 2
又 P 在渐近线 y = b x 上，所以可得 P 点的坐标是(a, b)，所以 PN ^ F F
a 1 2
在直角三角形 PNM 中， ÐMPN = p，
3
所以 MN =
3 PN
，即 2a =
3b, b = 2 ．
a 3
b2
1+
a2
所以e =
= = =
21
．故选 B．
3
1+ 4
3
7
3
11．【解析】因为 f (x) = 5sin (wx +j) （其中sinj= 4，cosj= 3 ， 0
0 ， 0≤x≤ p ，所以j≤t≤ πw+j．
3 3
因为 g(j) = 4 ，且0 = = = = ,
3 + 25 ´
7 ´ 31 31
4
直线 DE 与平面 PBC 所成角的正弦值为 2
4
93
................................................................................. 12 分
31
解法二：（1）取 AD 中点 N ，连接 NE, NF ， 1 分
Q N, F 分别是 AD, PD 的中点， NF // PA ，
又 NF Ë 平面 PAB ， PA Ì 平面 PAB ， NF //平面 PAB ． 2 分
Q N , E 分别是 AD, BC 的中点， AN // BE 且 AN = BE ，
四边形 ABEN 是平行四边形， NE // AB ，
又 NE Ë 平面 PAB ， AB Ì 平面 PAB ， NE //平面 PAB ； 3 分
Q NE I NF = N, NE Ì 平面 NEF ， NF Ì 平面 NEF ，
平面 NEF // 平面 PAB ， 4 分
又Q EF Ì 平面 NEF ， EF // 平面 PAB ． 5 分
（2）取CD 中点O ，连接 PO ， BO ，
Q PC = PD ， PO ^ CD ,
Q平面 PCD ^ 平面 ABCD ，平面 PCD I 平面 ABCD = CD , PO Ì 平面 PCD ,
PO ^ 平面 ABCD 6 分
则ÐPBO 为 PB 与平面 ABCD 所成的角，即ÐPBO = 45° .
在DBCO 中， BC = 2, CO = 1, ÐBCO = 120° ，
7
.
BO2 = 22 +12 - 2´1´ 2´cos120° = 7 ， BO =
RtDPOB 中，
7
PO = tan 45° = 1， PO =
BO
...............................................................................................................7 分
连接 AC, BD ，设 AC I BD = G ，分别以GB ， GC ， OP 所在方向为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系G - xyz ，
则 B(
3,0,0) ， C(0,1,0) ， D(-
3,0,0) ，
P(-
3
, 1 , 7 )
2 2
， E(
2
, 1 ,0),
3
2
CB = (
3 ,-1,0) ， CP = (-
,- 1 ,
3
2 2
7 ), DE = (
2
, 1 ,0) 8 分
3 3
2
设平面 PBC 的一个法向量 n = (x, y, z) ，
ì
uuur r
ïCB × n = 0,
ì 3x - y = 0,
ï
由íuuur r 得í-
3 x - 1 y +
7 z = 0,
ïîCP × n = 0,
îï 2 2
令 x =
7
， n = ( 7 ,
21,
3) ， 10 分
设 DE 与平面 PBC 所成角为a，
2 21
DE × n
DE ´ n
7 + 21+ 3
2 93
3 21 + 21 + 0
2 2
sina= cos < DE, n > = = = = ，
27 + 1 ´
7 ´ 31 31
4
直线 DE 与平面 PBC 所成角的正弦值为 2
4
93
.............................................................................12 分
31
14. 本小题主要考查椭圆标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能 力，推理论证能力；考查数形结合思想，函数与方程思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等 核心素养；体现基础性，综合性与创新性．满分 12 分．
解法一：（1）设 P ( x, y ) ，则 PA 2 =
PO 2 - 3 = x2 + y2 - 3 ， 2 分
PB 2 = x2 ， 3 分
由 PB
= 2 PA 得， PB 2 = 4 PA 2 ，所以 x2 = 4(x2 + y2 - 3)， 4 分
2
化简得 x
2 2
y
x
+ = 1． 故点 P 的轨迹 E 的方程为
2
y
+ = 1（ x ¹ 0 ）．
4 3 4 3
（2）当直线 PA 的斜率不存在时，不满足题意． 5 分
3
设直线 PA : y = kx + m ， P ( x1 , y1 ),Q (x2 , y2 ) ．
m
k 2 +1
由直线 PA 与圆O 相切，可得
ì x2 + y2 =
= ， m2 = 3(k 2 +1)． 6 分
ï
由í 4 3
1, 得(3 + 4k 2 ) x2 + 8kmx + (4m2 -12 )= 0 ， 7 分
ïî y = kx + m,
ìx + x =
-8km ,
ï
所以í
1 2 3 + 4k 2
4m2 -12
........................................................................................................................8 分
ï x x = .
