数学卷·2018届广东省潮州市高二上学期期末数学试卷（理科）（解析版）

数学卷·2018届广东省潮州市高二上学期期末数学试卷（理科）（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！广东省潮州市2016-2017学年高二（上）期末数学试卷（理科）(解析版)‎ ‎　‎ 一、选择题 ‎1．命题“∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0”的否定是（　　）‎ A．∃x0∈R，x03﹣x02+1＜0 B．∀x∈R，x3﹣x2+1≤0‎ C．∃x0∈R，x03﹣x02+1≤0 D．∀x∈R，x3﹣x2+1＞0‎ ‎2．“双曲线方程为x2﹣y2=3”是“双曲线离心率e=”的（　　）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．在等差数列{an}中，已知a1+a2+a3+a4+a5=20，那么a3=（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎4．在△ABC中，已知a=，b=，A=30°，则c等于（　　）‎ A． B． C．或 D．以上都不对 ‎5．如图，在四面体ABCD中，设G是CD的中点，则等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（　　）‎ A．b=10，A=45°，C=70° B．a=60，c=48，B=60°‎ C．a=7，b=5，A=80° D．a=14，b=16，A=45°‎ ‎7．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，则CD1与EF所成角为（　　）‎ A．0° B．45° C．60° D．90°‎ ‎8．当x＞0，y＞0， +=1时，x+y的最小值为（　　）‎ A．10 B．12 C．14 D．16‎ ‎9．在数列{an}中，an+1=can（c为非零常数）且前n项和Sn=3n+k，则k等于（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．0 D．2‎ ‎10．若直线l过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于A、B两点，且线段AB中点的横坐标为2，则弦AB的长为（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎11．若x、y满足约束条件，且目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣1，2） B．（﹣4，2） C．（﹣4，0） D．（﹣2，4）‎ ‎12．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在点P使=，则该椭圆的离心率的取值范围为（　　）‎ A．（0，） B．（） C．（0，） D．（，1）‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎13．（4分）已知{an}是公差为d的等差数列，a1=1，如果a2•a3＜a5，那么d的取值范围是　　．‎ ‎14．（4分）抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为5，则点M的横坐标为　　．‎ ‎15．（4分）若实数a，b满足2a+2b=1，则a+b的最大值是　　．‎ ‎16．（4分）已知F1，F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的交点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P和Q，且△F1PQ为正三角形，则双曲线的渐近线方程为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．（10分）在等差数列{an}中，a2=﹣1，2a1+a3=﹣1．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设{an}的前n项和为Sn，若Sk=﹣99，求k．‎ ‎18．（12分）已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，‎ ‎（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．‎ ‎19．（12分）在△ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C对应的三边，已知b2+c2=a2+bc ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若2sin2=cosC，判断△ABC的形状．‎ ‎20．（12分）一批救灾物资随26辆汽车从某市以xkm/h的速度匀速开往400km处的灾区．为安全起见，每两辆汽车的前后间距不得小于（）2km，问这批物资全部到达灾区，最少要多少小时？‎ ‎21．（12分）如图，正方形ABCD与梯形AMPD所在的平面互相垂直，AD⊥PD，MA∥PD，MA=AD=PD=1．‎ ‎（1）求证：MB∥平面PDC；‎ ‎（2）求二面角M﹣PC﹣D的余弦值．‎ ‎22．（12分）已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过点M（0，1）且与x轴平行的直线被椭圆G截得的线段长为．‎ ‎（I）求椭圆G的方程；‎ ‎（II）设动点P在椭圆G上（P不是顶点），若直线FP的斜率大于，求直线OP（O是坐标原点）的斜率的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广东省潮州市高二（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题 ‎1．命题“∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0”的否定是（　　）‎ A．∃x0∈R，x03﹣x02+1＜0 B．∀x∈R，x3﹣x2+1≤0‎ C．∃x0∈R，x03﹣x02+1≤0 D．