2018-2019学年浙江省嘉兴市七校高一下学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年浙江省嘉兴市七校高一下学期期中考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年浙江省嘉兴市七校高一下学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：直接根据二倍角的余弦公式可得.‎ 详解：由题可知：=cos30°= ‎ 故选C.‎ 点睛：考查二倍角余弦公式的应用，属于基础题.‎ ‎2．等差数列中，已知，，则（ ）‎ A．16 B．17 C．18 D．19‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用等差数列的通项公式求解，或者利用等差中项求解.‎ ‎【详解】‎ 由等差数列的性质可得，所以.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的性质，利用基本量是求解此类问题的通用方法，巧妙利用性质能简化求解过程.‎ ‎3．实数数列，，为等比数列，则等于（ ）‎ A． B． C． D．或 ‎【答案】D ‎【解析】利用等比数列的通项公式或者等比中项求解.‎ ‎【详解】‎ 由等比数列性质得，所以.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列的性质，等比中项一般是有两个结果，注意不同情境对结果的取舍.‎ ‎4．已知，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，故选B.‎ ‎5．在中，如果, ，，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用余弦定理可以求得.‎ ‎【详解】‎ 由余弦定理可得 ‎.‎ 所以.故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查余弦定理的应用,熟记公式是求解关键，题目较为容易.‎ ‎6．在中，若,，则的外接圆面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用正弦定理和三角形外接圆半径的关系可得外接圆半径，从而可求面积.‎ ‎【详解】‎ 由得，所以外接圆的面积为.故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理的应用，明确正弦定理和三角形外接圆半径的关系是求解关键.‎ ‎7．在中，，则一定是（ ）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】利用正弦定理，结合已知可得 ‎，再利用二倍角的正弦公式即可判断三角形的形状．‎ ‎【详解】‎ 在中，‎ ‎，又由正弦定理得：，‎ ‎，‎ ‎，‎ 或，‎ 或．‎ 故是等腰三角形或直角三角形，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角形的形状判断，突出考查正弦定理与二倍角的正弦公式，属于中档题．判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.‎ ‎8．化简的结果是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用倍角公式，结合平方关系可以化简得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由于，所以可得选项D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查倍角公式的应用.利用余弦的倍角公式时注意公式形式的选择能简化求解过程.‎ ‎9．已知为等比数列的前项和，且，则（ ）‎ A．510 B．510 C．1022 D．1022‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据等比数列的前项和公式求出，由可求得 ‎，然后再求．‎ 详解：∵，‎ ‎∴，，，‎ ‎∴．‎ ‎∵数列为等比数列，‎ ‎∴，即，‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴510．‎ 故选B．‎ 点睛：本题考查等比数列的运算，解题时利用与的关系，即得到数列的项，再根据等比中项求出即可．另外本题也可利用以下结论求解：若等比数列的前项和为，则有，利用此结论可简化运算，提高解题的速度．‎ ‎10．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：‎ 第一步：构造数列 ①‎ 第二部：将数列①的各项同乘以，得到数列（记为），则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得新数列为， 所以 ‎ ‎。故选 C。‎ ‎【点睛】先写出新数列，，每一项提出，用裂项抵消法求和。‎ 二、填空题 ‎11．已知等差数列的前项和为，，，则____，____.‎ ‎【答案】20 70 ‎ ‎【解析】利用等差数列的性质和求和公式求解.‎ ‎【详解】‎ 由等差数列的性质得；‎ 利用等差数列求和公式.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的性质和求和公式，属于容易题.‎ ‎12．____，____.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】利用两角差的公式的逆用可求，利用和角公式可求.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查两角和与差的正弦公式，明确公式结构，熟记特殊角的三角函数值是求解的关键.‎ ‎13．已知，，，则_____，_____.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】利用平方关系及和角公式可求.‎ ‎【详解】‎ 因为，，所以 同理可得，‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题主要考查平方关系及两角和的正弦公式.给值求值问题先寻求角之间的关系.‎ ‎14．已知数列的前项和，则_____， _____．‎ ‎【答案】1 ‎ ‎【解析】利用求解.‎ ‎【详解】‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 综上可得：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查数列通项公式的求解方法.已知求解时，利用求解.‎ ‎15．若的三边长为2，3，4，则的最大角的余弦值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直接利用三角形的三边关系式和余弦定理求出结果．‎ ‎【详解】‎ 解：根据大边对大角得到：‎ 设，，，‎ 所以：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识要点：三角形的三边关系式及余弦定理的应用．‎ ‎16．已知中，，，分别为角，，的对边且，，，则____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用正弦定理可以求得.‎ ‎【详解】‎ 由得.所以或.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理.注意角的解的情况，属于容易题.‎ ‎17．已知数列满足，，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用数列的递推关系式求解.‎ ‎【详解】‎ ‎，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查数列递推关系式的应用，明确递推关系是求解关键.‎ 三、解答题 ‎18．设锐角的内角，，的对边分别为，，，且 ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎【答案】（I）（II）‎ ‎【解析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得的值，根据三角形为锐角三角形求得的大小.（2）直接利用三角形的面积公式，列式计算出三角形的面积.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由正弦定理得，故，由于三角形为锐角三角形，故.（2）由三角形的面积公式得.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.‎ ‎19．设函数．‎ ‎（1）化简并求函数的最小正周期及最值； ‎ ‎（2）求函数的单调增区间．‎ ‎【答案】(1) ；， (2) 增区间为 ‎【解析】（1）利用辅助角公式化简，从而可求周期和最值；‎ ‎（2）利用整体代换可求函数的单调区间.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎（2）令，‎ 解得，‎ 函数的增区间为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的性质.一般求解思路是：利用恒等变换把函数化简为标准型，然后利用性质求解方法求解.‎ ‎20．已知中，角，，的对边分别为，，，满足 .‎ ‎（1）求角的大小； ‎ ‎（2）若，求的取值范围．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）利用正弦定理实现边角互化，再利用余弦定理可得；‎ ‎（2）把边化为角，利用角的范围求解.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题可得，‎ 所以，‎ ‎，.‎ ‎（2）由正弦定理得，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用正余弦定理求解三角形及范围问题.边角互化是求解这类问题的常用策略.‎ ‎21．已知数列满足， ‎ ‎（1）证明：数列是等比数列；‎ ‎（2）若数列的前项和为，求数列的通项公式以及前项和.‎ ‎【答案】(1)见证明；(2) ‎ ‎【解析】（1）利用等比数列的定义进行证明；‎ ‎（2）利用分组求和法进行求和.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题可得，‎ 即，‎ 又，‎ 是首项为，公比为的等比数列.‎ ‎(2)由（1）可知，，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列的判定及数列求和方法.数列判定常用定义法，数列求和结合数列的通项公式特征选择合适的方法.‎ ‎22．在等差数列中，公差，且，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）利用等差数列的基本量或者性质可求；‎ ‎（2）利用错位相减法可以求得.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题可得，‎ 联立解得或（舍去）‎ ‎，.‎ ‎(2)由（1）可得，‎ 则有 ， ①‎ ‎，②‎ 由②-①式得 ，‎ 整理得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的通项公式求解及错位相减法求和.错位相减法注意得到新数列的项数和最后一项的符号.‎