【数学】2020届一轮复习人教B版　等差数列的基本量的运算学案

【数学】2020届一轮复习人教B版　等差数列的基本量的运算学案

考查角度1　等差数列的基本量的运算 ‎　　分类透析一　等差数列与数学文化 例1 (2018石嘴山一模)《张丘建算经》是中国古代的数学著作,书中有一道题为“今有女善织,日益功疾(注:从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布),第一天织5尺布,现一月(按30天计)共织390尺布”,则从第2天起每天比前一天多织(　　)尺布.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　A. B. C. D.‎ 解析 设此等差数列{an}的公差为d,‎ 则30×5+d=390,‎ 解得d=.‎ 答案 C 方法技巧 此题考查等差数列的实际应用,解决本题的关键是能够判断织布的过程是等差数列.等差数列的判断方法主要有以下两种:(1)定义法,证明an-an-1=d(n≥2,d为常数);(2)等差中项法,证明2an=an-1+an+1(n≥2).‎ 分类透析二　 涉及等差数列的基本量 命题点1　首项与公差类 例2 (2018商洛模拟)在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则2a9-a10的值为(　　).‎ A.20 B.22 C.24 D.-8‎ 解析 ∵在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,∴5a8=120,∴a8=24,∴2a9-a10=a1+7d=a8=24.‎ 答案 C 方法技巧 等差数列的通项公式以及前n项和公式共涉及五个量,已知其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”).‎ 命题点2　公差与前n项和类 例3 (2018沙市区校级二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S10=-10,a5=a3+4,则S30=(　　).‎ A.10 B.178 C.180 D.570‎ 解析 设公差为d,由a5=a3+4,‎ 得2d=a5-a3=4,∴d=2.‎ ‎∵S10=-10,‎ ‎∴10a1+×2=-10,‎ 解得a1=-10,‎ ‎∴S30=30×(-10)+×2=570.‎ 答案 D 方法技巧 当已知前n项和的通项公式时,应联立解出首项和公差,然后求出其他相应的量.‎ 命题点3　首项与前n项和类 例4 (2018历城区校级一模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2+a8=2am=24,a1=2,则S2m=　　　　. ‎ 解析 ∵数列{an}是等差数列,且a2+a8=2am=24,‎ ‎∴m=5,a5=12.‎ ‎∵a1=2,∴a5=2+4d=12,解得d=,‎ ‎∴S2m=S10=10×2+×=.‎ 答案 ‎ 方法技巧 利用等差数列的性质“若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则有am+an=ap+aq”可以有效地简化计算,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.‎ 分类透析三　等差数列的实际应用 例5 (2018合肥二模)中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子做盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是把996斤绵分给8个儿子做盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是(　　).‎ A.174斤 B.184斤 C.191斤 D.201斤 解析 由题意可知,此数列为等差数列,以第8个儿子分到的绵的斤数为首项,则公差d=-17,n=8,S8=996,‎ ‎∴8a1+×(-17)=996,‎ 解得a1=184.‎ 答案 B 方法技巧 对于数列的实际应用题,首先应该审清题意,弄清楚考查的是等差数列还是等比数列,然后根据题意得出首项,公差(公比),前n项和等相关信息,进而求出结果. ‎ ‎1.(2018年全国Ⅰ卷,理4改编)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2=-2013,S2017=2017,则S2018=　　　　. ‎ 解析 由a2=-2013,S2017=2017,‎ 得a2=a1+d=-2013,S2017=2017a1+d=2017,‎ 解得a1=-2015,d=2,‎ ‎∴a2018=a1+2017d=2019,‎ ‎∴S2018=S2017+a2018=2019+2017=4036.‎ 答案 4036‎ ‎2.(2018年北京卷,理9改编)设{an}是等差数列,且a3+a5=42,a4+a2=30,则{an}的通项公式为　　　　. ‎ 解析 ∵{an}是等差数列,且a3+a5=42,a4+a2=30,‎ ‎∴a4=21,a3=15,解得a1=3,d=6,‎ ‎∴an=a1+(n-1)d=3+(n-1)×6=6n-3.‎ ‎∴{an}的通项公式为an=6n-3.‎ 答案 an=6n-3‎ ‎3.(2017年全国Ⅰ卷,理4改编)已知在等差数列{an}中,a4=-5,前5项和S5=-15,则数列{an}的公差为(　　).‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.-3 B.- C.-2 D.-1‎ 解析 设等差数列{an}的公差为d,‎ 在等差数列{an}中,a4=-5,S5==5a3=-15,即a3=-3,‎ 故d=a4-a3=-5-(-3)=-2.‎ 答案 C ‎4.(2017年全国Ⅱ卷,理15改编)等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,S2=3,则=　　　　. ‎ 解析 由等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,S2=3,‎ 易得数列{an}的首项为1,公差为1,‎ 所以Sn=,==2,‎ 则=2‎ ‎=2=.‎ 答案 ‎ ‎1.(2018兴安盟一模)在等差数列{an}中,an>0,++2a1a7=4,则它的前7项之和等于(　　).‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A. B.5 C. D.7‎ 解析 ∵在等差数列{an}中,an>0,++2a1a7=4,‎ ‎∴(a1+a7)2=4,∴a1+a7=2,‎ ‎∴S7=(a1+a7)=×2=7.‎ 答案 D ‎2.(2018岳麓区校级二模)设等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意的n∈N*,都有=,则的值为(　　).‎ A. B. C. D.‎ 解析 由等差数列的性质和求和公式可得====.‎ 答案 B ‎3.(2018上城区校级模拟)各项都是正数的等比数列{an}中,a2,a3,a1成等差数列,则的值是(　　).‎ A. B.‎ C. D.或 解析 设{an}的公比为q(q>0),‎ 由a3=a2+a1,得q2-q-1=0,‎ 解得q=,‎ ‎∴==.‎ 答案 A ‎4.(2018兴庆区校级二模)等差数列{an}的前11项和S11=88,则a3+a9=(　　).‎ A.32 B.24 C.16 D.8‎ 解析 ∵等差数列{an}的前11项和S11=88,‎ ‎∴S11==88,‎ ‎∴a1+a11=16,‎ 根据等差数列的性质可得a3+a9=a1+a11=16.‎ 答案 C ‎5.(2018湖北模拟)在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=110,记Sn为数列{an}的前n项和,则S15的值为(　　).‎ A.300 B.330 C.350 D.360‎ 解析 在等差数列{an}中,由a4+a6+a8+a10+a12=110,得5a8=110,即a8=22.‎ ‎∴S15==15a8=15×22=330.‎ 答案 B ‎6.(2018广州一模)等差数列{an}的各项均不为零,其前n项和为Sn,若=an+2+an,则S2n+1=(　　).‎ A.4n+2 B.4n C.2n+1 D.2n 解析 在等差数列{an}中,‎ 由=an+2+an,得=2an+1.‎ ‎∵等差数列{an}的各项均不为零,‎ ‎∴an+1=2,则S2n+1==(2n+1)an+1=4n+2.‎ 答案 A ‎7.(2018祁阳县二模)在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,若a3+a4+a8=25,则S9=(　　).‎ A.60 B.75 C.90 D.105‎ 解析 设等差数列{an}的公差为d,∵a3+a4+a8=25,‎ ‎∴3a1+12d=25,∴a5=a1+4d=,‎ ‎∴S9=(a1+a9)=9a5=9×=75.‎ 答案 B ‎8.(2018咸阳二模)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4,a10是方程x2-8x+1=0的两个根,则S13=(　　).‎ A.58 B.54 C.56 D.52‎ 解析 ∵a4,a10是方程x2-8x+1=0的两个根,‎ ‎∴a4+a10=8.又a4+a10=2a7,∴a7=4,‎ ‎∴S13=(a1+a13)=13a7=52.‎ 答案 D ‎9.(2018中山市一模)在等差数列{an}中,a3+a6+a9=54,设数列{an}的前n项和为Sn,则S11=(　　).‎ A.18 B.99 C.198 D.297‎ 解析 在等差数列{an}中,由a3+a6+a9=54,得3a6=54,即a6=18,‎ 所以a1+a11=2a6=36,‎ 则S11===198.‎ 答案 C ‎10.(2018门头沟区一模)在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,公差d<0,且S7=S11,若a9=6,则a10=(　　).‎ A.0 B.-6 C.12 D.6‎ 解析 ∵在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,公差d<0,且S7=S11,a9=6,‎ ‎∴‎ 解得 ‎∴a10=102-12×9=-6.‎ 答案 B ‎11.(2018石家庄二模)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a6=6,S15=15,则公差d=　　　　. ‎ 解析 ∵a6=6,S15=15,‎ ‎∴a1+5d=6,15a1+d=15,‎ ‎∴d=-.‎ 答案 -‎ ‎12.(2018河南一模)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,若{an}和{}都是等差数列,且公差相等,则a2=　　　　. ‎ 解析 ∵{an}和{}都是等差数列,且公差d相等,‎ ‎∴=+(n-1)d,即Sn=[dn+(-d)]2=d2n2+2d(-d)n+(-d)2.‎ 又∵Sn=na1+d=n2+n,‎ ‎∴‎ 解得或(舍去).‎ ‎∴a2=.‎ 答案 ‎ ‎13.(2016海淀区期末)已知数列{an}满足an+1-an=2,n∈N*,且a3=3,则a1=　　　　,其前n 项和Sn=　　　　. ‎ 解析 ∵数列{an}满足an+1-an=2,n∈N*,且a3=3,‎ ‎∴数列{an}是公差为2的等差数列,‎ ‎∴a3=a1+2d=a1+4=3,‎ 解得a1=-1,‎ ‎∴Sn=na1+d=-n+×2=n2-2n.‎ 答案 -1　n2-2n ‎14.(2018大荔县模拟)设等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意正整数n都有=,则+的值为　　　　. ‎ 解析 ∵等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,‎ 且对任意正整数n都有=,‎ ‎∴+=+=‎ ‎==‎ ‎===.‎ 答案 ‎ ‎15.(2018北京模拟)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若S25>0,S26<0,则数列,,…,的最大项是第　　　　项. ‎ 解析 在等差数列{an}中,‎ 由S25>0,S26<0,得 ‎∴‎ ‎∴数列{an}是递减数列,且前13项大于0,从第14项起小于0,‎ ‎∴a1>a2>…>a13>0,从而00,即<0,‎ ‎∴数列,,…,的最大项是第13项.‎ 答案 13‎