【数学】2021届一轮复习人教A版（理）第四章第三讲 三角函数的图象与性质学案
第三讲 三角函数的图象与性质
1.[改编题]下列说法正确的是 ( )
A.正切函数 y=tan x 在定义域上是增函数
B.已知 y=ksin x+1,x∈R,则 y 的最大值为 k+1
C.将函数 y=sin ωx 的图象向右平移 φ(φ>0)个单位长度,得到函数 y=sin(ωx - φ)的图象
D.y=sin|x|是偶函数
2.[2020 惠州市一调]将函数 y=sin x 的图象向左平移
π
2个单位长度,得到函数 y=f (x)的图象,则下列说法正确
的是 ( )
A.y=f (x)是奇函数
B.y=f (x)的最小正周期为 π
C.y=f (x)的图象关于直线 x=
π
2对称
D.y=f (x)的图象关于点( -
π
2,0)对称
3.[2019 全国卷Ⅱ,8,5 分]若 x1=
π
4,x2=
3π
4 是函数 f (x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点,则 ω=( )
A.2 B.
3
2 C.1 D.
1
2
4.[2019 全国卷Ⅱ,9,5 分][理]下列函数中,以
π
2为周期且在区间(
π
4,
π
2)上单调递增的是 ( )
A.f (x)=|cos 2x| B.f (x)=|sin 2x|
C.f (x)=cos|x| D.f (x)=sin|x|
5.[2020 大同市高三调研]已知函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<
π
2)的部分图象如图 4 - 3 - 1 所
示,则 ω,φ 的值分别为 ( )
A.2, -
π
3 B.2, -
π
6 C.4, -
π
6 D.4,
π
3
6.[2019 天津,7,5 分][理]已知函数f (x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,且 f (x)的
最小正周期为 π,将 y=f (x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为
g(x).若 g(
π
4)= 2,则 f (
3π
8 )= ( )
A. - 2 B. - 2 C. 2D.2
7.[2019 北京,9,5 分][理]函数 f (x)=sin22x 的最小正周期是 .
8.[2018 北京,11,5 分][理]设函数f (x)=cos(ωx -
π
6)(ω>0).若 f (x)≤f (
π
4)对任意的实数 x 都成立,则 ω 的最小值
为 .
考法 1 三角函数的图象变换及其应用
1(1)要得到函数 y=sin(5x -
π
4)的图象,只需将函数 y=cos 5x 的图象
A.向左平移
3π
20个单位长度 B.向右平移
3π
20个单位长度
C.向左平移
3π
4 个单位长度 D.向右平移
3π
4 个单位长度
(2)如图 4 - 3 - 2 所示的是函数 f (x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<
π
2)在区间[ -
π
6,
5π
6 ]上的图
象,若将该函数图象上各点的横坐标缩小为原来的一半(纵坐标不变),再向右平移
m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于直线 x=
5π
12对称,则 m 的最小值为
A.
7π
6 B.
π
6 C.
π
8 D.
7π
24
(1)利用诱导公式以及图象变换规律列方程求解;(2)可以先根据函数图象确定函数 f(x)的解析式中
的参数值,然后按照图象变换规律求出变换之后的函数图象对应的解析式,最后根据所得函数图象的对称轴
求出m的最小值.也可以根据已知函数图象直接求出函数f(x)的图象的对称轴,根据变换规律确定变换后所得
函数图象的对称轴,由已知条件确定 m 的最小值.
(1)函数 y=cos5x=sin(5x+
π
2)=sin5(x+
π
10), ............................................(将变换前后的两个函数名化为同名)
y=sin(5x -
π
4)=sin5(x -
π
20),设平移|φ|个单位长度,则
π
10+φ= -
π
20,.................................................(方程思想)
解得 φ= -
3π
20,故把函数 y=cos5x 的图象向右平移
3π
20个单位长度,可得函数 y=sin(5x -
π
4)的图象.
(2)解法一 (直接法)由函数 f (x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<
π
2)的部分图象,可得周期 T=
2π
휔 = 5π
6 - ( -
π
6)=π,所以
ω=2.
又点( -
π
6,0)在函数 f (x)的图象上,所以 sin[2×( -
π
6)+φ]=0,所以 φ -
π
3=2kπ(k∈Z),所以 φ=
π
3+2kπ(k∈Z),
又 0<φ<
π
2,所以 k=0,φ=
π
3.
故函数 f (x)的解析式为 f (x)=sin(2x+
π
3)...........................................................................................(由图定式)
把 f (x)=sin(2x+
π
3)的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半(纵坐标不变),再向右平移 m(m>0)个单位长度后,
得到 g(x)=sin(4x - 4m+
π
3)的图象,................................................................................(依据变换规律求解析式)
因为所得图象关于直线x=
5π
12对称,所以 4×
5π
12 - 4m+
π
3 = π
2+kπ(k∈Z),解得m=
3
8π -
1
4kπ,k∈Z,(依据对称轴列方程求
m)
所以由 m>0,可得当 k=1 时,m 取得最小值,且最小值为
π
8. ............................................................(范围定最值)
解法二 (特征值法)由函数图象可知 P( -
π
6,0)和 Q(
5π
6 ,0)是函数 f (x)的图象的两个对称中心,得线段 PQ 的中
点 M(
π
3,0)也是函数
f (x)的图象的对称中心.
