高考数学【理科】真题分类详细解析版专题17 导数及其应用（解析版）
专题17 导数及其应用
【2013年高考试题】
（2013·新课标I理）11、已知函数f(x)＝，若| f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )
A、（－∞，0] B、（－∞，1] C、[－2，1] D、[－2，0]
【答案】D；
【解析】作出函数图像，在点（0,0）处的切线为制定参数的标准；当时，，，，故；当时，，，由于上任意一点的切线斜率都要大于，故，综上所述，
【学科网考点定位】本题考查导数的几何意义，考查学生数形结合的能力.
（2013·新课标Ⅱ理）（10）已知函数f(x)=,下列结论中错误的是
（A）, f()=0
（B）函数y=f(x)的图像是中心对称图形
（C）若是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞, ）单调递减
（D）若是f（x）的极值点，则 ()=0
【答案】C
【解析】由题意知：导函数的图象开口向上，若是f(x)的极小值点，则是方程=0的较大根，所以选项C错误.
【学科网考点定位】本小题考查函数与导数的关系，利用导数求函数的极值点等问题是这部分的重点知识.
（2013·浙江理）8.已知为自然对数的底数，设函数，则（ ）
A. 当时，在处取得极小值
B. 当时，在处取得极大值
A. 当时，在处取得极小值
B. 当时，在处取得极大值
（2013·辽宁理）（12）设函数
（A）有极大值，无极小值 （B）有极小值，无极大值
（C）既有极大值又有极小值 （D）既无极大值也无极小值
【答案】D
【解析】，
即：
，
（2013·江西理） 13．设函数f(x)在（0，+∞）内可导，且f(ex)=x+ex，则=__________.
【答案】2
【解析】设
【学科网考点定位】该题主要考查函数的导数、导数的运算，函数的表示方法，函数与导数.
（2013·江西理）6.若 ，则s1,s2,s3的大小关系为（ ）
A. s1＜s2＜s3 B. s2＜s1＜s3 C. s2＜s3＜s1 D. s3＜s2＜s1
【答案】B
【解析】选B.
【学科网考点定位】此题主要考查定积分、比较大小，考查逻辑推理能力.
（2013·湖南理）12.若 .
【答案】3；
在点处的切线方程为，即．
（Ⅱ）由可知：
①当时，，函数为上的增函数，函数无极值；
②当时，由，解得；
时，，时，
在处取得极小值，且极小值为，无极大值．
综上：当时，函数无极值
当时，函数在处取得极小值，无极大值．
【解析】此题考查的是最基本的函数切线问题及对极值含参情况的讨论，所以导数公式必需牢记，对于参数的讨论找到一个合理的分类标准做到不重不漏即可，可这往往又是学生最容易出现问题的地方。
【学科网考点定位】 本题主要考查函数与导数、不等式的基础。注意对参数的分类讨论，属于函数中的简单题。
（2013·福建理）15. 当时，有如下表达式：
两边同时积分得：
从而得到如下等式：
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：
【答案】
【解析】法一：注意到信息中的积分算法，所以逆写可得
法二：考虑组合恒等式故直接可得
【学科网考点定位】此题的立意在类比应用，巧妙的逆向构造考查了学生应用信息的能力。难度比较大。不过如果参加竞赛或者熟悉恒等式也就比较容易了。
（2013·北京理）18. (本小题共13分)
设l为曲线C：在点(1，0)处的切线.
(I)求l的方程；
(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线l的下方
（2013·安徽理）（17）（本小题满分12分）
设函数，其中，区间
（Ⅰ）求的长度（注：区间的长度定义为）；
（Ⅱ）给定常数，当时，求长度的最小值。
【解析】第（1）题求解一元二次不等式确定区间的取值范围，根据题意能够求出的长度，简单题；第（2）题要能理解其实就是求关于在给定区间内的最小值，通过求导就能确定最小值是当取何值，但此题易错点在于需要比较在与处的大小，利用作差或作商都可以解决，出题思路比较新颖，容易迷惑，但只要能够理解题意，基本能够求解出来.
【答案】（1）令
解得
的长度
（2） 则
由 （1）
，令，得，由于
故关于在上单调递增，在上单调递减.，必定在或处取得
因此当时，在区间上取得最小值.
【学科网考点定位】考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用，并考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力.
（2013·安徽理）（20）（本小题满分13分）
设函数，证明：
（Ⅰ）对每个，存在唯一的，满足；
（Ⅱ）对任意，由（Ⅰ）中构成的数列满足。
【答案】（1）对每个，当时，，
则在内单调递增，
而，当时，，
故，
又
所以对每个，存在唯一的，满足
l 当时，，并由（1）知
由在内单调递增知，，故为单调递减数列，
从而对任意,
对任意，
①
②
①②并移项，利用，得
因此，对任意，.
【学科网考点定位】考查函数的导数及其应用，函数零点的判定，等比数列的求和，不等式的放缩等知识.
（2013·福建理）17.（本小题满分13分）
已知函数
（1） 当时，求曲线在点处的切线方程；
（2） 求函数的极值
【答案】 函数的定义域为，．
（Ⅰ）当时，，，，
在点处的切线方程为，即．
（Ⅱ）由可知：
①当时，，函数为上的增函数，函数无极值；
②当时，由，解得；
时，，时，
在处取得极小值，且极小值为，无极大值．
综上：当时，函数无极值
当时，函数在处取得极小值，无极大值．
【解析】此题考查的是最基本的函数切线问题及对极值含参情况的讨论，所以导数公式必需牢记，对于参数的讨论找到一个合理的分类标准做到不重不漏即可，可这往往又是学生最容易出现问题的地方。
【学科网考点定位】 本题主要考查函数与导数、不等式的基础。注意对参数的分类讨论，属于函数中的简单题。
（2013·江西理）21.（本小题满分14分）
已知函数a为常数且a＞0.
（1）证明：函数f（x）的图像关于直线x=对称；
（2）若x0满足f（f（x0））= x0，但f（x0）≠x0，则x0称为函数f（x）的二阶周期点，如果f（x）有两个二
阶周期点x1，x2，试确定a的取值范围；
（3）对于（2）中的x1，x2，和a，设x3为函数f（f（x））的最大值点，A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（x3，0），记△ABC的面积为S（a），讨论S（a）的单调性.