îï 1 2
由 S = 2S
3 + 4k 2
2
è ø
得， 1 ´ 3 ´ PA = 2 æ 1 ´ 3 ´ QA ö ， PA = 2 QA ， x = 2 x ．
△POA
△QOA 2 ç ÷ 1 2
4m2 -12 12k 2
x = 2x
因为 x1x2 =
3 + 4k 2
= 3 + 4k 2 > 0 ，所以 1 2 ． 10 分
æ -8km ö2
( x + x )2
ç 3 + 4k 2 ÷
16k 2m2
16 (k 2 +1)
因为 1 2 = è ø =
2 2 = ，
x1x2
4m2 -12
3 + 4k 2
(3 + 4k
)(m
- 3)
3 + 4k 2
( x + x )2
(2x + x )2 9
1 2 =
x x
2 2 = ，
2x 2 2
1 2 2
( )
16 k 2 +1
所以
= 9 ， k = ± ， m = ± ．
5
3 3
3 + 4k 2 2 2 2
故直线 PA 的方程为 y = ±
5 x + 3 3 或 y = ±
2 2
5 x - 3 3 ． 12 分
2 2
解法二：（1）同解法一． 4 分
（2）当直线 PA 的斜率不存在时，不满足题意． 5 分
3
设直线 PA : y = kx + m ， P ( x1 , y1 ),Q (x2 , y2 ) ．
m
k 2 +1
由直线 PA 与圆O 相切，可得
= ， m2 = 3(k 2 +1)． 6 分
ï
ì x2 + y2 =
由í 4 3
1, 得(3 + 4k 2 ) x2 + 8kmx + (4m2 -12 )= 0 ， 7 分
ïî y = kx + m,
ìx + x =
-8km ,
ï
所以í
1 2 3 + 4k 2
4m2 -12
....................................................................................................................8 分
ï x x = .
îï 1 2
由 S = 2S
3 + 4k 2
2
得， 1 ´
3 ´ PA = 2 æ 1 ´
3 ´ QA ö ， PA = 2 QA ，
△POA
又 PA =
△QOA
ç ÷
2
è ø
OP 2 - 3
OQ 2 - 3
， QA = ，
1 1 2 2
所以 4 OQ 2 - OP 2 = 9 ， 4 ( x2 + y2 ) - (x2 + y2 ) = 9 ，
4 ( x2 + y2 ) - (x2 + y2 ) = 9 ， x
= 2 x ．
1 1 2 2 1
4m2 -12 12k 2
2
x = 2x
因为 x1x2 =
3 + 4k 2
= 3 + 4k 2 > 0 ，所以 1 2 ． 10 分
æ -8km ö2
( x + x )2
ç 3 + 4k 2 ÷
16k 2m2
16 (k 2 +1)
因为 1 2 = è ø =
2 2 = ，
x1x2
4m2 -12
3 + 4k 2
(3 + 4k
)(m
- 3)
3 + 4k 2
( x + x )2
(2x + x )2 9
1 2 =
x x
2 2 = ，
2x 2 2
1 2 2
( )
16 k 2 +1
所以
= 9 ， k = ± ， m = ± ．
5
3 3
3 + 4k 2 2 2 2
故直线 PA 的方程为 y = ±
5 x + 3 3 或 y = ±
2 2
5 x - 3 3 ． 12 分
2 2
解法三：（1）同解法一． 4 分
（2）当直线 PA 的斜率不存在时，不满足题意． 5 分
设直线 PA : y = kx + m ， A( x0 , y0 ) ， P ( x1 , y1 ),Q (x2 , y2 ) ．
ìx2 + y2 = 3,
î
由í y = kx + m,
得(1+ k 2 ) x2 + 2kmx + (m2 - 3 ) = 0 ，
由△ = 0 得， (2km)2 - 4 (1 + k 2 )(m2 - 3 ) = 0 ， m2 = 3(k 2 +1)……①． 6 分
且 x0
= -km 。
1+ k 2
ï
ì x2 + y2 =
由í 4 3
1, 得(3 + 4k 2 ) x2 + 8kmx + (4m2 -12 )= 0 ， 7 分
ïî y = kx + m,
ìx + x =
-8km ,
ï
所以í
1 2 3 + 4k 2
4m2 -12
……② 8 分
ï x x = .
