专题63+圆的方程（检测）-2019年高考数学（理）名师揭秘之一轮总复习
【学习目标】
1.掌握圆的标准方程和一般方程，会用圆的方程及其几何性质解题.
2.能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，解决与圆有关的问题.
【知识要点】
1．圆的定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合，其中定点是圆心，定长为半径．
2．圆的方程
(1)圆的标准方程
圆心是(a，b)，半径r的圆的标准方程是_____________________．
当圆心在(0，0)时，方程为________________________．
(2)圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0可变形为＋＝_____________________________．
故有：①当D2＋E2－4F>0时，方程表示以_________为圆心，以_____________________为半径的圆；
②当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点__________________；
③当D2＋E2－4F<0时，方程不表示任何图形．
(3)P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系：
①若(x0－a)2＋(y0－b)2>r2，则点P在圆外；
②若(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，则点P在圆上；
③若(x0－a)2＋(y0－b)2
f(－x)＋x的解集为( )
A． ∪(0,1]
B． [－1,0)∪
C． ∪
D． ∪
【答案】C
【解析】
【分析】
由函数的图象可知，函数y=f（x）是奇函数，则不等式f（x）＞f（﹣x）+x等价为f（x）＞﹣f（x）+x，即2f（x）＞x成立．解不等式即可．
【详解】
函数的图象可知，函数y=f（x）是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），
所以不等式f（x）＞f（﹣x）+x等价为f（x）＞﹣f（x）+x，即f（x）．
对应圆的方程为x2+y2=1，联立直线y=得，x=，
所以由图象可知不等式f（x）＞f（﹣x）+x的解集为[﹣1，﹣）∪（0，）．
故答案为：C
【点睛】
(1)本题主要考查函数奇偶性的应用，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理数形结合能力.（2利用图象的对称性判断函数是奇函数是解决本题的关键，然后利用直线与圆的方程解方程即可．
25．以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是( )
A． (x－1)2＋(y－2)2＝10 B． (x－1)2＋(y－2)2＝100
C． (x－1)2＋(y－2)2＝5 D． (x－1)2＋(y－2)2＝25
【答案】D
【解析】分析：由条件求出圆心坐标和半径的值，从而得出结论．
详解：
圆心坐标为(1,2)，半径r＝＝5，
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.故选D.
点睛：本题主要考查求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，属于基础题．
26．若点P(2，－2)在圆O′：(x－a)2＋(y－a)2＝16的内部，则实数a的取值范围是( )
A． －2＜a＜2 B． 0＜a＜2
C． a＜－2或a＞2 D． a＝±2
【答案】A
【解析】分析：利用点P（2，-2）到圆心O′（a，a）的距离小于半径4即可得答案．
故选A.
点睛：本题考查点与圆的位置关系，考查理解与运算能力，属于基础题．
27．圆心为且过原点的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】分析：因为圆心为且过原点，根据两点间的距离公式可求得圆的半径。进而根据圆的标准方程可得圆的方程为。
详解：因为圆心为且过原点，
所以圆的半径
所以圆的方程为。
故选D。
点睛：圆上的任意一点到圆心的距离等于半径。知道圆的圆心或半径，求圆的方程时，应考虑用圆的标准方程。本题考查圆的标准方程及学生的运算能力。
28．已知平面上的两个向量和满足，，，，若向量
，且，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分析：可设，则，，利用可求得的轨迹，利用向量模的几何意义求解即可.
详解：
，
不妨设，
则，，
，
化为
即，
即在以为圆心，以为半径的圆上，
设，则，
即在以原点为圆心，以为半径的圆上，
根据向量模的几何意义，由图可知最大值为，故选B.
点睛：本题主要考查向量模的坐标表示以及动点的轨迹方程，属于难题. 求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.本题就是利用方法③轨迹方程的.
29．已知圆的方程圆心坐标为，则它的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分析：先根据圆心坐标求出a的值，再求圆的半径.
点睛：(1)本题主要考查圆的一般方程，意在考查学生对该基础知识的掌握能力. (2) 当时，表示圆心为，半径为的圆.
30．如图所示，点分别在轴与轴的正半轴上移动，且，若点从移动到，则的中点经过的路程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分析：设的中点，由，可得，根据的变化规律求出从变到，从而可得结果.
详解：设的中点，，
，当点从移动到时，从变到，
圆心角变化经过的路程为，故选D.
点睛：本题主要考查直接法求轨迹方程、弧长公式的应用，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.
二、填空题
31．若动点在直线上，动点Q在直线上，记线段的中点为
，且，则的取值范围为 ________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意判断出点M的轨迹，利用点到直线的距离公式求得最小值，进而联立直线和圆的方程求得点B的坐标，即可求得最大值，得到答案.