【答案】（2）
【解析】
【学科网考点定位】本题主要考查函数的概念、图像和性质，考查函数与导数等基础知识，考查理解能力、运用和创新能力，考查综合处理能力等.
（2013·辽宁理）21．（本小题满分12分）
已知函数
（I）求证：
（II）若取值范围.
令，则可得在[0,1]上为增函数，
故
综上可得：
（I）解法二：要证，也就是证
令，令
，即为增函数，
，可得在 [0,1]上为增函数，
故；
要证，也就是证，即证，令
，，可得
即，从而得，故
综上可得：
（II）
，
，
,从而
所以，
下面注明，
=
，令则
于是，
此时
综上：
【解析】第一问中的解法一采取对已知函数进行分离整理，使得函数的结构变得简单对称，求得导函数也就变得简单了，但是在解题过程中很难想到。解法二是直接移项构造函数，比较容易想到，但是求出导函数后又变得无从下手，这时候需要二次求导分析来解决。两种解法各有特点。
第二问主要是在第一问的基础上利用不等式进行适当的放缩，转化为另一个函数进行分析解答。
【学科网考点定位】本题考查函数与导数，导数与不等式的综合应用。
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（2013·陕西理）21. (本小题满分14分)
已知函数.
(Ⅰ) 若直线y＝kx＋1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值;
(Ⅱ) 设x>0, 讨论曲线y＝f (x) 与曲线 公共点的个数.
(Ⅲ) 设a
0, 存在唯一的s, 使.
(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s关于t的函数为, 证明: 当时, 有.
【解析】(Ⅰ) 函数f(x)的定义域为，
，令，得，
当变化时，、的变化情况如下表：
-
0
+
极小值
所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是.
(Ⅱ)证明:当时，，令，由(Ⅰ)知在区间内单调递增，，故存在唯一的，使得成立.
(Ⅲ)证明：因为，由(Ⅱ)知，，且，从而
===，其中，要使成立，只需，
因此成立.
综上，当时，有.
【解题思路与技巧】本题第（Ⅰ）问，求的单调区间，先求出定义域，然后解导数方程的根，判断根两侧的导数的正负即可；第(Ⅱ)问，证明时，可构造函数；第(Ⅲ))问，讨论.
【易错点】对第（Ⅰ）问，求单调区间时，注意定义域优先的原则；第(Ⅱ)、(Ⅲ))
问，证明时要注意讨论.
【学科网考点定位】本小题主要考查函数的概念、函数的零点、导数的运算、利用导数研究函数的单调性、不等式等基础知识，考查函数思想、化归思想，考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.
（2013·浙江理）22.已知，函数
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求的最大值.
这也是这个题目的难点所在，此题注意讨论不漏不重；
（Ⅰ）由已知得：，且，所以所求切线方程为：，即为：；
（Ⅱ）由已知得到：，其中，当时，，
（1）当时，，所以在上递减，所以，因为
；
（2）当，即时，恒成立，所以在上递增，所以，因为
；
（3）当，即时，
，且，即
2
+
0
-
0
+
递增
极大值
递减
极小值
递增
所以，且
所以，
所以；
由，所以
（ⅰ）当时，，所以时，递增，时，递减，所以，因为
，又因为，所以，所以，所以
（ⅱ）当时，，所以，因为
，此时，当时，是大于零还是小于零不确定，所以当时，，所以，所以此时当时，，所以，所以此时。
综上所述：；
（2013·新课标Ⅱ理）（21）（本小题满分12分）
已知函数f(x)=-ln(x+m).
(Ι)设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；
（Ⅱ）当m≤2时，证明f(x)>0.
【解析】(Ι)因为, x=0是f(x)的极值点，所以,解得，
所以函数f(x)=-ln(x+1)，其定义域为，因为=，
设，则，所以在上是增函数，又因为，所以当时，，即；当时，，，所以
在上是减函数；在上是增函数.
（Ⅱ）当m≤2，时，，故只需证明当时，.
当时，函数在单调递增，
又故在有唯一实根，且，
当时，；当时，，从而当时，取得最小值，
由得：，即，
故=，
综上，当m≤2时，.
【解题思路与技巧】本题第（Ⅰ）问，由极值点得出,在x=0处的导数等于0,求出m值;对单调性,而判断导数的正负号，从而需构造函数，通过判断函数的单调性，来得出的正负，从而求得结果; 对第（Ⅱ）问,要证明,只需要证明即可.
（2013·新课标I理）（21）（本小题满分共12分）
已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x+2
（Ⅰ）求a，b，c，d的值
（Ⅱ）若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围。
【答案】（1）因为曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，所以b=d=2；因为，故；，故，故；所以，；
（2）令，则，由题设可得，故，令得，
（1）若，则，从而当时，，当时，即在上最小值为，此时f(x)≤kg(x)恒成立；
（2）若，，故在上单调递增，因为所以f(x)≤kg(x)恒成立
（3）若，则，故f(x)≤kg(x)不恒成立；
综上所述k的取值范围为.
【解析】（1）利用导数的几何意义进行求解；（2）构造函数“”，对k的取值范围进行分类讨论，进而得到答案.
【学科网考点定位】本题考查导数的几何意义、导数与函数的最值、导数与函数的单调性，考查学生的分类讨论能力以及化归与转化思想.
【2012年高考试题】
1.【2012高考真题重庆理8】设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是
（A）函数有极大值和极小值
（B）函数有极大值和极小值
（C）函数有极大值和极小值
（D）函数有极大值和极小值
【答案】
【解析】由图象可知当时，，所以此时，函数递增.当时，，所以此时，函数递减.当时，，所以此时，函数递减.当时，，所以此时，函数递增.所以函数有极大值，极小值,选D.
2.【2012高考真题新课标理12】设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ）
【答案】B
【解析】函数与函数互为反函数，图象关于对称函数上的点到直线的距离为
设函数
由图象关于对称得：最小值为,
3.【2012高考真题陕西理7】设函数，则（ ）
A. 为的极大值点 B.为的极小值点
C. 为的极大值点 D. 为的极小值点[学
【答案】D.
【解析】，令，则，当时，当时，所以为极小值点，故选D.
