数学文卷·2018届广东省揭阳市惠来县第一中学高二上学期期末考试（2017-01）

数学文卷·2018届广东省揭阳市惠来县第一中学高二上学期期末考试（2017-01）

广东惠来一中高二文数试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合A={x|mx2﹣2x+1=0}中只有一个元素，则实数m的值为（　　）‎ A.0 B.1 C.2 D.0或1‎ ‎2.用数学归纳法证明+++…+＜1（n∈N*且n＞1），由n=k到n=k+1时，不等式左边应添加的项是（　　）‎ A. B.+﹣ ‎ ‎ C.+﹣ D.+﹣﹣‎ ‎3.已知条件p：k=；条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则p是q的（　　）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（　　）‎ A.64 B.72 C. 80 D.112‎ 5. 已知各项均为正数的数列{an}，其前n项和为Sn，且Sn，an，成等差数列，则数列{an}的通项公式 ‎ 为（　　）‎ A.2n﹣4 B.2n﹣3 C.2n﹣2 D.2n﹣1‎ ‎6.已知函数f（x）=x2+2xf′（2017）﹣2017lnx，则f′（2017）=（　　）‎ A.2016 B.﹣2016 C.2017 D.﹣2017‎ ‎7.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（　　）‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎8.若关于x的不等式|x-1|+|x﹣2|＞log4a2恒成立，则实数a的取值范围为（　　）‎ A.（﹣2，2） B.（﹣∞，﹣2） C.（2，﹢∞） D.（﹣2，0）∪（0，2）‎ ‎9.已知命题p：若平面α与平面β不重合，且平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β；命题q：向量=（﹣2，﹣1），=（λ，1）的夹角为钝角的充要条件为λ∈（﹣，+∞）.关于以上两个命题，下列结论中正确的是（　　）‎ A.命题“p∨q”为假 B.命题“p∨￢q”为假 C.命题“p∧q”为真 D.命题“p∧￢q”为真 ‎10.已知不等式组构成平面区域Ω（其中x，y是变量），若目标函数z=ax+6y（a＞0）的最小值为﹣6，则实数a的值为（　　）‎ A. B. C.3 D.6‎ ‎11.若数列{an}满足a1= ，an+1=[an]+（[an]与{an}分别表示an的整数部分与小数部分），‎ ‎ 则a2016=（　　）‎ ‎ A.3023+ B.3023+ C.3020+ D.3020+‎ ‎12.已知F为抛物线y2=ax（a＞0）的焦点，M点的坐标为（4，0），过点F作斜率为的直线与抛物线交于A，B两点，延长AM，BM交抛物线于C，D两点，设直线CD的斜率为，且，则实数a的值为（　　）‎ A.8 B.8 C.16 D.16‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.‎ ‎13.已知双曲线－=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为2x+y=0，一个焦点为（，0），则双曲线的离心率为　 　.‎ ‎14.已知正数x、y满足+=1，则x+2y的最小值为　 　.‎ ‎15.已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，则曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程 ‎ ‎ 是　 　.‎ ‎16.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆半径为1，且满足，‎ ‎ 则△ABC面积的最大值为　 　.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 已知公差为正数的等差数列{an}满足：a1=1，且2a1，a3﹣1，a4+1成等比数列.‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若a2，a5分别是等比数列{bn}的第1项和第2项，求数列的前n项和Tn.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当x∈[0，]时，求f（x）的值域；‎ ‎（Ⅱ）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=，a=4，b+c=5，求 ‎△ABC的面积.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100mL（不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100mL（含80）以上时，属醉酒驾车.某日，交警一队在本市一交通岗前设点，对过往的车辆进行抽查，经过4个小时共查出喝过酒的驾驶员60名，如图是用酒精测试仪对这60名驾驶员血液中酒精浓度进行检测后所得结果画出的频率分布直方图.