显然,函数 f (x)的周期 T=
5π
6 - ( -
π
6)=π...............................................................................................(定周期)
显然 PM 的中点(
π
12,0)在函数 f (x)的图象的一条对称轴上,即直线 x=
π
12是该函数图象的一条对称轴.(由相邻对
称中心定对称轴)
所以该函数图象的对称轴的方程为 x=
π
12+k·
π
2(k∈Z). ..............................................(结合周期性定对称轴的方程)
根据题意,将 f (x)的图象上所有点的横坐标变为原来的一半,再向右平移 m 个单位长度后,所得函数图象的对
称轴的方程为 x=
1
2(
π
12+k·
π
2)+m=
π
24 + 푘π
4 +m(k∈Z), .............(根据图象变换规律求变换后所得函数图象的对称轴方程)
令
π
24 + 푘π
4 +m=
5π
12(k∈Z),解得 m=
3π
8 ― 푘π
4 (k∈Z). ...............................................................................(列方程求值)
因为 m>0,所以当 k=1 时,m 取得最小值,最小值为
3π
8 ― π
4 = π
8.
(1)B (2)C
对于函数图象的平移方向类问题的求解,注意“正向左,负向右”的前提是把 x 的系数提取出来,如由
y=sin( - x)变为
y=sin( - x - 1),不能简单地依据“负向右”得出平移方向是向右,正确的描述应该是向左平移一个单位长度.
1.[2020 湖北部分重点中学高三测试]将函数 f (x)=sin(2x+φ),φ∈(0,π)的图象向左平移
π
12个单
位长度得到函数 g(x)的图象,已知 g(x)是偶函数,则 tan(φ -
π
6)=( )
A. - 3 B. 3 C. -
3
3 D.
3
3
考法 2 由三角函数的图象求解析式
2 已知函数 f (x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图 4 - 3 - 3 所示,则 f (x)的解析式为
图 4 - 3 - 3
A.f (x)=2 3sin(
π
8x+
π
4)
B.f (x)=2 3sin(
π
8x+
3π
4 )
C.f (x)=2 3sin(
π
8x -
π
4)
D.f (x)=2 3sin(
π
8x -
3π
4 )
由最值确定 A 的值→由函数图象的两个相邻对称中心之间的距离确定周期,进而确定 ω 的值→
由图象可得,函数的最大值为 2 3,最小值为 - 2 3,故 A=2 3................................................(最值定 A)
由函数图象可得,两个相邻对称中心分别为( - 2,0),(6,0),
所以函数的周期 T=2×[6 - ( - 2)]=16, ....................................................................................(对称中心定周期)
所以 ω=
2π
푇 = 2π
16 = π
8. .......................................................................................................................(周期定 ω)
所以 f (x)=2 3sin(
π
8x+φ).
解法一 (由对称中心定 φ)由点( - 2,0)在函数图象上可得 f ( - 2)=2 3sin[
π
8×( - 2)+φ]=2 3sin(φ -
π
4)=0,(代
坐标列方程)
又( - 2,0)在函数图象的下降段上,所以 φ -
π
4=π+2kπ(k∈Z),解得 φ=2kπ+
5π
4 (k∈Z).
因为|φ|<π,
所以 k= - 1,φ= -
3π
4 .
所以函数的解析式为 f (x)=2 3sin(
π
8x -
3π
4 ).
解法二 (由最值点定 φ)由函数图象可知,相邻两个对称中心分别为( - 2,0),(6,0),所以这两个对称中心之间的
函数图象的最低点的坐标为(2, - 2 3)......................................................................................(求最低点坐标)
代入函数解析式可得 f (2)=2 3sin(
π
8×2+φ)= - 2 3,
即 sin(
π
4+φ)= - 1,
所以
π
4+φ=2kπ -
π
2(k∈Z),
解得 φ=2kπ -
3π
4 (k∈Z).
因为|φ|<π,
所以 k=0,φ= -
3π
4 .
故函数的解析式为 f (x)=2 3sin(
π
8x -
3π
4 ).
D
2.[2019河南郑州三测]已知函数f (x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<
π
2)的部分图象
如图 4 - 3 - 4 所示,要使 f (a+x) - f (a - x)=0 成立,则 a 的最小正值为( )
A.
π
12 B.
π
6C.
π
4 D.
π
3
考法 3 三角函数的单调性
3 [2018 全国卷Ⅱ,10,5 分][理]若 f (x)=cos x - sin x 在[ - a,a]上是减函数,则 a 的最大值是
A.
π
4 B.
π
2 C.
3π
4 D.π
解法一 (一角一函数——模型解法)f (x)= 2cos(x+
π
4),
由 2kπ≤x+
π
4≤2kπ+π(k∈Z),得 2kπ -
π
4≤x≤2kπ+
3π
4 (k∈Z).
即 f (x)的单调递减区间为[ -
π
4+2kπ,
3π
4 +2kπ](k∈Z),
又函数 f (x)在[ - a,a]上是减函数,则[ - a,a]⊆[2kπ -
π
4,2kπ+
3π
4 ](k∈Z),
显然当 k=0 时,上述关系才能成立.则易得 a 的最大值是
π
4.
解法二 (导数法——转化为不等式恒成立模型)由已知得,f ' (x)= - sinx - cosx= - (sinx+cosx)= - 2sin(x+
π
4).
由题意知,在[ - a,a]上 f ' (x)≤0,即 - 2sin(x+
π
4)≤0 在区间[ - a,a]上恒成立.