4.【2012高考真题辽宁理12】若，则下列不等式恒成立的是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】C
【解析】设，则
所以所以当时，
同理即，故选C
5.【2012高考真题湖北理3】已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形
【答案】B
【解析】根据图像可得： ，再由定积分的几何意义，可求得面积为.
6.【2012高考真题全国卷理10】已知函数y＝x²-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝
（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1
【答案】A
【解析】若函数的图象与轴恰有两个公共点，则说明函数的两个极值中有一个为0，函数的导数为，令，解得，可知当极大值为，极小值为.由，解得，由，解得，所以或，选A.
7.【2012高考真题浙江理16】定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离，则实数a=_______。
8.【2012高考真题江西理11】计算定积分___________。
【答案】
【解析】。
9.【2012高考真题山东理15】设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则______.
【答案】
【解析】由已知得，所以，所以。
10.【2012高考真题广东理12】曲线y=x3-x+3在点（1，3）处的切线方程为 ．
【答案】
【解析】，当时，，此时，故切线方程为，即。
11.【2012高考真题上海理13】已知函数的图象是折线段，其中、、，函数（）的图象与轴围成的图形的面积为 。
【答案】
【解析】当，线段的方程为，当时。线段方程为，整理得，即函数，所以，函数与轴围成的图形面积为。
12.【2012高考真题陕西理14】设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为 .
【答案】2．
【解析】函数在点处的切线为，即.所以D
表示的平面区域如图当目标函数直线经过点M时有最大值，最大值为.
13.【2012高考真题浙江理22】(本小题满分14分)已知a＞0，bR，函数．
(Ⅰ)证明：当0≤x≤1时，
(ⅰ)函数的最大值为|2a－b|﹢a；
(ⅱ) ＋|2a－b|﹢a≥0；
(Ⅱ) 若﹣1≤≤1对x[0，1]恒成立，求a＋b的取值范围．
【答案】本题主要考察不等式，导数，单调性，
(Ⅰ)(ⅰ)．
当b≤0时，＞0在0≤x≤1上恒成立，
此时的最大值为：＝|2a－b|﹢a；
当b＞0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，
此时的最大值为：
＝|2a－b|﹢a；
综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a－b|﹢a；
(ⅱ) 要证＋|2a－b|﹢a≥0，即证＝﹣≤|2a－b|﹢a．
亦即证在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a，
∵，
∴令．
当b≤0时，＜0在0≤x≤1上恒成立，
此时的最大值为：＝|2a－b|﹢a；
当b＜0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，
14.【2012高考真题湖南理22】（本小题满分13分）
已知函数=，其中a≠0.
（1） 若对一切x∈R，≥1恒成立，求a的取值集合.
（2）在函数的图像上取定两点，，记直线AB的斜率为K，问：是否存在x0∈（x1，x2），使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ）若，则对一切，，这与题设矛盾，又，
故.
而令
当时，单调递减；当时，单调递增，故当时，取最小值
于是对一切恒成立，当且仅当
. ①
令则
当时，单调递增；当时，单调递减.
故当时，取最大值.因此，当且仅当即时，①式成立.
综上所述，的取值集合为.
（Ⅱ）由题意知，
令则
令，则.
当时，单调递减；当时，单调递增.
故当，即
从而，又
所以
因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使单调递增，故这样的是唯一的，且.故当且仅当时， .
综上所述，存在使成立.且的取值范围为
.
15．【2012高考真题湖南理8】已知两条直线 ：y=m 和： y=(m＞0)，与函数的图像从左至右相交于点A，B ，与函数的图像从左至右相交于C,D .记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时，的最小值为
A． B. C. D.
【答案】B
【解析】在同一坐标系中作出y=m，y=(m＞0)，图像如下图，
由= m，得，= ，得.
依照题意得.
，.
16.【2012高考真题湖北理9】函数在区间上的零点个数为
A．4 B．5
C．6 D．7
【答案】C
【解析】，则或，，又，
所以共有6个解.选C.
17.【2012高考真题广东理4】下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是
A.y=ln（x+2） B.y=- C.y=（）x D.y=x+
【答案】A
【解析】函数y=ln（x+2）在区间（0，+∞）上为增函数；函数y=-在区间（0，+∞）上为减函数；函数y=（）x在区间（0，+∞）上为减函数；函数y=x+在区间（0，+∞）上为先减后增函数．故选A．
18.【2012高考真题福建理7】设函数则下列结论错误的是
A.D（x）的值域为{0,1}
B. D（x）是偶函数
C. D（x）不是周期函数D.
D（x）不是单调函数
【答案】Ｃ．
【解析】根据解析式易知Ａ和Ｄ正确；若是无理数，则和也是无理数，若是有理数，则和也是有理数，所以，从而可知Ｂ正确，Ｃ错误．故选Ｃ．
19.【2012高考真题福建理10】函数f（x）在[a,b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a,b]，有则称f（x）在[a,b]上具有性质P.设f（x）在[1,3]上具有性质P，现给出如下命题：
①f（x）在[1,3]上的图像时连续不断的；
②f（x2）在[1,]上具有性质P；
③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1,3]；
④对任意x1，x2，x3，x4∈[1,3]，有
其中真命题的序号是
A.①② B.①③ C.②④ D.③④
【答案】D．
所以④正确.故选D.
20.【2012高考真题福建理15】对于实数a和b，定义运算“﹡”：，
设，且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_________________.
【答案】．
【解析】由新定义得，所以可以画出草图，若方程有三个根，则，且当时方程可化为，易知；当时方程可化为，可解得，所以，又易知当时有最小值，所以，即
.
21.【2012高考真题上海理7】已知函数（为常数）。若在区间上是增函数，则的取值范围是 。
【答案】
【解析】令，则在区间上单调递增，而为增函数，所以要是函数在单调递增，则有，所以的取值范围是。
22.【2012高考真题上海理9】已知是奇函数，且，若，则 。
【答案】
【解析】因为为奇函数，所以，所以，，
所以。
23.【2012高考江苏5】（5分）函数的定义域为 ▲ ．
【答案】。
【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得
。
24.【2012高考真题北京理14】已知，，若同时满足条件：
①，或；
②, 。
则m的取值范围是_______。
【答案】
【解析】根据，可解得。由于题目中第一个条件的限制，
或成立的限制，导致在时必须是的。当时，不能做到在时，所以舍掉。因此，作为二次函数开口只能向下，故，且此时两个根为，。为保证此条件成立，需要，和大前提取交集结果为；又由于条件2：要求，0的限制，可分析得出在时，恒负，因此就需要在这个范围内有得正数的可能，即应该比两根中小的那个大，当时，，解得，交集为空，舍。当时，两个根同为，舍。当时，，解得，综上所述．
25【2012高考真题天津理14】已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_________.