∀x∈R，x3﹣x2+1＞0‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．‎ ‎【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，‎ 即∀x∈R，x3﹣x2+1≤0，‎ 故选：B ‎【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．比较基础．‎ ‎　‎ ‎2．“双曲线方程为x2﹣y2=3”是“双曲线离心率e=”的（　　）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据双曲线的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【解答】解：双曲线的标准方程为﹣=1，则a=b=，则双曲线为等轴双曲线，则双曲线离心率e=，‎ 即充分性成立，‎ 反之若双曲线离心率e=，则双曲线为等轴双曲线，但方程不一定为x2﹣y2=3，即必要性不成立，‎ 即“双曲线方程为x2﹣y2=3”是“双曲线离心率e=”的充分不必要条件，‎ 故选：B ‎【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合双曲线的性质是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．在等差数列{an}中，已知a1+a2+a3+a4+a5=20，那么a3=（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】法一：设首项为a1，公差为d，由已知有5a1+10d=20，所以a3=4．‎ 法二：因为a1+a5=a2+a4=2a3，所以由a1+a2+a3+a4+a5=20得5a3=20，故a3=4．‎ ‎【解答】解：法一：‎ ‎∵{an}为等差数列，‎ 设首项为a1，公差为d，‎ 由已知有5a1+10d=20，‎ ‎∴a1+2d=4，‎ 即a3=4．‎ 故选A．‎ 法二 在等差数列中，‎ ‎∵a1+a5=a2+a4=2a3，‎ ‎∴由a1+a2+a3+a4+a5=20得5a3=20，‎ ‎∴a3=4．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．‎ ‎　‎ ‎4．在△ABC中，已知a=，b=，A=30°，则c等于（　　）‎ A． B． C．或 D．以上都不对 ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由a，b及cosA的值，利用余弦定理即可列出关于c的一元二次方程，求出方程的解即可得到c的值．‎ ‎【解答】解：由，利用余弦定理得：‎ ‎=+c2﹣2c×，即c2﹣3c+10=0，‎ 因式分解得：（c﹣2）（c﹣）=0，解得：c=2或．‎ 故选C ‎【点评】此题考查学生灵活运用余弦定理及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎5．如图，在四面体ABCD中，设G是CD的中点，则等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】空间向量的加减法．‎ ‎【分析】先求出则（+）=，根据向量的加法运算法则计算即可．‎ ‎【解答】解：∵G是CD的中点，‎ ‎∴=+=，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了数形结合思想，考查向量的运算性质，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎6．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（　　）‎ A．b=10，A=45°，C=70° B．a=60，c=48，B=60°‎ C．a=7，b=5，A=80° D．a=14，b=16，A=45°‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】A、由A和C的度数，利用三角形内角和定理求出B的度数，再由b的值，利用正弦定理求出a与c，得到此时三角形只有一解，不合题意；‎ B、由a，c及cosB的值，利用余弦定理列出关系式，得到b2小于0，无解，此时三角形无解，不合题意；‎ C、由a，b及sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，由a大于b得到A大于B，可得出此时B只有一解，不合题意；‎ D、由a，b及sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，由a小于b得到A小于B，可得出此时B有两解，符合题意．‎ ‎【解答】解：A、∵A=45°，C=70°，‎ ‎∴B=65°，又b=10，‎ ‎∴由正弦定理==得：a==，c=，‎ 此时三角形只有一解，不合题意；‎ B、∵a=60，c=48，B=60°，‎ ‎∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=3600+2304﹣2880=3024＞0，‎ ‎∴此时三角形有一解，不合题意；‎ C、∵a=7，b=5，A=80°，‎ ‎∴由正弦定理=得：sinB=，‎ 又b＜a，∴B＜A=80°，‎ ‎∴B只有一解，不合题意；‎ D、∵a=14，b=16，A=45°，‎ ‎∴由正弦定理=得：sinB==＞，‎ ‎∵a＜b，∴45°=A＜B，‎ ‎∴B有两解，符合题意，‎ 故选D ‎【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的边角关系，以及三角形的内角和定理，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，则CD1与EF所成角为（　　）‎ A．0° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】由EF∥A1D，A1B∥D1C，得∠DA1B是CD1与EF所成角，由此能求出CD1与EF所成角．‎ ‎【解答】解：连结A1D、BD、A1B，‎ ‎∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，∴EF∥A1D，‎ ‎∵A1B∥D1C，∴∠DA1B是CD1与EF所成角，‎ ‎∵A1D=A1B=BD，‎ ‎∴∠DA1B=60°．