数学理卷·2017届湖北省荆门市高三元月调考（2017

数学理卷·2017届湖北省荆门市高三元月调考（2017

荆门市2017年高三年级元月调考 数学（理科）‎ 注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名.准考证号填在答题卡上.‎ ‎2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效.‎ ‎3. 填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效.‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知集合，，则等于 A． B． C． D．（‎ ‎2．已知和是实数，是虚数单位，，则 等于 A． B．5 C． D．‎ ‎3．函数的值域为 ‎　 A． B． C． D．‎ ‎4．执行如下图所示的程序框图，则输出的结果是 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ 第4题图 第5题图 ‎5．如上图，某几何体的三视图中，正视图和侧视图都是半径为的半圆和相同的正三角形，其中三角形的上顶点是半圆的中点，底边在直径上，则它的表面积是 A． B．8 C．10 D．11‎ ‎6. 函数的大致图象为 ‎ ‎ A B C D (1) 若将函数图象上的每一个点都向左平移个单位，得到的图象，‎ ‎ 则函数的单调递增区间为 A． B．‎ C． D．‎ (2) ‎《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“禾盖”的术：置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一. 该术 ‎ 相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式.它实际上 ‎ 是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3. 那么，近似公式相当于将圆锥体 ‎ 积公式中的圆周率近似取为 A． B． C． D．‎ ‎9. 已知椭圆C：的右焦点为，圆，双 ‎ 曲线以椭圆C的焦点为顶点,顶点为焦点，若双曲线的两条渐近线都与圆相切，则椭圆 ‎ C的离心率为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎10．某公司门前有一排9个车位的停车场，从左往右数第三个，第七个车位分别停着A车和B车，同时进来C，D两车，在C，D不相邻的条件下，C和D至少有一辆与A和B车相邻的概率是 A． B． C． D．‎ ‎11．定义在R上的奇函数满足，当时, ，则函数的零点个数是 ‎ A． 4 B． 5 C．6 D． 7‎ ‎12．如果，，，就称表示的整数部分，表示的小数 ‎ 部分.已知数列满足，，则等于 ‎ A. B． C． D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分）‎ ‎13．向量，，则的模等于 ▲ .‎ ‎14．展开式的常数项为15，则实数 ▲ .‎ ‎15．若满足约束条件，目标函数的最小值为1，则实数的值 为 ▲ .‎ (3) 在中，角的对边分别为，且，若的面积为 ‎ ，则的最小值为 ▲ . ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本题满分12分）‎ 已知数列的前项和为，，当时，.‎ ‎（Ⅰ）求，和通项；‎ ‎（Ⅱ）设数列满足，求的前项和.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 我市每年中考都要举行实验操作考试和体能测试，初三某班共有30名学生，下表为该班 学生的这两项成绩，例如表中实验操作考试和体能测试都为优秀的学生人数为6人.由于 部分数据丢失，只知道从这班30人中随机抽取一个，实验操作成绩合格,且体能测试成 实验操作 不合格 合格 良好 优秀 体 能 测 试 不合格 ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ 合格 ‎0‎ ‎2‎ ‎1‎ b 良好 ‎1‎ a ‎2‎ ‎4‎ 优秀 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎6‎ 绩合格或合格以上的概率是.‎ ‎ （Ⅰ）试确定、的值；‎ ‎ （Ⅱ）从30人中任意抽取3人，设实 ‎ 验操作考试和体能测试成绩都是 ‎ 良好或优秀的学生人数为，求 ‎ 随机变量的分布列及数学期望 ‎ ．‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ 如图，在五面体ABCDEF中，底面ABCD是正方形，都是等边三角形，‎ 第19题图 ‎ EF∥AB，且EFAB ，M,O分别为的中点,连接.‎ ‎ （Ⅰ）求证：MO⊥底面ABCD； ‎ ‎ （Ⅱ）若EF=2AB，求二面角的余弦值. ‎ ‎ ‎ ‎20．（本题满分12分）‎ 椭圆C：的短轴两端点为、，离心率，‎ 点P是椭圆C上不在坐标轴上的任意一点，直线和分别与轴相交于M,N两点，‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程和的值；‎ 第20题图 ‎（Ⅱ）若点坐标为，过点的直线与椭圆C相交于两点，试求 面积的最大值.‎ ‎21．(本题满分12分)‎ ‎ 已知二次函数（为常数，.‎ ‎ （Ⅰ）当时，求函数在区间上的最大值；‎ ‎ （Ⅱ）记函数图象为曲线C，设点是曲线C上不同的两点，点M为线段AB的中点，过点M作轴的垂线交曲线C于点N．判断曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB？并说明理由．‎ 请考生从第（22）、（23）两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4:极坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），‎ ‎（Ⅰ）以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线的极坐标方程；‎ ‎ （Ⅱ）直线的方程为，求直线被曲线截得的弦长．‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若关于的不等式有解，求实数的取值范围．