也就是 sin(x+
π
4)≥0 在区间[ - a,a]上恒成立.
由 sin(x+
π
4)≥0 得,2kπ≤x+
π
4≤2kπ+π(k∈Z),
解得 2kπ -
π
4≤x≤2kπ+
3π
4 (k∈Z).
所以[ - a,a]⊆[2kπ -
π
4,2kπ+
3π
4 ](k∈Z),
显然当 k=0 时,上述关系才能成立,即[ - a,a]⊆[ -
π
4,
3π
4 ],
此时{ -푎 ≥ - π
4,
푎 ≤ 3π
4 ,
解得 a≤
π
4.
所以 a 的最大值为
π
4.
A
4 已知函数 f (x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象与直线 y=b(0
0)在区间[ -
π
2,
2π
3 ]上单调递增,则 ω 的取值范围是 ( )
A.(0,
3
4] B.(0,1] C.[
3
4,1] D.[
2
3,1]
考法 4 求三角函数的最值(值域)
5 (1)[2019 山东济南模拟]已知函数 f (x)=sin(ωx -
π
6)(ω>0),x∈[0,π],f (x)的值域为[ -
1
2,1],则 ω 的最小
值为
A.
2
3 B.
3
4 C.
4
3 D.
3
2
(2)[2019 全国卷Ⅰ,15,5 分]函数 f (x)=sin(2x+
3π
2 ) - 3cos x 的最小值为 .
(1)因为 0≤x≤π,所以 -
π
6≤ωx -
π
6≤ωπ -
π
6.
而 f (x)的值域为[ -
1
2,1],且 f (0)=sin( -
π
6)= -
1
2,sin
7π
6 = -
1
2,
结合函数 y=sint 的图象(如图 4 - 3 - 6 所示)可得
π
2≤ωπ -
π
6≤
7π
6 ,解得
2
3≤ω≤
4
3.
则 ω 的最小值为
2
3.故选 A.
(2)f (x)=sin(2x+
3π
2 ) - 3cosx= - cos2x - 3cosx=1 - 2cos2x - 3cosx=
- 2(cosx+
3
4)2+
17
8 ,因为 cosx∈[ - 1,1],所以当 cosx=1 时,f (x)取得最小值,f (x)min= - 4.
4.(1)[2017 全国卷Ⅱ,14,5 分][理]函数f (x)=sin2x+ 3cos x -
3
4(x∈[0,
π
2])的最大值是 .
(2)[2018 全国卷Ⅰ,16,5 分][理]已知函数 f (x)=2sin x+sin 2x,则 f (x)的最小值是 .
考法 5 三角函数的奇偶性、周期性、图象的对称性
命题角度 1 三角函数的周期性
6 求下列函数的周期:
(1)y=2|sin(4x -
π
3)|;
(2)y=|tan x|;
(3)y=2cos xsin(x+
π
3) - 3sin2x+sin xcos x.
(1)(公式法)y=2|sin(4x -
π
3)|的最小正周期是 y=2sin(4x -
π
3)的最小正周期的一半,即 T=
1
2×
2π
4 = π
4.
(2)(图象法)画出 y=|tanx|的图象,如图 4 - 3 - 7 所示.
图 4 - 3 - 7
由图象易知 T=π.
(3)(转化法)y=2cosx(
1
2sinx+
3
2 cosx) - 3sin2x+sinxcosx
=sinxcosx+ 3cos2x - 3sin2x+sinxcosx
=sin2x+ 3cos2x
=2sin(2x+
π
3),
故该函数的最小正周期 T=
2π
2 =π.
命题角度 2 三角函数的奇偶性
7 函数 f (x)=3sin(2x -
π
3+φ),φ∈(0,π)满足 f (|x|)=f (x),则 φ 的值为 .
由题意知 f (x)为偶函数,其图象关于 y 轴对称,
∴f (0)=3sin(φ -
π
3)=±3,∴φ -
π
3=kπ+
π
2,k∈Z.
又 0<φ<π,∴φ=
5π
6 .
命题角度 3 三角函数图象的对称性
8 [2019 湖北部分重点中学高三测试]已知函数 f (x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<
π
2),其图象的相邻两条对称轴
之间的距离为
π
4,将函数 y=f (x)的图象向左平移
3π
16个单位长度后,得到的图象关于 y 轴对称,那么函数 y=f (x)的
图象
A.关于点( -
π
16,0)对称 B.关于点(
π
16,0)对称
C.关于直线 x=
π
16对称D.关于直线 x= -
π
4对称
因为函数 y=f (x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为
π
4,所以函数的周期 T=
π
2,(相邻两条对称轴之间的距
离是
1
2个最小正周期)
所以 ω=
2π
푇 =4,所以 f (x)=sin(4x+φ).
将函数 y=f (x)的图象向左平移
3π
16个单位长度后,得到函数 y=sin[4(x+
3π
16)+φ]的图象,
因为所得图象关于 y 轴对称,
所以 4×
3π
16+φ=kπ+
π
2,k∈Z,即 φ=kπ -
π
4,k∈Z.
又|φ|<
π
2,所以 φ= -
π
4,
所以 f (x)=sin(4x -
π
4).
令 4x -
π
4=kπ,k∈Z,..........................................................................................(根据 y=sint 的性质求对称中心)
解得 x=
푘π
4 + π
16,k∈Z,令 k=0,得 f (x)的图象关于点(
π
16,0)对称,故 B 正确,易得 A 不正确.