‎ ‎∴CD1与EF所成角为60°．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎　‎ ‎8．当x＞0，y＞0， +=1时，x+y的最小值为（　　）‎ A．10 B．12 C．14 D．16‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵x＞0，y＞0， +=1，‎ ‎∴x+y=（x+y）=10+‎ ‎=16，当且仅当y=3x=12时取等号．‎ ‎∴x+y的最小值为16．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．在数列{an}中，an+1=can（c为非零常数）且前n项和Sn=3n+k，则k等于（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．0 D．2‎ ‎【考点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】由递推式可知给出的数列是等比数列，写出等比数列的前n项和公式后，结合给出的数列的前n项和即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由an+1=can，得，所以数列{an}是等比数列，‎ 因为当公比不等于1时等比数列的前n项和Sn=，‎ 而Sn=3n+k，由此可知k=﹣1．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了等比关系的确定，考查了等比数列前n项和公式中含qn项的系数与常数之间的关系，关键是把我其中的规律，是基础题．‎ ‎　‎ ‎10．若直线l过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于A、B两点，且线段AB中点的横坐标为2，则弦AB的长为（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意知，求出抛物线的参数p，由于直线过焦点，先利用中点的坐标公式求出x1+x2，利用弦长公式x1+x2+p求出AB的长．‎ ‎【解答】解：因为抛物线为y2=4x，‎ 所以p=2‎ 设A、B两点横坐标分别为x1，x2，‎ 因为线段AB中点的横坐标为2，‎ 则，即x1+x2=4，‎ 故|AB|=x1+x2+p=4+2=6．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题是直线被圆锥曲线所截，求弦长问题，一般可以由公式：|AB|═求得；线段中点坐标通常与根与系数的关系相联系，从而简化解题过程．但对于过焦点的弦长注意圆锥曲线定义的应用．‎ ‎　‎ ‎11．若x、y满足约束条件，且目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣1，2） B．（﹣4，2） C．（﹣4，0） D．（﹣2，4）‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】若目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，判断目标函数的斜率关系，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：作出可行域如图，则直线x+y=1，x﹣y=﹣1，2x﹣y=2的交点分别为A（3，4），B（0，1），C（1，0），‎ 若目标函数z=ax+2y仅在点C（1，0）处取得最小值，‎ 若a=0，则目标函数为z=2y，此时y=，满足条件．‎ 若a≠0，则目标函数为y=﹣x+，‎ 若a＞0，则斜率k=﹣＜0，‎ 要使目标函数z=ax+2y仅在点C（1，0）处取得最小值，‎ 则﹣＞﹣1，即a＜2，此时0＜a＜2，‎ 若a＜0，则斜率k=﹣＞0，‎ 要使目标函数z=ax+2y仅在点C（1，0）处取得最小值，‎ 则﹣＜2，即a＞﹣4，此时﹣4＜a＜0，‎ 综上﹣4＜a＜2，‎ 即a的取值范围（﹣4，2）．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义是解决本题的关键．注意使用数形结合．‎ ‎　‎ ‎12．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在点P使=，则该椭圆的离心率的取值范围为（　　）‎ A．（0，） B．（） C．（0，） D．（，1）‎ ‎【考点】正弦定理；椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由“”的结构特征，联想到在△PF1F2中运用由正弦定理得：两者结合起来，可得到，再由焦点半径公式，代入可得到：a（a+ex0）=c（a﹣ex0）解出x0，由椭圆的范围，建立关于离心率的不等式求解．要注意椭圆离心率的范围．‎ ‎【解答】解：在△PF1F2中，由正弦定理得：‎ 则由已知得：，‎ 即：aPF1=cPF2‎ 设点P（x0，y0）由焦点半径公式，‎ 得：PF1=a+ex0，PF2=a﹣ex0‎ 则a（a+ex0）=c（a﹣ex0）‎ 解得：x0==‎ 由椭圆的几何性质知：x0＞﹣a则＞﹣a，‎ 整理得e2+2e﹣1＞0，解得：e＜﹣﹣1或e＞﹣1，又e∈（0，1），‎ 故椭圆的离心率：e∈（﹣1，1），‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查椭圆的定义，性质及焦点三角形的应用，特别是离心率应是椭圆考查的一个亮点，多数是用a，b，c转化，用椭圆的范围来求解离心率的范围．‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎13．已知{an}是公差为d的等差数列，a1=1，如果a2•a3＜a5，那么d的取值范围是　　．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式，结合a2•a3＜a5，得到d的关系式，求出d的范围即可．‎ ‎【解答】解：{an}是公差为d的等差数列，a1=1，∵a2•a3＜a5，‎ ‎∴（1+d）（1+2d）＜1+4d，‎ 即2d2﹣d＜0，解得d．