‎ 荆门市2017年高三年级元月调考 数学（理科）参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ BBDCC CBAAB CD 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）‎ ‎13． 14． 15． 16． 12 ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.(I)，当时，，则，‎ ‎ 当时，，则，…………………………………2分 ‎ 当时，，当时，，‎ ‎ 当时，，‎ ‎ 即时，，所以， ………………………………………4分 ‎ 因为，，所以…，‎ ‎ 因此，当时，，故. ………………………………………6分 ‎(Ⅱ)由(I)可知，，所以当时，，……………………8分 ‎ 当时，……，‎ ‎ 则…，‎ ‎ 作差得：…‎ ‎ 故，. ……………………………………………………12分 ‎18.（Ⅰ）由表格数据可知，实验操作成绩合格、且体能测试成绩合格或合格以上的学生共有人，记“实验操作成绩合格、且体能测试成绩合格或合格以上”为事件，则，解得，所以．‎ ‎ 答：的值为2，的值为4． ……………………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）由于从30位学生中任意抽取3位的结果数为，其中实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的学生人数为15人，从30人中任意抽取3人，其中恰有个实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的结果数为，所以从30人中任意抽取3人，其中恰有人实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的的概率 ‎ 为，，的可能取值为，‎ ‎ 则，，‎ ‎ ，， …………………………8分 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以的分布列为 ‎. ………………………………12分 ‎19．（Ⅰ）证法一：取BC、AD中点G、H，连接EH、FG、HG，‎ 又因为EF∥AB，所以EF∥平面ABCD，则EF∥HG，‎ 由EH=FG，可知EFGH是等腰梯形， …………………………………2分 M和O分别为EF和HG的中点，则MO⊥HG. ‎ ‎ 因为均为正三角形，所以EH⊥AD、FG⊥BC、HG⊥BC，‎ 则 BC⊥平面EFGH， …………………………………4分 MO在平面EFGH内，所以BC⊥MO；‎ 又MO⊥HG，HG和BC是底面ABCD上的两条相交直线，‎ 故MO⊥底面ABCD. …………………………………6分 ‎ 证法二：连接AC、AM、CM，则O为AC中点，‎ 因为EF∥AB，所以EF∥平面ABCD，则EF∥CD，‎ 因为均为正三角形，则EA=ED=FB=FC，‎ 可知EFBA和EFCD是全等的等腰梯形， …………………………………2分 因为M为EF中点，则MA=MB=MC=MD. ‎ 所以MAC和MBD是全等的等腰三角形， …………………………………4分 所以MO⊥AC，MO⊥BD，‎ 又AC和BD是底面ABCD上的两条相交直线，‎ 故MO⊥底面ABCD. …………………………………6分 ‎ （Ⅱ）方法一：过F作OG延长线的垂线交于N点，连接BN，‎ 因为EF=2AB，所以MF=ON=AB，，则BO⊥BN，‎ 又FN∥MO，所以FN⊥底面ABCD，则FN⊥BO，所以BO⊥平面BFN，‎ 则BO⊥BF，因此∠FBN为二面角F—BD—N的平面角，………………………………9分 设AB，则EM=MF=ON,‎ 则，又，‎ 所以∠FBN，即二面角F—BD—N为，同样二面角E—BD—A为，‎ 因此二面角为，则所求余弦值为0. ……………………………………12分 方法二：以O为坐标原点，直线HG、OM分别为轴、轴，建立空间直角坐标系，‎ 过F作OG延长线的垂线交于N点，连接BN，‎ 因为EF=2AB，设AB，则EM=MF=ON，‎ 则，则B，‎ D，F，‎ E,设平面BDE的法向量为 ‎，‎ 则，，‎ ‎,, 取,…………9分 设平面BDF的法向量为，则,‎ 取, 因为，即，‎ ‎ 所以平面BDE⊥平面BDF，因此二面角为，则所求余弦值为0. …12分 ‎20.（Ⅰ）由、，知,…………………………………………………………1分 又，所以,‎ 则，所以椭圆C的方程为, ………………………………………………3分 设点，则直线方程为,‎ 令得，同理可得,‎ ‎. ……………………………………5分 ‎（Ⅱ）当点坐标为时，点，, ………………………………………6分 ‎ 设直线的方程为，，,‎ ‎ 代入方程得,则，…………8分 ‎,‎ ‎，…………………………10分 因为，所以，‎ 因此当，即直线的方程为时，面积的最大值是.…………12分 ‎21．（Ⅰ），…………1分 当时，由，得，，又，则有如下分类： ‎ ‎ ①当，即时， 在上是增函数，‎ ‎ 所以． …………………………………………………2分 ‎ ②当，即时，在上是增函数，‎ ‎ 在上是减函数，‎ ‎ 所以． ………………………………………………3分 ‎ ③当，即时，在上是减函数，‎ ‎ 所以． ………………………………………………4分 ‎ 综上，函数在上的最大值为 ‎ ， ………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）设，则点的横坐标为，‎ ‎ 直线的斜率 ‎ ‎，‎ ‎…………………………………7分 在点处的切线斜率 ‎ ，‎ 假设曲线在点处的切线平行于直线，则，‎ 即，………………………………………………………………………8分 所以 ，‎ 不妨设，，则，……………………………………………10分 令，，‎ 所以在上是增函数，又，所以，即不成立，‎ 所以曲线在点处的切线不平行于直线. …………………………………………12分 ‎22.（Ⅰ）曲线C的普通方程为，即，………………2分 将代入，得；‎ 所以，曲线C的极坐标方程是． ……………………………………5分 ‎ （Ⅱ）曲线的方程，则, ………………………………………7分 ‎ 将代入解得和 ‎ 即交点，，弦长为. …………………………………………10分 ‎23. （Ⅰ）不等式，即,‎ 可化为①或②或③， ……3分 解①得，解②得，解③得 综合得 ，即原不等式的解集为. ……………………………5分 ‎（Ⅱ）因为，‎ 当且仅当时，等号成立，即，……………………………………8分 又不等式有解，则,解得或.…………………10分 ‎ 命题：胡国鹏 周德宇 审校：方延伟 李永华 陈启鹏