‎ ‎（Ⅰ）求这60名驾驶员中属于醉酒驾车的人数（图中每组包括左端点，不包括右端点）；‎ ‎（Ⅱ）求这60名驾驶员血液中酒精浓度的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（Ⅲ）将频率分布直方图中的七组从左到右依次命名为第一组，第二组，…，第七组，在第五组和第七组的所有人中抽出两人，记他们的血液酒精浓度分别为x，y（mg/100mL），求事件|x﹣y|≤10的概率.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形，四边形BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面BCF∥平面ADE；‎ ‎（Ⅱ）若BF=BD=a，求四棱锥A﹣BDEF的体积.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知f（x）=loga是奇函数（其中a＞1）.‎ ‎（Ⅰ）求实数m的值；‎ ‎（Ⅱ）判断f（x）在区间（2，+∞）内的单调性，并证明；‎ ‎（Ⅲ）当x∈（r，a﹣2）时，f（x）的值域恰为（1，+∞），求实数a与r的值.‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），过椭圆C的上顶点与右顶点的直线L，与圆x2+y2=相切，且椭圆C的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过点O作两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于A，B两点（其中O为坐标原点），求△OAB面积的最小值.‎ 广东惠来一中高二文数试题参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D C A C C B C D A C B B ‎ ‎ 二、填空题 ‎13. 14.18 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d（d＞0）.‎ ‎ 由2a1，a3﹣1，a4+1成等比数列，‎ ‎ 得，……………………………………2分 ‎ 则2（1+3d+1）=（1+2d﹣1）2，‎ ‎ 解得（舍去）或d=2，……………………………………4分 ‎ 所以数列{an}的通项公式为an=2n﹣1.……………………………………5分 ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，b1=a2=3，b2=a5=9，‎ ‎ 则等比数列{bn}的公比q=3，‎ ‎ 于是是以为首项，以为公比的等比数列. ……………………………………7分 ‎ 所以Tn=.……………………………………10分 ‎18.解：（Ⅰ）由题得，.………………………2分 ‎ 因为x∈[0，]，2x+∈[，]，‎ ‎ 所以sin（2x+）∈[，1]，……………………………………4分 ‎ 所以∈[0，1+].‎ ‎ 即f（x）的值域为[0，1+].……………………………………5分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （Ⅱ）因为，所以.…………………………7分 ‎ 因为A∈（0，π），∈（，）， 所以,解得A=.…………………9分 ‎ 因为a=4，b+c=5，‎ ‎ 所以由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，可得16=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc=25-3bc，‎ ‎ 解得bc=3. ……………………………………11分 ‎ 所以S=bcsinA=×3×=,即△ABC的面积为.……………………………………12分 ‎19.解：（Ⅰ）依题意知，醉酒驾驶员即血液酒精浓度在80mg/100mL（含80）以上者，‎ ‎ 共有0.05×60=3人.……………………………………3分 ‎ （Ⅱ）由频率分布直方图知，60名驾驶员的血液中酒精浓度的平均值 ‎ =25×0.25+35×0.15+45×0.2+55×0.15+65×0.1+75×0.1+85×0.05=47（mg/100 mL）.………6分 ‎ （Ⅲ）由题得，第五组和第七组的人数分别为：60×0.1=6人，60×0.05=3人，‎ ‎ |x﹣y|≤10即选的两人只能在同一组中. ……………………………………7分 ‎ 设第五组中6人分别为a、b、c、d、e、f，第七组中3人分别为A、B、C.‎ ‎ 则从9人中抽出2人的所有可能结果组成的基本事件如下：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），‎ ‎ （a，A），（a，B），（a，C），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（b，A），（b，B），（b，C），（c，d），‎ ‎ （c， e），（c，f），（c，A），（c，B），（c，C），（d，e），（d，f），（d，A），（d，B），（d，C），（e，f），‎ ‎ （e，A），（e，B），（e，C），（f，A），（f，B），（f，C），（A，B），（A，C），（B，C），共36种.