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的通项公式的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎14．抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为5，则点M的横坐标为　4　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义，求解即可．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1，‎ ‎∵抛物线y2=4x上点到焦点的距离等于5，‎ ‎∴根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离，‎ ‎∴可得所求点的横坐标为4．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题给出抛物线上一点到焦点的距离，要求该点的横坐标，着重考查了抛物线的标准方程与简单性质，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎15．若实数a，b满足2a+2b=1，则a+b的最大值是　﹣2　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】由2a+2b=1，得=，从而可求a+b的最大值，注意等号成立的条件．‎ ‎【解答】解：∵2a+2b=1，‎ ‎∴=，即，‎ ‎∴a+b≤﹣2，当且仅当，即a=b=﹣1时取等号，‎ ‎∴a=b=﹣1时，a+b取最大值﹣2．‎ 故答案为：﹣2．‎ ‎【点评】该题考查基本不等式在求函数最值中的运用，属基础题，熟记基本不等式的使用条件是解题关键．‎ ‎　‎ ‎16．已知F1，F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的交点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P和Q，且△F1PQ为正三角形，则双曲线的渐近线方程为　y=±x　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】利用直角三角形中含30°角所对的边的性质及其双曲线的定义、勾股定理即可得到a，b的关系．‎ ‎【解答】解：∵在Rt△F1F2P中，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2|PF2|．‎ 由双曲线定义知|PF1|﹣|PF2|=2a，∴|PF2|=2a，‎ 由已知易得|F1F2|=|PF2|，∴2c=2a，∴c2=3a2=a2+b2，‎ ‎∴2a2=b2，∵a＞0，b＞0，∴ =，故所求双曲线的渐近线方程为y=±x．‎ 故答案为y=±x．‎ ‎【点评】熟练掌握双曲线的标准方程及其性质、等边三角形的性质等是解题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．（10分）（2016秋•潮州期末）在等差数列{an}中，a2=﹣1，2a1+a3=﹣1．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设{an}的前n项和为Sn，若Sk=﹣99，求k．‎ ‎【考点】数列的求和；等差数列的性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，依题意，得到关于首项与公差的方程组，解之即可求得数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）利用等差数列的求和公式，易得Sn=﹣n2+2n，由Sk=﹣k2+2k=﹣99即可求得k的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，依题意，得，…4‎ 解得a1=1，d=﹣2…6‎ 所以数列{an}的通项公式为an=a1+（n﹣1）d=﹣2n+3…8‎ ‎（Ⅱ）Sn===﹣n2+2n…10‎ 令Sk=﹣k2+2k=﹣99，即k2﹣2k﹣99=0…12‎ 解得k=11，或k=﹣9（舍去）…13‎ ‎【点评】本题考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016春•新余期末）已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，‎ ‎（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】（1）若命题p为真命题，根据椭圆的定义和方程建立不等式关系，即可求实数m的取值范围；‎ ‎（2）根据复合命题的关系得到p，q为一个真命题，一个假命题，然后求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵方程表示焦点在y轴上的椭圆，‎ ‎∴，即，‎ 即﹣1＜m＜1，‎ ‎∴若命题p为真命题，求实数m的取值范围是（﹣1，1）；‎ ‎（2）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，‎ 则p，q为一个真命题，一个假命题，‎ 若关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，‎ 则判别式△=4m2﹣4（2m+3）＜0，‎ 即m2﹣2m﹣3＜0，得﹣1＜m＜3．‎ 若p真q假，则，此时无解，‎ 柔p假q真，则，得1≤m＜3，‎ 综上，实数m的取值范围是[1，3）．‎ ‎【点评】本题主要考查复合命题的真假关系以及应用，求出命题的等价条件是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016秋•潮州期末）在△ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C对应的三边，已知b2+c2=a2+bc ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若2sin2=cosC，判断△ABC的形状．