令 4x -
π
4 = π
2+kπ,k∈Z,.......................................................................................(根据 y=sint 的性质求对称轴)
解得 x=
3π
16 + 푘π
4 ,k∈Z,
所以函数 f (x)的图象的对称轴方程为 x=
3π
16 + 푘π
4 ,k∈Z,易得 C,D 均不正确.
B
5.[2019 山东烟台模拟]已知函数 f (x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<
π
2),其图象的相邻两条对称轴之间
的距离为
π
2,将函数 y=
f (x)的图象向右平移
π
6个单位长度后,所得的函数图象关于 y 轴对称,则 ( )
A.f (x)的图象关于点(
π
6,0)对称
B.f (x)的图象关于点( -
π
6,0)对称
C.f (x)在( -
π
6,
π
3)上单调递增
D.f (x)在( -
2π
3 , -
π
6)上单调递增
考法 6 三角函数的综合问题
9 [2016 天津,15,13 分] [理]已知函数 f (x)=4tan x·sin(
π
2 - x)cos(x -
π
3) - 3.
(1)求 f (x)的定义域与最小正周期;
(2)讨论 f (x)在区间[ -
π
4,
π
4]上的单调性.
(1)f (x)的定义域为{x|x≠
π
2+kπ,k∈Z}...................................................(由正切函数定义域得 f (x)的定义域)
f (x)=4tanxcosxcos(x -
π
3) - 3
=4sinxcos(x -
π
3) - 3
=4sinx(
1
2cosx+
3
2 sinx) - 3
=2sinxcosx+2 3sin2x - 3
=sin2x+ 3(1 - cos2x) - 3
=sin2x - 3cos2x
=2sin(2x -
π
3).....................................................................................................................(化为一角一函数)
所以 f (x)的最小正周期 T=
2π
2 =π. .......................................................................................(利用公式法求周期)
(2)令 z=2x -
π
3,函数 y=2sinz 的单调递增区间是[ -
π
2+2kπ,
π
2+2kπ],k∈Z.
由 -
π
2+2kπ≤2x -
π
3≤
π
2+2kπ,.............................................................(利用整体代换法求解 f (x)的单调递增区间)
得 -
π
12+kπ≤x≤
5π
12+kπ,k∈Z.
设 A=[ -
π
4,
π
4],B={x| -
π
12+kπ≤x≤
5π
12+kπ,k∈Z},易知 A∩B=[ -
π
12,
π
4].
所以,当 x∈[ -
π
4,
π
4]时,f (x)在区间[ -
π
12,
π
4]上单调递增,在区间[ -
π
4, -
π
12]上单调递减.
解后反思
若本题中的函数变为 f(x)=2sin(
π
3 - 2x) - 1,则第(2)小问不宜直接利用换元法求解,而是要先利用诱导公式将
自变量 x 的系数由“负”变“正”,即f(x)= - 2sin(2x -
π
3) - 1,然后通过令 t=2x -
π
3换元,得 y= - 2sint - 1.由复合函数
单调性的判断法则可得,函数 f(x)的单调递减区间就是函数 y=sint 的单调递增区间,即需解不等式 2kπ -
π
2
≤t≤2kπ+
π
2,k∈Z,即 2kπ -
π
2≤2x -
π
3≤2kπ+
π
2,k∈Z,解得 kπ -
π
12≤x≤kπ+
5π
12,k∈Z,所以函数 f(x)的单调递减区间为
[kπ -
π
12,kπ+
5π
12],k∈Z.
6.[2019 全国卷Ⅰ,11,5 分][理]关于函数 f (x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论:
①f (x)是偶函数;②f (x)在区间(
π
2,π)上单调递增;
③f (x)在[ - π,π]上有 4 个零点;④f (x)的最大值为 2.
其中所有正确结论的编号是 ( )
A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③
考法 7 三角函数模型的应用
10 [湖北高考,11 分][理]某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h)的变化近似满足函数关系:
f (t)=10 - 3cos
π
12t - sin
π
12t,t∈[0,24).
(1)求实验室这一天的最大温差;
(2)若要求实验室温度不高于 11 ℃,则在哪段时间实验室需要降温?
(1)因为 f (t)=10 - 2(
3
2 cos
π
12t+
1
2sin
π
12t)=10 - 2sin(
π
12t+
π
3),又 0≤t<24,所以
π
3≤
π
12t+
π
3 < 7π
3 ,所以 - 1≤sin(
π
12
t+
π
3)≤1.
当 t=2 时,sin(
π
12t+
π
3)=1;
当 t=14 时,sin(
π
12t+
π
3)= - 1.
于是 f (t)在[0,24)上取得最大值 12,取得最小值 8.
故实验室这一天最高温度为 12℃,最低温度为 8℃,最大温差为 4℃.
(2)依题意,当 f (t)>11 时实验室需要降温.
由(1)得 f (t)=10 - 2sin(
π
12t+
π
3),
故有 10 - 2sin(
π
12t+
π
3)>11,
即 sin(
π
12t+
π
3)< -
1
2.
又 0≤t<24,因此
7π
6 < π
12t+
π
3 < 11π
6 ,所以 100,ω>0,|φ|<
π
2)的模型波动(x 为月份),已知 3 月份达到最高价 9 千元,9 月份价格最低为
5 千元,则 7 月份的出厂价格为 元.