îï 1 2
由 S = 2S
3 + 4k 2
2
è ø
得， 1 ´ 3 ´ PA = 2 æ 1 ´ 3 ´ QA ö ， PA = 2 QA ，
△POA
△QOA 2 ç ÷
所以 x1 - x0 = 2 (x0 - x2 ) ，
x + 2x
= 3x
， x + 2x
-24km
= ……③。 10 分
1 2 0
1 2 1+ k 2
由①②③，解得 k = ±
5 ， m = ± 3 3 ．
2
故直线 PA 的方程为 y = ±
2
5 x + 3 3 或 y = ±
2 2
5 x - 3 3 ． 12 分
2 2
14. 本小题主要考查超几何分布、不等式、回归分析、正态分布等基础知识；考查抽象概括能力、数据处 理能力、运算求解能力、推理论证能力、创新意识；考查统计与概率思想、化归与转化思想；考查数 学运算素养、数学建模素养、数据分析素养，体现基础性、综合性、创新性与应用性．
解法一：（1）预测试成绩在[25, 35) U[85, 95] 的员工中，接受方案 A 测试的有100 ´(0.02 + 0.03) = 5 人； 接受方案 B 测试的有100 ´(0.16 + 0.04) = 20 人． 1 分
依题意，随机变量 X 服从超几何分布，记这6 人中接受方案 A 预测试的人数为k ，
Ck ×C 6-k
C
则 P( X = k ) = 5 20 ，其中 k Î{0,1, 2, 3, 4, 5} ． 3 分
25
C1 ×C5 > C 2 ×C 4 > C 0 ×C 6 > C3 ×C3 > C 4 ×C 2 > C5 ×C1 ，
5 20 5 20 5 20 5 20 5 20 5 20
得 P(x = k )max = P(x = 1) ，即 X = 1 的可能性最大，故 X 最有可能的取值为1． 4 分
（2）（ⅰ）依题意， y = l× emx 两边取对数，得ln y = mx + ln l，即 z = mx + lnl． 5 分
其中 x = 63 ， 6 分
由提供的参考数据，可知m= 0.02 ，又-0.642 = 0.02 ´ 63 + ln l，故ln l» -1.9 ，
由提供的参考数据，可得l» 0.15 7 分
故 yˆ = 0.15× e0.02 x ，当 x = 60 时， yˆ » 0.498 ． 8 分
（ⅱ）由（ⅰ）及提供的参考数据可知， m» x = 63 ，s » s » 20 ．
y ³ 0.78 ，即0.15 × e0.02 x ³ 0.78 ，可得0.02x ³ ln 5.2 ，即 x ³ 83 ． 9 分
又m+s = 83 ，且 P(m-s< X < m+s) = 0.6826 ， 11 分
由正态分布的性质，得 P(x ³ 83) = 1 [1- P(m-s< x < m+ s)] = 0.1587 ，
2
记“绩效等级优秀率不低于0.78 ”为事件 A ，则 P( A) = P(x ³ 83) = 0.1587 ，
所以绩效等级优秀率不低于0.78 的概率等于0.1587 ． 12 分
解法二：（1）预测试成绩在[25, 35) U[85, 95] 的员工中，接受方案 A 测试的有100 ´(0.02 + 0.03) = 5 人； 接受方案 B 测试的有100 ´(0.16 + 0.04) = 20 人． 1 分
依题意，随机变量 X 服从超几何分布，记这6 人中接受方案 A 预测试的人数为k ，
Ck ×C 6-k
C
则 P( X = k ) = 5 20 ，其中 k Î{0,1, 2, 3, 4, 5} ． 3 分
25
ìCk ×C 6-k Ck -1 ×C 7-k
ï 5 20 ³ 5 20 ,
ìP( X = k ) ³ P( X = k -1),
ï C 6
C 6 ìCk ×C 6-k ³ Ck -1 ×C 7-k ,
由í 得í
25 25
即í 5 20 5 20
îP( X = k ) ³ P( X = k +1),
Ck ×C 6-k Ck +1 ×C 5-k
Ck ×C 6-k ³ Ck +1 ×C 5-k ,
ï 5 20 ³ 5 20 ,
î 5 20 5 20
ï C 6 C 6
î 25 25
ì 1 ³ 1 ,
ï k × (14 + k ) (6 - k ) × (7 - k )
15 14
即í 求得 £ k £ ，
1 1 27 9
ï
ï ³ ,
î(5 - k) × (6 - k) (k +1) × (15 + k)