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）由已知及余弦定理可求cosA=，结合范围A∈（0，π），可求A的值．‎ ‎（2）利用三角函数恒等变换的应用化简2sin2=cosC，可得sin（B+）=1，结合范围B∈（0，π），可求 ‎∴B=C=，即可判断三角形的形状．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 解：（1）在△ABC中，由余弦定理得b2+c2﹣a2=2bccosA，又b2+c2=a2+bc，‎ ‎∴cosA=，‎ ‎∵A∈（0，π），‎ ‎∴A=． …‎ ‎（2）∵2sin2=cosC，‎ ‎∴cosB+cosC=1，…（7分）‎ ‎∴cosB+cos（﹣B）=1，可得：cosB+coscosB+sinsinB=1，…（9分）‎ ‎∴sinB+cosB=1，可得：sin（B+）=1，‎ ‎∵B∈（0，π），‎ ‎∴B=，C=，…（11分）‎ ‎∴△ABC是等边三角形．…（12分）‎ ‎【点评】本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的形状，考查了转化思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016秋•潮州期末）一批救灾物资随26辆汽车从某市以xkm/h的速度匀速开往400km处的灾区．为安全起见，每两辆汽车的前后间距不得小于（）2km，问这批物资全部到达灾区，最少要多少小时？‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用．‎ ‎【分析】由题意可知，t相当于：最后一辆车行驶了25个km+400km所用的时间，利用基本不等式，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设全部物资到达灾区所需时间为t小时，‎ 由题意可知，t相当于：最后一辆车行驶了25个km+400km所用的时间，‎ 因此，t=+≥2=10．‎ 当且仅当=，即x=80时取“=”．‎ 故这些汽车以80 km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少要10小时．‎ ‎【点评】本题考查基本不等式在最值问题中的应用，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016秋•潮州期末）如图，正方形ABCD与梯形AMPD所在的平面互相垂直，AD⊥PD，MA∥PD，MA=AD=PD=1．‎ ‎（1）求证：MB∥平面PDC；‎ ‎（2）求二面角M﹣PC﹣D的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）推导出AB∥CD，MA∥PD，从而平面ABM∥平面PDC，由此能证明MB∥平面PDC．‎ ‎（2）推导出CD⊥PD，AD⊥PD，AD⊥DC，以DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M﹣PC﹣D的余弦值．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，‎ 又∵MA∥PD，…（1分）‎ AB∩MA=A，CD∩PD=D，‎ AB⊂平面ABM，MA⊂平面ABM，CD⊂平面PDC，PD⊂平面PDC，‎ ‎∴平面ABM∥平面PDC，（3分）‎ ‎∵MB⊂平面ABM，‎ ‎∴MB∥平面PDC．（4分）‎ 解：（2）∵正方形ABCD与梯形AMPD所在的平面互相垂直，‎ 平面ABCD∩平面AMPD=AD，在正方形ABCD中，CD⊥AD，‎ ‎∴CD⊥平面AMPD，∴CD⊥PD．（6分）‎ 又AD⊥PD，AD⊥DC，‎ 以DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系，（7分）‎ 则M（1，0，1），P（0，0，2），C（0，1，0），‎ 是平面PCD的一个法向量 设平面MPC的法向量为=（x，y，z），‎ 则，（9分）‎ 令z=1，得=（1，2，1），（10分）‎ 则cos＜＞==，（11分）‎ 设二面角M﹣PC﹣D为θ，由图可知θ为锐角，‎ 所以二面角M﹣PC﹣D的余弦值为．（12分）‎ ‎【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2016秋•潮州期末）已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过点M（0，1）且与x轴平行的直线被椭圆G截得的线段长为．‎ ‎（I）求椭圆G的方程；‎ ‎（II）设动点P在椭圆G上（P不是顶点），若直线FP的斜率大于，求直线OP（O是坐标原点）的斜率的取值范围．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（I）由已知点在椭圆G上，离心率为，列出方程组求出a，b，能求出椭圆G的方程．‎ ‎（II）点F的坐标为（﹣1，0），设点P的坐标为（x0，y0），直线FP的方程为y=k（x+1），从而得．设直线OP的方程为y=mx．得．由此能求出直线OP（O是坐标原点）的斜率的取值范围．‎ ‎【解答】解：（I）∵椭圆的左焦点为F，离心率为，‎ 过点M（0，1）且与x轴平行的直线被椭圆G截得的线段长为．‎ ‎∴点在椭圆G上，又离心率为，‎ ‎∴，解得 ‎∴椭圆G的方程为．‎ ‎（II）由（I）可知，椭圆G的方程为．∴点F的坐标为（﹣1，0）．‎ 设点P的坐标为（x0，y0）（x0≠﹣1，x0≠0），直线FP的斜率为k，‎ 则直线FP的方程为y=k（x+1），‎ 由方程组消去y0，并整理得．‎ 又由已知，得，解得或﹣1＜x0＜0．‎ 设直线OP的斜率为m，则直线OP的方程为y=mx．‎ 由方程组消去y0，并整理得．‎ 由﹣1＜x0＜0，得m2＞，‎ ‎∵x0＜0，y0＞0，∴m＜0，∴m∈（﹣∞，﹣），‎ 由﹣＜x0＜﹣1，得，‎ ‎∵x0＜0，y0＞0，得m＜0，∴﹣＜m＜﹣．‎ ‎∴直线OP（O是坐标原点）的斜率的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（﹣，﹣）．‎ ‎【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆与直线的位置关系的合理运用．‎ ‎　‎