考法 8 三角函数与其他知识的交汇
11 [2019安徽淮南二模]已知函数y=A' sin(ωx+φ)(|φ|<
π
2,ω>0)图象的一
部分如图4 - 3 - 8所示 .A,B,D 是此函数图象与 x 轴的三个相邻交点,C 是图象
的最高点,点 D 的坐标是(
11π
12 ,0),则数量积퐴퐵·퐴퐶=
A.
π2
2 B.
π2
4 C.
π2
6 D.
π2
8
先根据函数图象确定函数解析式中各个参数的值,从而确定点
A,B,C 的坐标,然后求出两个向量的坐标,代入公式求解即可.
由函数图象可知 A' =2,且 f (0)=1,故 sinφ=
1
2.
又|φ|<
π
2,故 φ=
π
6.
观察图象知 x=
11π
12 在函数的单调递增区间内,
所以 ω×
11π
12 + π
6=2kπ,k∈Z,
解得 ω=
24푘 - 2
11 ,k∈Z.
由函数图象可知
2π
휔 > 11π
12 ,
故 0<ω<
24
11,故 ω=2,
所以 f (x)=2sin(2x+
π
6)...............................................................................................................(求函数解析式)
故 A( -
π
12,0),B(
5π
12,0),C(
π
6,2),......................................................................................................(求点的坐标)
因此퐴퐵=(
π
2,0),퐴퐶=(
π
4,2),
故퐴퐵·퐴퐶 = π2
8 .
D
解后反思
该题中点 D 的坐标的应用是解题的关键,该点的坐标说明两个问题:一是函数最小正周期的取值范围,显然 T>
11π
12 ;二是根据 x=
11π
12 在函数的单调递增区间内,可知 ω×
11π
12 + π
6=2kπ(k∈Z).这样便可以得到 ω 的值.若 x=
11π
12 在
函数的单调递减区间内,则 ω×
11π
12 + π
6=2kπ+π(k∈Z).
8. (1)[2019 济南市质检]已知函数f (x)=sin(ωx+
π
3)(ω>0),若 f (x)在[0,
2π
3 ]上恰有两个零点,则 ω
的取值范围是 ( )
A.(1,
5
2) B.[1,
5
2) C.(
5
2,4) D.[
5
2,4)
（2）已知函数 f (x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>0,|φ|≤
π
2),其图象与直线 y= - 1 相邻两个交点的距离为 π,若 f (x)>1 对
任意的 x∈
( -
π
12,
π
3)恒成立,则 φ 的取值范围是 ( )
A.(
π
6,
π
3) B.[
π
12,
π
3] C.[
π
12,
π
2] D.[
π
6,
π
3]
数学探究 三角函数中有关 ω 的求解
三角函数中 ω 的求解是近年高考的一个热点内容,但因其求法复杂,涉及的知识点多,历来是我们复习中的难
点.
1.三角函数的单调性与 ω 的关系
12 [2019 湖南师大附中模拟]若函数f (x)=2 3sin ωxcos ωx+2sin2ωx+cos 2ωx 在区间[ -
3π
2 ,
3π
2 ]上单
调递增,则正数 ω 的最大值为
A.
1
8 B.
1
6 C.
1
4 D.
1
3
解法一 因为 f (x)=2 3sinωxcosωx+2sin2ωx+cos2ωx= 3sin2ωx+1 在区间[ -
3π
2 ,
3π
2 ]上单调递增,
所以{ -3휔π ≥ - π
2,
3휔π ≤ π
2,
..................................................................................................(由端点值大小构建不等关系)
解得 ω≤
1
6,所以正数 ω 的最大值是
1
6.
解法二 易知 f (x)= 3sin2ωx+1,可得 f (x)的最小正周期 T=
π
휔,所以{ - π
4휔 ≤ - 3π
2 ,
π
4휔 ≥ 3π
2 ,
解得 ω≤
1
6,所以正数 ω 的最大值是
1
6.
B
素养探源
核心素养 考查途径 素养水平
逻辑推理 子集关系的判定,不等关系的建
立.
二
数学运算 三角恒等变换,不等式的解法. 二
解后反思
本题中因为指定区间含有 0,所以可以直接利用 - 3ωπ 与 -
π
2的大小关系及 3ωπ 与
π
2的大小关系建立参数
所满足的不等关系.若指定区间不含 0,则需要先求出函数的单调递增区间,再利用子集关系建立参数所满足
的不等关系.
2.三角函数的最值、图象的对称性与 ω 的关系
13[2016 全国卷Ⅰ,12,5 分][理]已知函数f (x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤
π
2),x= -
π
4为f (x)的零点,直线x=
π
4为y=f
(x)图象的对称轴,且 f (x)在(
π
18,
5π
36)上单调,则 ω 的最大值为
A.11 B.9 C.7 D.5
由条件中的“零点”和“对称轴”列等式→根据“f (x)在(
π
18,
5π
36)上单调”推导→验证
解法一 因为 x= -
π
4为函数 f (x)的零点,直线 x=
π
4为 y=f (x)图象的对称轴,
所以
π
4 - ( -
π
4)=
π
2 = 푘푇
2 + 푇
4(k∈Z,T 为最小正周期),............(根据函数的零点,图象的对称轴与函数的周期的关系得)
化简得 T=
2π
2푘 + 1(k∈Z),即 ω=
2π
푇 =2k+1(k∈Z).
又 f (x)在(
π
18,
5π
36)上单调,所以
푇
2≥
5π
36 ― π
18,..................................................(单调区间的长度不大于半个最小正周期)
结合 T=
2π
2푘 + 1(k∈Z)可得,k≤
11
2 且 k∈Z.
