数学（理）卷·2018届贵州省遵义航天高级中学高二上学期期末考试（2017-01）

数学（理）卷·2018届贵州省遵义航天高级中学高二上学期期末考试（2017-01）

‎2016—2017学年度第一学期期末联考 高二数学(理科)‎ ‎（试题满分：150分 考试时：120分钟） ‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。‎ ‎2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。‎ ‎3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。‎ 第Ⅰ卷 （选择题）‎ 一、单项选择题（每小题5分，共12题，共60分）‎ ‎1、抛物线的准线方程是( ) ‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎2、已知命题，其中正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 开始 输出 结束 ‎3、设，则是 的 （ ）‎ A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4、如下图所示,程序执行后的输出结果是( )‎ ‎ A. -1 B. 0 C. 1 D. 2‎ 第4题图 ‎5、设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是( )‎ A．y与x具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心（，）‎ C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg ‎6、某三棱锥的三视图如所示，该三棱锥的表面积是(　　)‎ A．28＋6 B．30＋6 C．56＋12 D．60＋12 ‎7、 已知△ABC的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0，4)，则顶点A的轨迹方程是（ ）‎ A．（x≠0） B．（x≠0） ‎ C．（x≠0） D．（x≠0）‎ ‎8、小强和小华两位同学约定下午在大良钟楼公园喷水池旁见面,约定谁先到后必须等10分钟,这时若另一人还没有来就可以离开.如果小强是1：40分到达的,假设小华在1点到2点内到达,且小华在 1点到2点之间何时到达是等可能的,则他们会面的概率是 ( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎9、将函数的图像向左平移个长度单位后,所得到的图像关于轴对称,则的最小值是( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10、设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是(　　)‎ ‎ A．[1－，1＋] B．(－∞，1－]∪[1＋，＋∞)‎ ‎ C．[2－2，2＋2] D．(－∞，2－2]∪[2＋2，＋∞)‎ ‎11、F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a，b>0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是(　　)‎ A． B． C． D． ‎12、对实数，定义运算“”：设函数。若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是 （ ）‎ ‎ A． B．‎ C． D．[-2，-1]‎ 第Ⅱ卷 （非选择题）‎ 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13、下图2是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为_________. ‎ ‎14、已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cos(A－C)＋cosB＝1，a＝2c，则C= ‎ ‎15、过抛物线 y2 = 4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1, y1）B（x2, y2）两点，如果=6，那么＝ ‎ ‎16、双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若双曲线上存在点P，满足|PF1|=3|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为 ‎ 三、解答题 ‎17、已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8.‎ ‎(1)求等差数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和．‎ ‎18、已知向量a＝(cosωx－sinωx，sinωx)，b＝(－cosωx－sinωx,2cosωx)．设函数f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)若y＝f(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围．‎ ‎19、某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：，，，，.‎ ‎ （1）求图中的值；‎ ‎ （2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；‎ ‎（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（）与数学成绩相应分数段的人数（）之比如下表所示，求数学成绩在之外的人数.‎ 分数段 ‎20、 如图在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点．‎ ‎(1)求点C到平面A1ABB1的距离；‎ ‎(2)若AB1⊥A1C，求二面角A1－CD－C1的平面角的余弦值．‎ ‎21、设椭圆(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．