数学（理）卷·2018届江苏省泰兴中学高二上学期期中考试（2016-11）

数学（理）卷·2018届江苏省泰兴中学高二上学期期中考试（2016-11）

江苏省泰兴中学高二数学（理科）期中考试试题 一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上．‎ ‎1、已知复数，则复数的虚部为 ． ‎ ‎2、命题：“”的否定是 ．‎ ‎3、复数 ．‎ ‎4、双曲线的渐近线方程为 ．‎ ‎5、抛物线的焦点坐标为 ．‎ ‎6、观察下列各式：，，，，从中归纳出一般结论： ．‎ ‎7、焦点在轴上，离心率，焦点与相应准线的距离等于的椭圆的标准方程为 ．‎ ‎8、已知函数的定义域为，集合，若P：“”是Q：“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ．‎ ‎9、已知动点在曲线上，定点的坐标为，则线段长度的最小值为 ． ‎ ‎10、已知，则 ．‎ ‎11、已知集合，，则命题“”是命题“”的 条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）‎ ‎12、下列四个命题：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设，若，则或”是一个假命题；③“”是“‎ ‎”的充分不必要条件；④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中真命题的个数是 ． ‎ ‎13、过点作直线交椭圆于两点，若点恰为线段的中点，则直线的方程为 ．‎ ‎14、过椭圆的左顶点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点，为中点，定点满足：对于任意的都有，则点的坐标为 ． ‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15、（本题满分14分）‎ 已知，复数，当为何值时，分别满足下列条件：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）对应的点位于复平面第二象限．‎ ‎16、（本题满分14分）‎ 已知．‎ ‎(1)是的什么条件？‎ ‎(2)若是的必要非充分条件，求实数的取值范围．‎ ‎17、（本题满分14分）‎ 设分别是椭圆的左右焦点，是椭圆上一点，且直线与轴垂直，直线与的另一个交点为．‎ ‎（1）若直线的斜率为，求的离心率；‎ ‎（2）若直线在轴上的截距为2，且，求椭圆的方程．‎ ‎18、（本题满分16分）‎ 如图，某小区有一边长为2 (单位：百米)的正方形地块，其中是一个水池，计划在地块内修一条与池边相切的直路(宽度不计)，切点为，并把该地块分为两部分．现以点为坐标原点，以线段所在直线为轴，建立平面直角坐标系，若池边满足函数的图象，且点到边距离为．‎ ‎（1）当时，求直路所在的直线方程；‎ ‎（2）当为何值时，地块在直路不含水池那侧的面积取到最大，最大值是多少？‎ ‎19、（本题满分16分）‎ 设为虚数单位，为正整数，．‎ ‎（1）用数学归纳法证明：；‎ ‎（2）已知，试利用（1）的结论计算；‎ ‎20、（本题满分16分）‎ 已知椭圆的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为和，直线与相交于点，与椭圆相交于两点．‎ ‎（1）求此椭圆的方程；‎ ‎（2）若，求斜率的值；‎ ‎（3）求四边形面积的最大值．‎ 江苏省泰兴中学高二数学（理科）期中试题参考答案 一、填空题：‎ ‎1、；2、；3、；4、；5、；6、；7、；8、；9、1；10、1；11、充分不必要；12、2；13、；14、‎ 二、解答题：‎ ‎15、解（1）， 2分 ‎ 6分 ‎（2）复数在复平面上对应点为， 8分 依题意有 10分 解之得 14分 ‎16、解　(1)，‎ ‎. 2分 ‎∴， 4分 ‎∴是的充分不必要条件． 6分 ‎ (2).‎ ‎∴：. 8分 ‎∵是的必要非充分条件．‎ ‎∴. 12分 ‎∴的取值范围是. 12分 ‎17、解：（1）记，则，由题设可知，则， 4分 ‎； 6分 ‎（2）记直线与轴的交点为，则①， 8分 ‎， 10分 将的坐标代入椭圆方程得② 12分 由①②及得，‎ 故所求椭圆的方程为． 14分 ‎18、(1)， 2分 ‎， 6分 ‎(2)，过切点的切线，‎ 即，令得，故切线与交于点； 8分 令，得，又在递减，所以，‎ 故切线与交于点． 10分 所以地块在切线右上部分区域为直角梯形，‎ 面积， 14分 当且仅当时取等号，即时． 16分 ‎19、（1）证明：当时，左边=右边=，所以命题成立； 2分 假设当时，命题成立，即， 4分 则当时，‎ ‎ ‎ ‎； 6分 综上，由和可得， 8分 ‎（2）， 12分 ‎ 16分 ‎20、解（1）)由题意，， 解得， 2分 ‎ 故椭圆的方程为． 4分 ‎（2）由（1）得，直线的方程为．‎ ‎． 6分 设，，且．‎ 则， ‎ 因为，所以，即， 8分 所以在直线上，即，‎ 化简得，解得，或． 10分 ‎（3），由题意，要使四边形面积最大，只要点到直线距离之和最大．‎ ‎ 12分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 14分 因为，所以，‎ 当且仅当，即时取“＝”号．所以． 16分