当 k=5 时,ω=11,φ= -
π
4,f (x)在(
π
18,
5π
36)上不单调;当 k=4 时,ω=9,φ=
π
4,f (x)在(
π
18,
5π
36)上单调,满足题意,故 ω 的
最大值为 9.
解法二 依题意,有{휔·( - π
4) + 휑 = 푚π,
휔·π
4 + 휑 = 푛π + π
2
(m,n∈Z),
解得{휔 = 2(푛 - 푚) + 1,
휑 = 2(푚 + 푛) + 1
4 π. .............................................(根据正弦函数的零点和图象的对称轴分别列式子,联立求解)
又|φ|≤
π
2,所以 m+n=0 或 m+n= - 1.
由 f (x)在(
π
18,
5π
36)上单调,得
π
휔≥
5π
36 ― π
18,所以 0<ω≤12.
当 m+n=0 时,ω=4n+1,φ=
π
4,
取 n=2,得 ω=9,f (x)=sin(9x+
π
4),符合题意.
当 m+n= - 1 时,φ= -
π
4,ω=4n+3,
取 n=2,得 ω=11,f (x)=sin(11x -
π
4),此时,当 x∈(
π
18,
5π
36)时,11x -
π
4∈(
13
36π,
23
18π),f (x)不单调,不合题意.
故 ω 的最大值为 9.
B
(1)求 ω 的取值范围,还可采用如下思路:
因为 f (x)在(
π
18,
5π
36)上单调,
所以{π
2 + 푘π ≤ π
18휔 + 휑,
π
2 + (푘 + 1)π ≥ 5π
36휔 + 휑
(k∈Z),利用同向不等式相加,得 0<ω≤12.
(2)当 ω=11 时,验证 f (x)在(
π
18,
5π
36)上是否单调有以下三个思路.
思路 1:直接求单调区间,f (x)在(
π
18,
3π
44)上单调递增,在(
3π
44,
5π
36)上单调递减,所以不满足条件.
思路 2:整体换元法,当 x∈(
π
18,
5π
36)时,11x -
π
4∈(
13π
36 ,
23π
18 ),而正弦函数在区间(
13π
36 ,
23π
18 )上不单调,所以不满足条件.
思路 3:f (x)=sin(11x -
π
4)的图象的对称轴方程是 x=
4푘 + 3
44 π,通过赋值发现 x=
3π
44在区间(
π
18,
5π
36)内,则 f (x)在这
个区间上不可能单调,所以 ω=11 不满足条件.
素养探源
核心素养 考查途径 素养水平
逻辑推理
函数的零点、图象的对称轴与
函数的周期的关系,单调区间的
长度与周期间的关系,ω 的最大
值的选取等.
二
数学运算 求ω,φ的值,求函数的单调区间. 二
试题评析
本题以 y=sin(ωx+φ)为背景设置问题,考查三角函数的图象、性质等核心知识,也考查了数形结合、转化与化
归的思想方法,同时对学生的逻辑推理和数学运算素养要求较高.仔细审题,可发现解答此题的关键有三步:一
是零点和对称轴的处理,二是函数在区间上单调的处理,三是验证.厘清思路后解题就简单多了.
本题的易错点是在运用转化与化归的数学思想方法时不等价:例如误认为对称中心与对称轴只能是相邻的,
通过在相应区间上单调求出 0<ω≤12,误选 A.
9.[2016 天津,8,5 分]已知函数 f (x)=sin2
휔푥
2 + 1
2sin ωx -
1
2(ω>0),x∈R.若 f (x)在区间(π,2π)内
没有零点,则 ω 的取值范围是 ( )
A.(0,
1
8] B.(0,
1
4]∪[
5
8,1)C.(0,
5
8] D.(0,
1
8]∪[
1
4,
5
8]
1.D y=tan x 在( -
π
2+kπ,
π
2+kπ)(k∈Z)上是增函数,但在其定义域上不是增函数,故 A 错误;对于 y=ksin
x+1,x∈R,因为 k 的正负不确定,所以 y 的最大值不确定,故 B 错误;图象左右平移是针对 x 本身而言的,如果系
数不是 1,需要先提取系数再求解,明显 C 是错误的.选 D.
2.D 将函数 y=sin x 的图象向左平移
π
2个单位长度,得到函数 y=f (x)=sin(x+
π
2)=cos x 的图象,所以 y=f (x)是偶
函数,排除 A;y=f (x)的最小正周期 T=
2π
1 =2π,排除 B;y=f (x)的图象关于直线 x=kπ(k∈Z)对称,排除 C.选 D.
3.A 依题意得函数 f (x)的最小正周期 T=
2π
휔 =2×(
3π
4 ― π
4)=π,解得 ω=2,故选 A.
4.A 对于 A,作出 y=|cos 2x|的图象如图 D 4 - 3 - 1 所示,由图象知,其周期为
π
2,在区间(
π
4,
π
2)上单调递增,A 正
确;
图 D 4 - 3 - 1
对于 B,作出 y=|sin 2x|的图象如图 D 4 - 3 - 2 所示,由图象知,其周期为
π
2,在区间(
π
4,
π
2)上单调递减,B 错误;
图 D 4 - 3 - 2
对于 C,y=cos|x|=cos x,周期为 2π,C 错误;
对于 D,作出 y=sin|x|的图象如图 D 4 - 3 - 3 所示,由图象知,其不是周期函数,D 错误.
