数学卷·2018届广东省湛江一中高二上学期第二次大考数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届广东省湛江一中高二上学期第二次大考数学试卷（理科） （解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年广东省湛江一中高二（上）第二次大考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一．选择题（每小题5分，共12小题）‎ ‎1．下列命题是真命题的为（　　）‎ A．若=，则x=y B．若x2≤4，则x=1‎ C．若x=y，则= D．若x＜y，则 x2＜y2‎ ‎2．已知，，且，则（　　）‎ A． B． C． D．x=1，y=﹣1‎ ‎3．已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x2＞y2，在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（　　）‎ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④‎ ‎4．若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值是（　　）‎ A．4 B． C．1 D．2‎ ‎5．设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎6．已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7．已知等比数列{an}的公比q=2，且2a4，a6，48成等差数列，则{an}的前8项和为（　　）‎ A．127 B．255 C．511 D．1023‎ ‎8．若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为（　　）‎ A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）‎ ‎9．下列各组向量互相垂直的是（　　）‎ A． =（1，2，﹣2），=（﹣2，﹣4，1） B． =（2，4，5），=（0，0，0）‎ C． =（1，2，），=（，﹣，1） D． =（2，4，5），=（﹣2，﹣4，﹣5）‎ ‎10．点A，F分别是椭圆C： +=1的左顶点和右焦点，点P在椭圆C上，且PF⊥AF，则△AFP的面积为（　　）‎ A．6 B．9 C．12 D．18‎ ‎11．已知a＞0，b＞0，若不等式﹣﹣≤0恒成立，则m的最大值为（　　）‎ A．4 B．16 C．9 D．3‎ ‎12．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1、F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则e1•e2+1的取值范围为（　　）‎ A．（1，+∞） B．（，+∞） C．（，+∞） D．（，+∞）‎ ‎　‎ 二．填空题（每小题5分，共4小题）‎ ‎13．命题：“∃x0∈R，x0≤1或x02＞4”的否定是　　．‎ ‎14．不等式x2+3＜4x的解集为　　．‎ ‎15．已知F1，F2是椭圆C： +=1的两个焦点，过F1的直线与椭圆C交于M，N两点，则△F2MN的周长为　　．‎ ‎16．在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，底面ABC为直角三角形，∠BAC=，AB=AC=AA1=1．已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的最小值为　　．‎ ‎　‎ 三．解答题 ‎17．设命题p：关于x的一元二次不等式 ax2﹣x+a＞‎ ‎0的解集为R，命题q：方程=1表示焦点在x轴上的双曲线．‎ ‎（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）如果命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎18．已知函数f（x）=x2﹣（2m+1）x+2m（m∈R）．‎ ‎（1）当m=1时，解关于x的不等式xf（x）≤0；‎ ‎（2）解关于x的不等式f（x）＞0．‎ ‎19．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+1=an+1+n2‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）已知直线l：y=kx+与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，且DE=6，AF=2．‎ ‎（1）试在线段BD上确定一点M的位置，使得AM∥平面BEF；‎ ‎（2）求二面角A﹣BE﹣C的余弦值．‎ ‎22．已知抛物线E：y2=2px（p＞0），直线x=my+3与E交于A、B两点，且•=6，其中O为坐标原点．‎ ‎（1）求抛物线E的方程；‎ ‎（2）已知点C的坐标为（﹣3，0），记直线CA、CB的斜率分别为k1，k2，证明+﹣2m2为定值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广东省湛江一中高二（上）第二次大考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（每小题5分，共12小题）‎ ‎1．下列命题是真命题的为（　　）‎ A．若=，则x=y B．若x2≤4，则x=1‎ C．若x=y，则= D．若x＜y，则 x2＜y2‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】逐一判断选项的正误即可．‎ ‎【解答】解：对于A，若=，则x=y，满足等式成立条件，正确．‎ 对于B，若x2≤4，可得﹣2≤x≤2，则x=1，不成立；‎ 对于C，若x=y，则=显然不成立，因为条件中x∈R．‎ 对于D，若x＜y，则 x2＜y2反例：﹣2＜1，所以选项D不成立．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．已知，，且，则（　　）‎ A． B． C． D．x=1，y=﹣1‎ ‎【考点】共线向量与共面向量．‎ ‎【分析】根据已知条件分别求出、的坐标，利用空间向量共线的充要条件，即可求出结果．