甘肃省2020届高三高考诊断考试数学（文科）试题

甘肃省2020届高三高考诊断考试数学（文科）试题

‎2020年甘肃省第二次高考诊断考试 文科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合交集的运算即可得解.‎ ‎【详解】集合，，‎ 根据集合交集运算可知，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了集合交集的简单运算，属于基础题.‎ ‎2.若，则=（ ）‎ A. B. ‎0 ‎C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法运算，化简即可得解.‎ ‎【详解】，‎ 则由复数除法运算可得 ‎，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了复数除法运算，属于基础题.‎ ‎3.已知向量，则（ ）‎ A. B. ‎1 ‎C. 5 D. 25‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量的坐标运算，可得，再由模的运算即可得解.‎ ‎【详解】向量，‎ 则，‎ 则，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了向量的坐标运算，向量模的求法，属于基础题.‎ ‎4.定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点个数为（ ）‎ A. 4 B. ‎3 ‎C. 2 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇函数定义可得零点，结合函数单调性及函数零点定义可得函数的其他零点，即可得解.‎ ‎【详解】由奇函数定义可知，当定义域为时，，‎ 当时，，由单调递增且可知当时有1个零点，‎ 根据奇函数性质可知，当时也为单调递增，且，‎ 综上可知，有3个零点，分别为0，，1.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了奇函数意义，函数零点的意义及求法，属于基础题.‎ ‎5.命题“”的否定为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称量词命题的否定即可得解.‎ ‎【详解】根据全称量词命题的否定可知，‎ ‎“”的否定为，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了含有量词命题的否定，属于基础题.‎ ‎6.2020年冬奥会申办成功，让中国冰雪项目迎来了新的发展机会，“十四冬”作为北京冬奥会前重要的练兵场，对冰雪运动产生了不可忽视的带动作用．某校对冰雪体育社团中甲、乙两人的滑轮、雪合战、雪地足球、冰尜（ga）、爬犁速降及俯卧式爬犁6个冬季体育运动项目进行了指标测试（指标值满分为5分，分高者为优），根据测试情况绘制了如图所示的指标雷达图．则下面叙述正确的是（ ）‎ A. 甲的轮滑指标高于他的雪地足球指标 B. 乙的雪地足球指标低于甲的冰尜指标 C. 甲的爬犁速降指标高于乙的爬犁速降指标 D. 乙的俯卧式爬犁指标低于甲的雪合战指标 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指标雷达图，分别判断各选项即可.‎ ‎【详解】由指标雷达图可知：‎ 对于A，甲的轮滑指标为4，雪地足球指标为4，所以A错误；‎ 对于B，乙雪地足球指标为4，甲的冰尜指标3，所以B错误；‎ 对于C，甲的爬犁速降指标为5，乙的爬犁速降指标为4，所以C正确；‎ 对于D，乙的俯卧式爬犁指标为5，甲的雪合战指标为5，所以D错误；‎ 综上可知，正确的为C，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了读图分析能力，统计图表的简单应用，属于基础题.‎ ‎7.记为等差数列的前n项和，若，则的值为（ ）‎ A. 9 B. ‎1 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列通项公式及等差数列前n项和公式，可得关于的方程组，进而解方程组可得的值.‎ ‎【详解】根据等差数列通项公式及前n项和公式可得 ‎，‎ 解方程组可得，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列通项公式及等差数列前n项和公式的简单应用，属于基础题.‎ ‎8.在棱长均相等的四面体中，分别是棱的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取中点，中点，连接，则为异面直线与所成角，由线面垂直的判定定理可证明平面，因而可知，从而可得为等腰直角三角形，即可得.‎ ‎【详解】取中点，中点，连接， ‎ 由中位线定理可知,‎ 则（或补角）为异面直线与所成角，‎ ‎，‎ 且，所以平面，‎ 则，所以，‎ 四面体棱长均相等，则，‎ 所以为等腰直角三角形，‎ 所以，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了异面直线夹角的求法，线面垂直的判定，属于中档题.‎ ‎9.兰州牛肉面是人们喜欢的快餐之一．