【数学】2020届江苏一轮复习通用版14-2圆的方程作业

【数学】2020届江苏一轮复习通用版14-2圆的方程作业

‎14.2　圆的方程 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 圆的方程 ‎1.圆的标准方程 ‎2.圆的一般方程 ‎2015江苏,10‎ 圆的标准方程 直线与圆相切 ‎★★★‎ ‎2016江苏,18‎ 圆的标准方程、圆的一般方程 直线方程、直线与圆的位置关系 分析解读　　圆的方程是江苏高考的必考内容之一,最近几年很少有单独的试题考查圆的方程,通常和向量、直线、椭圆相结合,综合性比较强,以中档题的形式出现,不拘泥于填空题,有时候会出现在第17、18题,在复习中,也要注意以圆为背景的实际应用题.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点　圆的方程 ‎1.(2018江苏天一中学月考)已知圆C与直线y=x及x-y-4=0都相切,圆心在直线y=-x上,则圆C的方程为　__________. ‎ 答案　(x-1)2+(y+1)2=2‎ ‎2.(2018江苏金陵中学周考)圆C的圆心在x轴上,并且经过点A(-1,1),B(1,3),若M(m,‎6‎)在圆C内,则m的取值范围为　　　　. ‎ 答案　(0,4)‎ ‎3.(2018江苏金沙高级中学期中)设圆的方程是x2+y2+2ax+2y+(a-1)2=0,若00)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.‎ ‎(1)求l的方程;‎ ‎(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.‎ 解析　(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0),‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 由y=k(x-1),‎y‎2‎‎=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.‎ Δ=16k2+16>0,故x1+x2=‎2k‎2‎+4‎k‎2‎.‎ 所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=‎4k‎2‎+4‎k‎2‎.‎ 由题设知‎4k‎2‎+4‎k‎2‎=8,解得k=-1(舍去),或k=1,‎ 因此l的方程为y=x-1.‎ ‎(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.‎ 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则 y‎0‎‎=-x‎0‎+5,‎‎(x‎0‎+1‎)‎‎2‎=‎(y‎0‎-x‎0‎+1‎‎)‎‎2‎‎2‎+16.‎解得x‎0‎‎=3,‎y‎0‎‎=2‎或x‎0‎‎=11,‎y‎0‎‎=-6.‎ 因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.‎ 方法总结　有关抛物线的焦点弦问题,常用抛物线的定义进行转化求解,在求解过程中应注重利用根与系数的关系进行整体运算.一般地,求直线和圆的方程时,利用待定系数法求解.‎ ‎9.(2017课标全国Ⅲ,20,12分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.‎ ‎(1)证明:坐标原点O在圆M上;‎ ‎(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.‎ 解析　(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.‎ 由x=my+2,‎y‎2‎‎=2x可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.‎ 又x1=y‎1‎‎2‎‎2‎,x2=y‎2‎‎2‎‎2‎,‎ 故x1x2=‎(‎y‎1‎y‎2‎‎)‎‎2‎‎4‎=4.‎ 因此OA的斜率与OB的斜率之积为y‎1‎x‎1‎·y‎2‎x‎2‎=‎-4‎‎4‎=-1,所以OA⊥OB.‎ 故坐标原点O在圆M上.‎ ‎(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.‎ 故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=‎(m‎2‎+2‎)‎‎2‎+‎m‎2‎.‎ 由于圆M过点P(4,-2),‎ 因此 AP·BP=0,‎ 故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,‎ 即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.‎ 由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.