【答案】或
【解析】函数，当时，，当时，，综上函数，做出函数的图象(蓝线)，要使函数与有两个不同的交点，则直线必须在四边形区域ABCD内(和直线
平行的直线除外，如图，则此时当直线经过，，综上实数的取值范围是且，即或。
26.【2012高考江苏10】（5分）设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，
其中．若，
则的值为 ．
【答案】。
【解析】∵是定义在上且周期为2的函数，∴，即①。
又∵，，
∴②。
联立①②，解得，。∴。
27.【2012高考江苏17】（14分）如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，
炮弹可以击中它？请说明理由．
【答案】解：（1）在中，令，得。
由实际意义和题设条件知。
∴，当且仅当时取等号。
∴炮的最大射程是10千米。
（2）∵，∴炮弹可以击中目标等价于存在，使成立，
∴当不超过6千米时，炮弹可以击中目标。
【解析】（1）求炮的最大射程即求与轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解。
（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解。
28．【2012高考真题湖南理20】（本小题满分13分）
某企业接到生产3000台某产品的A，B，Ｃ三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为２,２,１（单位：件）.已知每个工人每天可生产Ａ部件６件，或Ｂ部件３件，或Ｃ部件２件.该企业计划安排２００名工人分成三组分别生产这三种部件，生产Ｂ部件的人数与生产Ａ部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）.
（１）设生产Ａ部件的人数为ｘ，分别写出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件生产需要的时间；
（２）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.
【解析】解：（Ⅰ）设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为
由题设有
期中均为1到200之间的正整数.
（Ⅱ）完成订单任务的时间为其定义域为
易知，为减函数，为增函数.注意到
于是
（1）当时， 此时
，
由函数的单调性知，当时取得最小值，解得
.由于
.
故当时完成订单任务的时间最短，且最短时间为.
（2）当时， 由于为正整数，故，此时易知为增函数，则
.
由函数的单调性知，当时取得最小值，解得.由于
此时完成订单任务的最短时间大于.
（3）当时， 由于为正整数，故，此时由函数的单调性知，
当时取得最小值，解得.类似（1）的讨论.此时
完成订单任务的最短时间为，大于.
综上所述，当时完成订单任务的时间最短，此时生产Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件的人数
分别为44,88,68.
【2011年高考试题】
1. (2011年高考山东卷理科10)已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时,,则函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为
（A）6 （B）7 （C）8 （D）9
【答案】B
【解析】因为当时, ,又因为是上最小正周期为2的周期函数，且,所以,又因为,所以,,故函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为7个,选B.
2．(2011年高考辽宁卷理科9)设函数f（x）=则满足f（x）≤2的x的取值范围是（ ）
（A）[-1，2] （B）[0，2] （C）[1，+） （D）[0，+）
答案： D
解析：不等式等价于或解不等式组，可得或，即，故选D.
3．(2011年高考辽宁卷理科11)函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意x∈R，f’(x)＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（ ）
（A）（-1，1） （B）（-1，+）
（C）（-，-1） （D）（-，+）
答案： B
解析：设g(x)= f(x)-(2x+4), g’(x)= f’(x)-2.因为对任意，f’（x）＞2，所以对任意，g’(x)>0，则函数g(x)在R上单调递增.又因为g(-1)= f(-1)-(-2+4)=0，故g(x)>0,即f(x)＞2x+4的解集为(-1，+).
4．(2011年高考浙江卷理科1)设函数,则实数=
（A）-4或-2 （B）-4或2 （C）-2或4 （D）-2或2
【答案】 B
【解析】当，故选B
5. (2011年高考全国新课标卷理科2)下列函数中，既是偶函数又是区间上的增函数的是（ ）
A B C D
【答案】B
【解析】由偶函数可排除A，再由增函数排除C,D,故选B；
6. (2011年高考全国新课标卷理科9)由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为
（A） （B）4 （C） （D）6
【答案】C
【解析】因为的解为，所以两图像交点为，于是面积故选C
7. (2011年高考天津卷理科8)对实数与，定义新运算“”： 设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D.
8. (2011年高考江西卷理科3)若，则的定义域为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】要使原函数有意义,只须,即,解得,故选A.
9. (2011年高考江西卷理科4)若，则的解集为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为,原函数的定义域为,所以由可得,解得,故选C.
10. (2011年高考湖南卷理科6)由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为
A. B. 1 C. D.
答案：D
解析：由定积分的几何意义和微积分基本定理可知S=。故选D评析：本小题主要考查定积分的几何意义和微积分基本定理等知识.
11. (2011年高考湖南卷理科8)设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为
A. 1 B. C. D.
答案：D
解析：将代入中，得到点的坐标分别为，，从而
对其求导，可知当且仅当时取到最小。故选D
12．(2011年高考广东卷理科4)设函数和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）
A．+|g(x)|是偶函数 B．-|g(x)|是奇函数
C．|| +g(x)是偶函数 D．||- g(x)是奇函数
【解析】A.设
，所以是偶函数，所以选A.
13．(2011年高考湖北卷理科6)已知定义在R上的奇函数和偶函数满足且，若，则
A.2 B. C. D.
14. (2011年高考湖北卷理科10) 放射性元素由于不断有原子放射微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位年）满足函数关系：，其中为t=0时铯137的含量，已知t=30时，铯137含量的变化率是—10ln2（太贝克/年），则M(60)=
A.5太贝克 B.75ln2太贝克 C.150ln2太贝克 D.150太贝克
答案：.D
解析：因为，故其变化率为，又由
故，则，所以选D.