【详解】
因为动点在直线上，动点Q在直线上，
直线与直线狐仙平行，
动点在直线上，动点在直线上，
所以的中点在与平行，且到的距离相等的直线上，
设该直线为，其方程为，
因为线段的中点为，且，
点在圆的内部或在圆上，
设直线角圆于，可得点在线段上运动，
因为表示的几何意义为线段上的点到原点的距离的平方，
所以原点到直线的距离的平方为最小，
所以的最小值为，为最大，
联立 ，解得，
当与重合时，的最大值为，即的最大值为，
所以的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的方程的综合应用，同时解答中涉及到直线的方程，圆的方程和点到直线的距离公式等基础知识的综合运用，着重考查了函数与方程思想，以及转化的数学思想的应用，试题有一定难度，属于中档试题.
32．如图所示，放置的边长为1的正方形沿轴滚动，点恰好经过原点．设顶点的轨迹方程是，则对函数有下列判断：
①若，则函数是偶函数；
②对任意的，都有；
③函数在区间上单调递减；
④函数在区间上是减函数．
其中判断正确的序号是________．(写出所有正确结论的序号)
【答案】①②④
【解析】
【分析】
根据正方形的运动，得到点P的轨迹方程，然后根据函数的图象和性质分别进行判断即可．
【详解】
【点睛】
本题考查的知识点是函数图象的变化，其中根据已知画出正方形转动过程中的一个周期内的图象，利用数形结合的思想对本题进行分析是解答本题的关键．
33．记不等式组表示的平面区域为，则圆在区域内的弧长为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据不等式组，画出可行域和圆的曲线，求得两条直线夹角，进而求得区域内的弧长。
【详解】
根据所给不等式组，画出可行域如下图所示
所以两条直线形成的夹角为
所以圆在区域内的弧长为
【点睛】
本题考查了线性规划的简单应用，圆方程曲线，应用正切函数的差角公式时注意角的符号，属于中档题。
34．若直线l：与x轴相交于点A，与y轴相交于B，被圆截得的弦长为4，则为坐标原点的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
先求得圆的圆心与半径，可知直线一定过圆心得。又，
，由均值不等式可求得最值。
【详解】
由题意可得的圆心为（-1，2），半径为2,而截得弦长为4，所以直线过圆心得，又，
所以
当且仅当时等号成立。
【点睛】
本题综合考查直线与圆，均值不等式求最值问题，本题的关键是由弦长为4，判断出直线过圆心。
35．已知x,y满足－4－4＋＝0, 则的最大值为____
【答案】
【解析】
【分析】
现化简曲线的方程，判定曲线的形状，在根据的意义，结合图形即可求解．
【详解】
【点睛】
本题主要考查了圆的标准方程及其特征的应用，其中把转化为原点到圆上的点之间的距离是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
36．在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于两点，为轴上一动点，则周长的最小值为______．
【答案】14
【解析】
【分析】
由题意，设直线与圆的一个交点关于轴的对称点为，得恰为圆的直径，进而得到，即可求解周长的最小值.
【详解】
设直线与圆的一个交点关于轴的对称点为，易知恰为圆的直径，
记与x轴交于点，则，
所以的周长的最小值为，
又由点到直线的距离公式可得，圆心到直线的距离为，
所以由圆的弦长公式可得，
又在直角中，，所以，
所以的周长的最小值为14.
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用问题，以及圆的性质的应用，其中解答中合理 应用直线与圆的位置关系和圆的基本性质是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题.
37．在平面直角在平面直角坐标系中，已知圆，圆，动点在直线上的两点之间，过点分别作圆的切线，切点为，若满足，则线段的长度为____．
【答案】.
【解析】
【分析】
先分析得到，再得到点P的轨迹为，求直线截圆的弦长，即得线段的长度.
【详解】
由得，所以，
所以，设，所以，
即，点P在圆上及圆内，
圆心到直线的距离为，
因为EF为直线截圆所得的弦，所以．
故答案为：
【点睛】
（1）本题主要考查直线和圆的位置关系，考查点的轨迹和圆的弦长的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是得到点P的轨迹为.
38．已知曲线的方程为，过平面上一点作的两条切线，切点分别为，且满足.记的轨迹为，过平面上一点作的两条切线，切点分别为，且满足.记的轨迹为，按上述规律一直进行下去，…，记，且为数列的前项和，则满足的最小正整数为__________．
【答案】5
【解析】
【分析】
由题意可知轨迹分别是半径为的圆，故，
求出，解不等式足即可.
【详解】
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式与求和公式，考查数列递推公式、两点间距离公式、直线与圆相切的性质、勾股定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
39．下列命题中所有正确命题的序号为______．
若方程表示圆，那么实数；
已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，令，则的图象关于原点对称；
在正方体中，E、F分别是AB和的中点，则直线CE、F、DA三线共点；
幂函数的图象不可能经过第四象限．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意逐一考查所给命题的真假即可.