图 D 4 - 3 - 3
故选 A.
5.A 记 y=sin(ωx+φ)的最小正周期为 T,由题图可知
푇
2 = 11π
12 ― 5π
12 = π
2,得 T=π,由 T=
2π
휔 =π,得 ω=2,所以
y=sin(2x+φ).由函数图象过点(
5π
12,1),得 2×
5π
12+φ=2kπ+
π
2(k∈Z),则 φ=2kπ -
π
3(k∈Z),又|φ|<
π
2,所以 φ= -
π
3,故选 A.
6.C 因为 f (x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,且其最小正周期为 π,所以 φ=0,ω=2,则 f (x)=Asin
2x,g(x)=Asin x.又 g(
π
4)=Asin
π
4 = 2,所以 A=2,故 f (x)=2sin 2x,f (
3π
8 )=2sin
3π
4 = 2,故选 C.
7.
π
2 ∵f (x)=sin22x=
1 - cos4푥
2 ,∴f (x)的最小正周期 T=
2π
4 = π
2.
8.
2
3 由于对任意的实数 x 都有 f (x)≤f (
π
4)成立,故当 x=
π
4时,函数 f (x)有最大值,故 f (
π
4)=1,∴
π휔
4 ― π
6
=2kπ(k∈Z),∴ω=8k+
2
3(k∈Z),又 ω>0,∴ωmin=
2
3.
1.D 将函数 f (x)=sin(2x+φ)的图象向左平移
π
12个单位长度,得到 g(x)=sin(2x+
π
6+φ)的图象,
因为 g(x)是偶函数,所以
π
6+φ=
π
2+kπ,k∈Z,又 φ∈(0,π),所以 φ=
π
3,所以 tan(φ -
π
6)=tan
π
6 = 3
3 ,故选 D.
2.B 由函数图象可得,函数的最大值为 2,即 A=2.
因为函数图象过点(0,1),所以 f (0)=1,即 sin φ=
1
2,
又|φ|<
π
2,所以 φ=
π
6.
故 f (x)=2sin(ωx+
π
6).
因为函数图象过点(
11π
12 ,0),所以 f (
11π
12 )=0,即 2sin(ω×
11π
12 + π
6)=0,
又 x=
11π
12 在函数 f (x)的单调递增区间内,所以
11π
12 ω+
π
6=2kπ(k∈Z),解得 ω=
24푘 - 2
11 (k∈Z).
由函数图象可得函数的最小正周期 T>
11π
12 ,即
2π
휔 > 11π
12 ,解得 ω<
24
11.
又 ω>0,故 k=1,从而 ω=
22
11=2.
所以 f (x)=2sin(2x+
π
6).
由 f (a+x) - f (a - x)=0,得 f (a+x)=f (a - x),所以该函数图象的对称轴为直线 x=a.
令 2a+
π
6=nπ+
π
2(n∈Z),解得 a=
푛
2π+
π
6(n∈Z).要求 a 的最小正值,只需 n=0,得 a=
π
6,故选 B.
3.(1)A 将函数 f (x)=
1
2sin(2x+
π
3)图象上的每一个点都向左平移
π
3个单位长度,
得到函数 g(x)=
1
2sin[2(x+
π
3)+
π
3]=
1
2sin(2x+π)= -
1
2sin 2x 的图象,令
π
2+2kπ≤2x≤
3π
2 +2kπ(k∈Z),可得
π
4+kπ≤x≤
3π
4
+kπ(k∈Z),因此函数 g(x)的单调递增区间为[kπ+
π
4,kπ+
3π
4 ](k∈Z),故选 A.
(2)A 因为 f (x)在区间[ -
π
2,
2π
3 ]上单调递增,所以{ - π휔
2 ≥ - π
2 + 2푘π,
2π휔
3 ≤ π
2 + 2푘π, k∈Z,
解得 ω≤1 - 4k 且 ω≤
3
4+3k,k∈Z,
因为 ω>0,所以 ω∈(0,
3
4].故选 A.
4.(1)1 f (x)=sin2x+ 3cos x -
3
4= - cos2x+ 3cos x+
1
4= - (cos x -
3
2 )2+1.
因为 x∈[0,
π
2],所以 cos x∈[0,1],因此当 cos x=
3
2 时,f (x)max=1.
(2) -
3 3
2 解法一 因为 f (x)=2sin x+sin 2x,
所以 f '(x)=2cos x+2cos 2x=4cos2x+2cos x - 2=4(cos x -
1
2)·(cos x+1).
由 f '(x)≥0 得
1
2≤cos x≤1,即 2kπ -
π
3≤x≤2kπ+
π
3,k∈Z,
由 f '(x)≤0 得 - 1≤cos x≤
1
2,即 2kπ -
5π
3 ≤x≤2kπ -
π
3,k∈Z,
所以当 x=2kπ -
π
3,k∈Z 时,f (x)取得最小值,
且 f (x)min=f (2kπ -
π
3)=2sin(2kπ -
π
3)+sin 2(2kπ -
π
3)= -
3 3
2 .