15．(2011年高考陕西卷理科3)设函数满足
，则的图像可能是
【答案】B
【解析】由知为偶函数，由知周期为2。故选B
16．(2011年高考陕西卷理科6)函数在内
（A）没有零点 （B）有且仅有一个零点
（C）有且仅有两一个零点（D）有无穷个零点
【答案】B
【解析】令，，则它们的图像如图故选B
17.(2011年高考重庆卷理科5)下列区间中，函数，在其上为增函数的是
（A） (B)
(C) (D)
解析：选D。用图像法解决，将的图像关于y轴对称得到，再向右平移两个单位，得到，将得到的图像在x轴下方的部分翻折上来，即得到的图像。由图像，选项中是增函数的显然只有D
18． (2011年高考全国卷理科8)曲线y=+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为
(A) (B) (C) (D)1
【答案】A
【解析】： ，，切线方程为
由 则 故选A
19．(2011年高考全国卷理科9)设是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，=，则=
(A) - (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】 故选A
20．(2011年高考福建卷理科5)（e2+2x）dx等于
A．1 B．e-1 C．e D．e+1
【答案】C[来源:学科网]
【解析】由定积分的定义容易求得答案.
21．(2011年高考上海卷理科16)下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由偶函数,排除B;由减函数,又排除B、D，故选A.
22. (2011年高考山东卷理科16)已知函数=当2＜a＜3＜b＜4时，函数的零点 .
【答案】2
【解析】方程=0的根为,即函数的图象与函数的交点横坐标为,且,结合图象,因为当时,,此时对应直线上的点的横坐标;当时, 对数函数的图象上点的横坐标,直线的图象上点的横坐标,故所求的.
23．(2011年高考浙江卷理科11)若函数为偶函数，则实数 。
【答案】 0
【解析】，
则
24. (2011年高考广东卷理科12)函数在 处取得极小值.
【解析】2.
得。所以函数的单调递增区间为，减区间为，所以函数在x=2处取得极小值。
25．(2011年高考陕西卷理科11)设，若，则
【答案】1
【解析】
26. (2011年高考四川卷理科13)计算 .
答案：
解析：.
27. (2011年高考四川卷理科16)函数的定义域为A，若时总有为单函数.例如，函数=2x+1（）是单函数.下列命题：
① 函数=（xR）是单函数；
② 若为单函数，
③ 若f：AB为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象；
④ 函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数.
其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号）
29.(2011年高考江苏卷8)在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________
【答案】4
【解析】考察函数与方程，两点间距离公式以及基本不等式，中档题。设坐标原点的直线方程为,则由解得交点坐标为、，即为P、Q两点，所以线段PQ长为，当且仅当
时等号成立，故线段PQ长的最小值是4.
30．(2011年高考安徽卷江苏11)已知实数，函数，若，则a的值为________
【答案】
【解析】因为,所以是函数的对称轴,所以,所以的值为.
31．(2011年高考北京卷理科13)已知函数若关于x 的方程f(x)=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是_______
【答案】（0，1）
【解析】画出函数图象与直线y=k,观察,可得结果,考查了函数与方程、数形结合的数学思想.
32．(2011年高考上海卷理科1)函数的反函数为 。
【答案】[来源:学*科*网]
【解析】设,则,故.
33．(2011年高考上海卷理科13)设是定义在上，以1为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为 。
【答案】
【解析】本小题考查函数的性质.
【2010高考试题】
1.（2010浙江理数）（10）设函数的集合
，
平面上点的集合
，
则在同一直角坐标系中，中函数的图象恰好经过中两个点的函数的个数是
（A）4 （B）6 （C）8 （D）10
解析：当a=0,b=0;a=0,b=1;a=,b=0; a=,b=1;a=1,b=-1;a=1,b=1时满足题意，故答案选B。
2.（2010全国卷2理数）（10）若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则
（A）64 （B）32 （C）16 （D）8
【答案】A
【解析】，切线方程是，令，，令，，∴三角形的面积是，解得.故选A.
3.（2010全国卷2理数）（2）.函数的反函数是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】D
【解析】由原函数解得，即，又；
∴在反函数中，故选D.
4.（2010辽宁理数）(1O)已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是
(A)[0,) (B) (D)
【答案】D
【解析】因为，即tan a≥-1,所以
5.（2010江西理数）12.如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为，则导函数的图像大致为
【答案】A
【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究能力和应用能力。最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B；考察A、D的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A。
6.（2010江西理数）9．给出下列三个命题：
①函数与是同一函数；高☆考♂资♀源*网
②若函数与的图像关于直线对称，则函数与的图像也关于直线对称；
③若奇函数对定义域内任意x都有，则为周期函数。
其中真命题是
A. ①② B. ①③ C.②③ D. ②
答案：A
8.（2010四川理数）（3）2log510＋log50.25＝w_w_w.k*s 5*u.c o*m
（A）0 （B）1 （C） 2 （D）4w_w w. k#s5_u.c o*m
解析：2log510＋log50.25
＝log5100＋log50.25
＝log525
＝2
答案：C
9.（2010天津理数）（8）若函数f(x)=,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是
（A）（-1，0）∪（0，1） （B）（-∞，-1）∪（1,+∞）
（C）（-1，0）∪（1,+∞） （D）（-∞，-1）∪（0,1）
【答案】C
【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题。由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论。
10.（2010天津理数）（3）命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是
(A)若f(x) 是偶函数，则f(-x)是偶函数
（B）若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数
（C）若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数
（D）若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
【答案】B
【解析】本题主要考查否命题的概念 ，属于容易题。
否命题是同时否定命题的条件结论，故否命题的定义可知B项是正确的。
11.（2010天津理数）（2）函数f(x)=的零点所在的一个区间是
(A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）
【答案】B
【解析】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。
由及零点定理知f(x)的零点在区间（-1，0）上。
12.（2010福建理数）4．函数的零点个数为 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】当时，令解得；
当时，令解得，所以已知函数有两个零点，选C。
13.（2010重庆理数）（15）已知函数满足：，，则=_____________.
解析：取x=1 y=0得
法一：通过计算，寻得周期为6
法二：取x=n y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n)
联立得f(n+2)= —f(n-1) 所以T=6 故=f(0)=
14.（2010天津理数）（16）设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】D
【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法，属于难题。
依据题意得在上恒定成立，即在上恒成立。
当时函数取得最小值，所以，即，解得或
15.（2010辽宁理数）（21）（本小题满分12分）
已知函数
（I）讨论函数的单调性；
（II）设.如果对任意，，求的取值范围。
解：
（Ⅰ）的定义域为（0，+∞）. .