【详解】
幂函数的图象肯定经过第一象限，可能经过第二或第三象限，不可能经过第四象限，该命题为真命题；
据此可得：正确命题的序号为.
【点睛】
本题主要考查命题真假的判断，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
40．在平面直角坐标系中，三点,，，则三角形的外接圆方程是__________．
【答案】
【解析】
分析：可以设圆的方程为，由
三点在圆上，三点坐标代入所设方程，解方程组可得的值，从而可得三角形的外接圆方程.
详解：设三角形的外接球方程是，由点,，在圆上可得，，解得，故三角形的外接球方程为，故答案为.
点睛：本题主要考查圆的方程和性质，属于中档题.求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标 ，根据题意列出关于的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.
三、解答题
41．已知圆内一点，直线过点且与圆交于，两点.
（1）求圆的圆心坐标和面积；
（2）若直线的斜率为，求弦的长；
（3）若圆上恰有三点到直线的距离等于，求直线的方程．
【答案】(1)见解析;(2);(3)，或．
【解析】
【分析】
（1）化圆的一般式为标准方程：得出圆的圆心坐标为，半径即可。
（2）先求圆心到直线的距离为，再利用半径，距离，半弦长构成直角三角形求解即可。
（3）圆上恰有三点到直线的距离等于，等价于圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式求解。
【详解】
（1）圆的圆心坐标为，半径，面积为；
（2）直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
；
【点睛】
利用圆与直线的几何性质解圆有关的问题常见解法，圆心到直线的距离、半径、弦长之间的关系为。设点，直线方程为，点到直线的距离公式为.
42．已知方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，
（1）若方程C表示圆，求实数m的范围；
（2）在方程表示圆时，该圆与直线l：x+2y﹣4=0相交于M、N两点，且|MN|=，求m的值．
【答案】（1）（﹣∞，5）（2）m=4
【解析】
【分析】
（1）由圆的一般方程的定义知4+16﹣4m＞0，由此能法语出实数m的取值范围．
（2）求出圆心到直线x+2y﹣4=0的距离，由此利用已知条件能求出m的值．
【详解】
（1）∵方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0表示圆，
∴D2+E2﹣4F＞0，
即4+16﹣4m＞0解得m＜5，
∴实数m的取值范围是（﹣∞，5）．
（2）∵方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，
∴（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，
圆心（1，2）到直线x+2y﹣4=0的距离d==，（8分）
∵圆与直线l：x+2y﹣4=0相交于M、N两点，且|MN|=，
∴，
解得m=4．
【点睛】
本题考查圆的方程中参数m的取值范围，考查圆的方程中m的值的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．
43．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1（a＞0）关于直线3x﹣2y=0对称，且与直线3x﹣4y+1=0相切．
（1）求圆C的方程；
（2）若直线l：y=kx+2与圆C交于M，N两点，是否存在直线l，使得（O为坐标原点）若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（x﹣2）2+（y﹣3）2=1（2）不存在直线l
【解析】
【分析】
（1）根据题意，分析可得，解可得a、b的值，由圆的标准方程即可得答案；
（2）假设存在满足题意的直线l，设M（x1，y1）N（x2，y2），联立直线与圆的方程，由直线与圆相交可得△=（2k+4）2﹣16（1+k2）＞0，由数量积的计算公式可得•=（1+k2）++4=6，解可得k的值，验证是否满足△＞0，即可得答案．
【详解】
（1）根据题意，圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1（a＞0）关于直线3x﹣2y=0对称，
即圆心（a，b）在直线3x﹣2y=0上，
圆C与直线3x﹣4y+1=0相切，则C到直线l的距离d=r=1，
则有，
解得或（舍）
∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=1．
（2）假设存在直线l，使得=6，设M（x1，y1）N（x2，y2），
由得（1+k2）x2﹣（2k+4）x+4=0，
由△=（2k+4）2﹣16（1+k2）＞0得，且，
•=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=（1+k2）++4=6，
解得k=﹣1或，不满足△＞0，
所以不存在直线l，使得=6．
【点睛】
本题考查直线与圆方程的综合应用，涉及向量数量积的计算，注意圆C关于直线3x﹣2y=0对称，则圆心在直线上．
44．已知点，圆：，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.
（1）求的轨迹方程；
（2）当时，求的方程及的面积
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由圆的方程求出圆心坐标和半径，设出坐标，由与数量积等于0列式得的轨迹方程；（2）设的轨迹的圆心为，由得到．求出所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到所在直线方程，由点到直线的距离公式求出到的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出的长度，代入三角形面积公式得答案．
【详解】
（1）圆的方程可化为，所以，圆心为，半径为4，
设，则，
由题设知，故
，即
由于点在圆的内部，所以的轨迹方程是.