现将体积为的面团经过第一次拉伸成长为‎100cm的圆柱型面条，再经过第二次对折拉伸成长为的面条，……，则经过五次对折拉伸之后面条的截面直径是（ ）（单位：cm．每次对折拉伸相等的长度，面条的粗细是均匀的，拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 拉伸之后面条数列为等比数列，可得拉伸后面条的数量；由圆柱的体积公式，结合等体积法即可求得拉伸后面条的截面半径，进而得拉伸后截面的直径.‎ ‎【详解】经过五次对折拉伸之后面条的数量成等比数列，‎ 因而可知经过五次对折拉伸之后面条的长度为，‎ 设拉伸五次后面条的截面半径为，由面团体积为可得 ‎，‎ 解得，所以直径为，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列通项公式求法，圆柱体积公式及等体积法的应用，属于基础题.‎ ‎10.已知、分别是双曲线的左、右焦点，，若双曲线的左支上有一点，满足，则该双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线定义可得，由焦点坐标可知，进而由可求得，即可得双曲线的渐近线方程.‎ ‎【详解】双曲线的左支上有一点，满足，‎ 则由双曲线定义可得，所以，‎ 由，可知，‎ 根据双曲线中，可得，‎ 所以渐近线方程为，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线定义及几何性质的简单应用，渐近线方程的求法，属于基础题.‎ ‎11.定义在上的函数在上单调递减，且是偶函数，则使成立的的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据是偶函数，结合函数图像平移变换可知关于对称，再由函数在上单调递减可画出函数图像示意图，进而解不等式即可得解.‎ ‎【详解】定义在上的函数在上单调递减，且是偶函数，‎ 所以的图像关于对称，示意图如下图所示：‎ 而，且在单调递增，‎ 所以若，需满足或，‎ 解得或，‎ 所以使成立的的取值范围为，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了函数单调性与对称性的综合应用，由单调性解不等式，正确画出函数图像示意图是解决此类问题常用方法，属于中档题.‎ ‎12.在“家校连心，立德树人——重温爱国故事，弘扬爱国主义精神社会课堂”活动中，王老师组建了一个微信群，群的成员由学生、家长、老师和讲解员共同组成.已知该微信群中男学生人数多于女生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数多于讲解员人数，讲解员人数的两倍多于男生人数.若把这5类人群的人数作为一组数据，当该微信群总人数取最小值时，这组数据的中位数是（ ）‎ A. 5 B. ‎6 ‎C. 7 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设讲解员人数为，由题意可依次表示出教师人数、家长人数、女学生人数、男学生人数，结合讲解员人数的两倍多于男生人数可确定讲解员人数的最小值，进而得各组人数，即可求得中位数.‎ ‎【详解】设讲解员人数为，‎ 由题意教师人数多于讲解员人数，则教师人数，‎ 家长人数多于教师人数，则家长人数，‎ 女学生人数多于家长人数，则女学生人数，‎ 男学生人数多于女生人数，则男学生人数，‎ 而讲解员人数的两倍多于男生人数，则满足，解得，‎ 所以当该微信群总人数取最小值时，‎ 则各组人数分别为讲解员5人，教师6人，家长7人，女学生8人，男学生9人，‎ 所以中位数为7.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了不等式在实际问题中的应用，中位数的求法，正确理解题意是解决问题的关键，属于中档题.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知函数定义域为，值域为，则______．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定义域和值域，结合余弦函数的图像与性质即可求得的值，进而得解.‎ ‎【详解】因为，由余弦函数的图像与性质可得，‎ 则，‎ 由值域为可得，‎ 所以，‎ 故答案为：3.‎ ‎【点睛】本题考查了余弦函数图像与性质的简单应用，属于基础题.‎ ‎14.数列中，已知，则______.‎ ‎【答案】21‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用递推公式，即可得解.‎ ‎【详解】数列中，，‎ 当时，代入可得，则，‎ 当时，代入可得，则，‎ 当时，代入可得，则，‎ 当时，代入可得，则，‎ 当时，代入可得，则，‎ 故答案为：21.‎ ‎【点睛】本题考查了数列递推公式的简单应用，属于基础题.‎ ‎15.已知曲线在点处的切线方程为，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的几何意义，即可求得的值，结合正切函数差角公式即可得解.