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴=（1+2x，4，4﹣y），=（2﹣x，3，2﹣2y），‎ ‎∵，‎ ‎∴，解得 故选B．‎ ‎　‎ ‎3．已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x2＞y2，在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（　　）‎ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．‎ ‎【解答】解：根据不等式的性质可知，若若x＞y，则﹣x＜﹣y成立，即p为真命题，‎ 当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＞y2不成立，即命题q为假命题，‎ 则①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧（￢q）为真命题；④（￢p）∨q为假命题，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值是（　　）‎ A．4 B． C．1 D．2‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z的几何意义，进行平移，结合图象得到z=2x﹣y的最大值．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．‎ 由z=2x﹣y得y=2x﹣z，‎ 平移直线y=2x﹣z，‎ 由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，‎ 此时z最大．‎ 由，解得，即C（1，1）‎ 将C（1，1）的坐标代入目标函数z=2x﹣y，‎ 得z=2﹣1=1．即z=2x﹣y的最大值为1．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意，，即可求出a的值．‎ ‎【解答】解：由题意，，‎ ‎∴a=2，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】由“a＞0且b＞0”⇒“a+b＞0且ab＞0”，“a+b＞0且ab＞0”⇒“a＞0且b＞0”，知“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”的充要条件．‎ ‎【解答】解：∵a，b是实数，‎ ‎∴“a＞0且b＞0”⇒“a+b＞0且ab＞0”，‎ ‎“a+b＞0且ab＞0”⇒“a＞0且b＞0”，‎ ‎∴“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”的充要条件．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎7．已知等比数列{an}的公比q=2，且2a4，a6，48成等差数列，则{an}‎ 的前8项和为（　　）‎ A．127 B．255 C．511 D．1023‎ ‎【考点】等差数列与等比数列的综合．‎ ‎【分析】根据且a1，a3，a2成等差数列，列出方程2a6 =2a4 +48，求出首项a1，再根据等比数列的求和公式，即可得答案．‎ ‎【解答】解：∵2a4、a6、48成等差数列，‎ ‎∴2a6 =2a4 +48，‎ ‎∴2a1q5=2a1q3+48，‎ 又等比数列{an}的公比q=2，‎ ‎∴‎ 解得，a1=1，‎ ‎∴{an}的前8项和为 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为（　　）‎ A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】根据抛物线方程设P点坐标，分别表示出其到准线方程和到原点的距离，使其相等进而求得a，则P的坐标可得．‎ ‎【解答】解：设P坐标为（a2，a）‎ 依题意可知抛物线的准线方程为x=﹣‎ a2+=，求得a=±‎ ‎∴点P的坐标为（，）‎ 故选B ‎　‎ ‎9．下列各组向量互相垂直的是（　　）‎ A． =（1，2，﹣2），=（﹣2，﹣4，1） B． =（2，4，5），=（0，0，0）‎ C． =（1，2，），=（，﹣，1） D． =（2，4，5），=（﹣2，﹣4，﹣5）‎ ‎【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．‎ ‎【分析】根据两向量垂直的定义，计算它们的数量积即可得出结果．‎ ‎【解答】解：对于A， •=﹣2﹣8﹣2=﹣12≠0，∴、不垂直；‎ 对于B，由=得、是共线向量，不垂直；‎ 对于C， •=﹣1+=0，∴⊥；‎ 对于D， •=﹣4﹣16﹣25=﹣45≠0，∴、不垂直．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．点A，F分别是椭圆C： +=1的左顶点和右焦点，点P在椭圆C上，且PF⊥AF，则△AFP的面积为（　　）‎ A．6 B．9 C．12 D．18‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由题意画出图形，由椭圆方程求出a，c的值，再求出|PF|，代入三角形面积公式得答案．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 由椭圆C： +=1，得a2=16，b2=12，‎ ‎∴，‎ ‎|PF|=，‎ ‎|AF|=a+c=6，‎ ‎∴△AFP的面积为．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．已知a＞0，b＞0，若不等式﹣﹣≤0恒成立，则m的最大值为（　　）‎ A．4 B．16 C．9 D．3‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】不等式恒成立⇒的最小值，利用不等式的基本性质求出即可．‎ ‎【解答】解：不等式恒成立⇒的最小值，‎ ‎∵a＞0，b＞0， =10+≥10+=16，当且仅当，即a=b时取等号．‎ ‎∴m≤16，即m的最大值为16．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎12．