‎ 所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-‎1‎‎2‎.‎ 当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为‎10‎,圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.‎ 当m=-‎1‎‎2‎时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为‎9‎‎4‎‎,-‎‎1‎‎2‎,圆M的半径为‎85‎‎4‎,圆M的方程为x-‎‎9‎‎4‎‎2‎+y+‎‎1‎‎2‎‎2‎=‎85‎‎16‎.‎ 解后反思　直线与圆锥曲线相交问题,常联立方程,消元得到一个一元二次方程,然后利用根与系数的关系处理.以某线段为直径的圆的方程,也可以用该线段的两端点坐标(x1,y1)、(x2,y2)表示:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.‎ C组　教师专用题组 ‎1.(2010课标理,15,5分)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为　　　　　　　. ‎ 答案　(x-3)2+y2=2‎ ‎2.(2014陕西,12,5分)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为　　　　　　　　. ‎ 答案　x2+(y-1)2=1‎ ‎3.(2015课标Ⅱ改编,7,5分)已知三点A(1,0),B(0,‎3‎),C(2,‎3‎),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为　　　　. ‎ 答案　‎‎21‎‎3‎ ‎4.(2014湖北文,17,5分)已知圆O:x2+y2=1和点A(-2,0),若定点B(b,0)(b≠-2)和常数λ满足:对圆O上任意一点M,都有|MB|=λ|MA|,则 ‎(1)b=　　　　; ‎ ‎(2)λ=　　　　. ‎ 答案　(1)-‎1‎‎2‎　(2)‎‎1‎‎2‎ ‎5.(2009江苏,18,14分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4.‎ ‎(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为2‎3‎,求直线l的方程;‎ ‎(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.‎ 解析　(1)设直线l的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0.‎ 由垂径定理,得圆心C1到直线l的距离d=‎2‎‎2‎‎-‎‎2‎‎3‎‎2‎‎2‎=1,‎ 由点到直线的距离公式,得‎|-3k-1-4k|‎k‎2‎‎+(-1‎‎)‎‎2‎=1,‎ 化简得24k2+7k=0,解得k=0或k=-‎7‎‎24‎,‎ 故直线l的方程为y=0或y=-‎7‎‎24‎(x-4),‎ 即y=0或7x+24y-28=0.‎ ‎(2)设点P坐标为(m,n),直线l1、l2的方程分别为 y-n=k(x-m),y-n=-‎1‎k(x-m),‎ 即kx-y+n-km=0,-‎1‎kx-y+n+‎1‎km=0.‎ 因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,两圆半径相等.由垂径定理,得圆心C1到直线l1与圆心C2到直线l2的距离相等.‎ 故有‎|-3k-1+n-km|‎k‎2‎‎+(-1‎‎)‎‎2‎=‎-‎4‎k-5+n+‎1‎km‎1‎k‎2‎‎+1‎,‎ 化简得(2-m-n)k=m-n-3或(m-n+8)k=m+n-5,‎ 由题意得‎2-m-n=0,‎m-n-3=0‎或m-n+8=0,‎m+n-5=0,‎ 解得m=‎5‎‎2‎,‎n=-‎‎1‎‎2‎或m=-‎3‎‎2‎,‎n=‎13‎‎2‎,‎ 故点P的坐标为‎-‎3‎‎2‎,‎‎13‎‎2‎或‎5‎‎2‎‎,-‎‎1‎‎2‎.‎ ‎【三年模拟】‎ 一、填空题(每小题5分,共40分)‎ ‎1.(2019届江苏启东中学月考)若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程为　　　　　　　. ‎ 答案　(x-2)2+(y-1)2=1‎ ‎2.(2019届江苏淮阴中学期初)已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程是　　　　　　　　. ‎ 答案　(x+1)2+y2=2‎ ‎3.(2019届江苏清江中学质检)设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为　　　　. ‎ 答案　4‎ ‎4.