【点睛】
求轨迹方程的常用方法：
（1）直接法：直接利用条件建立， 之间的关系；
（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程；
（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；
（4）代入(相关点)法：动点依赖于另一动点的变化而运动，常利用代入法求动点的轨迹方程．
45．已知点，求
（1）过点A,B且周长最小的圆的方程；
（2）过点A,B且圆心在直线上的圆的方程．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
(1)当为直径时，过的圆的半径最小，从而周长最小，进而求得圆心的坐标和圆的半径，即可得到圆的方程．
(2) 解法1：的斜率为时，则的垂直平分线的方程
，进而求得圆心坐标和圆的半径，得到圆的标准方程；
解法2：设圆的方程为：，列方程组，求得的值，即可得到圆的方程．
【详解】
(1)当AB为直径时，过A、B的圆的半径最小，从而周长最小．即AB中点(0,1)为圆心，
半径r＝|AB|＝.则圆的方程为：x2＋(y－1)2＝10.
【点睛】
本题主要考查了圆的标准方程的求解，其中熟记圆的标准方程和根据题设条件，求解圆的圆心坐标和圆的半径是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．
46．已知圆C： .
(1)若直线在y轴上的截距为0且不与x轴重合，与圆C交于，试求直线:在x轴上的截距;
（2）若斜率为1的直线与圆C交于D,E两点，求使面积的最大值及此时直线的方程.
【答案】（1）；（2）的最大值为2，直线的方程为或.
【解析】
【分析】
（1）根据题意设直线：，联立消元可得，，化简
，即可写出直线m（2）设直线的方程：，利用圆心距，半径，半弦长构成直角三角形求出弦长，写出三角形面积求最值即可.
【详解】
（1）圆C：，设直线：，联立，则有：，故，
则，故直线:，
令，得为直线在x轴上的截距.
【点睛】
本题主要考查了圆、圆与直线的位置关系，均值不等式，属于难题.解决面积最值问题，一般要先表示出三角形的面积，然后根据表达式选择合适的求最值方法，本题采用了均值不等式求最值的方法.
47．求圆心C在直线上，且经过原点及点的圆C的方程.
【答案】.
【解析】
【分析】
求出的中垂线方程，与直线联立求出圆心坐标，从而可得圆的半径，进而可得到圆的方程.
【详解】
弦直线方程，且中点
的中垂线：.
联立得圆心，则半径
圆方程为.
【点睛】
本题主要考查圆的方程和性质，属于简单题. 求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标 ，根据题意列出关于的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.
48．已知圆C的圆心在直线上，且与直线相切，被直线截得的弦长为，求圆C的方程.
【答案】.
【解析】
【分析】
可设圆心为，半径为，利用圆与直线相切及圆被另一直线所截弦长得到关于的方程组，解出即可．
【详解】
【点睛】
求圆的标准方程，有两种基本思路：
（1）确定圆心的位置，再计算圆的半径，注意圆心在弦的中垂线上，也在过切点且垂直于切线的直线上；
（2）设出圆心的坐标和半径，利用题设条件得到圆心坐标、半径的方程组，解这个方程组即可.
49．已知关于x，y的方程C：x2+y2-2x-4y+m=0．
（1）若方程C表示圆，求m的取值范围；（2）若圆C与圆x2+y2
-8x-12y+36=0外切，求m的值；（3）若圆C与直线l：x+2y-4=0相交于M，N两点，且|MN|=，求m的值．
【答案】（1）；（2）4；（3）4
【解析】
【分析】
（1）直接把圆的一般式转化为标准式，进一步求出圆的成立的充要条件．
（2）直接利用圆与圆相切的充要条件求出结果．
（3）利用直线与圆的位置关系，进一步利用垂径定理求出m的值．
【详解】
（1）把方程C：x2+y2-2x-4y+m=0，配方得：（x-1）2+（y-2）2=5-m，
若方程C表示圆，则5-m＞0，解得m＜5；
（3）因为圆C圆心C的坐标为（1，2），则圆心C到直线l的距离d==，
所以=（|MN|）2+d2，即5-m=1，解得m=4．
【点睛】
本题考查圆成立的充要条件的应用，圆与圆的位置关系的应用，直线与圆的位置关系的应用及相关的垂径定理得应用，属中档题．
50．已知关于x，y的方程C：．
若方程C表示圆，求实数m的取值范围；
若圆C与直线l：相交于M，N两点，且，求m的值．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
由题意利用判别式得到关于m的不等式，求解不等式可得．
由题意可得圆心到直线的距离，利用集合关系可知圆的半径为1，利用半径公式计算可得．
【详解】
若方程C：表示圆，
则，
解得．
【点睛】
圆的弦长的常用求法
(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则；
(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：.