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1、F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则e1•e2+1的取值范围为（　　）‎ A．（1，+∞） B．（，+∞） C．（，+∞） D．（，+∞）‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），由条件可得m=10，n=2c，再由椭圆和双曲线的定义可得a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），运用三角形的三边关系求得c的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．‎ ‎【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），‎ 由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，‎ 即有m=10，n=2c，‎ 由椭圆的定义可得m+n=2a1，‎ 由双曲线的定义可得m﹣n=2a2，‎ 即有a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），‎ 再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c=4c＞10，‎ 则c＞，即有＜c＜5．‎ 由离心率公式可得e1•e2===，‎ 由于1＜＜4，则有＞．‎ 则e1•e2+1．‎ ‎∴e1•e2+1的取值范围为（，+∞）．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二．填空题（每小题5分，共4小题）‎ ‎13．命题：“∃x0∈R，x0≤1或x02＞4”的否定是　∀x∈R，x＞1且　．‎ ‎【考点】特称命题；命题的否定．‎ ‎【分析】利用特称命题的否定是全称命题，直接写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题：“∃x0∈R，x0≤1或x02＞4”的否定是：∀x∈R，x＞1且．‎ 故答案为：∀x∈R，x＞1且．‎ ‎　‎ ‎14．不等式x2+3＜4x的解集为　（1，3）　．‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】把不等式x2+3＜4x化为x2﹣4x+3＜0，求出解集即可．‎ ‎【解答】解：不等式x2+3＜4x可化为 x2﹣4x+3＜0，‎ 解得1＜x＜3；‎ ‎∴不等式的解集为（1，3）．‎ 故答案为：（1，3）．‎ ‎　‎ ‎15．已知F1，F2是椭圆C： +=1的两个焦点，过F1的直线与椭圆C交于M，N两点，则△F2MN的周长为　8　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】利用椭圆的定义可知|F1M|+|F2M|和|F1N|+|F2N|的值，进而把四段距离相加即可求得答案．‎ ‎【解答】解：利用椭圆的定义可知，|F1M|+|F2M|=2a=4，|F1N|+|F2N|=2a=4，‎ ‎∴△MNF2的周长为|F1M|+|F2M|+F1N|+|F2N|=4+4=8．‎ 故答案为：8．‎ ‎　‎ ‎16．在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，底面ABC为直角三角形，∠BAC=，AB=AC=AA1=1．已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的最小值为　　．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】建立直角坐标系，以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，可得F（t1，0，0）（0＜t1＜1），，，D（0，t2，0）（0＜t2＜1）．可得，．利用F，可得=0，由此推出 0＜t2＜．再利用向量的模的计算公式和二次函数的单调性即可得出．‎ ‎【解答】解：建立直角坐标系，以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，‎ 则F（t1，0，0）（0＜t1＜1），，，D（0，t2，0）（0＜t2＜1）．‎ ‎∴，．‎ ‎∵GD⊥EF，∴t1+2t2=1，由此推出 0＜t2＜．‎ 又， =，‎ ‎∴当t2=时，有．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ 三．解答题 ‎17．设命题p：关于x的一元二次不等式 ax2﹣x+a＞0的解集为R，命题q：方程=1表示焦点在x轴上的双曲线．‎ ‎（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）如果命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】（1）命题p为真命题，即一元二次不等式 ax2﹣x+a＞0的解集为R，利用判别式求出a的取值范围；（2）求出命题q为真时a的取值范围，利用p或q”为真，“p且q”为假时，p、q一真一假；求出a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）若命题p为真命题，‎ 即一元二次不等式 ax2﹣x+a＞0的解集为R，‎ ‎∴，‎ 解得a＞2，‎ ‎∴实数a的取值范围；a＞2；‎ ‎（2）命题q：方程=1表示焦点在x轴上的双曲线，‎ ‎，‎ 解得0＜a＜15；‎ ‎“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，‎ 则p、q一真一假；‎ p真q假时，满足，‎ 解得a≥15；‎ p假q真时，满足，‎ 解得0＜a≤2，‎ 综上，a的取值范围是0＜a≤2或a≥15．‎ ‎　‎ ‎18．已知函数f（x）=x2﹣（2m+1）x+2m（m∈R）．‎ ‎（1）当m=1时，解关于x的不等式xf（x）≤0；‎ ‎（2）解关于x的不等式f（x）＞0．‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【分析】（1）当m=1时，x（x2﹣3x+2）≤0，即x（x﹣1）（x﹣2）≤0，即可得出结论；‎ ‎（2）不等式可化为（x﹣2m）（x﹣1）＞0，分类讨论，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）当m=1时，x（x2﹣3x+2）≤0，即x（x﹣1）（x﹣2）≤0，{x|x≤0或1≤x≤2}；‎ ‎（2）不等式可化为（x﹣2m）（x﹣1）＞0，‎ 当时，解集为{x|x＜2m，或x＞1}；‎ 当时，解集为{x|x≠1}；‎ 当时，则不等式的解集为{x|x＜1，或x＞2m}…..‎ ‎　‎ ‎19．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+1=an+1+n2‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）根据数列的递推公式可得数列{an}的通项公式为an=2n﹣1，‎ ‎（2）根据裂项求和，即可求出数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（1）Sn+1=an+1+n2，则Sn+1﹣Sn=an+1+n2﹣an﹣（n﹣1）2=an+1﹣an+（2n﹣1），‎ 即an+1=an+1﹣an+（2n﹣1），‎ 所以数列{an}的通项公式为an=2n﹣1；‎ ‎（2），‎ ‎．‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）已知直线l：y=kx+与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）利用椭圆的离心率为，椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2，建立方程组，求出几何量，即可得到椭圆的方程；‎ ‎（2）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理，及x1x2+y1y2=0，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵椭圆的离心率为 ‎，椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2，‎ ‎∴‎ ‎∴a=2，b=1‎ ‎∴椭圆C的方程为；‎ ‎（2）将y=kx+代入椭圆方程，可得 ‎（4+k2）x2+x﹣1=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个根，‎ ‎∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣‎ 由题意知：OA⊥OB，则x1x2+y1y2=0‎ 又y1=kx1+，y2=kx2+，‎ 则x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+3=0，‎ ‎∴（1+k2）•（﹣）+k（﹣）+3=0‎ ‎∴k=±满足条件．‎ ‎　‎ ‎21．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，且DE=6，AF=2．‎ ‎（1）试在线段BD上确定一点M的位置，使得AM∥平面BEF；‎ ‎（2）求二面角A﹣BE﹣C的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）过K作KM⊥BD，交BD于M，则AF⊥平面ABCD，从而AF⊥‎ BD，四边形FAMK为平行四边形，进而AM∥平面BEF，由此求出M为BD的一个三等分点（靠近点B）．‎ ‎（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣BE﹣C的余弦值．‎ ‎【解答】解：（1）取BE的三等分点K（靠近点B），则有，‎ 过K作KM⊥BD，交BD于M，‎ ‎∵DE⊥平面ABCD，AF∥DE，∴AF⊥平面ABCD，‎ ‎∴AF⊥BD，∴FA∥KM，且FA=KM，‎ ‎∴四边形FAMK为平行四边形，∴AM∥FK，‎ ‎∵AM⊄平面BEF，FK⊂平面BEF，∴AM∥平面BEF，‎ ‎∵，‎ ‎∴M为BD的一个三等分点（靠近点B）．…‎ ‎（2）如图，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则A（3，0，0），B（3，3，0），E（0，0，6），C（0，3，0），‎ ‎=（3，3，﹣6），=（0，3，0），=（﹣3，0，0），‎ 设平面AEB的法向量为=（x1，y1，z1），‎ 由，得，取z1=1，得=（2，0，1）…‎ 平面BCE的法向量为=（x2，y2，z2），‎ 由，即，得=（0，2，1），‎ 设二面角A﹣BE﹣C的平面角为θ，‎ 二面角A﹣BE﹣C为钝二面角，‎ ‎∴cosθ=﹣=﹣=﹣．‎ ‎∴二面角A﹣BE﹣C的余弦值为﹣．…‎ ‎　‎ ‎22．已知抛物线E：y2=2px（p＞0），直线x=my+3与E交于A、B两点，且•=6，其中O为坐标原点．‎ ‎（1）求抛物线E的方程；‎ ‎（2）已知点C的坐标为（﹣3，0），记直线CA、CB的斜率分别为k1，k2，证明+﹣2m2为定值．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由题意可知：将直线方程代入抛物线方程，由韦达定理可知：y1+y2=2pm，y1•y2=﹣6p， •=x1•x2+y1•y2=+y1•y2，求得9﹣6p=6，求得p的值，即可求得抛物线E的方程；‎ ‎（2）由直线的斜率公式可知：k1==，k2==， +﹣2m2=（m+）2+（m+）2﹣2m2=2m2+12m×+36×﹣2m2，由（1）可知：y1+y2=2pm=m，y1•y2=﹣6p=﹣3，代入即可求得+﹣2m2=24．‎ ‎【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎，整理得：y2﹣2pmy﹣6p=0，‎ 由韦达定理可知：y1+y2=2pm，y1•y2=﹣6p，‎ 则x1•x2=‎ 由•=x1•x2+y1•y2=+y1•y2=9﹣6p=6，解得：p=，‎ ‎∴y2=x；‎ ‎（2）证明：由直线CA的斜率k1，k1==，‎ CB的斜率k2，k2==，‎ ‎∴=m+， =m+，‎ ‎∴+﹣2m2=（m+）2+（m+）2﹣2m2，‎ ‎=2m2+12m（+）+36×（+）﹣2m2，‎ ‎=2m2+12m×+36×﹣2m2，‎ 由（1）可知：y1+y2=2pm=m，y1•y2=﹣6p=﹣3，‎ ‎∴+﹣2m2=2m2+12m×（）+36×﹣2m2=24，‎ ‎∴+﹣2m2为定值．‎