解法二 因为 f (x)=2sin x+sin 2x=2sin x(1+cos x)=4sin
푥
2·cos
푥
2·2cos2
푥
2=8sin
푥
2cos3
푥
2=±
8
3 3sin2푥
2cos6푥
2,
所以[f (x)]2=
64
3 ×3sin2
푥
2cos6
푥
2≤
64
3 ×(
3sin2푥
2 + cos2푥
2 + cos2푥
2 + cos2푥
2
4 )4=
27
4 ,
当且仅当 3sin2
푥
2=cos2
푥
2,即 sin2
푥
2 = 1
4时取等号,
所以 0≤[f (x)]2≤
27
4 ,所以 -
3 3
2 ≤f (x)≤
3 3
2 ,
所以 f (x)的最小值为 -
3 3
2 .
解法三 因为 f (x)=2sin x+sin 2x=2sin x(1+cos x),
所以[f (x)]2=4sin2x(1+cos x)2=4(1 - cos x)(1+cos x)3,
设 cos x=t,则 y=4(1 - t)(1+t)3( - 1≤t≤1),
所以 y'=4[ - (1+t)3+3(1 - t)(1+t)2]=4(1+t)2(2 - 4t),
所以当 - 10;当
1
20,|φ|<
π
2)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为
π
2,故
1
2·
2π
휔 = π
2,所以 ω=2,f
(x)=sin(2x+φ).
将函数 y=f (x)的图象向右平移
π
6个单位长度后,得到函数 y=sin(2x -
π
3+φ)的图象,
根据得到的图象关于 y 轴对称,可得 -
π
3+φ=kπ+
π
2,k∈Z,结合|φ|<
π
2,可得 φ= -
π
6,所以 f (x)=sin(2x -
π
6).
当 x=
π
6时,f (x)=
1
2,故 f (x)的图象不关于点(
π
6,0)对称,A 错误;
当 x= -
π
6时,f (x)= - 1,故 f (x)的图象关于直线 x= -
π
6对称,但不关于点( -
π
6,0)对称,B 错误;
当 x∈( -
π
6,
π
3)时,2x -
π
6∈( -
π
2,
π
2),f (x)单调递增,C 正确;
当 x∈( -
2π
3 , -
π
6)时,2x -
π
6∈( -
3π
2 , -
π
2),f (x)单调递减,D 错误.故选 C.
6.C 因为 f ( - x)=sin| - x|+|sin( - x)|=sin|x|+|sin x|=f (x),所以 f (x)为偶函数,故①正确;当 x∈(
π
2,π)时,f
(x)=sin|x|+|sin x|=2sin x,所以 f (x)在区间(
π
2,π)上单调递减,故②错误;当 x∈(0,π)时,f (x)=2sin x,结合函数 f (x)
为偶函数可画出 f (x)在[ - π,π]上的大致图象(如图 D 4 - 3 - 4 所示),
图 D 4 - 3 - 4
由图可知 f (x)在[ - π,π]上有 3 个零点,故③错误;因为y=sin|x|与 y=|sin x|的最大值都为 1 且可以同时取到,所
以 f (x)的最大值为 2,故④正确.故选 C.
7.6 000 三角函数模型为 y=f (x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<
π
2),可作出函数简图如图 D 4 - 3 - 5 所示.
图 D 4 - 3 - 5
由题意知,A=2 000,B=7 000,T=2×(9 - 3)=12,
∴ω=
2π
푇 = π
6.则 f (x)=2 000sin(
π
6x+φ)+7 000,
则有
π
6×3+φ=kπ+
π
2,k∈Z,∴φ=kπ,k∈Z,
又|φ|<
π
2,∴φ=0,
故 f (x)=2 000sin
π
6x+7 000(1≤x≤12,x∈N*),
∴f (7)=2 000×sin
7π
6 +7 000=6 000.
故 7 月份的出厂价格为 6 000 元.
8.(1)D 当 0≤x≤
2π
3 时,
π
3≤ωx+
π
3≤
2π휔
3 + π
3.若 f (x)在[0,
2π
3 ]上恰有两个零点,则 2π≤
2π휔
3 + π
3<3π,解得
5
2≤ω<4.
(2)D 由题意知,函数 f (x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>0,|φ|≤
π
2),其图象与直线 y= - 1 相邻两个交点的距离为 π,故函数
的最小正周期为 T=
2π
휔 =π,解得 ω=2.
所以 f (x)=2sin(2x+φ)+1.
由题意,f (x)>1 对任意的 x∈( -
π
12,
π
3)恒成立,即当 x∈( -
π
12,
π
3)时,sin(2x+φ)>0 恒成立.
令 t=2x+φ,因为 x∈( -
π
12,
π
3),所以 t∈(φ -
π
6,φ+
2π
3 ).
故要使 sin t>0 恒成立,只需{휑 - π
6 ≥ 2푘π,
휑 + 2π
3 ≤ 2푘π + π(k∈Z),
解得 2kπ+
π
6≤φ≤2kπ+
π
3(k∈Z).
显然,当 k=0 时,
π
6≤φ≤
π
3,故选 D.
9.D f (x)=
1
2(1 - cos ωx)+
1
2sin ωx -
1
2 = 1
2sin ωx -
1
2cos ωx=
2
2 sin(ωx -
π
4).
当 ω=
1
2时,f (x)=
2
2 sin(
1
2x -
π
4),x∈(π,2π)时,f (x)∈(
1
2,
2
2 ],无零点,排除 A,B;
当 ω=
3
16时,f (x)=
2
2 sin(
3
16x -
π
4),x∈(π,2π)时,当 x=
4
3π 时,f (x)=0,所以 f (x)有零点,排除 C.选 D.