‎ ‎(1)若直线AP与BP的斜率之积为－，求椭圆的离心率；‎ ‎(2)若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞.‎ ‎22、（选修44:坐标系与参数方程）‎ ‎ 在直角坐标中,圆,圆.‎ ‎(Ⅰ)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆的极坐标方程,并求出圆的交点坐标(用极坐标表示);‎ ‎(Ⅱ)求出的公共弦的参数方程.‎ ‎2016—2017学年度第一学期期末联考 高二数学(理科)参考答案 一、 选择题 ‎ B C A B D B B D B D B B 二、填空题 ‎13、 6.8 14、 15、8 16、 ‎ 三、解答题 ‎17．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d.‎ 由题意得 解得或 所以由等差数列通项公式可得 an＝2－3(n－1)＝－3n＋5，或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7.‎ 故an＝－3n＋5，或an＝3n－7.‎ ‎(2)当an＝－3n＋5时，a2，a3，a1分别为－1，－4,2，不成等比数列；‎ 当an＝3n－7时，a2，a3，a1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．‎ 故|an|＝|3n－7|＝ 记数列{|an|}的前n项和为Sn.‎ 当n＝1时，S1＝|a1|＝4；当n＝2时，S2＝|a1|＋|a2|＝5；‎ 当n≥3时，‎ Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an|＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n－7)＝5＋＝n2－n＋10.‎ 当n＝2时，满足此式．‎ 综上，Sn＝ ‎18．解：(1)因为f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sinωx·cosωx＋λ ‎＝－cos2ωx＋sin2ωx＋λ ‎＝2sin＋λ.‎ 由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin＝±1，‎ 所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝＋(k∈Z)．‎ 又ω∈，k∈Z，所以k＝1，故ω＝.‎ 所以f(x)的最小正周期是.‎ ‎(2)由y＝f(x)的图象过点，得f＝0，‎ 即λ＝－2sin＝－2sin＝－，即λ＝－.‎ 故f(x)＝2sin－，‎ 由0≤x≤，有－≤x－≤，‎ 所以－≤sin≤1，得－1－≤2sinx－－≤2－.‎ 故函数f(x)在上的取值范围为[－1－，2－]．‎ ‎19、（1）依题意得，，解得。‎ ‎（2）这100名学生语文成绩的平均分为：（分）。‎ ‎（3）数学成绩在的人数为：，‎ 数学成绩在的人数为：，‎ 数学成绩在的人数为：，‎ 数学成绩在的人数为：‎ ‎ 所以数学成绩在之外的人数为：。‎ ‎20．解：(1)由AC＝BC，D为AB的中点，得CD⊥AB.又CD⊥AA1，故CD⊥面A1ABB1，所以点C到平面A1ABB1的距离为 CD＝＝.‎ ‎(2)解法一：如图，取D1为A1B1的中点，连结DD1，则DD1∥AA1∥CC1.又由(1)知CD⊥面A1ABB1，故CD⊥A1D，CD⊥DD1，所以∠A1DD1为所求的二面角A1－CD－C1的平面角．‎ 因A1D为A1C在面A1ABB1上的射影，又已知AB1⊥A1C，由三垂线定理的逆定理得AB1⊥A1D，从而∠A1AB1、∠A1DA都与∠B1AB互余，因此∠A1AB1＝∠A1DA，所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A.因此＝，即AA＝AD·A1B1＝8，得AA1＝2.‎ 从而A1D＝＝2.‎ 所以，在Rt△A1DD1中，‎ cos∠A1DD1＝＝＝.‎ 解法二：如图，过D作DD1∥AA1交A1B1于点D1，在直三棱柱中，易知DB，DC，DD1两两垂直．以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz.‎ 设直三棱柱的高为h，则A(－2,0,0)，A1(－2,0，h)，B1(2,0，h)，C(0，，0)，C1(0，，h)，从而＝(4,0，h)，＝(2，，－h)．‎ 由⊥，有8－h2＝0，h＝2.‎ 故＝(－2,0,2)，＝(0,0,2)，＝‎ ‎(0，，0)．‎ 设平面A1CD的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则m⊥，m⊥，即 取z1＝1，得m＝(，0,1)，‎ 设平面C1CD的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则n⊥，n⊥，即 取x2＝1，得n＝(1,0,0)，所以 cos〈m，n〉＝＝＝.‎ 所以二面角A1－CD－C1的平面角的余弦值为.‎ ‎21．解：(1)设点P的坐标为(x0，y0)．‎ 由题意，有＋＝1.　①‎ 由A(－a,0)，B(a,0)，得kAP＝，kBP＝.‎ 由kAP·kBP＝－，可得x＝a2－2y，代入①并整理得(a2－2b2)y＝0.由于y0≠0，故a2＝2b2.于是e2＝＝，所以椭圆的离心率e＝.‎ ‎(2)证明：(方法一)‎ 依题意，直线OP的方程为y＝kx，‎ 设点P的坐标为(x0，y0)．‎ 由条件得消去y0并整理得 x＝.②‎ 由|AP|＝|OA|，A(－a,0)及y0＝kx0，得(x0＋a)2＋k2x＝a2.整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0.而x0≠0，于是x0＝，代入②，整理得(1＋k2)2＝4k22＋4.由a＞b＞0，故(1＋k2)2＞4k2＋4，即k2＋1＞4，因此k2＞3，所以|k|>.‎ ‎(方法二)依题意，直线OP的方程为y＝kx，可设点P的坐标为(x0，kx0)．由点P在椭圆上，有＋＝1.因为a＞b＞0，kx0≠0，所以＋＜1，‎ 即(1＋k2)x＜a2.③‎ 由|AP|＝|OA|，A(－a,0)，得(x0＋a)2＋k2x＝a2，整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0，于是x0＝，代入③，得(1＋k2)＜a2，解得k2＞3，所以|k|＞.‎ ‎22、【解析】 ‎