(2018江苏南京期中)过点P(1,1)的直线,将区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为　　　　　　　. ‎ 答案　x+y-2=0‎ ‎5.(2018江苏苏州中学月考)设A(-3,0),B(3,0)为两定点,动点P到A点的距离与到B点的距离之比为1∶2,则点P的轨迹所围成的面积是　　　　. ‎ 答案　16π ‎6.(2019届江苏常州五中周考)直线l1:y=x+a,l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2=　　　　. ‎ 答案　2‎ ‎7.(2018江苏南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)在平面直角坐标系xOy中,若动圆C上的点都在不等式组x≤3,‎x-‎3‎y+3≥0,‎x+‎3‎y+3≥0‎表示的平面区域内,则面积最大的圆C的标准方程为　　　　　　. ‎ 答案　(x-1)2+y2=4‎ ‎8.(2019届江苏南通中学质检)在△ABC中,|BC|=6,|AB|=2|AC|,则△ABC面积的最大值为　　　　. ‎ 答案　12‎ 二、解答题(共30分)‎ ‎9.(2019届江苏平潮中学月考)已知方程x2+y2-2x-4y+m=0.‎ ‎(1)若此方程表示圆,求实数m的取值范围;‎ ‎(2)若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M,N两点,且OM⊥ON(O为坐标原点),求m的值;‎ ‎(3)在(2)的条件下,求以MN为直径的圆的方程.‎ 解析　(1)由D2+E2-4F>0得(-2)2+(-4)2-4m>0,解得m<5.‎ ‎(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),‎ 由x+2y-4=0得x=4-2y.‎ 将x=4-2y代入x2+y2-2x-4y+m=0得5y2-16y+8+m=0,‎ 所以y1+y2=‎16‎‎5‎,y1y2=‎8+m‎5‎.‎ 因为OM⊥ON,所以y‎1‎x‎1‎·y‎2‎x‎2‎=-1,‎ 即x1x2+y1y2=0.‎ 因为x1x2=(4-2y1)(4-2y2)=16-8(y1+y2)+4y1y2,‎ 所以x1x2+y1y2=16-8(y1+y2)+5y1y2=0,‎ 即(8+m)-8×‎16‎‎5‎+16=0,解得m=‎8‎‎5‎.‎ ‎(3)设圆心C的坐标为(a,b),则a=‎1‎‎2‎(x1+x2)=‎4‎‎5‎,b=‎1‎‎2‎(y1+y2)=‎8‎‎5‎,半径r=|OC|=‎4‎‎5‎‎5‎,所以所求圆的方程为x-‎‎4‎‎5‎‎2‎+y-‎‎8‎‎5‎‎2‎=‎16‎‎5‎.‎ ‎10.(2019届江苏白蒲中学期中)如图,已知圆O的直径AB=4,定直线l到圆心的距离为4,且直线l垂直于直线AB.点P是圆O上异于A,B的任意一点,直线PA,PB分别交l于M,N两点.‎ ‎(1)若∠PAB=30°,求以MN为直径的圆的方程;‎ ‎(2)当点P变化时,求证:以MN为直径的圆必过圆O内的一定点.‎ 解析　易得A(-2,0),B(2,0),☉O的方程为x2+y2=4,直线l的方程为x=4.‎ ‎(1)当点P在x轴上方时,‎ 因为∠PAB=30°,‎ 所以点P的坐标为(1,‎3‎),‎ 所以lAP:y=‎3‎‎3‎(x+2),‎ lBP:y=-‎3‎(x-2).‎ 将x=4分别代入得M(4,2‎3‎),N(4,-2‎3‎),‎ 所以线段MN的中点坐标为(4,0),|MN|=4‎3‎.‎ 所以以MN为直径的圆的方程为(x-4)2+y2=12.‎ 同理,当点P在x轴下方时,‎ 所求圆的方程仍是(x-4)2+y2=12.‎ 综上,以MN为直径的圆的方程为(x-4)2+y2=12.‎ ‎(2)证明:设点P的坐标为(x0,y0),则y0≠0,‎ 所以x‎0‎‎2‎+y‎0‎‎2‎=4(y0≠0),‎ 所以y‎0‎‎2‎=4-x‎0‎‎2‎.‎ 易知lPA:y=y‎0‎x‎0‎‎+2‎(x+2),‎ lPB:y=y‎0‎x‎0‎‎-2‎(x-2),‎ 将x=4分别代入得yM=‎6‎y‎0‎x‎0‎‎+2‎,yN=‎2‎y‎0‎x‎0‎‎-2‎,‎ 所以M‎4,‎‎6‎y‎0‎x‎0‎‎+2‎,N‎4,‎‎2‎y‎0‎x‎0‎‎-2‎,‎ 所以|MN|=‎6‎y‎0‎x‎0‎‎+2‎‎-‎‎2‎y‎0‎x‎0‎‎-2‎=‎4|x‎0‎-4|‎‎|y‎0‎|‎,‎ 线段MN的中点坐标为‎4,-‎‎4(x‎0‎-1)‎y‎0‎.‎ 以MN为直径的圆O'截x轴所得的线段长为 ‎2‎‎4(x‎0‎-4‎‎)‎‎2‎y‎0‎‎2‎‎-‎‎16(x‎0‎-1‎‎)‎‎2‎y‎0‎‎2‎ ‎=‎‎4‎‎|y‎0‎|‎‎12-3‎x‎0‎‎2‎ ‎=‎4‎‎3‎‎|y‎0‎|‎‎4-‎x‎0‎‎2‎=4‎3‎.‎ 则圆O'与x轴的两交点坐标分别为(4-2‎3‎,0),(4+2‎3‎,0).‎ 又(4-2‎3‎)2=28-16‎3‎<4,‎ ‎(4+2‎3‎)2=28+16‎3‎>4,‎ 所以圆O'必过圆O内定点(4-2‎3‎,0).‎