故 X 最有可能的取值为1． 4 分
（2）同解法 1．
14. 本小题主要考查函数的单调性与极值、导数的应用等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、 运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合等思想，考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性与创新性．满分 12 分．
解析：（1） f ¢(x) = (x - a) ln x ． 1 分
因为 f (x) 在(0, +¥) 单调递增，所以 f ¢(x) ³ 0 ，即(x - a) ln x ³ 0 ． 2 分
（i） 当 x > 1 时， ln x > 0 ，则需 x - a ³ 0 ，故 a £ xmin ，即 a £ 1 ； 3 分
（ii） 当 x = 1 时， ln x = 0 ，则 a Î R ； 4 分
（iii） 当0 < x < 1 时， ln x < 0 ，则需 x - a £ 0 ，故 a ³ xmax ，即 a ³ 1 ．
综上述， a = 1 ． 5 分
（2） g(x) =
f (x) = 1
- a) ln x - 1 x + a ， g¢(x) = 1 ln x - a + 1 ， g ¢(x) =
1 + a ．
( x
x 2 4
2 x 4
2x x2
因为 1 < a < 3 e ，所以 g ¢(x) > 0 ，所以 g¢(x) 在(0, +¥) 单调递增． 6 分
4 4
又因为 g¢(1) = -a + 1 < 0 ， g¢(e) = - a + 3 > 0 ，
4 e 4
所以存在 x0 Î(1, e) ，使 g¢(x0 ) = 0 ， 7 分
且当 x Î(0, x0 ) 时， g¢(x) < 0 ，函数 g(x) 单调递减； 当 x Î(x0 , +¥) 时， g¢(x) > 0 ，函数 g(x) 单调递增．
故 g(x) 最小值为 g(x ) = ( 1 x - a) ln x - 1 x
+ a = h(a) ． 8 分
0 2 0 0 4 0
由 g¢(x ) = 0 ，得 a = 1 x ln x + 1 x
，因此 h(a) = 3 - 1 x
ln x ) ln x
． 9 分
( x
0 2 0 0 4 0
4 0 2
0 0 0
令t( x) = 1 x ln x + 1 x ， x Î(1, e) ，则t¢( x) = 1 ln x + 3 > 0 ，
2 4 2 4
所以t( x) 在区间(1, e) 上单调递增．
又因为 1 < a < 3 e ，且t(1) = 1 ,t(e) = 3 e ，
4 4 4 4
所以1 < x0 < e ，即 x0 取遍(1, e) 的每一个值． 10 分
令j(x) = ( 3 x - 1 x ln x) ln x （1 < x < e ），
4 2
则j¢(x) = - 1 ln 2 x - 1 ln x + 3
2 4 4
= - 1 (2 ln x + 3)(ln x -1) > 0 ，
4
故函数j(x) 在(1, e) 单调递增． 11 分
又j(1) = 0 ，j(e) = e ，所以0 < j( x) < e ，故函数 h(a) 的值域为æ 0, e ö ． 12 分
4 4 ç 4 ÷
è ø
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
14. 选修4 - 4 ：坐标系与参数方程
本小题主要考查参数方程和普通方程，极坐标方程和直角坐标方程的互化，曲线的伸缩变换等基础知 识，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性、综合
性，满分 10 分．
4
解法一：（1）由r= 2 sinq- cosq得 2rsinq- rcosq= 4 ．
把 x = rcosq, y = rsinq代入上式可得直线l 的直角坐标方程为 x - 2 y + 4 = 0 ． 2 分
C ìx = 2 cosq，( 为参数)
î
因为圆 1 的参数方程为í y = 2 sinq q
． 3 分
ìx = x0 ,
设(x , y )为圆C 上任意一点，在已知的变换下变为C 上的点(x, y)，则有ï
........ 4 分
0 0 1
2 í y = 1 y ,
