2021高考数学一轮复习课时作业6函数的奇偶性与周期性理
课时作业6 函数的奇偶性与周期性
[基础达标]
一、选择题
1．[2020·河北沧州七校联考]对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：若y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，∴|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，∴y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，但若y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，它不一定是奇函数，如y＝f(x)＝x2，故选B项．
答案：B
2．[2020·山东师大附中模拟]函数f(x)在R上是偶函数，且f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1,0]上单调递减，则函数f(x)在[3,5]上是( )
A．增函数 B．减函数
C．先增后减的函数 D．先减后增的函数
解析：因为f(x＋1)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以f(x)是周期为2的函数．又f(x)在R上是偶函数，且在[－1,0]上单调递减，所以f(x)在[0,1]上单调递增．所以f(x)在[3,5]上是先减后增的函数．故选D项．
答案：D
3．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)>f(－3)>f(－2)
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)
f(3)>f(2)，即f(π)>f(－3)>f(－2)．
答案：A
4．[2020· 石家庄检测]已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)单调递增，且f(1)＝0，若f(x－1)>0，则x的取值范围为( )
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A．{x|02} B．{x|x<0或x>2}
C．{x|x<0或x>3} D．{x|x<－1或x>1}
解析：由于函数f(x)是奇函数，且当x>0时f(x)单调递增，f(1)＝0，故由f(x－1)>0，得－11，∴02，故选A.
答案：A
5．[2020·河北石家庄一模]已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x)＝f(2－x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝4x－1，则在(1,3)上，f(x)≤1的解集是( )
A. B.
C. D．[2,3)
解析：∵当0≤x≤1时，f(x)＝4x－1，∴f(x)在区间[0,1]上是增函数，又函数f(x)是奇函数，∴函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数．∵f(x)＝f(2－x)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴函数f(x)在区间(1,3)上是减函数，又f＝1，∴f＝1，∴在区间(1,3)上不等式f(x)≤1的解集为，故选C项．
答案：C
二、填空题
6．[2020·四川泸州模拟]已知函数f(x)是奇函数，且当x<0时f(x)＝x，则f(3)的值是________．
解析：易知f(－3)＝－3＝8，因为函数f(x)是奇函数，所以f(3)＝－f(－3)＝－8.
答案：－8
7．[2020·山西省八校第一次联考]已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f＝________.
解析：∵f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)＝f(x)，
∴f＝f，又2≤x≤3时，f(x)＝x，
∴f＝，∴f＝.
答案：
8．[2020·甘肃一诊]已知定义在R上的偶函数f(x)，满足f(x＋4)＝f(x)＋f
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(2)，且在区间[0,2]上是增函数，则
①函数f(x)的一个周期为4；
②直线x＝－4是函数f(x)图象的一条对称轴；
③函数f(x)在[－6，－5)上单调递增，在[－5，－4)上单调递减；
④函数f(x)在[0,100]上有25个零点．
其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确的命题序号都填上)
解析：令x＝－2得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，得f(－2)＝0，由于函数f(x)为偶函数，故f(2)＝f(－2)＝0，所以f(x＋4)＝f(x)，所以函数是周期为4的周期函数，故①正确．由于函数f(x)为偶函数，故f(－4＋x)＝f(4－x)＝f(4－8－x)＝f(－4－x)，所以直线x＝－4是函数图象的一条对称轴，故②正确．根据前面的分析，结合函数在区间[0,2]上是增函数，可画出函数的大致图象如图所示．由图可知，函数在[－6，－4)上单调递减，故③错误．根据图象可知，f(2)＝f(6)＝f(10)＝…＝f(98)＝0，所以f(x)在[0,100]上共有25个零点，故④正确．综上所述，正确的命题有①②④.
答案：①②④
三、解答题
9．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解析：(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象(如图所示)知
所以10.
则f，f(2)，f(3)的大小关系是( )
A．f>f(2)>f(3) B．f(3)>f(2)>f
C．f>f(3)>f(2) D．f(3)>f>f(2)
解析：对任意的x∈R，都有f(x＋1)＝f(x－1)，则f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x
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)是周期为2的周期函数；因为函数y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称；因为对任意的x1，x2∈[0,1]，都有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0，所以该函数在[0,1]上单调递增．因为f(3)＝f(1)，f＝f，f(2)＝f(0)，1>>0，所以f(3)>f>f(2)，故选D项．
答案：D
13．已知y＝f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝x＋，且当x∈[－3，－1]时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值是________．
解析：∵当x∈[－3，－1]时，n≤f(x)≤m恒成立，
∴n≤f(x)min且m≥f(x)max，
∴m－n的最小值是f(x)max－f(x)min，又由偶函数的图象关于y轴对称知，当x∈[－3，－1]时，函数的最值与x∈[1,3]时的最值相同，又当x>0时，f(x)＝x＋，在[1,2]上递减，在[2,3]上递增，且f(1)>f(3)，
∴f(x)max－f(x)min＝f(1)－f(2)＝5－4＝1.
答案：1
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