当时，＞0，故在（0，+∞）单调增加；
当时，＜0，故在（0，+∞）单调减少；
当-1＜＜0时，令=0，解得.
则当时，＞0；时，＜0.
故在单调增加，在单调减少.
（Ⅱ）不妨假设，而＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而
，
等价于
， ①
令，则
①等价于在（0，+∞）单调减少，即
.
从而
故a的取值范围为（-∞，-2]. ……12分
16.（2010江西理数）19. （本小题满分高☆考♂资♀源*网12分）
设函数。
（1）当a=1时，求的单调区间。
（2）若在上的最大值为，求a的值。
【解析】考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等知识。
解：对函数求导得：，定义域为（0，2）
（1） 单调性的处理，通过导数的零点进行穿线判别符号完成。
当a=1时，令
当为增区间；当为减函数。
（2） 区间上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确定
待定量a的值。
当有最大值，则必不为减函数，且>0，为单调递增区间。
最大值在右端点取到。。
17.（2010北京理数）(18)(本小题共13分)
已知函数()=In(1+)-+(≥0)。
(Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程；
(Ⅱ)求()的单调区间。
解：（I）当时，，
由于，，
所以曲线在点处的切线方程为
即
（II），.
当时，.
所以，在区间上，；在区间上，.
故得单调递增区间是，单调递减区间是.
当时，由，得，
所以，在区间和上，；在区间上，
故得单调递增区间是和，单调递减区间是.
当时，
故得单调递增区间是.
当时，，得，.
所以没在区间和上，；在区间上，
故得单调递增区间是和，单调递减区间是
18.（2010四川理数）（22）（本小题满分14分）
设（且），g(x)是f(x)的反函数.
（Ⅰ）设关于的方程求在区间[2，6]上有实数解，求t的取值范围；
（Ⅱ）当a＝e（e为自然对数的底数）时，证明：；
（Ⅲ）当0＜a≤时，试比较与4的大小，并说明理由.
本小题考产函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，考察化归、分类整合等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力.
解：(1)由题意，得ax＝＞0
故g(x)＝，x∈(－∞,－1)∪(1,＋∞)
由得w_w w. k#s5_u.c o*m
t＝(x-1)2(7-x)，x∈[2,6]
则t'=-3x2+18x-15=-3(x-1)(x-5)
列表如下：
x
2
(2,5)
5
(5,6)
6
t'
+
0
-
t
5
↗
极大值32
↘
25
所以t最小值＝5，t最大值＝32
所以t的取值范围为[5,32]……………………………………………………5分
(2) w_w w. k#s5_u.c o*m
＝ln()
＝－ln
令u(z)＝－lnz2－＝－2lnz＋z－，z＞0
则u'(z)＝－＝(1－)2≥0
所以u(z)在(0,＋∞)上是增函数
又因为＞1＞0，所以u()＞u(1)＝0
即ln＞0w_w w. k#s5_u.c o*m
即………………………………………………………………9分
(3)设a＝，则p≥1，1＜f(1)＝≤3
当n＝1时，|f(1)－1|＝≤2＜4
当n≥2时
设k≥2,k∈N *时，则f(k)＝w_w w. k#s5_u.c o*m
＝1＋
所以1＜f(k)≤1＋
从而n－1＜≤n-1+＝n+1-＜n＋1
所以n＜＜f(1)＋n＋1≤n＋4
综上所述，总有|－n|＜4
【2009高考试题】
1．( 2009·福建理5)下列函数中，满足“对任意，（0，），当<时，都有>的是
A．= B． =
C ．= D
答案：A
解析：依题意可得函数应在上单调递减，故由选项可得A正确。
2．( 2009·福建理10)．函数的图象关于直线对称。据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程的解集都不可能是
A． B C D
答案：D
解析：本题用特例法解决简洁快速，对方程中分别赋值求出代入求出检验即得．
3．( 2009·广东理3) 若函数是函数的反函数，其图像经过点，则
A． B． C． D．
答案：B
解析：，代入，解得，所以，选B．
4．( 2009·广东理8)已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为（如图2所示）．那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是
A．在时刻，甲车在乙车前面
B． 时刻后，甲车在乙车后面
C． 在时刻，两车的位置相同
D． 时刻后，乙车在甲车前面
答案：A
解析：由图像可知，曲线比在0～、0～与轴所围成图形面积大，则在、时刻，甲车均在乙车前面，选A． w．w．w．k．s．5．u．c．
5． (2009·辽宁文理9)已知偶函数在区间上单调增加，则的x取值范围是
答案： A
解析：由已知有，即，
∴。
6．( 2009·辽宁理12)若满足，满足，则+=
答案：C
解析：，，
即，，
作出，的图像（如图），
与的图像关于对称，
它们与的交点A、B的中点为与
的交点C，，∴+=。
7．( 2009·宁夏海南12)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值。
设 (x0),则的最大值为
（A） 4 （B） 5 （C） 6 （D） 7
答案：C
解析：画出y＝2x，y＝x＋2，y＝10－x的图象，如右图，观察图象可知，当0≤x≤2时，f（x）＝2x，当2≤x≤3时，f（x）＝x＋2，当x＞4时，f（x）＝10－x，f（x）的最大值在x＝4时取得为6，故选C。．
8．( 2009·山东文理6．) x
y
1
1
D
O
x
y
O
1
1
C
x
y
O
1
1
B
1
x
y
1
O
A
函数的图像大致为( )．
答案：A
解析：:函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A．
9． (2009·浙江理10)对于正实数，记为满足下述条件的函数构成的集合：且，有．下列结论中正确的是( )
A．若，，则
B．若，，且，则
C．若，，则
D．若，，且，则
答案：C
解析：对于，即有，令，有，不妨设，，即有，因此有，因此有．
10．( 2009·山东文理14)若函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是 ．
解析：设函数且和函数,则函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点, 就是函数且与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点（0，a）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点．所以实数a的取值范围是．
答案：
11．( 2009·山东文理16)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则
解析：因为定义在R上的奇函数，满足,所以,所以, 由为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以在区间[-2,0]上也是增函数．如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知所以
答案：-8
12.( 2009·山东理21.)（本小题满分12分）
两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.