‎ ‎【详解】曲线，‎ 则，‎ 曲线在点处的切线方程为，‎ 所以当时，满足，‎ 解得，‎ 代入并由正切函数的差角公式可得 ‎，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义简单应用，正切函数差角公式的简单应用，属于基础题.‎ ‎16.“哪里有数，哪里就有美”（普洛克拉斯语），数学中到处充满着美的因素，闪烁着美的光辉．优美椭圆就是数学花园中绽放的美丽花朵之一，它的离心率为，所以也称为“黄金椭圆”，若记黄金椭圆的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，则______．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆标准方程及几何性质，即可求得关系，由的坐标，可得，进而结合平面向量数量积的坐标运算得解.‎ ‎【详解】设椭圆的标准方程为，‎ 则，则 ‎，‎ 所以，‎ 由平面向量数量积的坐标运算可得 ‎，‎ 故答案为：0.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆几何性质的简单应用，离心率公式的简单应用，平面向量数量积的坐标运算，属于中档题.‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题；共60分．‎ ‎17.已知是矩形，分别是线段的中点，平面．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若在棱上存在一点，使得平面，求的值．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）通过证明，然后再利用线面垂直的判定定理，即可证明平面；（2）过作交于，则平面，且．再过作交于，所以平面，且，所以平面平面，进而满足题意．‎ 试题解析：（1）在矩形中，因为，点是的中点，所以．‎ 所以，即．‎ 又平面，所以，所以平面．‎ ‎（2）过作交于，‎ 则平面，且．再过作交于，‎ 所以平面，且．所以平面平面，‎ 所以平面，从而点满足．‎ 考点：1．线面垂直的判定定理；2．面面平行的判定定理和性质定理．‎ ‎18.在中，角A，B，C的对边分别为且满足．‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若的面积，其外接圆的半径，求的周长．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据正弦定理，将变化为角，结合正弦函数的和角公式即可得解.‎ ‎（2）根据外接圆半径及正弦定理可求得，结合三角形面积公式可得，代入余弦定理可得，进而得的周长．‎ ‎【详解】（1），‎ 由正弦定理得.‎ 即，‎ 又，故，‎ 又，‎ 所以 ‎ ‎（2）由，及，‎ 可得，‎ 又，即，‎ 由余弦定理，‎ 得，‎ 即，‎ 又，故.‎ 所以，‎ 即的周长为.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理在解三角形中的应用，三角形面积公式的用法，属于基础题.‎ ‎19.某农科院为试验冬季昼夜温差对反季节大豆新品种发芽影响，对温差与发芽率之间的关系进行统计分析研究，记录了6天昼夜温差与实验室中种子发芽数的数据如下：‎ 日期 ‎1月1日 ‎1月2日 ‎1月3日 ‎1月4日 ‎1月5日 ‎1月6日 温差（摄氏度）‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎8‎ ‎9‎ 发芽数（粒）‎ ‎26‎ ‎27‎ ‎30‎ ‎32‎ ‎21‎ ‎24‎ 他们确定的方案是先从这6组数据中选出2组，用剩下的4组数据求回归方程，再用选取的两组数据进行检验.‎ ‎（1）求选取的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；‎ ‎（2）若由线性回归方程得到估计数据与实际数据的误差不超过1粒，则认为得到的线性回归方程是可靠的.请根据1月2，3，4，5日的数据求出关于的线性回归方程（保留两位小数），并检验此方程是否可靠.‎ 参考公式：，‎ ‎【答案】（1）（2）.可靠 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求得从6组数据中任选2组数据的基本事件个数，再得相邻2‎ 天数据事件个数，即可得选取的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；‎ ‎（2）根据所给数据，分别求得，代入公式可得，进而得回归直线方程；分别再代入，检验即可判断.‎ ‎【详解】（1）从6组数据中任选2组数据，共有15个基本事件，，，，，.‎ 记这2组数据恰好是相邻两天数据为事件A，‎ 则A中有，共5个基本事件，‎ 故.‎ ‎（2），‎ ‎，‎ 所以 ‎.‎ 所求的回归方程为.‎ 当时，，，‎ 当时，，.‎ 故此线性回归方程是可靠的.‎ ‎【点睛】本题考查了古典概型概率的求法，线性回归方程的求法及简单应用，属于基础题.‎ ‎20.已知圆与圆相外切，且与直线相切．‎ ‎（1）记圆心的轨迹为曲线，求的方程；‎ ‎（2）过点的两条直线与曲线分别相交于点和，线段和的中点分别为.如果直线与的斜率之积等于1，求证：直线经过定点．