因为ìx0 = 2 cosq,(q为参数)，所以ìx = 2 cosq ，
îï 2 0
y
î
î 0
í = 2 sinq í2 y = 2 sinq
ìx = 2 cosq,
î
曲线C2 的参数方程为í y = sinq (q为参数)．
可得普通方程为
x2 + 2
y
4
= 1． 5 分
42 + 22
（2）不妨设 A(- 4,0), B(0,2)，所以 AB =
= 2 ．
5
设Q(2 cosq, sinq)，令Q 点到直线l 的距离为 d ，
则△QAB 的面积 S = 1 ´ AB ´ d ， 6 分
2
2 2 cosæq+ pö + 4
2 cosq- 2 sinq+ 4
5
ç 4 ÷
5
d = = è ø 7 分
p
当且仅当cos(q+ ) = 1 ，即q=
4
2 2 + 4
5
1
7p
3 时， dmax =
2 2 + 4
5
， 8 分
所以 Smax = 2 ´ 2 5 ´
= 4 + 2
， 9 分
2
æ 2 ö
2
所以DQAB 面积的最大值 4 + 2
，相应Q 点的坐标为ç
è
2，-
2
÷ ． 10 分
ø
4
解法二：（1）由r= 2 sinq- cosq得 2rsinq- rcosq= 4 ．
把 x = rcosq, y = rsinq代入上式可得直线l 的直角坐标方程为 x - 2 y + 4 = 0 ． 2 分
把圆C : ìx = 2 cosa, （a为参数）化为普通方程为 x2 + y2 = 4 ． 3 分
î
1 í y = 2 sina
设(x0 , y0 )为圆C1 上任意一点，在已知的变换下变为C2 上的点(x, y)，
ìx = x
ï
则有í y = 1 y
ìx0
，即í y
= x
= 2 y ． 4 分
ïî 2 0 î 0
2 2 2 2
x2 2
又 x0 + y0 = 4 ，所以 x
+ (2 y)
= 4 ，曲线C2 的普通方程为 4 + y
= 1 ． 5 分
（2）同解法一．
14. 选修 4 - 5 ：不等式选讲
本小题主要考查绝对值不等式、均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、分 类与整合思想、数形结合思想，考查数学运算等核心素养，体现基础性、综合性．满分 10 分．
解法一：（1）当 m = 1时， f (x) =
x + 2 + x - 3 + x ，
ì3x -1, x≥3,
ï
所以 f (x) =
x + 2 + x - 3 + x = íx + 5, -2≤x < 3, 且 f (3) = 8 ， f (-2) = 3 ， 2 分
î
ï-2x +1, x < -2,
作出函数 f (x) 的图象，如图，
...........................................................................................................................3 分
7
令-2x +1 = 8 ，解得 x = - ， 4 分
2
由图可知 f (x)≤8 的解集为[- 7 , 3] ． 5 分
2
（2）因为 x + 2 + x - 3 ≥ (x + 2) - (x - 3) = 5 ， 7 分
当且仅当(x + 2)(x - 3)≤0 即-2≤x≤3 时等号成立， 所以 f (x)≥mx + 5 ．
又 x Î[-2, 3] 时， mx + 5≥ - 2m + 5≥3 ， 9 分
所以 f (x)≥3 ． 10 分
解法二：（1）同解法一； 5 分
ì(2 + m) x -1, x≥3,
ï
（2） f (x) =
x + 2 + x - 3 + mx = ímx + 5, -2≤x < 3,
î
ï(m - 2)x +1, x < -2,
........................................................................7 分
当 x≥3 时， (m + 2)x -1≥3m + 5 ； 当-2≤x < 3 时， mx + 5≥ - 2m + 5 ；
当 x < -2 时， (m - 2)x +1 > -2m + 5 ，
由上，可得 f (x)≥ - 2m + 5 ， 9 分
又 m Î(0,1] ，所以-2m + 5≥ - 2 + 5 = 3 ，
故 f (x)≥3 ． 10 分