………9分 ‎ 其中两人在同一组中的情况有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），‎ ‎ （b，e），（b， f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），（A，B），（A，C），（B，C）， ‎ ‎ 共18种.…………………………11分 ‎ 用M表示|x﹣y|≤10这一事件，则概率P（M）==.……………………………12分 20. 解：（Ⅰ）因为四边形ABCD是菱形，所以BC∥AD.‎ ‎ 因为BC⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，所以BC∥平面ADE. ……………………………2分 ‎ 因为四边形BDEF是矩形，所以BF∥DE.‎ ‎ 因为BF⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，所以BF∥平面ADE. ……………………………4分 ‎ 因为BC⊂平面BCF，BF⊂平面BCF，BC∩BF=B，‎ ‎ 所以平面BCF∥平面ADE.……………………………5分 ‎ （Ⅱ）连接AC交BD于点O.‎ ‎ 因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.‎ ‎ 因为ED⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，‎ ‎ 所以ED⊥AC. ……………………………7分 ‎ 因为ED，BD⊂平面BDEF，ED∩BD=D，‎ ‎ 所以AO⊥平面BDEF.……………………………8分 ‎ 所以AO为四棱锥A﹣BDEF的高，‎ ‎ 又四边形ABCD是菱形，， 则△ABD为等边三角形. ‎ ‎ 又BF=BD=a，则.……………………………10分 ‎ 因为，所以.……………………………12分 ‎21.解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0，‎ ‎ 即loga+loga=0,‎ ‎ 所以，解得m=±1. ………………………………2分 ‎ 当m=﹣1时，f（x）无意义.‎ ‎ 故m的值为1. ………………………………3分 ‎ （Ⅱ）函数f（x）在区间（2，+∞）内单调递减.‎ ‎ 由（Ⅰ）得，.‎ ‎ 设2＜x1＜x2，‎ ‎ 则f（x2）﹣f（x1）=﹣=.………4分 ‎ 因为2＜x1＜x2，‎ ‎ 所以0＜x1x2+2（x1﹣x2）﹣4＜x1x2﹣2（x1﹣x2）﹣4，‎ ‎ 因为a＞1，所以f（x2）＜f（x1）.‎ ‎ 所以函数f（x）在区间（2，+∞）内单调递减. ………………………………7分 ‎ （Ⅲ）由（Ⅰ）得，.‎ ‎ 由，得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）.‎ ‎ 又因为，所以f（x）∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）. ………………………………8分 ‎ 令f（x）=1，则=a，解得.‎ ‎ 所以f（）=1. ………………………………9分 ‎ 当a＞1时，＞2，此时f（x）在区间（2，+∞）内单调递减.‎ ‎ 所以当x∈（2，）时，f（x）∈(1，+∞）. ………………………………10分 ‎ 由题意,得r=2，a﹣2=，解得a=5.‎ ‎ 所以当x∈（r，a﹣2），f（x）的值域恰为（1，+∞）时，a和r的值分别为5和2.………12分 ‎22.解：（Ⅰ）过椭圆C的上顶点与右顶点的直线L为，即bx+ay﹣ab=0. ‎ ‎ 由直线L与圆相切，得.①……………………………………1分 ‎ 因为抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），所以c=1. ……………………………………2分 ‎ 即a2﹣b2=1，代入①，得7a4﹣31a2+12=0，‎ ‎ 即（7a2﹣3）（a2﹣4）=0，解得（舍去）.…………………………………3分 ‎ 所以b2=a2﹣1=3.故椭圆C的标准方程为.……………………………………4分 ‎ （Ⅱ）当两射线与坐标轴重合时，.……………………………5分 ‎ 当两射线不与坐标轴重合时，设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎ 与椭圆联立，消去y，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0.‎ ‎ 所以.……………………………………7分 ‎ 因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，‎ ‎ 所以x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0.‎ ‎ 即.……………………………………8分 ‎ 将代入，得，‎ ‎ 整理，得7m2=12（k2+1），‎ ‎ 所以点O到直线AB的距离.……………………………………10分 ‎ 因为OA⊥OB，所以OA2+OB2=AB2≥2OA•OB，当且仅当OA=OB时，取等号.‎ ‎ 由d•AB=OA•OB，得，‎ ‎ 所以，即弦AB的长度的最小值是.‎ ‎ 所以△OAB的最小面积为.‎ ‎ 综上，△OAB面积的最小值为.……………………………………12分 ‎ ‎