专题13-3 热点题型二 参数方程与普通方程的互化-《奇招制胜》2017年高考数学（理）热点 题型全突破

专题13-3 热点题型二 参数方程与普通方程的互化-《奇招制胜》2017年高考数学（理）热点 题型全突破

热点题型二 参数方程与普通方程的互化 参数方程化为高考选做题中的必考点，而解决问题的关键为消参数：要熟练掌握参数方程与普通方程互化的一些方法一要熟练掌握常用技巧(如整体代换)，二要注意变量取值范围的一致性，这一点最易忽视．紧紧抓住直线的参数方程、圆的参数方程、圆锥曲线的参数方程的建立以及各参数方程中参数的几何意义，常见问题归纳如下；‎ ‎ 考向一 参数方程与普通方程的互化 考向二 参数方程的应用 ‎【基础知识整合】‎ ‎1．曲线的参数方程；一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．‎ ‎2．参数方程与普通方程的互化 通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．‎ ‎3．常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程 直线 y－y0＝tan α(x－x0)‎ (t为参数)‎ 圆 x2＋y2＝r2‎ (θ为参数)‎ 椭圆 ＋＝1(a>b>0)‎ (φ为参数)‎ ‎ ‎ 考向一 参数方程与普通方程的互化 ‎ ‎【典例1】【2014江苏高考理21】在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程 ‎（为参数），直线与抛物线相交于两点，求线段的长 ‎【答案】．‎ ‎【解析】直线的普通方程为，即，‎ 与抛物线方程联立方程组解得，‎ ‎∴..‎ ‎【考点】直线的参数方程.‎ ‎【思路点拨】1.运用互化公式：将极坐标化为直角坐标；‎ ‎2.直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行．‎ ‎【变式练习】‎ ‎1.【2014·福建高考】已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为 ‎(θ为参数)．‎ ‎(1)求直线l和圆C的普通方程；‎ ‎(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】见解析 ‎【考点】直线与圆的参数方程.‎ ‎2.【2017哈尔滨模拟】已知两曲线参数方程分别为(0≤θ<π)和(t∈R)，‎ 求它们的交点坐标．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】　将两曲线的参数方程化为普通方程分别为＋y2＝1(0≤y≤1，－0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，‎ 所以又直线l过点P(3，)，‎ 故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.‎ 法二　因为圆C的圆心为(0，)，半径r＝， 直线l的普通方程为y＝－x＋3＋.‎ 由得x2－3x＋2＝0，‎ 解得或 不妨设A(1,2＋)，B(2,1＋)，又点P的坐标为(3，)．‎ 故|PA|＋|PB|＝＋＝3.‎ ‎【考点】1、直线的参数方程；2、圆的极坐标方程；3、直线与圆的位置关系．‎ ‎3．【2017兰州模拟】已知动点P，Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与 t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．‎ ‎(1)求M的轨迹的参数方程；‎ ‎(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．‎ ‎【答案】见解析 ‎【考点】1、圆的参数方程；2、求轨迹方程； ‎ ‎【解题技巧与方法总结】‎ 参数方程的应用技巧 ‎1．对于形如(t为参数)的参数方程，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．‎ ‎2．在涉及到点到直线的距离公式时，一般要用到圆、椭圆的参数方程．‎