（1）将y表示成x的函数；
（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。
【解析】
A
B
C
x
解法一:（1）如图,由题意知AC⊥BC,,
其中当时，y=0.065,所以k=9
所以y表示成x的函数为
（2）,,令得,所以,即,当时, ,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数有最小值.
解法二: （1）同上.
（2）设,
则,,所以
当且仅当即时取”=”.
下面证明函数在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数.
设04×240×240
9 m1m2<9×160×160所以,
所以即函数在(0,160)上为减函数.
同理,函数在(160,400)上为增函数,设1609×160×160
所以,
所以即函数在(160,400)上为增函数.
所以当m=160即时取”=”,函数y有最小值,
所以弧上存在一点，当时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小.
13. (2009·海南宁夏理21)（本小题满分12分）
已知函数
（1）如，求的单调区间；
（2）若在单调增加，在单调减少，证明
＜6.
【解析】解：
（Ⅰ）当时，，故
当
当
从而单调减少.
(Ⅱ)
由条件得：从而
因为所以
将右边展开，与左边比较系数得，故
又由此可得
于是
14. (2009·辽宁理21)（本小题满分 12 分）
已知函数，
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：若，则对于任意有。
【解析】解：（1）的定义域为，
--------------2分
（i）若，即a=2，则，故在上单调增加。
（ii）若，而，故，则当时，；
当及时，。
故在上单调减少，在，上单调增加。
（iii）若，即， 同理可得在上单调减少，在，上单调增加。
（2）考虑函数，
则，
由于，故，即在上单调增加，从而当时，
有，即，故；
当时，有。
15. (2009·福建理20)（本小题满分14分）
已知函数,且
(1) 试用含的代数式表示b,并求的单调区间；
（2）令,设函数在处取得极值，记点M (,)，N(,)，P(), ,请仔细观察曲线在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：
（I）若对任意的m (, x)，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；
（II）若存在点Q(n ,f(n)), x n< m,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q
的公共点，请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程）
【解析】解法一:
(Ⅰ)依题意,得
由.
从而
令
①当a>1时,
当x变化时，与的变化情况如下表：
x
+
－
+
单调递增
单调递减
单调递增
由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为。
②当时，此时有恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为R
③当时，同理可得，函数的单调增区间为和，单调减区间为
综上：
当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；
当时，函数的单调增区间为R；
当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为.
(Ⅱ)由得令得
由（1）得增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故M（）N（）。
观察的图象，有如下现象：
①当m从-1（不含-1）变化到3时，线段MP的斜率与曲线在点P处切线的斜率之差Kmp-的值由正连续变为负。
②线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与Kmp－的m正负有着密切的关联；
③Kmp－=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp－的m就是所求的t最小值，下面给出证明并确定的t最小值.曲线在点处的切线斜率；
线段MP的斜率Kmp
当Kmp－=0时，解得
直线MP的方程为
令
当时，在上只有一个零点，可判断函数在上单调递增，在上单调递减，又，所以在上没有零点，即线段MP与曲线没有异于M，P的公共点。
当时，.
所以存在使得
即当MP与曲线有异于M,P的公共点
综上，t的最小值为2.
（2）类似（1）于中的观察，可得m的取值范围为
解法二：
（1）同解法一.
（2）由得，令，得
由（1）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值。故M().N()
(Ⅰ) 直线MP的方程为
由
得
线段MP与曲线有异于M,P的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数
上有零点.
因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点.
又.因此, 在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根.
等价于 即
又因为,所以m 的取值范围为(2,3)
从而满足题设条件的r的最小值为2.
16. (2009·福建文21)（本小题满分12分）
已知函数且
（I）试用含的代数式表示；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）令，设函数在处取得极值，记点，证明：线段与曲线存在异于、的公共点；
【解析】解法一：
（I）依题意，得
由得
（Ⅱ）由（I）得（
故
令，则或
①当时，
当变化时，与的变化情况如下表：
+
—
+
单调递增
单调递减
单调递增
由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为
②由时，，此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调区间为R
③当时，，同理可得函数的单调增区间为和，单调减区间为
综上：
当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；
当时，函数的单调增区间为R；
当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为
（Ⅲ）当时，得
由，得
由（Ⅱ）得的单调增区间为和，单调减区间为
所以函数在处取得极值。
故
所以直线的方程为
由得
令
易得，而的图像在内是一条连续不断的曲线，
故在内存在零点，这表明线段与曲线有异于的公共点
解法二：
（I）同解法一
（Ⅱ）同解法一。
（Ⅲ）当时，得，由，得
由（Ⅱ）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，
故
所以直线的方程为
由得
解得
所以线段与曲线有异于的公共点
17. (2009·广东理20)（本小题满分14分）
已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．
（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；
（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点．
【解析】
解：（1）依题可设 ()，则；
又的图像与直线平行
， ，
设，则
当且仅当时，取得最小值，即取得最小值
当时， 解得
当时， 解得
（2）由()，得
当时，方程有一解，函数有一零点；
当时，方程有二解，
若，，
函数有两个零点，即；
若，，
函数有两个零点，即；
当时，方程有一解, ,
函数有一零点
综上，当时, 函数有一零点；
当()，或（）时，
函数有两个零点；
当时，函数有一零点.
18.( 2009·浙江20090423
理22)（本题满分14分）已知函数，，其中．
（I）设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；
（II）设函数 是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
解析：（I）因，
，因在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根，由得
，令有，记则在上单调递减，在上单调递增，所以有，于是，得，而当时有在上有两个相等的实根，故舍去，所以；
（II）当时有；
当时有，因为当时不合题意，因此，
下面讨论的情形，记A，B=（ⅰ）当时，在上单调递增，所以要使成立，只能且，因此有，（ⅱ）当时，在上单调递减，所以要使成立，只能且，因此，综合（ⅰ）（ⅱ）；
当时A=B，则，即使得成立，因为在上单调递增，所以的值是唯一的；
同理，，即存在唯一的非零实数，要使成立，所以满足题意．
19.（2009·安徽理19）（本小题满分12分）
已知函数，讨论的单调性.
本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题满分12分。
【解析】解：的定义域是(0,+),
设,二次方程的判别式.