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据抛物线定义可知圆心的轨迹为抛物线，进而可得其轨迹方程.‎ ‎（2）由题意可设直线的斜率为，则直线的斜率为，表示出直线的方程，联立直线与抛物线方程即可求得交点的坐标，进而以代替点坐标中的，可得点的坐标；即可表示出直线的斜率及其方程，进而得所过定点的坐标.‎ ‎【详解】（1）依题意等于到直线的距离，‎ 故所求轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线.‎ 故其轨迹的方程为.‎ ‎（2）依题意直线斜率都存在且均不为，‎ 故设直线的斜率为，则直线的斜率为.‎ 直线的方程为，‎ 即为.‎ 由消去整理得，‎ 所以，点的坐标为，‎ 以代替点坐标中的，可得点的坐标为，‎ 所以直线的斜率，‎ 所以直线的方程为，‎ 即.‎ 故经过定点.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线定义及方程的求法，直线与抛物线的位置关系及应用，直线过定点的求法，属于中档题.‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）当时，求函数的极值；‎ ‎（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）极大值为，极小值为.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入解析式，求得并令，求得极值点；由导函数的符号，可判断函数的单调性，进而求得其极值.‎ ‎（2）根据解析式求得，并令，求得极值点；讨论的取值范围，即可由最值及不等式求得符合题意的的取值范围．‎ ‎【详解】（1）由得，‎ 故.‎ 令，解得或，‎ 由，得或，‎ 所以在和单调递增，‎ 由，得，‎ 所以在单调递减.‎ 所以极大值为，极小值为.‎ ‎（2），，‎ 令，得，，‎ ‎（i）当，即时，在单调递减，‎ 依题意则有成立，‎ 得，此时不成立；‎ ‎（ii）当，即时，‎ 在上单调递增，在上单调递减，‎ 依题意则有 得，由于，故此时不成立；‎ ‎（iii）当，即时，在上单调递增，‎ 依题意则有，得 ‎ 综上，的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了导数与函数单调性和极值的关系，由导数求函数的单调性与最值，根据不等式求参数的取值范围的应用，分类讨论思想的综合应用，属于难题.‎ ‎（二）选考题；共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答．并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．‎ ‎22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求直线和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点坐标为，直线与曲线交于两点，且，求实数的值．‎ ‎【答案】（1），.（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据参数方程，消参后可得直线直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标方程转化关系，即可得曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，并设两点对应参数为，，即可由韦达定理及求得的值．‎ ‎【详解】（1）直线的参数方程为（为参数），‎ 直线直角坐标方程为，‎ 将，，代入即得，‎ 曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）将代入，化简得，‎ 由判别式得，‎ 设两点对应参数为，，‎ 则，，‎ 依题意有，即，‎ 代入解得或，均满足，‎ 所以实数的值为或.‎ ‎【点睛】本题考查了参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线参数方程的几何意义，由韦达定理求参数值，属于中档题.‎ ‎23.已知函数 ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若关于的不等式在上无解，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）或.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据函数解析式，化简变形为绝对值形式，利用分类讨论法即可解不等式，求得解集.‎ ‎（2）根据不等式无解，结合绝对值不等式求得最小值，即可由恒成立问题求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）函数，‎ 不等式可化为，‎ 即，或，‎ 解得或.‎ 所以不等式解集为或.‎ ‎（2）由于 当时，，‎ 不等式在上无解，‎ 则有，‎ 解得.‎ 故所求t的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了分类讨论解绝对值不等式，含参数绝对值不等式的解法，属于中档题.‎