① 当，即时，对一切都有,此时在上是增函数。
① 当,即时，仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。
② 当，即时，
方程有两个不同的实根,,.
+
0
_
0
+
单调递增
极大
单调递减
极小
单调递增
此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增.
20.（2009·天津理20）（本小题满分12分）
已知函数其中
（1） 当时，求曲线处的切线的斜率；
（2）当时，求函数的单调区间与极值。
本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。
【解析】（I）解：
（II）
以下分两种情况讨论。
（1）＞，则＜.当变化时，的变化情况如下表：
+
0
—
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
（2）＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：
+
0
—
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
【2008高考试题】
1．（2008·广东卷理19）设，函数，，，试讨论函数的单调性．
【解析】
对于，
当时，函数在上是增函数；
当时，函数在上是减函数，在上是增函数；
对于，
当时，函数在上是减函数；
当时，函数在上是减函数，在上是增函数。
2．（2008·江苏卷18）设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C。
（1）求实数的取值范围；
（2）求圆的方程；问圆是否经过某定点（其坐标与无关）？请证明你的结论
【解析】解：本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．
（Ⅰ）令＝0，得抛物线与轴交点是（0，b）；
令，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．
（Ⅱ）设所求圆的一般方程为
令＝0 得这与＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝．
令＝0 得＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1．
所以圆C 的方程为．
（Ⅲ）圆C 必过定点，证明如下：
假设圆C过定点 ，将该点的坐标代入圆C的方程，
并变形为 （*）
为使（*）式对所有满足的都成立，必须有，
结合（*）式得
，解得
经检验知，点均在圆C上，因此圆C 过定点。
3．（2008·江苏20）若为常数，
且
（I）求对所有的实数成立的充要条件（用表示）；
(II)设为两实数，且，若，求证：在区间上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）。
【解析】解：（1）由的定义可知，（对所有实数）等价于
（对所有实数）这又等价于，即
对所有实数均成立． （*）
由于的最大值为，
故（*）等价于，即，这就是所求的充分必要条件
（2）分两种情形讨论
（i）当时，由（1）知（对所有实数）
O
y
x
(a,f(a))
(b,f(b))
图1
则由及易知，
再由的单调性可知，
函数在区间上的单调增区间的长度
为（参见示意图1）
（ii）时，不妨设，则，于是
当时，有，从而；
当时，有
从而 ；
当时，，及，由方程
解得图象交点的横坐标为
⑴
显然，
这表明在与之间。由⑴易知
综上可知，在区间上， （参见示意图2）
O
y
x
(a,f(a))
(b,f(b))
(x0,y0)
(p2,2)
(p1,1)
图2
故由函数及的单调性可知，在区间上的单调增区间的长度之和为，由于，即，得
⑵
故由⑴、⑵得
综合（i）（ii）可知，在区间上的单调增区间的长度和为。
4．(2008·山东理14)设函数，若，，则的值为 。
解析： 。
而， ∴
5．(2008·广东理7)设，若函数，有大于零的极值点，则（ B ）
A． B． C． D．
答案：B。
解析：，若函数在上有大于零的极值点，
即有正根。当有成立时，（由于）显然有，此时，由我们马上就能得到参数的范围为。
7.(安徽理6)设＜b,函数的图像可能是
解析：，由得，∴当时，取极大值0，当时取极小值且极小值为负。故选C。
8.(安徽理9)已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是学科网
（A） （B） （C） （D）
解析：由得，
即，∴∴，∴切线方程为
，即选A
9.(辽宁理7)曲线在点处的切线方程为
答案： D
解析： ，，∴切线方程为，即。
10. (福建理4) 等于
A． B. 2 C. -2 D. +2
答案：D
解析：∵.故选D
11.(天津理4)设函数则
A在区间内均有零点。 B在区间内均无零点。
C在区间内有零点，在区间内无零点。
D在区间内无零点，在区间内有零点。
答案：D
解析：由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，在点处有极小值；又，故选择D。
12.（2008·江苏8）直线是曲线的一条切线，则实数b＝ ▲
答案：ln2－1
解析：本小题考查导数的几何意义、切线的求法． ，令得，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b＝ln2－1．
13. （2008·江苏13）若AB=2, AC=BC ，则的最大值 ▲
答案：
解析：本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC＝，则AC＝ ，
根据面积公式得=，根据余弦定理得
，代入上式得
=
由三角形三边关系有解得，
故当时取得最大值
14．（2008·广东理科19卷）（本小题满分14分）
设，函数，，。试讨论函数的单调性．
解析
对于，
当时，函数在上是增函数；
当时，函数在上是减函数，在上是增函数；
对于，
当时，函数在上是减函数；
当时，函数在上是减函数，在上是增函数。
15．(2008·山东理21)（本题满分12分）已知函数其中为常数。
（I）当时，求函数的极值；
（II）当时，证明：对任意的正整数，当时，有
解析：
（Ⅰ）解：由已知得函数的定义域为，
当时，，所以．
（1）当时，由得，，
此时．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
（2）当时，恒成立，所以无极值．
综上所述，时，
当时，在处取得极小值，极小值为．
当时，无极值．
（Ⅱ）证法一：因为，所以．
当为偶数时，
令 ，
则（）．
所以 当时，单调递增，
又，
因此 恒成立，
所以 成立．
当为奇数时，
要证，由于，所以只需证，
令 ，
则 （），
所以 当时，单调递增，又，
所以当时，恒有，即命题成立．
综上所述，结论成立．
证法二：当时，．
当时，对任意的正整数，恒有，
故只需证明．
令 ，，
则 ，
当时，，故在上单调递增，
因此 当时，，即成立．
故 当时，有．
即 ．
16.(2008·海南、宁夏理21)（本小题满分12分） 设函数，曲线在点
处的切线方程为。
（Ⅰ）求的解析式：
（Ⅱ）证明：函数的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；
（Ⅲ）证明：曲线上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值。
解析：（Ⅰ），于是
解得 或
因，故．
（II）证明：已知函数都是奇函数，
所以函数也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形。
而函数。
可知，函数的图像按向量a=平移，即得到函数的图象，故函数的图像是以点为中心的中心对称图形。
（III）证明：在曲线上任一点。
